TEMA 19. ESTRUCTURA ATÓMICA.

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1 Tema 9. Segudo Cuatimeste. Estuctua Atómica. Física Geeal TEMA 9. ESTRUCTURA ATÓMICA..- Itoducció. Hoy e día se cooce más de elemetos difeetes. Cada elemeto viee epesetado po u átomo (αθοµοσ, idivisible) co u úmeo de potoes Z, igual al úmeo de electoes, más u úmeo N de eutoes. Se deomia úmeo atómico del elemeto a Z, mietas que la suma Z+N=A, epeseta su úmeo másico. Ruthefod, mediate u expeimeto e el que bombadeaba los úcleos co patículas α, demostó que los átomos estaba costituidos po u ga espacio vacío, co u úcleo muy masivo y deso, e el que se cocetaba pácticamete toda la masa del átomo (dode se ubica los potoes y eutoes), y ua evoltua de electoes que está e u espacio 5 ódees de magitud el tamaño del úcleo (image de la plaza de toos ). El úcleo tiee u tamaño del ode del Femi ( fm = -5 m), mietas que el átomo (tamaño de la evoltua de electoes) es del ode del Agstom, ( = - m). E la física clásica, cuado estudiamos las patículas o los sistemas, ya sea libes o ligados, po ejemplo u plaeta alededo del Sol, o se ha ecotado igua esticció sobe los posibles valoes de su eegía, que puede toma e geeal, u cotiuo de valoes. Po el cotaio, el estudio de la absoció y emisió de adiacioes po pate de los átomos, evela que los posibles valoes de la eegía paa los sistemas atómicos está cuatizados, es deci, úicamete puede toma valoes discetos, claamete defiidos. Además, existe otas magitudes cuatizadas, como po ejemplo el mometo agula. os picipios de cuatizació, jutamete co el picipio de exclusió, os va a pemiti explica muchas de las popiedades del mudo micoscópico, como la estuctua y la estabilidad de los átomos, e icluso estos picipios tiee aplicacioes al ivel macoscópico, como e la explicació de la estuctua de badas de los metales.. Niveles de eegía. a mecáica clásica es capaz de descibi a la pefecció sistemas ligados como u plaeta alededo del Sol, y paece atual que hagamos su extapolació al mudo micoscópico. Dado que u átomo, como po Si hiciéamos 3 veces más gade u átomo, ecotaíamos que es apoximadamete como ua plaza de toos e la que el úcleo e el ceto tedía el tamaño de ua pelota de teis y los electoes seía como las moscas que evolotea po las gadas.

2 Tema 9. Segudo Cuatimeste. Estuctua Atómica. Física Geeal ejemplo el de 4 He se compoe de u úcleo cagado muy pesado y dos electoes, cagados y muy ligeos, que costituye su evoltua electóica, es omal supoe que éstos obite alededo del úcleo, de la misma maea que lo hace los plaetas e u sistema sola, co cualquie valo de su eegía. Si embago, el estudio de los átomos mediate sus espectos de emisió y absoció, puso de maifiesto que los átomos y las moléculas solamete puede tee detemiados valoes discetos de eegía y mometo agula. Se tata de sistemas cuatizados, que e geeal solo se peseta e la atualeza e u estado detemiado: así, los átomos de 56 Fe, e la atualeza, so idistiguibles ete ellos, y tiee la misma eegía (si se aplicaa el modelo clásico, cabía espea ifiitos valoes de eegía, atediedo a las ifiitas óbitas clásicas posibles de los electoes, y los átomos seía distiguibles, o idéticos). os difeetes valoes discetos de la eegía que puede tee los átomos ecibe el ombe de iveles de eegía y su valo más bajo, que epeseta el estado e el que habitualmete se ecueta el sistema e la atualeza, ecibe el ombe de estado fudametal.. Espectos de emisió y de absoció : A tempeatua ambiete los átomos y las moléculas se ecueta e su estado fudametal, y los feómeos témicos omales o tiee suficiete eegía paa pemiti cambios e su estado de eegía. Ahoa bie, e el iteio de u hoo a elevada tempeatua po ejemplo, los átomos puede absobe adiacioes o ealiza choques ete ellos, de maea que alguos átomos puede pasa a estados de eegía supeio, es deci: ocupa los iveles de eegía supeio o iveles excitados. Figua 33.. Espectoscopio de Kichoff. Descomposició de la luz visible. Espectos del H, He, Ba, y Hg. Cada especto es caacteístico del átomo. Al iicio del siglo XX se había ecopilado u ga úmeo de datos de emisió lumiosa de átomos que había sido excitados mediate descagas elécticas.

3 Tema 9. Segudo Cuatimeste. Estuctua Atómica. Física Geeal Cuado los átomos excitados (iestables), vuelve a su estado fudametal, lo suele hace mediate la emisió de adiació (fotoes), que al se aalizada esulta se de fecuecias discetas, y que epeseta el especto de emisió del átomo. El especto de absoció es el feómeo cotaio: el átomo absobe cietas fecuecias discetas de la adiació a la que se le somete, y como esultado se excita. os espectos de emisió y absoció coicide y cada elemeto atómico tiee su especto caacteístico, difeete de oto elemeto. os espectos de absoció y emisió atómicos (moleculaes, ucleaes, etc.) demuesta que los sistemas cuáticos solamete puede tee detemiados valoes de eegía y mometo agula, es deci, sus valoes está cuatizados (figua 33.). as adiacioes obsevadas, que suele esta e el ago del visible y puede llega al ago de los ayos X, epeseta la difeecia de eegía E ete dos iveles eegéticos del elemeto, de maea que E=hf es la eegía absobida o emitida e la tasició atómica, eegía que es taspotada po el fotó.. Patícula cofiada e ua caja. Este es u ejemplo secillo que ilusta los esultados de la cuatizació de la eegía paa u sistema ligado y es ua situació coceptualmete simila a la de u electó cofiado e el espacio estigido de u átomo, o u potó e el úcleo. Sea ua patícula de masa m, cofiada e ua caja moodimesioal de logitud. Ua patícula clásica ebotaía e las paedes y podía tee cualquie valo de eegía y mometo. Ahoa bie, la popiedad odulatoia de las patículas, co su fució de oda ya itoducida os poe de maifiesto el esultado de cuatizació, debido a que úicamete las odas estacioaias so posibles e u espacio de cofiamieto. Así, la fució de oda debeá cumpli: ψ = paa x y x e paticula, la fució de oda se aula e x=, y x=, los putos extemos de la caja tal y como lo hacía ua oda estacioaia e ua cueda, fijada po sus extemos (figua 7.). as coclusioes so las mismas: solo cietas logitudes de oda estaá pemitidas: aquellas que cumpla la codició de esoacia de las odas estacioaias, es deci: 3

4 Tema 9. Segudo Cuatimeste. Estuctua Atómica. Física Geeal ( h/ λ ) λ p h = E = = = = E m m 8m dode hemos usado la elació de De Boglie, paa las patículas: λ=h/p y =,,3... Figua 7.. U electó cofiado e ua caja (de potecial) debe cumpli e su fució de oda, la codició de las odas estacioaias, tal y como lo hace las odas mateiales sobe ua cueda, fijada po sus extemos. Figua 7.. Niveles eegéticos pemitidos paa ua patícula e ua caja. Cuatizació de la eegía paa sistemas cofiados. Obsévese que la eegía del estado fudametal es E, y vale: h E = 8m Uo de los esultados iteesates de este ejecicio es el que se deomia la eegía del puto ceo: ua patícula cofiada e ua egió del espacio posee ua eegía míima, ecesaiamete distita de ceo, que debe se compatible co el picipio de icetidumbe. Así, a medida que la egió de cofiamieto es más estecha, mayo es la eegía del puto ceo, o estado fudametal, que como se ve cumple: E /. A pesa de la secillez del ejemplo, este os pemitiá ejemplifica lo que pasa e los sistemas cuáticos cofiados. a patícula se ecueta omalmete e su estado fudametal E. Puede pasa a ecotase e uo de los estados excitados absobiedo eegía; posteiomete se desexcitaá emitiedo eegía de uevo (ve la flecha de la figua 7.). El picipio de cosevació de la eegía os da las caacteísticas de la adiació emitida e la desexcitació: la fecuecia del cuato de eegía o fotó, vale: 4

5 Tema 9. Segudo Cuatimeste. Estuctua Atómica. Física Geeal hf = E i E f c hc λ = = f E Coclusioes y coceptos Estado fudametal y iveles excitados. Cuatizació de la eegía co sólo dos igedietes: fució de oda cofiada y elació de De Boglie. Fució de oda ula fuea de la caja 3 y e los extemos. Eegía del puto ceo, compatible co el picipio de icetidumbe. Explicació coceptual de los espectos de emisió y absoció..3 Fucioes de oda. as fucioes de oda de ua patícula e ua caja, se obtiee mediate la esolució de la ecuació fudametal de la mecáica cuática, o la ecuació de Schödige (que se veá e el futuo). Si embago, po el paalelismo ete la cueda fijada po los extemos y la patícula cofiada e la caja, o es de extaña que la foma matemática de las fucioes coicida, hasta cieto puto. Así: dode k ψ πx () x = A si ( k x) = A si = π/ λ k = π/. Dado el setido de desidad de pobabilidad que colleva el cuadado de la fució de oda, es evidete que si sabemos que la patícula está cofiada e la caja, la pobabilidad de ecotala e el iteio al hace u expeimeto coecto seá de la uidad (%). Así, podemos escibi la deomiada codició de omalizació de la fució de oda como: + x ( ) dx A si π ψ = dx= Codició de omalizació: pobabilidad Que la podemos usa paa obtee el valo de las costates A que acompaña a las fucioes de oda. Así, se obtiee, itegado: 3 Obsévese que la fució de oda fuea de la caja ha de se ula, dado que las paedes de potecial so ifiitas. Si e luga de la caja, tatáamos co u pozo de potecial, de paedes fiitas, debeía existi fució de odas fuea del pozo, como lo exige el efecto túel. 5

6 Tema 9. Segudo Cuatimeste. Estuctua Atómica. Física Geeal A = ψ = si πx que epeseta la escitua coecta de la fució de oda de ua patícula e ua caja de potecial ifiito. 3. El modelo de Boh paa el átomo de hidogeo 4. N. Boh e 93, y mietas tabajaba co E. Ruthefod, popuso u modelo de átomo de hidógeo clásico co igedietes cuáticos secillos, que sevía paa pedeci co éxito los espectos atómicos discotiuos obsevados. E este modelo, el electó se mueve e óbitas ciculaes o elípticas, pedichas po la mecáica clásica, alededo del úcleo masivo, y la fueza de atacció es la de Coulomb, tal y como lo hace los plaetas alededo del Sol, peo sometidos a ota fueza cetal: la fueza de la gavedad. Figua E el modelo de Boh, u electó ealiza ua óbita cicula de adio alededo del úcleo, sometido a la fueza cetal de Coulomb y atactiva: F = 4πε Ze ésta es la fueza cetípeta que matiee al electó e la óbita y ligado al úcleo. a eegía potecial del electó, eligiedo como oige de poteciales =, puede escibise como: ( Ze)( e) qq U = = 4πε 4πε 4πε Aplicado la seguda ley de Newto F=ma: Ze v = m Ec = mv = 4πε 4πε elació que os dice que la eegía ciética, así como la potecial, decece (e valo absoluto) co el adio. De hecho: Ze Ze 4 El alumo debe ecoda las popiedades de las fuezas cetales, su defiició y las cosevacioes que se deduce, e paticula la del mometo agula. 6

7 Tema 9. Segudo Cuatimeste. Estuctua Atómica. Física Geeal U E c que es u esultado geeal paa todos los campos de fuezas cetales del tipo /, como tambié el gavitatoio. a eegía total, suma de la ciética y potecial, la escibiemos como: E Tot = E c + U = 4πε Ze Ze E Tot 4πε El valo egativo de la eegía total tiee el clao sigificado de la patícula ligada, al habe seleccioado el oige de potecial e el ifiito (patícula libe). Es iteesate calcula la elació ete el mometo agula y el adio de las posibles óbitas, paa el átomo de hidógeo (Z=): = mv = me Z = 4πε 4πε m me Auque se cumple la codició de la estabilidad mecáica e el modelo, el electomagetismo clásico pedice si ambigüedad que las patículas sometidas a aceleació (como la cetípeta de Coulomb) ecesaiamete adia eegía, po lo que la óbita del electó iía educiédose hasta colapsa, cayedo sobe el úcleo: dificultad adicioal gave del modelo. Ze 3. Postulados de Boh. Boh itodujo po pimea vez paa explica u átomo (el de H), coceptos cuáticos, como: as óbitas ciculaes clásicas so eemplazadas po cietas óbitas (estados) estacioaias, co eegía fija y costate, si adiació de eegía, e cota de lo que ocue e el electomagetismo clásico. E cosecuecia la eegía está cuatizada. os valoes de la eegía de los estados estacioaios, se calcula paa óbitas ciculaes impoiedo la codició de que el mometo agula se ecueta cuatizado e uidades eteas de!. =!, co =,,3... a ecuació ateio epeseta la codició de cuatizació de Boh, y es el úmeo cuático picipal de la óbita. a codició de 7

8 Tema 9. Segudo Cuatimeste. Estuctua Atómica. Física Geeal cuatizació de Boh del mometo agula 5, coduce iexoablemete a la cuatizació de la eegía, como coespode a u campo cetal, (y, clao está, tambié a la cuatizació de los adios posibles): E (! ) = 4πε a = 4πε = me me e 8πε m e 4πε! 3.6eV Ecuació que pedice co ga exactitud los iveles de eegía E de los estados estacioaios del átomo de hidógeo.(figua 37.4) E estas expesioes esaltamos: a) la defiició de adio de Boh, a, que coespode al adio de la óbita co =: a! = me /4πε =.53 que coicide e ode de magitud co el tamaño del átomo de hidógeo. m Figua 37.4 Diagama de los iveles eegéticos del átomo de hidógeo, pedicho po el modelo de Boh. Puede obsevase difeetes seies de tasicioes de adiació, asociadas al úmeo picipal. El estado fudametal coespode a ua eegía del electó de 3.6 ev. os estados que se obtiee co =, 3,...so los iveles excitados. Paa eegías positivas se obtiee el especto cotiuo. b) la pedicció coecta del especto de emisió de adiacioes paa el átomo de hidógeo, que se ve e la figua Este postulado es equivalete a impoe la codició de odas estacioaias sobe la tayectoia cicula del electó. Paa que la itefeecia o sea destuctiva, la cicufeecia debe cotee u úmeo eteo de logitudes de oda. Así, cosideado la elació de De Boglie λ=h/p: π p = = = λ!! 8

9 Tema 9. Segudo Cuatimeste. Estuctua Atómica. Física Geeal Ejecicio: Calcula el valo del adio de Boh y el valo de 3.6 ev de la fómula de los iveles eegéticos, usado los valoes de las costates (véase las tablas de datos. ) 3. Rayas espectales. a figua 37.4 muesta los iveles eegéticos pedichos po el modelo de Boh paa el átomo de hidógeo. a coicidecia co los datos expeimetales es espectacula. as flechas idica las posibles tasicioes de desexcitació coespodietes al especto de emisió: la eegía taspotada po los fotoes es la difeecia de eegía ete los dos iveles de la tasició: hf = E i E f c hc λ = = f E E i f Ei E = λ hc f = R i f Fómula de Rydbeg 3.3 Fómula de Rydbeg a fómula ateio, tomada diectamete del modelo de Boh, pedice co total exactitud los espectos del átomo de hidógeo, y ya había sido detemiada empíicamete po Rydbeg. a costate de Rydbeg R toma el valo: R m e = = hc 4πε!.974x A pesa de la espectacula coicidecia ete las pediccioes de los iveles eegéticos del hidógeo, y e cosecuecia de las ayas espectales hechas po el modelo de Boh, o había igú tipo de justificació teóica paa postula los estados estacioaios y la cuatizació del mometo agula. Además la aplicació del modelo a átomos u poco más complejos, esultó u facaso. Todavía teía que ace la mecáica cuática. Ejecicios de aplicació. 7 m 9

10 Tema 9. Segudo Cuatimeste. Estuctua Atómica. Física Geeal 4. Descipció mecaocuática del mometo agula: el especto vedadeo del hidógeo. El átomo de hidógeo es u excelete laboatoio paa poe a pueba ua iteacció básica de la atualeza como la electomagética, y más aú paa poba tambié el fomalismo teóico que debe aplicase al mudo submicoscópico, es deci, la mecáica cuática. El estudio de la fomulació coecta de la M.C. cae fuea de este cuso, y aquí os cotetaemos co hace ua somea descipció de cietos esultados. A ello ha cotibuido u gupo umeoso de físicos: Diac, Heisembeg, Schoedige, Pauli, etc. El picipio de coespodecia, establecido po Boh, afima que los esultados obteidos e la M.C. debe coicidi co los que se obtiee e el tatamieto clásico, cuado los úmeos cuáticos toma valoes muy gades. Este picipio fue seguido po Heisembeg paa establece la ecuació fudametal de la M.C., tal y como las ecuacioes de Newto lo so paa la clásica. Cuado se aplica el tatamieto mecaocuático al átomo de hidógeo se obtiee las siguietes popiedades: ) U electó, cofiado e el átomo de hidógeo viee descito po ua fució de oda, cuyo cuadado os da la desidad de pobabilidad de ecota al electó e u puto 6. El electó puede ecotase e uo de los estados, caacteizados po su eegía, su mometo agula cuatizado, y otas magitudes caacteizadas tambié po úmeos cuáticos. Existe ua coespodecia biuívoca ete úmeos cuáticos y fució de oda, de maea que, especificados estos, la fució de oda queda totalmete defiida. El cocepto de óbita desapaece totalmete, como además lo exige el picipio de idetemiació. ) El mometo agula del electó e el átomo se ecueta cuatizado, y solo puede tee valoes eteos de!. = "!, co " =,,,3,.., ( ) Además, si especificamos la diecció de u eje z, mediate u campo magético po ejemplo, las poyeccioes del mometo agula solamete puede tee valoes eteos de!.(figua 37.6). z = m!, co m ", ( " ),...( " ), " y el cuadado del módulo de es tambié difeete (ve figua). a cuatizació del mometo agula fue descubieta e u célebe expeimeto que se cooce como de Ste y Gelach (los ombes de los físicos) 6 Es más coecto habla de u elemeto difeecial de espacio, e luga de u puto.

11 Tema 9. Segudo Cuatimeste. Estuctua Atómica. Física Geeal ectua ecomedada: El expeimeto de Ste y Gelach, págia 3 de Fishbae. 3) E la descipció cuática del átomo de hidógeo, la eegía viee dada como: E 3.6eV ( + " + ) 3.6eV dode se itoduce u úmeo cuático adial, co =,,,... Obsévese que el úmeo cuático picipal, cotiua siedo válido y se cumple que ". Figua Posibles valoes de la compoete z del mometo agula paa ua patícula co =!. El módulo cuadado del mometo agula vale "( " + )!, esultado demostable po la mecáica cuática. os iveles eegéticos, pedichos po la fómula ateio, u poco más complejos que los dados po el modelo de Boh, se ve e la figua Figua 37.7 Diagama de iveles eegéticos paa el hidógeo. Co las posibles tasicioes co emisió y absoció de adiació, pemitidas po la cosevació de la eegía y mometo agula. Debe cosidease que el fotó taspota ua uidad de mometo agula " =!, lo que oigia eglas de selecció. Reglas de selecció: E la figua 37.7 se obseva que o hay tasicioes desde la oda D (co " =), a la oda S (co " =), ya que los estados de la tasició o puede difei e más de ua uidad de! e su mometo agula.