Fuerza de Casimir 1D en semiconductores excitónicos

Transcripción

1 upeficies Vacío 9(7- juio de 006 ociedad Mexicaa de Ciecia Tecología de upeficies Mateiales Fuea de Casimi D e semicoductoes excitóicos D Heáde de la u M odígue Moeo J Olvea Heáde Ceto de Ivestigacioes e Dispositivo s emicoductoes ICUP pdo Postal 65 Puebla Pue 7000 México G Heáde Cocoleti Istituto de Física Uivesidad utóoma de Puebla pdo Postal J-48 Puebla Pue 7570 México (ecibido: 9 de mao de 006; ceptado: 7 de mao de 006 e peseta cálculos de la fuea de Casimi uidimesioal ete placas paalelas semicoductoas excitóicas o locales homogéeas o homogéeas os efectos o locales se geea po las tasicioes excitóicas = B = e Cd a fuea se calcula e el caso homogéeo como ua fució de los espesoes de las placas d = d = d del acho de la egió de vacío ete ellas simismo paa el caso ihomogéeo se cosidea placas costuidas po supeedes semiifiitas co celda uitaia semicoducto-aislate siedo la fuea fució del peiodo de supeed d = d d del acho de sepaació a fuea de Casimi e el caso o local siempe es más gade paa el excitó = lo cual coespode a la tasició excitóica de meo eegía Palabas claves: Fuea de Casimi tasicioes excitóicas efectos o locales supeedes We peset oe-dimesioal calculatios of the Casimi foce betwee homogeeous ad ohomoge-eous paallel olocal excitoic semicoducto slabs No local effects ae geeated b = ad B = excitoic tasitios i Cd The foce is calculated i the homogeeous case as a fuctio of the slab thickesses d = d = d ad the vacuum gap width betwee the slabs I the ohomogeous case the slabs ae made up of semiifiite supelattices with a excitoic semicoducto-isulato uit cell i such case the foce is a fuctio of the supelattice peiod d = d d ad The o local Casimi foce fo the = excito which coespods to the lowe excitoic tasitio eegies is alwas geate Kewods: Casimi foce excitoic tasitios olocal effects supelattices Itoducció E 948 Hedick Casimi [] demostó que cuado dos placas coductoas eutas se coloca paalelamete e el vacío ha ua fuea atactiva ete ellas popocioal al iveso de la cuata potecia de la distacia de sepaació Esta fuea se puede compede como poveiete del cambio e la eegía electomagética del puto ceo de las fluctuacioes del vacío cuático Ota foma de ve el oige de la fuea es que poviee de la pesió de adiació: de los modos electomagéticos e el estado fudametal exteioes a las placas que empuja a éstas ua a ota mietas que esta fuea o está completamete balaceada po la pesió de adiació de los modos cofiados e la egió iteio de las mismas Ho e día se muesta u ga iteés po la fuea de Casimi tato teóica como expeime-talmete a habilidad paa medi fueas ta pequeñas e el ago de picoewtos (pn [] ha pemi-tido estudia los efectos de esta tipo de fueas que so elevates e la escala micomética aomé-tica Difeetes autoes ha epotado medicioes de alta pecisió usado dispositivos tales como mi-coscopios de fuea atómica balaas de tosió osciladoes micomecáicos otos más [] a exactitud de estos expeimetos obliga a cosidea ua caacteiació óptica completa de los mateiales tal como su fució de espuesta dieléctica Geealmete se usa ua fució local de-pediete sólo de la fecuecia ε (ω [4] i embago divesos factoes puede iflui e la espuesta óptica del sistema po lo que puede se ecesaio ua fució de espuesta dieléctica espacialmete dispesiva o o local depediete del vecto de oda ε ( ω q paa ua descipció óptica coecta del mateial El efecto de la o localidad e la fuea de Casimi se ha exploado usado el modelo hidodiámico ete placas metálicas [5] Otos estudios e la fuea de Casimi que iclue la o localidad se ha ealiado debido al efecto ski aómalo placas metálicas co ecubimieto esal-tado ua educció pocetual e su valo especto al caso local [6] E este epote cosideamos placas paalelas semicoductoas co ua fució de espuesta dieléctica o local Calculamos la fuea de Casimi tomado e cueta las dos tasicioes excitóicas = B = e Cd [7] mbas tasicioes equiee catidades difeetes de absoció de eegía de los campos electomagéticos paa su geeació po tato puede cambia el compotamieto de la fuea de Casimi po lo que u estudio compaativo de ambas tasicioes excitóicas esulta de ga iteés Itoducimos los efectos excitóicos a tavés de ua fució de espuesta depediete de la fecuecia del vecto de oda ε ( ω q Cálculos uidimesioales (D de la fuea se ealia paa placas homogéeo e ihomogéeas dode la ifluecia de las tasicioes excitóicas modifica sesiblemete sus popiedades ópticas [7] e cosecuecia la itesidad de la fuea de Casimi po 7

2 upeficies Vacío 9(7- juio de 006 ociedad Mexicaa de Ciecia Tecología de upeficies Mateiales ε(ωq ε(ωq depede fuetemete de estas popiedades El picipal iteés e calcula la fuea de Casimi D e ua pimea apoximació es que ella peseta las caacteísticas eseciales del efecto Casimi esto es epoduce la atualea atactiva de la fuea coespodiete al sistema de placas paalelas [8] Este epote se ogaia como sigue: e la secció se peseta el fomalismo e la secció se peseta los esultados su discusió así como las coclusioes Fomalismo X d Z Figua epesetació esquemática del sistema placas paalelas de espeso d que se descibe a tavés de la fució dieléctica ε ( ω q Ua egió de vacío de acho sepaa las placas ea dos placas a = paalelas al plao x- e la egió de vacío sepaadas po ua distacia a lo lago de la diecció co foteas iteas e = 0 = como se muesta e la Figua Cosideemos que las placas tiee simetía taslacioal so isotópicas deto del plao x- además so idéticas ua a ota co u espeso fiito e quiee descibi los campos electomagéticos e el vacío tomado e cueta los modos excitóicos geeados e las placas os detalles de las iteaccioes de los excitoes co los campos está icluidos e las amplitudes de eflexió a ( a = las cuales está detemiadas a tavés de las impedacias de supeficie expesadas po [78] a Z a Z 0 = ( Z Z a 0 X Z Figua Geometía del sistema paa el caso placas ihomogéeas fomadas po supeedes semiifitas co celda uitaia semicoductoaislate a capa semicoductoa tiee ua fució dieléctica o local ε ( ω q el aislate ua local ε (ω El peiodo de la supeed es d = d d d d quí Z a está defiida como la aó E a / H a de las compoetes paalelas de los campos eléctico magético evaluada e la a-ésima iteface que debeá calculase paa el sistema de placas paalelas además Z 0 = q / k es la impedacia de supeficie del vacío q = k es la compoete omal del vecto de oda e el vacío co q = q = ω / c dode ω es la fecuecia c es la velocidad de la lu E sigo de k se elige de tal maea que q se popague (decaiga cuado se icemete a ecuació ( se aplica paa estudia sistemas abitaios Paa exploa los efectos o locales e la fuea de Casimi cosideemos la ifluecia de las tasicioes excitóicas = B = e Cd como u mateial de iteés la fució de espuesta die-léctica ε ( ω q popia paa cada tipo de tasició Paa B = las eegías de los excitoes ceca de ua tasició excitóica e la pesecia de u desdoblamieto lieal e q de la bada de eegía [79] so = W ( q h ω ( q = hωt h q / m φq ( dode h ω T = W (0 m es la masa del excitó φ es el paámeto del desdoblamieto de bada del excitó Paa este caso el modelo de la fució dieléctica es 8

3 upeficies Vacío 9(7- juio de 006 ociedad Mexicaa de Ciecia Tecología de upeficies Mateiales 00 excitó excitó B πβωt πβωt ε ( ω q = ε 0 ( ω ( q ω iνω ω ( q ω iνω 05 F/F i d = 05 μm medios semiifiitos d = 05 μm (μm Figua Fuea de Casimi como ua fució del acho de la becha de vacío los espesoes de las placas d = 005μm d = 05μm medios semiifiitos ( d ; tomado e cueta las tasicioes excitóicas as líeas cotiuas epeseta la fuea de Casimi del excitó = las discotiuas las del excitó B = 0 00 E- E- excitó B E-4 E-5 = 5 μm = 05 μm = 5 μm = 0 μm = 05 μm = 0 μm excitó d (μm Figua 4 Compaació de la fuea de Casimi local o local paa los dos tipos de tasició excitóica a tavés de = ( F loc Floc / Floc como ua fució del espeso de las placas d paa tes achos de sepaació ete ellas e obseva ua mao difeecia e el valo de las fuea paa espesoes delgados de las placas aquí ε 0 es la costate dieléctica de fodo πβ es la fuea de oscilado del excitó si desdobla-mieto ν es la fecuecia de amotiguamieto feomeológica Po oto lado paa la tasició excitóica = el modelo de la fució dieléctica está dado po [0] ω p ε ( ω q = ε 0 (4 ω Dq ω iνω T dode ε 0 es la costate dieléctica de fodo D = h ωt /( me mh co m e m h las masas efectivas del electó hueco además ν la fecuecia de amotiguamieto feomeológica h ωt le eegía de fomació del excitó os modos tasvesales de polaitó excitó geeados deto del semico-ducto satisface la elació de dispesió ε ( ω q = c q / ω paa icidecia omal Co esta ecua-ció usado la fució dieléctica apopiada paa cada tasició excitóica obteemos los campos electomagéticos popagádose deto de las placas semicoductoas Paa el excitó B = ha seis modos tasvesales e cada placa de los cuales tes viaja hacia delate tes hacia atás os campos idepedietes paa costui la mati de tasfeecia so E H x P ( P ( que expesados e témios de las amplitudes E de los modos tasvesales que viaja a la deecha ( la iquieda ( se escibe como = iq iq E ( = ( E e E e (5 x = iq iq H ( = Y ( E e E e (6 P ( iq = iq = χ ( E e E e (7 iq = iq P ( = iq χ ( E e E e (8 / co χ = γ Ω ( q γ = βω T / Ω = ω ( q ω iνω quí Y = / Z es la admitacia de su-peficie Z = q0 / q es la impedacia de supeficie co q 0 = ω / c el vecto de oda e el vacío Escibiedo las ateioes ecuacioes e foma maticial 9

4 P ( = P P ( ( upeficies Vacío 9(7- juio de 006 EFECTIVIDD ω Τ ω Τ ω Τ o-local local d = 005 µm d = 05 µm medios sem iifiitos ENEGI (ev Figua 5 Cuvas de eflectividad paa la tasició excitóica B = paa difeetes espesoes d de las placas semicoductoas os efectos impotates de las tasicioes se da e la vecidad de la eegía del excitó h ωt e compaa los espectos de eflectividad paa el caso o local ( ε = ε ( ω q local ( ε = ε (ω ociedad Mexicaa de Ciecia Tecología de upeficies Mateiales F P( = G (9 P( E dode P ( F = P ( = H x P ( iq E e = a mati G está dada po iq E e Y Y Y Y Y Y χ χ χ χ χ χ G = χ χ χ χ χ χ iqχ iqχ iqχ iqχ iqχ iqχ iqχ iqχ iqχ iqχ iqχ iqχ (0 os campos e las foteas iquieda deecha = de las placas satisface la ecuació F F P( = M P( ( P( P( Z Z F/F i 0 00 ( (μm ( excitó excitó B E ( (μm Figua 6 Fuea de Casimi paa placas siméticas fomadas po supeedes semiifiitas icluedo los efectos de dispesió espacial debido al excitó = B = e la capa excitóica de Cd e cosidea tes peiodos de supeed d = d d : ( d = 0008μm d = 0μm ; ( d = 005μm d = 0μm ( = 00μm 0μm d d = E la gáfica isetada se muesta la vaiació = ( F loc Floc / Floc paa las tes cuvas co los mismos paámetos paa cada tasició excitóica 00 E- E-4 E-5 E- E-4 E-5 E-6 ( ( ( ( ( ( excitó excitó B quí M = GT ( d G es ua mati de tasfeecia de 6x6 d es el espeso de la placa iq iq iq iq iq iq T ( d = diag( e e e e e e es ua mati diagoal os campos E H x P ( P ( e el volume so idepedietes peo e la supeficie se elacioa uo a oto a tavés de las codicioes adicioales a la fotea (CF de las codicioes de fotea de oige electomagético E este epote tomamos las (CF s de la siguiete foma [ P P α ] = 0 [0] dode P es la deivada omal aputado hacia fuea de la supeficie α u paámeto tavés de aplica las (CF s es posible colapsa la mati de 6x6 a ua de dimesió x Paa las tasicioes excitóicas = teemos cuato odas popagádose de las cuales dos viaja e diecció hacia delate dos hacia atás los campos ahoa so E H x P P iguiedo u poceso simila al ateio llegamos a ua mati de tasfeecia M = GT ( d G de dimesió 4x4 la cual se puede educi a ua mati de x como e el caso ateio [7 0] Fialmete la impedacia de supeficie Z a = E ( a / H x ( a a = ( = 0 = se puede de-temia paa ambos casos así como tambié la eflectividad usado la ecuació ( Desaollemos ahoa el fomalismo paa el caso de ua supeed excitóica semiifiita fomada de capas 0

5 upeficies Vacío 9(7- juio de 006 alteadas de u aislate de costate dieléctica ε espeso d de u semicoducto excitóico co espuesta dieléctica ε ( ω q espeso d Figua a mati excitóica deotada po M = M satisface la elació F( = M F( ( dode epeseta las supeficies deecha e iquieda de la capa semicoductoa co = d la mati es de dimesió x po lo que se puede usa las (CF s las codicioes de cotiuidad de las compoetes tageciales E H paa obtee la mati de tasfeecia de u peiodo de supeed quí la mati M es la mati geeal tato paa polaiació como P [7] a mati de tasfeecia del aislate foma cos( q d M = α iy se( q d iz α se( q d se( q d M = M tiee la ( dode α = P ( coespode a la polaiació P (- a la De las codicioes de la iteface se-micoductoaislate se puede obtee que F( = F( además de las ecuacioes maticiales F( = M F( F( = M F( se obtiee [0] F( d = M M F( = MF( (4 dode d = d d es el peiodo de la supeed Usado el teoema de Bloch paa expesa F ipd ( d = e F ( (5 co p el vecto de oda uidimesioal podemos escibi la ecuació ( M e ipd F( = 0 de aquí se obtiee que p satisface / (6 T( M e ipd = T( M ( (7 dode se ha usado que det( M = además T ( M = M M [0] Fialmete la impedacia de supeficie paa la supeed semiifiita es ipd α M M e Z a = = (8 ipd M e M ociedad Mexicaa de Ciecia Tecología de upeficies Mateiales paa α = P Paa el caso local se sustitue la mati M po la mati local coespodiete local M Paa el cálculo de la fuea de Casimi usamos la expesió cosideado úicamete la coti-bució de los modos e el vacío co vecto de oda k pepedicula a las placas [8] 4 hkc F = dk π ik 0 e (9 co los coeficietes de eflexió de las placas la sepaació ete ellas Esta expesió es apli-cable si impota la atualea de las placas (homogéeas ihomogéeas locales o locales etc E el límite la fuea de Casimi ete dos placas coductoas pefectas se ecupea co el valo ideal F i = πhc /( esultados discusió E esta secció mostamos los esultados la fuea de Casimi co efectos o locales paa pla-cas homogéeas co espesoes d = d = d paa el caso ihomogéeo dode las placas se foma de supeedes semiifiitas co celda uitaia semicoducto excitóico (Cd-aislate (aie co ε = El cálculo se ealia tomado e cueta e foma idepediete las tasicioes excitóicas = B = os paámetos paa el excitó B = so [9]: ϕ = 56 0 evm h ν = 75 0 ev m = m0 ω T = 07cm ε 0 = 7 β = Paa el excitó = [0]: ε 0 = 9 h ωt = 557eV ω = 0 5 P ω T 5 6 D = c ν = s Paa detemia las eflectividades de las placas aplicamos las codicioes adicioales a la fotea de Peka paa la polaiació excitóica lo que coespode a toma α e la ecuació de las (CF s os esultados se peseta e témios de la fuea elativa F = F / F i de tal foma que el caso ideal coespode cuado F = Exploamos los efectos o locales e la fuea de Casimi vaiado el espeso d de las placas el acho de la egió de vacío el peiodo de supeed paa am-bas tasicioes excitóicas as cotibucioes excitóicas impotates a la fuea de Casimi se da ceca de la eegía de tasició h ω dode paa el excitó = coespode a h ωt = 557eV paa el excitó B = h ωt = 56806eV a Figua muesta la fuea elativa tato paa el excitó = (cuva cotiua como paa el B = (cuva discotiua os cálculos so paa d = 005μm T

6 upeficies Vacío 9(7- juio de 006 d = 05μm medios semiifiitos esalta ua caacteística impotate paa placas mu delgadas la fuea de Casimi se desvaece e el límite cuado 0 además muesta u pico agudo paa 0μm el cual desapaece al icemetase el espeso de las placas Po aiba de este valo de la fuea empiea a decece moótoamete al aumeta uque ambas cuvas de fuea cotiua discotiua peseta u compotamieto simila ellas difiee e magitud esultado ua fuea más itesa paa la ta-sició excitóica = como ua cosecuecia de que se equiee ua meo eegía paa la tasició = que paa la B = Paa medios semifiitos ( d F se satua alcaado la fuea de Casimi la misma depedecia fucioal co como e el caso ideal os múltiples modos polaitó excitó geeados e las placas o locales dismiue las eflectividades e la vecidad de la tasició excitóica ω T (ve Figua 4 a Figua 5 muesta la difeecia de fueas compaado el caso local ( ε = ε (ω despeciado q q o local ( ε = ε ( ω q vía = ( F loc Floc / Floc vaiado los paámetos d e obseva e el pael supeio los efectos de las tasicioes = dode los valoes positivos de idica que la fuea local es mao habiedo difeecias hasta del ode de 5% paa placas co espesoes mu delgados ( d 0μm achos de sepaació 5μm Paa las tasicioes B = (pael ifeio sigue u compotamieto simila excepto que las difeecias e el valo de las fueas se educe e u ode de 0 a Figua 6 coespode a la fuea elativa paa el caso de placas fomadas po supeedes semiifiitas e fució de del peiodo de supeed d haciedo vaia el espeso de la capa excitóica d mateiedo fijo el del aislate d (aie co ε = El icemeto e d modula la itesidad de la fuea e icemeta el valo de la misma El mao úmeo de modos tasvesales polaitó excitó paa las tasicioes excitóicas B = e elació a las = maca ua difeecia de fueas apoximadamete costate excepto a distacias de sepaació pequeñas dode ésta se educe a ceo Deto de la misma gáfica se iseta la gáfica que muesta la compaació de la fuea local o local a mao difeecia e las fueas es del ode de 5% se da paa la tasició = el pael ifeio coespode a las tasicioes B = co u compotamieto simila a las tasicioes = excepto que las maoes difeecias so del ode de 00% Coclusioes Hemos estudiado la fuea de Casimi ete dos placas paalelas siméticas homogéeas o homogéeas co ociedad Mexicaa de Ciecia Tecología de upeficies Mateiales semicoductoes excitóicos cosideado las tasicioes = B = e Cd Paa exploa los efectos o locales e la fuea de Casimi se ha utiliado ua fució de espuesta die-léctica depediete de la fecuecia del vecto de oda paa descibi las tasicioes excitóicas Paa ealia el cálculo uidimesioal de la fuea se obtiee las amplitudes de eflexió de las placas e icidecia omal de las odas electomagéticas e la egió de vació ete las placas os esultados muesta que la fuea es sesible al acho de sepaació de las placas al espeso de las mismas así como al peiodo de supeed a cotibució impotate o local a la eflectividad po ede a la fuea se da e la vecidad de la tasició excitóica dode la itesidad de la fuea se ve modificada geeado difeecias ete los valoes de la fuea local o local siedo éstas maoes paa placas delgadas gadecimietos Este tabajo fue apoado po el Posgado e Dispositivos emicoductoes del CID-IC-BUP po la VIEP- BUP a tavés del poecto 5/EXC/06-I efeecias [] H B G Casimi Poc K kad Wet mstedam 5 79 (948 H B G Casimi Poc of the oal Nathelad cadem of ts ad cieces choohove M (eds mstedam 6 (997 Doota Kupisewska Ja Mostowski Phs ev (990 [] H B Cha V ksuk N Kleima D J Bishop Fedeico Capasso ciece 9 94 (00 B W Hais F Che V Mohidee Phs ev (000 [] K amoeaux Phs ev ett 78 5 (997 H B Cha V ksuk N Kleima D J Bishop F Capasso Phs ev ett (00 K amoeaux ep Pog Phs 68 0 (005 [4] ea Matloob Hossai Faliejad Phs ev (00 M Bodag B Gee G Klimchitskaa V M Mostepaeko Phs ev ett (000 B Gee G Klimchitskaa V M Mostepaeko 7 Phs ev D (005 [5] a Maía Cotea-ees W uis Mochá Phs ev (005 [6] Esquivel-ivet V B vetovo Phs ev B (005; Phs ev (004 [7] P Halevi Olivie B M Hadoui Dupac Maadudi F Wallis Phs ev B 6 78 (987 Gegoio H Cocoleti W uis Mochá uf ci epots 57 (005 [8] Esquivel ivet C Villaeal W Mochá G H Cocoleti Phs tat ol (b (00; Phs ev (00 [9] P Halevi Olivie B M Hadoui Dupac Maadudi F Wallis Phs ev B 6986 (985 G D Maha J J Hopfield Phs ev B 5 48 (964 [0] G H Cocoleti W uis Mochá Phs ev B (989