EL NÚMERO EFECTIVO DE GRADOS DE LIBERTAD

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1 Smpoo de Metrología al 7 de Octubre EL NÚMERO EFECTIVO DE GRADOS DE LIBERTAD Enrque Vlla Dharce Centro de Invetgacón en Matemátca, A C Jalco /n, Mneral de Valencana, Guanajuato, Gto CP 3640 Tel: (473) ext 4956, Fax: (473) , Emal: vllad@cmatmx Reumen: En el anál de dato de medcón, preentamo el reultado de un proceo de medcón, motrando el reultado de la medcón y u ncertdumbre En la mayoría de lo cao el menurando no e drectamente medble, no que depende de otra cantdade medble, a travé de una funcón que generalmente e no lneal En ete cao, la determnacón de la ncertdumbre expandda de la etmacón del menurando, e obtene hacendo uo de una etadítca, cuya dtrbucón e deconoce, pero e aproxma por una dtrbucón t de Student, en la que el número de grado de lbertad e obtene, de acuerdo con la recomendacón de la GUM, utlzando la aproxmacón de Welch-Satterthwate A ete número de grado de lbertad e le conoce como el número efectvo de grado de lbertad En ete artículo comentamo el concepto de grado de lbertad y preentamo una dervacón de la expreón conocda para obtener el número efectvo de grado de lbertad INTRODUCCIÓN En el anál de dato de medcón, preentamo el reultado de un proceo de medcón, motrando el reultado de la medcón y u ncertdumbre Eta últma puede dare en forma etándar o expandda La convenenca de dar la verón expandda de la ncertdumbre, e que le aocamo una cobertura explcta, lo cual faclta u nterpretacón, ya ea en el terreno del enfoque frecuentta, o en el ubjetvo (grado de creenca) La ncertdumbre expandda correponde al rango de un ntervalo de confanza del menurando Para contrur tal ntervalo de confanza, utlzamo una etadítca T, dada por el cocente de una etadítca normal etándar entre una etadítca que ncluye a la ncertdumbre combnada de la varable de nfluenca del modelo de medcón Cuando la etadítca del denomnador tene aocada una dtrbucón j-cuadrada, entonce el cocente tene una dtrbucón t de Student, con un número de grado de lbertad gual a lo grado de lbertad de la etadítca j-cuadrada del denomnador Frecuentemente, la etadítca que nvolucra a la ncertdumbre combnada no tene una dtrbucón j-cuadrada exacta, por lo tanto la etadítca T no tene una dtrbucón t de Student exacta Eta complcacón no mpde tener un ntervalo de confanza para el menurando, con la cobertura nomnal deeada exacta Un procedmento recomendado por la GUM [], para etmar la ncertdumbre expandda, conte en aproxmar la dtrbucón de la etadítca T con una dtrbucón t de Student con un número de grado de lbertad dado por la aproxmacón de Welch Satterthwate A ete número de grado de lbertad e le denomna el número efectvo de grado de lbertad En la eccón, e muetra el orgen de lo grado de lbertad aocado a una ncertdumbre expandda En la eccón 3, preentamo el dearrollo de la formula de Welch - Satterthwate, para calcular el número efectvo de grado de lbertad En la eccón 4 e comentan la retrccone que tene la aproxmacón de Welch-Sattertwate y e comenta un procedmento alternatvo para la determnacón de la ncertdumbre expandda En la eccón 5, e dan la concluone del trabajo LOS GRADOS DE LIBERTAD En la mayoría de lo cao el menurando no e drectamente medble, no que depende de otra cantdade medble,,,, a travé de una funcón f (,,, ) Aí la ncertdumbre de la medcón del menurando, e el reultado de combnar la ncertdumbre de medcón de la dferente cantdade medda,,,, con

2 Smpoo de Metrología al 7 de Octubre dferente peo, que dependerán de la mportanca que cada componente tene en el modelo de medcón = f (,,, ) Una magntud que vara aleatoramente tene aocado do parámetro muy mportante: u eperanza µ = E ( ) que no ndca el valor alrededor de cual e tenen la obervacone de, y u varanza que exprea la magntud de µ la varabldad de la obervacone alrededor de u valor eperado Cuando e tenen n obervacone ndependente x, x,, xn de, etmamo u eperanza como el promedo x de la n obervacone, n = n x = mentra que la varanza e etma por x n = ( x ) = x n Cuando tenemo un menurando, del que tomamo medcone con un ntrumento, ocurre que obervamo dvero valore que varan aleatoramente, de acuerdo a alguna dtrbucón Generalmente aocamo el valor del menurando con el valor eperado de la dtrbucón, de aquí que etmar el valor del menurando equvale a etmar el valor eperado µ, La ncertdumbre de la etmacón x provene de la varabldad de x alrededor de µ, que cuantfcamo por u = x / n, y que etmamo como x = / n Tamben podemo tomar como varanza ncertdumbre de medcón la devacón etándar de la meda, x = x Cuando la nformacón que tenemo del menurando e un conjunto de n obervacone ndependente x, x,, x n, entonce tenemo que para un valor dado de la etmacón x = ( x + x + + x ) / n, tenemo olo n obervacone n, x que pueden tomar valore lbremente, ya que el térmno retante tene un valor determnado por eto n térmno elegdo y el promedo x A ete número de térmno ndependente e le conoce como el número de grado de lbertad De aquí que podemo nterpretar el número de grado de lbertad como la cantdad de nformacón útl en la determnacón de la etmacón En cambo la obervacone no on ndependente, tenemo nformacón redundante en la obervacone, por lo que la nformacón útl o efectva erá menor Otra nterpretacón del número de grado de lbertad, e el parámetro de la dtrbucón jcuadrada aocada al etmador de la varanza, calculada a partr de n obervacone ndependente En ete cao abemo que la etadítca ( n ) S W = ( x t, x + t () tene una dtrbucón j-cuadrada con n grado de lbertad Con ete enfoque entonce, el número efectvo de grado de lbertad vene a er el parámetro aocado a la dtrbucón j-cuadrada aocada al etmador de la ncertdumbre de la medcón conderada La etadítca anteror ntervene en la etadítca T utlzada para determnar la ncertdumbre expandda en forma de ntervalo de confanza, µ Z µ T = = = () W S S ( n ) Aí, ademá de exprear en forma numérca la ncertdumbre, ya ea como x, o x, podemo exprearla en forma expandda, como un ntervalo de confanza del menurando, ( n, α/ ) x ( n, α/) x), (3) donde x e la etmacón del menurando, x ( n, α / ) e la ncertdumbre de la medcón, y t el coefcente de confanza para la dtrbucón t de

3 Smpoo de Metrología al 7 de Octubre Student con = n grado de lbertad Ete ntervalo tene una cobertura nomnal de ( α)00% Cuando el menurando de nteré e reultado de vara magntude de nfluenca,,,, de acuerdo a un modelo de medcón dado por la funcón = f(,,, ), entonce hay que convertr la nformacón que tenemo obre lo reultado de medcón e ncertdumbre de,,,, en el reultado de medcón y la ncertdumbre de Hacer eto en forma exacta puede er un problema complcado, cuando la funcón f e nolneal, y ma dfícl todavía, ademá, la varable de nfluenca on correlaconada La manera de atacar ete problema conte en tomar una aproxmacón de Taylor, para, alrededor de u valor eperado µ De eta forma, cuando la varable de nfluenca on no correlaconada, obtenemo la aproxmacone µ y para y : µ = f ( µ, µ,, µ ), f = x = = y = f( x, x,, x ), = Eto valore on etmado por: f x ( y t α, y+ t y), (4) ( ef, /) y ( ef, α/) ( x, x,, x ) La ncertdumbre numérca etá dada por, mentra que la ncertdumbre expandda etá dada por el ntervalo de confanza donde e el reultado de medcón, u ncertdumbre combnada, t e el ( ef, α/) y coefcente de confanza y ef el número de grado de lbertad efectvo, dado por =, (5) 4 y ef 4 = endo,,, la ncertdumbre etándar de la varable de nfluenca y,,, u grado de lbertad correpondente Para entender el orgen del número efectvo de grado de lbertad, hay que conderar la etadítca T, utlzada para obtener el ntervalo de confanza (4) T y µ y µ = = = (6) S y S W ef Aquí, la etadítca Z tene una dtrbucón Normal etándar y la etadítca W S = / tene r Z ef y y aproxmadamente una dtrbucón j-cuadrada con grado de lbertad ef En ete cao, el número efectvo de grado de lbertad vene a er el parámetro de la ef dtrbucón j-cuadrada aocada a la ncertdumbre expandda, que e obtene como una combnacón lneal de la ncertdumbre,,,, de la medcone de la varable de nfluenca La expreón del número efectvo de grado de lbertad, e conoce como la aproxmacón de Welch- Satterthwate, que decrbmo en la guente eccón 3 APROIMACIÓN DE WELCH- SATTERTHWAITE W W W Sean,,,, varable aleatora ndependente e déntcamente dtrbuda como jcuadrada con r, r,, grado de lbertad 3

4 Smpoo de Metrología al 7 de Octubre repectvamente E un hecho conocdo [] que la uma W+ W + +W e dtrbuye tambén como j-cuadrada con r = r+ r + + r grado de lbertad Eta propedad de herenca de dtrbucón no e tene cuando, en lugar de una uma, conderamo una combnacón lneal de la varable aleatora La complcacón en la determnacón del número efectvo de grado de lbertad, e debe a que la ncertdumbre combnada y La lógca en el dearrollo de la aproxmacón, conte en uponer que la combnacón lneal + + +, tene aproxmadamente una dtrbucón j-cuadrada con un número de grado de lbertad que debemo determnar Para eto, procedemo ajutando una dtrbucón jcuadrada a la combnacón lneal, y etmamo u parámetro (grado de lbertad) por el método de momento Suponemo entonce, que la combnacón lneal e equvalente al cocente dado por una varable aleatora U dtrbuda j-cuadrada, dvdda entre U = a W e una combnacón lneal de la ncertdumbre de la varable de nfluenca S en lugar de una combnacón lneal, fuee una uma de térmno no correlaconado, entonce el número de grado de lbertad aocado a la ncertdumbre combnada era la uma de lo grado de lbertad de la varable de nfluenca Cuando la ncertdumbre combnada e una combnacón lneal de ncertdumbre, entonce la nformacón de cada una de ella dentro del total, tene un efecto modulado por la contante que multplca al térmno correpondente Eta combnacón no adtva de la nformacón proporconada por cada componente e lo que tenemo en la aproxmacón de Welch- Satterthwate u grado de lbertad, eto e, que y U = tenen la mma dtrbucón Eto e exprea como la relacón de equvalenca, Según el metodo de momento, para etmar el parámetro, gualamo lo do prmero momento de la varable que tenemo en ambo lado de la relacón de equvalenca anteror De eta forma obtenemo la ecuacone U E( ) = E( ), = (7) U E( ) ( = E ) = (8) Como la eperanza de una varable aleatora dtrbuda como j-cuadrada e gual a u grado de lbertad, y u varanza e do vece u grado de lbertad, entonce EU ( ) = [ ] VU ( ) = EU ( ) EU ( ) = De lo anteror obtenemo que U E( ) =, U E( ) = Suttuyendo eta eperanza en (7) y (8), obtenemo, E( ) = =, y (9) E( ) = = (0) De la ecuacón (9) no podemo deducr el valor de, olo obtenemo una retrccón para lo coefcente de la combnacón lneal Depejamo de la ecuacón (0) y obtenemo = () E( ) = De eta ecuacón obtenemo un etmador para el número de grado de lbertad, uttuyendo en el denomnador la eperanza del cuadrado de la combnacón lneal, por la combnacón lneal cuadrátca úncamente Aí tenemo, 4

5 Smpoo de Metrología al 7 de Octubre Suttuyendo ahora, la expreón (3) de la varanza ˆ = de la combnacón lneal, en la expreón () de ( ) = tenemo Ete etmador tene el nconvenente de que no puede dar valore negatvo, lo cual e nadmble Eta expreón para ˆ no condera la retrccón de lo coefcente de la combnacón lneal Eneguda conderamo una verón modfcada de ete etmador, ncluyendo la retrccón E( ) ( ) ( = V + E = = = ) V( ) E( ) = =, + = E( ) = y conderando de (9) que entonce V( ) = E( ) = = = E( ) E( ) =, = + Suttuyendo eto en la expreón () para, reulta E( ) = = V( ) = ] () Fnalmente, conderando que W, W,, W on varable aleatora ndependente dtrbuda como j-cuadrada, tenemo que ( ) ( ) = = V = a V W = [ = La últma gualdad e debe a que a E( W) [ ] VW ( ) EW ( ) / = (3) E( ) = = ( ) a = EW De eta expreón para lo grado de lbertad como funcón de eperanza de la varable aleatora, obtenemo u etmador ˆ, uttuyendo la eperanza por u obervacone, eto e, ( ) ˆ = = a = W (4) Eta aproxmacón obtenda en la década de lo 40, gue aún hoy endo de gran utldad, u uo e uttuye alguna vece por procedmento de mulacón para la determnacón de ncertdumbre expandda Cabe hacer notar que el procedmento de mulacón de obervacone de la varable de nfluenca, cuando éta etán correlaconada no e encllo La expreón (4) obtenda para etmar lo grado de lbertad concde con la expreón conocda para el número efectvo de grado de lbertad, depué de hacer la guente uttucone: a = ( f / x ), y W = Lo trabajo orgnale obre eta aproxmacón fueron dearrollado en forma ndependente por Welch [3,4,7] y Satterthwate [5,6] Ete problema e mlar al problema de nferenca para una dferenca de meda, cuando la varanza on deconocda y dferente Ete últmo problema conocdo en la lteratura etadítca como el problema de Behren-Fher [8], ha generado una polémca ntereante, y ha atraído la atencón de un gran número de etadítco, y por lo tanto e han propueto vara olucone dede dferente enfoque 4 RESTRICCIONES O LIMITACIONES El dearrollo de la aproxmacón de Welch- Satterthwate upone que la varable de nfluenca 5

6 Smpoo de Metrología al 7 de Octubre tenen dtrbucón normal y ademá on nocorrelaconada Eto upueto con frecuenca no e cumplen, ya que ademá de la dtrbucón normal, la dtrbucone unforme y trangular ntervenen como modelo de medcón de la varable de nfluenca ademá, la correlacón entre dcha varable en alguno cao e gnfcatva Frecuentemente, el upueto de no-correlacón no e cumple en la practca metrológca, ya que la medcone que e hacen de la dferente varable de nfluenca que ntervenen en un proceo de medcón, etán ujeta a un ambente común, lo cual genera una certa etructura de dependenca entre dcha varable M Ballco [9] compara la formula de Welch- Satterthwate con otro procedmento baado en ere de potenca utlzado para determnar la ncertdumbre expandda, y encuentra que la formula obreetma el número efectvo de grado de lbertad cuando una de la prncpale componente tene poco grado de lbertad Eto genera una ubetmacón del correpondente ntervalo de confanza, lo cual e aun ma notoro para alto nvele de confanza Una alternatva que e ha elegdo alguna vece para la determnacón de la ncertdumbre expandda o ntervalo de confanza, ha do la técnca de mulacón [0], tambén conocda como Monte Carlo Cuando la varable de nfluenca que e mulan on nocorrelaconada, ete procedmento e encllo, aun cuando e tengan dtrbucone dferente a la normal En cambo, la varable on correlaconada, el problema de mulacón en forma exacta e muy complcado, ya que e requere conocer la dtrbucón conjunta de la varable, lo cual no e fácl Exte oftware como por ejemplo, Crtal Ball [] y R [], que mulan obervacone de varable aleatora correlaconada, con cualquer conjunto de dtrbucone margnale, y con una relacón de correlacón defnda por el coefcente de correlacón por rango, guendo el procedmento de Iman y Conover [3] 5 CONCLUSIONES En ete artículo hemo comentado el concepto de grado de lbertad aocado a la determnacón de la ncertdumbre de medcón Se ha motrado el dearrollo de la aproxmacón de Welch-Satterthwte para obtener el número efectvo de grado de lbertad La etadítca de la ncertdumbre combnada no tene una dtrbucón j-cuadrada exacta, debdo a que en el numerador no tene una uma de cuadrado no una combnacón lneal de cuadrado Se han dcutdo lmtacone de eta aproxmacón, como on lo upueto de dtrbucón normal de la varable de nfluenca, aí como la no correlacón entre ella Ademá e ha comentado que una alternatva que e puede egur al evaluar la ncertdumbre de un proceo de medcón, cuando la varable de nfluenca on no-correlaconada, e la técnca de Monte Carlo Cuando e ua algún oftware para mular obervacone de varable correlaconada, e recomenda conocer el procedmento que dcho oftware gue para ntroducr la correlacón entre la varable, para etar eguro de que la correlacón que el oftware condera e la que nootro hemo determnado REFERENCIAS [] Gude to the Expreon of Uncertanty n Meaurement, Geneva, Internatonal Organzaton for tandardzaton, 993, ISBN [] Caella, G and Berger, R L, Stattcal Inference, Wadworth & Broo/Cole, Pacfc Grove, CA 990 [3] Welch, B L, The Specfcaton of Rule for Rejecton too Varable a Product, wth Partcular Reference to an Electrc Lamp Problem, Supplement to the Journal of the Royal Stattcal Socety, 3(), 936, 9-48 [4] Welch, B L, The Sgnfcance of the Dfference Between two Mean when the Populaton Varance are Unequal, 9, 938, Satterthwate,F E, Pychometra, 94, 6(5), [5] Satterthwate,F E, Pychometra, 94, 6(5), [6] Satterthwate,F E, An approxmate dtrbutón of etmate of varance component, Bometrc, Bull, (6), 946, 0-4 [7] Welch, B L, The generalzaton of Student problem when everal dfferent populaton varance are nvolved, Bometra 34, (947), 8-35 [8] Kendall, M and Stuart, A, The Advanced Theory of Stattc,, Vol II: Inference and 6

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