Matemáticas. ticas Discretas. Sumador en serie. Capítulo 8: Circuitos Secuenciales, Máquinas y Autómatas de Estado Finito. Circuitos secuenciales

Transcripción

1 Mtemátics tics Discrets Cpítulo 8: Circuitos Secueciles, Máquis y Autómts de Estdo Fiito Circuitos secueciles Mquis de Estdo Fiito Estudiremos los sistems dode l slid e u istte ddo depede, o sólo de l etrd e ese mismo istte, sio del estdo del sistem e el mometo e que se itroduce l etrd. Estos sistems tiee memori y se les llm circuitos secueciles. E este tipo de circuitos, el estdo itero del sistem depede del estdo precedete de éste y de l etrd precedete. Ls opercioes detro de u computdor digitl se reliz itervlos discretos de tiempo. U orm secill de itroducir l secuecició e los circuitos cosiste e utilizr u retrso uitrio de tiempo. 2 Mquis de Estdo Fiito Retrso Uitrio de Tiempo Sumdor e serie Mquis de Estdo Fiito U retrso uitrio de tiempo cept como etrd u it x t e el istte y tiee como slid x t-. U sumdor e serie cept como etrd dos úmeros irios (x,y) y produce como slid l sum (z). Los dos úmeros se itroduce de mer secuecil por pres (x,y; ;x,y). Xt Retrso Como ejemplo del retrso uitrio de tiempo, lizremos el sumdor e serie. El sumdor e serie es u plicció del retrso uitrio Xt- X = xx- x Y = yy- y Z = z+z z Xt Yt Ct- i Sumdor Retrso St Ct Zt El igreso de dos úmeros de etrd X y Y, tiee u slid Z 3 4

2 Sumdor e serie Mquis de Estdo Fiito Mqui de Estdo Fiito Mquis de Estdo Fiito Cálculo de l sum de dos úmeros x y y medite el sumdor de serie. (x=; y=). El retrso uitrio es el crreo del sumdor de serie X = y = i= Sumdor Sumdor Retrso Retrso St X 2 = y 2 = i= z = Sumdor Sumdor Retrso Retrso X = y = i= Z = z z z 2 = St z 2 = Sumdor Sumdor Retrso Retrso St z = 5 U Máqui de Estdo iito es u modelo Astrcto de u máqui co u memori iter primitiv. Deiició: U máqui de estdo iit M cost de: U cojuto iito I de símolos de etrd. {,, c} U cojuto iito O de símolos de slid. {, } U cojuto iito S de estdos. {σ, σ2} U ució de estdo siguiete de SxI e S. ( S, I ) = S U ució de slid g de SxI e O. ( S, I ) = O U estdo iicil σєs. Escriimos M = (I, O, S,, g, σ) 6 Cot Mquis de Estdo Fiito Cot Mquis de Estdo Fiito Se I = {,}, O = {,} y S = {σ, σ}. I es l etrd, O es l slid y S es el estdo. Deiimos el pr de ucioes :SxI S y g:sxi O, medite ls regls de l tl dd. Tl: S I g σ σ σ σ Iterpretció de l Tl: g I S σ σ σ σ Pr M = (I, O, S,, g, σ) (,)= g(,)= (,)=σ g(,)= (σ,)=σ g(,)= (σ,)=σ g(,)= es elemeto de l ució de estdo, es elemeto de l ucio de etrd y es elemeto de l ució de slid Etoces M = ( I, O, S,, g, σo) 7 8 2

3 Digrms de trsició Mquis de Estdo Fiito Cot Mquis de Estdo Fiito A este grupo de estdos siguietes y de slid se los puede represetr medite u Digrm de Trsició Cost de: σ Los vértices que so los estdos. U estdo iicil que se idic medite u lech. σ Si estmos e el estdo σ y l etrd i produce u slid o. Y os ps l estdo σ ; trzmos u rist dirigid del vértice σ hst el vértice σ y lo etiquetmos i/o. i/o σ σ 9 Deiició: Se M = ( I, O, S,, g, σ) u máqui de estdo iito. El digrm de trsició de M es u digráic G cuyos vértices so los miemros de de S. U lech idic el estdo Iicil σ. U rist dirigid (σ, ) existe e G si existe u etrd i tl que (σ, i) = σ2. E este cso, si g(σ, i )=O, l rist (σ, ) se etiquet i/o. Si (σ, j)= σ decimos que es u lzo dirigido e σ, que tmié será etiquetdo respecto l ució g; si g(σ, j )=. El lzo será etiquetdo j/ σ j/ σ i/ Cot Mquis de Estdo Fiito Cde de Etrd Mquis de Estdo Fiito Relizr el digrm de trsició pr l máqui de estdo iito de l tl dd. S I g σ σ σ σ Pr M = (I, O, S,, g, σ) (,)= g(,)= (,)=σ g(,)= (σ,)=σ g(,)= (σ,)=σ g(,)= / / σ / / Deiició: Se M = (I, O, S,, g, σ) u máqui de estdo iito. U cde de etrd pr M es u cde e I. L cde y y es l cde de slid pr M correspodiete l cde de etrd σ = x x si existe estdos,, σ tles que σ = σ σi = (σi-, xi ) pr i=,, yi = g(σi-, xi ) pr i=,, Trzmos u rist dirigid de σ y l etiquetmos, l prte superior es l etrd y l prte ierior es l slid 2 3

4 Cot Mquis de Estdo Fiito Mquis de Estdo Fiito Resolució usdo el digrm de trsició Determir l cde de slid correspodiete l cde de etrd pr l máqui de estdo iito del ejemplo terior S I σ g σ σ σ ( σ, ) = (, ) σ g σ = ( σ, ) = (, ) σ g σ = ( σ, ) = (, ) = σ g σ ( σ, ) = (, ) σ g σ = ( σ, ) = g (, ) = σ ( σ, ) = (, ) = σ g σ ( σ, ) = g (, ) = σ σ L cde de slid es 3 Etrd Slid Slid Etrd Etrd Slid Etrd / Slid / Siguiete σ o / σ Estdo Estdo iicil Etrd / Slid 4 Cot Mquis de Estdo Fiito Cot Mquis de Estdo Fiito U máqui de estdo iito pr el sumdor e serie Diseñr u máqui de estdo ito que relice l sum e serie. Represetremos l máqui de estdo iito medite su digrm de trsició. Como el sumdor e serie cept pres de its, el cojuto de etrd será {,,, } El cojuto de slid es {, } Dd u etrd xy, relizmos u de ls dos ccioes siguietes: summos x y y, o summos x, y y, El cojuto de slid es: {,}. Tedremos dos etrds x y y. Relizmos dos ccioes: summos x y y o x,y y. Teemos dos estdos C (crreo) y NC (si crreo). NC es el estdo iicil. / / NC NC / C C / / segú si el it de crreo se o. Los estdos será C(crreo) y NC(si crreo). Podemos hor diujr los vértices y desigr el estdo iicil e uestro digrm. 5 / / / 6 4

5 Cot Mquis de Estdo Fiito Cot Mquis de Estdo Fiito lip lop SR U lip-lop es u compoete ásico de los circuitos digitles, sirve como u celd de memori de u it. El lip lop SR se puede deiir medite l siguiete tl: Podemos modelr el lip lop SR como u máqui de estdo iito, deiiedo los estdos S ue el último it igul y R ue el último it igul. L etrd será los vlores de S y R. Deiimos Q como l slid. De mer ritrri hemos escogido S ue el último it igul como estdo iicil. S R Q No permitid S R { si S ue ultimo it igul { si R ue ultimo it igul / / S ue el ultimo it igul uo / R ue el ultimo it igul uo / / / 7 8 Cot Mquis de Estdo Fiito Cot Automts de estdo iito S E u estció del Metro u máqui distriuye tiquetes secillos $6 pesos el tiquete. L máqui cept moeds de $, $2, $5, $. Medite u tl, descri los dieretes estdos de l máqui y l slid. R Impltció del lip-lop SR medite u circuito secuecil Q 9 Solució. Se supodrá que l máqui se ecuetr e el estdo e perteeciete E e el tiempo t. Al itroducir u moed e el tiempo t i l slid será g(x,e s ) dode e s es el estdo de l máqui e el tiempo t i. A est slid le sigue u trsició de l máqui e el tiempo t i+ ddo por (x,es). Los estdos del cojuto E será: e = Estdo iicil de l máqui si itroducir moeds. e = L máqui recuerd l iserció de $. e 2 = L máqui recuerd l iserció de $2. e 3 = L máqui recuerd l iserció de $3. e 4 = L máqui recuerd l iserció de $4. e 5 = L máqui recuerd l iserció de $5. e 6 = L máqui recuerd l iserció de $6 o más pesos. 2 5

6 Cot Automts de estdo iito Cot Automts de estdo iito Cot L ució : E x A E dode A = {,, 2, 5,, } es l etrd dode detll el hecho de o itroducir moeds y hudir otó pr oteer el tiquete, se detll e l siguiete tl: 2 5 e e e e 2 e 5 e 6 e e e e 2 e 3 e 6 e 6 e e 2 e 2 e 3 e 4 e 6 e 6 e 2 e 3 e 3 e 4 e 5 e 6 e 6 e 3 e 4 e 4 e 5 e 6 e 6 e 6 e 4 e 5 e 5 e 6 e 6 e 6 e 6 e 5 e 6 e 6 e 6 e 6 e 6 e 6 e Cot E est tl por ejemplo, (e,5)=e 5 ; lo que quiere decir que e el tiempo t siguiete l máqui recordrá que se le h itroducido $5. (e 3,2)=e 5, lo que sigiic que l máqui ps del estdo e 3 ; l estdo e 5 ; lo que quiere decir que ps de "recordr" que se le hrí itroducido $3 "recordr" que se le h itroducido $5. (e 5,2)=e 6, lo que sigiic que l máqui ps de "recordr" que se le hrí itroducido $5 "recordr" que se le h itroducido más de $6, e este cso, l ució de slid se diseñrá pr que devuelv $ l comprdor. Al pulsr el otó, l máqui psrá l estdo e; si el estdo ctul es e ó e Cot Automts de estdo iito Cot Automts de estdo iito Cot L ució g:e x A B es l ució de slid, que se detll e el siguiete cudro: e e e2 e3 e4 e5 e6 2 2 g T Cot E est tl, por ejemplo, g(e 3,5) = 2, lo que sigiic que l máqui ps de "recordr" que se le hí itroducido $3 "recordr" $8 y por tto devuelve $2. Como (e 3,5)=e 6, l máqui ps l estdo e 6 y por último, como g(e 6,)=T recie el tiquete. Como (e 6,)=e, l máqui retor l estdo iicil. El cojuto de slid B será: B = {,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,, T} sigiic que o hy slid. T sigiic que se etreg el tiquete

7 Cot Automts de estdo iito Autómts de Estdo Fiito Automts de estdo iito Ejercicios:. Diseñe u máqui de estdo iito que produzc l slid si l etrd so k uos, dode k es múltiplo de 3; produce l slid e cso cotrrio. 2. Diseñe u máqui de estdo iito que produzc l slid cudo ve el primer y hst ver otro; prtir de ese mometo produce l slid ; e los demás csos, produce l slid. 3. Diuje el digrm de trsició de l máqui M={ A, B, E,, g} dode A = {, }; B = {, }; E = {e, e} dds ls tls siguietes de y g. e e e e e e e e g 25 U utómt de estdo iito es u tipo prticulr de máqui de estdo iito. Los utómts de estdo iito tiee u iterés especil, deido su relció co los legujes. Deiició: U utómt de estdo iito A = (I, O, S,, g, σ) es u máqui de estdo iito e l que el cojuto de símolos de slid es {,} y dode el estdo ctul determi l últim slid. Aquellos estdos pr los cules l últim slid es so los estdos de ceptció. 26 Cot Automts de estdo iito Cot Automts de estdo iito Los digrms de trsició de u utómt de estdo iito se diuj co los estdos de ceptció ecerrdos e círculos doles y omitiedo los símolos de slid. Esto se dee que solo existe dos símolos de slid {,} y cudo el último símolo de slid es, se cooce como u estdo de ceptció, cso cotrrio o lo es por lo que o es ecesrio señlr el símolo de slid e los lzos dirigidos. El estdo iicil es σ. Mostrr que A es u utómt de estdo iito y determir el cojuto de estdos de ceptció. I S σ g (σ,)= σ g(σ,)= (σ,)= σ g(σ,)= (σ,)= σ2 g(σ,)= σ (σ,)= σ g(σ,)= (σ2,)= σ2 g(σ2,)= (σ2,)= σ g(σ2,)= Si estmos e el estdo σ, l últim slid ue. Si estmos e el estdo σ o el estdo σ2 l últim slid ue ; sí que A es u utómt de estdo iito. Los estdos de ceptció so σ y σ

8 Automts Digrm de trsició de u de estdo iito Autómt de EF Cot Automts de estdo iito A=(I,S,,A,σ). I={, } S={, σ, } A = { }: σ= / / / σ / / / A prtir del digrm de utómt de estdo iito diujr el digrm de trsició de u máqui de estdo iito. / σ / / / σ / / σ 29 3 Autómts de estdo iito ceptdos Deiició Se A=(I, S,, A, σ) u A.E.F. Se x = x... x u rreglo o ulo de I. Si existe estdos,..., σ que stisce: () = σ* () (σ i-, x ) = σ i pr i =,...,; se dice que x es ceptdo por A. Automts de estdo iito Al cojuto de rreglos ceptdos por A se deot Ac(A) Al cmio (dirigido)(,..., σ ) se le llm cmio que represet α e A. 3 Cot A = (I, O, S,, g, σ) dode: I = {,}; S= {, σ, }; A={ }; σ= y está dd por l siguiete tl: Si u cde se utiliz como etrd de u utómt de estdo iito, termiremos e u estdo de ceptció o e uo de o ceptció. L situció de este estdo il determi si l cde es ceptd por el utómt de estdo iito. σ Automts de estdo iito I S σ σ 32 8

9 Cot Automts de estdo iito Cot Automts de estdo iito Existe u cde. Veriicr si el utómt de estdo iito mostrdo cotiució cept est cde. Comezmos e el estdo σ. Cudo es l etrd, psmos l estdo σ. Cudo es l etrd, vmos l estdo σo. Cudo es l etrd, psmos estdo σ. Por último, cudo se utiliz como etrd el último símolo, psmos l estdo σ2. El cmio (σo, σ, σo, σ, σ2) represet l cde. Como el estdo il σ2 es u estdo de ceptció, l cde es ceptd por el utómt de estdo iito. σ Diseñr u utómt de estdo iito que cepte precismete quells cdes sore {,} que o teg letrs. L ide es utilizr dos estdos: A: Se ecotró u. NA: No se ecotró u. El estdo NA es el estdo iicil y el úico estdo de ceptció. Por lo tto el digrm de trsició del utómt de estdo iito serí: NA A Cot Automts de estdo iito Cot Automts de estdo iito Diseñr u utómt de estdo iito que cepte precismete quells cdes sore {,} que coteg u úmero impr de letrs. Los dos estdos so: E: Se ecotró u úmero pr de. O: Se ecotró u úmero impr de. El estdo E es el estdo iicil y O es el úico estdo de ceptció. Su digrm de trsició es: E O 35 Algoritmo del utómt de estdo iito terior Etrd:, l logitud de l cde s,s 2,,s Slid: Aceptr si l cde es ceptd. Rechzr si l cde o es ceptd. Procedure s(s,) stte:= E or i:= to do egi i stte= E d s i = the stte:= O i stte= O d s i = the stte:= E ed i stte= O the retur( Aceptr ) else retur( Rechzr ) ed s 36 9

10 Autómts Equivlete Automts de estdo iito Cot Automts de estdo iito Deiició: Si dos utómts de estdo iito cept precismete ls misms cdes, decimos que los utómts so equivletes. Podemos veriicr co l cde siguietes digrms so equivletes: que los Los utómts de estdo iito A y A so equivletes si Ac(A) = Ac(A ). Si deiimos u relció R sore u cojuto de utómts de estdo iito medite l regl ARA. NA A Pr que A y A se equivletes, R dee ser u relció de equivleci. Cd clse de equivleci cost de u cojuto de utómts de estdo iito equivletes etre sí. σ Cot Automts de estdo iito Cot Automts de estdo iito Ejercicios: Muestre que l máqui de estdo iito descrit por l siguiete gráic es u utómt de estdo iito. Cuál es el estdo de ceptció? Dd l gráic del utómt de estdo iito Diuje l tl de trsició de estdos y l tl de slid. Ejercicios: Trce l gráic de u utómt de estdo iito que cepte cdes del cojuto A = {, } que pose: U úmero pr de. Al meos dos. Exctmete dos. Cotiee letrs, dode es u úmero múltiplo de 3. Ddo A = {, }, muestre que u cde de etrd es ceptd por el utómt de estdo iito ddo por l siguiete gráic: Determie si l cde es ceptd por los utómts de los dos ejercicios teriores. 39 Sí y sólo sí l cde termi e. Cuál es l tl de trsició de estdos? 4

11 Cot Automts de estdo iito Ejercicios: Muestre que u cde de etrd, ddo A = {, } es ceptd por el utómt de estdo iito ddo por l siguiete gráic: Sí y sólo sí l cde termi e. Cuál es l tl de trsició de estdos? 4