El método de Roberval para obtener el área encerrada por una cicloide

Transcripción

1 El método de Roervl pr otener el áre encerrd por un cicloide Figur 2.7: Método de Roervl pr el áre de un cicloide Se OP B l mitd de un rco de cicloide generd por el círculo de rdio r centrdo en T. El áre del rectángulo OABC es πr2r = 2πr 2, es decir, que es el dole del círculo generdor. ver figur 2.7 Trcemos segmentos horizontles DF, con longitud determind por el diámetro OC y l circunferenci. Ahor trsldmos horizontlmente el segmento DF conservndo l ltur OF de tl mner que el punto D vy l punto de l cicloide P y F determine un punto Q. De est mner DF = P Q. Relizmos este mismo proceso con tods ls semicuerds del círculo y sí otenemos l curv OQB que se llm curv socid l cicloide. (De pso Morris Klein firm que l curv OQB es y = r sin( x ), donde r es el rdio de l circunferenci genertriz, r con origen en el punto medio de OQB y el eje Ox prlelo OA.) Roervl firm que l curv OQB divide l rectángulo OABC en dos prtes igules porque cd line F Q en OQBC le corresponde un line igul MN en OABQ. En efecto: Se OF = BN, trcemos prlels OA por F y N. Vemos que F Q = NM. Como P Q = W N por construcción, ddo que OF = BN, tmién tenemos que QO = MO y los triángulos P OQ y W O M son congruentes. Como l circunferenci rued sin deslizr, el rco JP tiene igul longitud que el segmento JO. F Q = rθ. 57

2 Figur 2.8: Prue de Roervl pr el áre de un cicloide Por otr prte, MN = OA OK = rπ r(π θ) = rθ. Por tnto F Q = NM. Después de lo nterior podemos plicr el principio de Cvlieri. Y hemos dicho que el áre del rectángulo es el dole del círculo generdor, entonces OABQ tiene l mism áre que el círculo generdor, Además el áre entre OP B y OQB es igul l áre del semicirculo ODC, porque de l mism definición de Q se tiene que DF = P Q. Así: Áre jo el semirco de cicloide = Áre de OABQ+Áre entre OP B y OQB = πr 2 + π 2 r2 = 3 2 πr2 En consecuenci, el áre encerrd dejo de un rco de cicloide es 3 veces el áre del círculo generdor. 58

3 Figur 2.11: Gráfic de comprción de regiones de un rco de cicloide Ddo un punto R sore l cicloide, si trzmos un prlel OW que prse por R y corte en M l circunferenci genertriz CM F, que ilustrmos en l figur 2.12, entonces se cumple que rccm = RM, est iguldd se conoce como l propiedd crcterístic de l cicloide. En efecto, Figur 2.12: Propiedd crcterístic de l cicloide pero δ = π θ, de donde Ahor luego Así rccm = rδ rccm = (π θ)r. RD = OF x, RD = rπ (rθ r sin θ). RD = r(π θ) + r sin θ. 61

4 De otro ldo tenemos que: es decir Concluimos que MD = r sin δ, MD = r sin θ. RD = RM + MD RM = RD MD RM = r(π θ) + r sin θ r sin θ RM = r(π θ) RM = rccm. rccm = RM Método de Fermt pr hllr l tngente l cicloide Pr hllr l tngente l cicloide, Fermt recurre los dos siguientes principios: Primero: Se pueden sustituir ls ordends de ls curvs por ls ordends de ls tngentes y hllds. Segundo: Se puede sustituir ls longitudes de rco de ls curvs por ls prtes correspondientes de l tngente y hlld.[5] pg 178. Consideremos l cicloide HCG de vértice C, cuy circunferenci genertriz es CM F, ver figur Se RB l tngente l cicloide en el punto R. Se CD = x, RD = f(x), MD = g(x) y DB =. Según l propiedd crcteristic de l cicloide, tenemos que: f(x) = RM + MD = rccm + g(x) (2.1) hgmos DE = e y trcemos NE prlel RD, que cort RB en N y l circunferenci en O. Como los triángulos RDB y NEB son semejntes, entonces es decir, En consecuenci, RD NE = DB EB, f(x) NE = e. NE = f(x) e 62

5 Figur 2.13: Método de Fermt pr hllr l tngente l cicloide De cuerdo con el primer principio, reemplzmos l ordend f(x e) de l curv por l correspondiente ordend de l tngente, es decir, hcemos f(x)( e ) f(x e), (2.2) donde el simolo nos está reemplzndo l frse proximdment igul. Por l propiedd crcteristic de l cicloide tenemos hor que: pero luego f(x e) = rcco + g(x e), rcco = rccm rcom; f(x e) = rccm rcom + g(x e). (2.3) Se MA = d, l tngente l circunferenci CMF que cort NE en V, y se AD =, l sutngente ést en el punto M. De l figur 2.13, vemos que el triángulo MDA es semejnte l triángulo V EA, por lo tnto MD V E = DA EA. Es decir, g(x) V E = e. 63

6 son consecuenci, V E = g(x) e Aplicndo de nuevo el primer principio, tenemos: g(x) e g(x e). (2.4) Por el segundo principio, podemos reemplzr hor ls longitudes de rco de ls curvs por ls prtes correspondientes de ls tngentes y hllds. Por lo tnto rcom MV. Ahor, de l semejnz de triángulos MDA y V EA tenemos y luego MV d = e, MV = de. rcom de Reemplzndo (2.5) y (2.4) en (2.3), tenemos: (2.5) f(x e) rccm de + g(x) e hor, reemplzndo (2.1) y (2.6) en (2.2), tenemos (2.6) [rccm + g(x)]( e) (rccm) e(rccm) + g(x) eliminndo todos los términos comunes, rccm de + g(x) e e eg(x) e (rccm) e g(x) de e g(x) se dividen todos los términos por e, y otenemos rccm de + g(x) eg(x) o ien rccm rccm g(x) + g(x) d g(x) = d + g(x). 64

7 Es decir, Por (2.1) rccm + g(x) f(x) = d + g(x). = d + g(x) Por pitágors tenemos que d 2 = [g(x)] 2 + 2, de donde (2.7) 2 = d 2 [g(x)] 2 2 = (d g(x))(d + g(x)). d g(x) = d + g(x). (2.8) Se S el centro de l circunfereci genertriz y r el rdio de l mism. Como los triángulos AMS, MDA y SMD son semejntes, entonces d r = g(x) = g(x) r x Por l propiedd de ls proporciones, de l primer y tercer frcción tenemos: Por lo tnto y por (2.8) d g(x) r (r x) = d r. d g(x) r (r x) = d r = g(x) x = d g(x), g(x) x g(x). = d + g(x). (2.9) Igulndo (2.7) y (2.9), otenemos f(x) = g(x) x. De est form, ls pendientes de MC y RB son igules. Por lo cul concluimos que l tngente en R es prlel MC. Así, podemos hllr tngentes l cicloide en el punto R trzndo un prlel MC por dicho punto. 65