Dinámica de Impulsiones

Transcripción

1 Capítulo 10 Dnámca de Impulsones Introduccón La dnámca de mpulsones estuda las stuacones en las que se producen cambos rápdos en la cantdad de movmento o en el momento cnétco de sstemas materales. Estos fenómenos se suelen denomnar mpactos, percusones o choques, y exgen fuerzas muy elevadas, que actúan durante ntervalos de tempo muy cortos. Ello permte que, al estudar los cambos de movmento debdos a la mpulsón, se puedan desprecar las otras fuerzas ordnaras de valor acotado, por ser su efecto muy pequeño respecto al de las fuerzas mpulsvas. En la dnámca de mpulsones para sstemas dscretos 1 se admte que el cambo de movmento puede ser consderado como nstantáneo, de forma que se estuda tan sólo el salto entre la stuacón nmedatamente anteror y la nmedatamente posteror a la mpulsón. Se emplea un modelo smplfcado, en el que se desprecan los efectos de deformabldad de los sóldos y de transmsón de ondas de tensón en los msmos, pero que puede resultar váldo sempre que las condcones se aproxmen a las de una mpulsón teórca (ntervalo de tempo muy corto y fuerzas muy elevadas) Teoría de mpulsones Impulsón sobre una partícula Consderamos una partícula (punto materal) de masa m, con velocdad v 1 en el nstante nmedatamente anteror a la mpulsón y v 2 en el nstante 1 es decr, aquellos que se representan medante un número fnto (dscreto) de parámetros, como las partículas, conjuntos de partículas, sóldos rígdos, y mecansmos o ensamblajes de pezas rígdas. Por el contraro, los medos contnuos (fludos, sóldos deformables, estructuras de pezas prsmátcas o lamnares) poseen un número nfnto de grados de lbertad 10.1

2 10.2 Capítulo 10. DINÁMICA DE IMPULSIONES nmedatamente después, movéndose según una recta. Se trata por tanto de un sstema con un sólo grado de lbertad. Suponemos asmsmo que se produce una fuerza mpulsva que actúa durante un ntervalo de tempo pequeño [τ ɛ, τ + ɛ], centrado en el nstante τ. F v v 2 Fgura 10.1: La varacón de las velocdades en una mpulsón se produce en un ntervalo de tempo [τ ɛ, τ + ɛ] muy breve, asocado a una fuerza de tpo mpulsvo de valor máxmo elevado. v 1 F (t) τ 2ɛ t Defnmos la mpulsón como el ncremento de la cantdad de movmento de la partícula debdo a esta fuerza: I def = mv 2 mv 1 = F dt Podemos generalzar esta defncón a un movmento no rectlíneo, en el cual se produzca tambén una varacón de la velocdad en dreccón, medante la expresón vectoral: I def = mv 2 mv 1 = F dt (10.1) En la teoría de mpulsones se adopta la hpótess de que la duracón del ntervalo de la mpulsón (2ɛ) es muy breve, pudendo consderarse el fenómeno como práctcamente nstantáneo. Al msmo tempo se admte que la ntegral (10.1) conserva un valor fnto para la mpulsón. Para que esto ocurra, el módulo de la fuerza mpulsva F debe ser muy alto, mucho mayor que las fuerzas ordnaras, y en el límte de mpulsón nstantánea (ɛ 0), nfnto (F ) Fuerzas mpulsvas; Funcón Delta de Drac Las fuerzas mpulsvas que verfcan las hpótess de la teoría de mpulsones se pueden descrbr medante un formalsmo matemátco que emplea la

3 Aptdo Teoría de mpulsones 10.3 funcón delta de Drac. Esta funcón δ(t) se defne de la sguente manera: 1. δ(t) = 0 para todo t δ(t) dt = 1 (10.2) Estas condcones mplcan que para t 0, δ(t). Tambén deducmos de ellas que la ntegral vale 1 cuando se extende a cualquer ntervalo fnto que comprenda el punto t = 0: +ɛ ɛ δ(t) dt = 1 (10.3) δ ɛ (t) δ(t) = lím ɛ 0 δ ɛ (t) Fgura 10.2: La funcón δ de Drac permte representar la fuerza mpulsva como F (t) = I δ(t τ), de forma que se produce un salto I de la cantdad de movmento en el nstante τ. v 1/ɛ τ 2ɛ v 2 I δ(t τ) t v 1 τ t Como corolaro, podemos afrmar que para cualquer funcón acotada f(t) se cumple + f(t)δ(t τ) dt = f(τ). (10.4) Esto se demuestra fáclmente, puesto que al ser nulo δ(t τ) salvo en el punto t = τ, podemos susttur en (10.4) f(t) por la constante f(τ), que sale fuera de la ntegral; empleando la propedad (10.3), se obtene drectamente el resultado buscado.

4 10.4 Capítulo 10. DINÁMICA DE IMPULSIONES Defnmos la fuerza mpulsva que produce la mpulsón I en el nstante τ como F mp (t) def = I δ(t τ) (10.5) En vrtud de (10.4) la ntegral de esta fuerza sobre cualquer ntervalo que contenga el nstante τ será precsamente la mpulsón I. Asmsmo, la fuerza tene valor nulo para cualquer otro nstante t τ. En el estudo de los fenómenos mpulsvos dstnguremos entre dos clases de fuerzas, las fuerzas mpulsvas F mp, causantes de la varacón mpulsva del movmento, y las fuerzas ordnaras, F ord. Fuerzas ordnaras son aquellas cuyo efecto durante el breve ntervalo de la mpulsón es desprecable frente a las mpulsvas. Para tener efectos aprecables en el movmento, necestan ntervalos de tempo mayores (un ejemplo es el peso o accón gravtatora). Esta dstncón es claramente relatva, e mposble de cuantfcar de manera exacta. La teoría de mpulsones no es por tanto absolutamente exacta, sno que consttuye un modelo aproxmado, que será más precso cuanto más nítda sea la dstncón entre ambos tpos de fuerzas. El papel de las fuerzas ordnaras en una mpulsón se puede establecer calculando la ntegral del mpulso: [F mp (t) + F ord (t)] dt Por la defncón de F mp (10.5), la ntegral anteror valdrá: I δ(t τ) dt + F ord (t) dt = I + F ord (t) dt Al estar F ord (t) acotada, el mpulso debdo a ellas se hace desprecable s ɛ 0, mentras que el efecto de las fuerzas mpulsvas se mantene fnto Axomátca En funcón de los conceptos anterores, se puede defnr una axomátca para las mpulsones como sgue. Prncpo de accón y reaccón. Por cada mpulsón I exste otra mpulsón reactva ( I), gual y de sentdo contraro. Este axoma provene drectamente de generalzar el prncpo de accón y reaccón para las fuerzas. Impulsones exterores e nterores. Las mpulsones se consderan nterores s ambas (actva y reactva) se ejercen sobre puntos que pertenecen al sstema; s la mpulsón actúa

5 Aptdo Teoría de mpulsones 10.5 entre una partícula del sstema y otras externas a él, se llama exteror. En este caso, la reaccón está fuera del sstema, mentras que s es nteror tanto accón (I) como reaccón ( I) se producen sobre el sstema, sendo la mpulsón neta nula. Adtvdad Vectoral El efecto de dos o más mpulsones smultáneas es gual al de su suma vectoral, como vectores deslzantes. El concepto de smultanedad hay que matzarlo, pues en la práctca es mposble que dos mpulsones ocurran de forma exactamente smultánea. Se consderan smultáneas las mpulsones s actúan con una dferenca de tempo del orden del ntervalo real de actuacón de las fuerzas mpulsvas Teorema Fundamental Basándose en la axomátca arrba expuesta, podemos consderar los sguentes sstemas de vectores deslzantes: Σ 1 Σ 2 Π Cantdades de movmento de cada partícula antes del choque. Cantdades de movmento después del choque. Impulsones sobre cada partícula (nterores y exterores). La gualdad vectoral establecda en la defncón de la mpulsón sobre una partícula nos permte establecer la equvalenca sguente entre sstemas de vectores deslzantes: mv 2 = mv 1 + I Σ 2 Σ 1 + Π Donde el sgno + de la fórmula recuadrada ndca la composcón de sstemas de vectores deslzantes. Puesto que las mpulsones nterores, por el prncpo de accón y reaccón, forman un sstema nulo, el Teorema fundamental de la dnámca de mpulsones permte expresar la equvalenca como: Σ 2 Σ 1 + Π ext (10.6) Donde Π ext es el sstema de vectores deslzantes que sólo ncluye las mpulsones exterores. La aplcacón del teorema fundamental (10.6) se hace a través de las gualdades de resultante y momentos, como crtero para la equvalenca de sstemas de vectores deslzantes: Φ 2 = Φ 1 + I ext Σ 2 Σ 1 + Π ext (H O ) 2 = (H O ) 1 + (10.7) r I ext

6 10.6 Capítulo 10. DINÁMICA DE IMPULSIONES Donde Φ y H O son respectvamente la cantdad de movmento y el momento cnétco totales del sstema. Las ecuacones de equvalenca (10.7) son condcones necesaras que ha de verfcar el sstema de vectores deslzantes Σ 2, pero no consttuyen en un caso general un conjunto sufcente de condcones para determnar Σ 2. Para comprender esto basta darse cuenta de que se trata de 6 ecuacones escalares, y sempre que el sstema tenga mayor número de grados de lbertad, serán precsas ecuacones adconales. Como crtero práctco, las ecuacones (10.7) no serán sufcentes s exsten grados de lbertad o movmentos relatvos nternos permtdos en el sstema. En este caso, sería necesaro dvdrlo en subsstemas para establecer las ecuacones adconales necesaras, aplcando la equvalenca (10.7) en cada subsstema. Al contraro que en las ecuacones de la dnámca, el punto O en el que se toman los momentos en (10.7) puede ser un punto geométrco cualquera, puesto que en estas ecuacones no ntervene el tempo, sno que se plantea úncamente la equvalenca de sstemas de vectores deslzantes en un nstante dado. No exste por tanto la restrccón de que el punto sea fjo, como veíamos en dnámca de sstemas para el teorema del momento cnétco. Ahora ben, es necesaro tener precaucón a la hora de evaluar el momento cnétco s el punto no tene velocdad nula, no pudéndose aplcar entonces algunas de las fórmulas usuales (ver apartado ) Aplcacón del Prncpo de los Trabajos Vrtuales Puesto que el sstema (Σ 2 Σ 1 Π) es un sstema nulo, la mpulsón se puede plantear como un problema de equlbro, pudendo aplcar por tanto el prncpo de los trabajos vrtuales enuncado en el apartado Tal y como se observó entonces, la ventaja más mportante de este prncpo consste en que establece una condcón necesara y sufcente para el equlbro global de un sstema, sn necesdad de consderar las fuerzas de reaccón que no realzan trabajo vrtual. Buscaremos aquí por tanto la msma ventaja, de forma que se puedan elmnar de la expresón de equlbro las mpulsones debdas a los vínculos lsos y permanentes. Suponemos un sstema general sometdo a un conjunto de mpulsones {I }; para cualquer conjunto de velocdades vrtuales {v } se ha de cumplr (m v I ) v = 0 {v } (10.8) Donde el sumatoro se extende a todas las partículas del sstema. S las velocdades vrtuales v en (10.8) son completamente arbtraras, en esta suma se deben nclur todas las mpulsones, tanto nternas como externas,

7 Aptdo Teoría de mpulsones 10.7 actvas y reactvas. Esto es debdo a que, en un caso general, aunque para cada percusón nterna exsta otra reactva, de forma que su suma neta es nula, el trabajo vrtual de las dos no lo es necesaramente. Supongamos para ello una percusón I sobre una partícula A, con velocdad vrtual v, y la reaccón I sobre B con velocdad vrtual v. El trabajo vrtual de esta pareja de mpulsones es W = I v + ( I) ( v ) = 2I v 0 Debdo a esto, el enuncado más general del Prncpo de Trabajos Vrtuales (10.8), para velocdades vrtuales {v } completamente arbtraras, no resulta de gran utldad práctca. S restrngmos el sstema a uno con vínculos lsos y blaterales, de forma que todas las mpulsones nterores se deban a vínculos permanentes, y consderamos tan sólo velocdades vrtuales compatbles con los enlaces {v }, es posble elmnar el efecto de las mpulsones nterores: (m v I ext ) v = 0 {v } compatbles (10.9) Tan sólo necestamos tener en cuenta en este enuncado las mpulsones externas, al desaparecer las nternas porque no realzan trabajo vrtual. No desaparecerían, en cambo, las mpulsones debdas a choques nternos con separacón (vínculos no permanentes), puesto que las velocdades vrtuales del punto de accón y del de reaccón no serán necesaramente las msmas, y por tanto pueden dar trabajo vrtual neto no nulo. En caso de exstr estas mpulsones, no nvaldarían la aplcacón de (10.9), sno que habría que ntroducrlas como sumandos adconales en la expresón del trabajo vrtual en dcha ecuacón Aplcacón del Prncpo de la Cantdad de Movmento El prncpo de la Cantdad de Movmento (6.4) establece que, para un sstema cuya cantdad de movmento es Φ, dφ dt = F ext }{{} def = F Descomponendo las fuerzas exterores en mpulsvas y ordnaras, e ntegrando para una mpulsón que ocurra en el nstante t = τ: Φ 2 Φ 1 = = ( ( F mp + F ord )dt I ext δ(t τ))dt + ( F ord )dt

8 10.8 Capítulo 10. DINÁMICA DE IMPULSIONES desprecando, para ɛ 0, el efecto de F ord, resulta la ecuacón de balance Φ 2 Φ 1 = I ext (10.10) Observamos que el resultado es el msmo que el obtendo antes en ( ) Aplcacón del Prncpo del Momento Cnétco La expresón de este prncpo es (6.12): dh O dt = r F ext }{{} def = M O (F mp Integramos esta expresón descomponendo F ext ) y Fuerzas ordnaras (F ord ), ambas exterores: (H O ) 2 (H O ) 1 = = [ r r F mp [ + en Fuerzas mpulsvas r F ord I ext δ(t τ)dt + ] dt ] F ord dt, sendo r la poscón meda de cada partícula durante la mpulsón. La prmera ntegral es precsamente la mpulsón, mentras que la segunda es desprecable para ɛ 0: (H O ) 2 (H O ) 1 = r I ext (10.11) Donde r ha sdo susttudo por r (Poscón de cada partícula en el nstante τ), al tender el ntervalo [τ ɛ, τ + ɛ] a cero. Observamos, al gual que antes, que se obtene déntco resultado que el expresado en ( ). Esta ecuacón, al contraro que (6.12) para el caso general de la dnámca, se puede aplcar tambén tomando momentos respecto de un punto que no sea fjo. En efecto, se vó en el apartado 6.3 que al tomar un punto Q cualquera aparecía un térmno adconal en la ecuacón del momento cnetco (6.23): dh Q dt = M Q Mv Q v G Sn embargo, el térmno adconal Mv Q v G está acotado, al estarlo las velocdades de los dos puntos G y Q, y se puede englobar por tanto dentro de las fuerzas ordnaras, cuyos efectos de cambo de movmento durante la percusón se desprecan por ser el ntervalo de actuacón nfntesmal.

9 Aptdo Consderacones Energétcas Consderacones Energétcas Energía Cnétca Por lo general en una mpulsón no se conserva la energía. El cambo energétco provene exclusvamente de la varacón de la energía cnétca, puesto que la energía potencal, al no varar la confguracón del sstema sensblemente durante un ntervalo nfntesmal, sí que se conserva. De forma global, el balance energétco es tal que la energía mecánca dsmnuye, o a lo sumo se mantene constante. La dsmnucón provene físcamente de la transformacón a otras formas de energía más degradadas, como calor, rudo, dslocacones plástcas, etc., sguendo el segundo prncpo de la termodnámca (entropía crecente). Dentro de un sstema dado, para el balance de energía se pueden dstngur dos stuacones dferentes: S sólo hay mpulsones nterores, la energía dsmnuye sempre o a lo sumo se conserva. S hay mpulsones exterores, la energía puede aumentar o dsmnur. El aumento se produce a costa de que el sstema robe energía cnétca del exteror: en conjunto debe quedar claro que nunca puede aumentar la energía. En las mpulsones no ocurre lo msmo que en la dnámca, en la que el teorema de conservacón de la energía tenía consderable utldad práctca. Esto se debía a que permtía pasar de un estado a otro, obvando la (a menudo dfícl) ntegracón de las ecuacones dferencales de segundo orden de la dnámca, a lo largo de un camno cambante. Para ello bastaba emplear la ecuacón de balance energétco que se denomnaba ntegral prmera, al formularse en funcón úncamente de dervadas prmeras (velocdades). En cambo, en la dnámca mpulsva, esta utldad se perde, por dos razones: 1. Por lo general, la energía no se conserva. 2. Las confguracones anteror y posteror al choque son las msmas, por lo que no es precso realzar una ntegracón de las ecuacones dnámcas para una trayectora desconocda, sno expresar un mero balance de magntudes cnétcas entre las stuacones anteror y posteror al choque, para una msma confguracón. Por estos motvos, hacemos notar que las consderacones que se realzan a contnuacón tenen un nterés más ben conceptual. Son mportantes sn embargo para comprender el balance energétco de las percusones. Asmsmo, en numerosas aplcacones práctcas se puede conocer o estmar el llamado

10 10.10 Capítulo 10. DINÁMICA DE IMPULSIONES coefcente de resttucón, que como veremos está íntmamente lgado al balance energétco. Relaconaremos a contnuacón la pérdda de energía con el valor de las mpulsones. Para una partícula de masa m, denotando la velocdad por v y la energía cnétca por T, con los subíndces 1 y 2 para ndcar las stuacones anteror y posteror al choque respectvamente, la varacón de energía cnétca es T 2 T 1 = 1 2 mv mv2 1 = 1 2 m(v 2 v 1 ) (v 2 + v 1 ) = 1 2 I (v 2 + v 1 ) Sumando para todas las partículas del sstema, T 2 T 1 = 1 I [(v ) 2 + (v ) 1 ] (10.12) 2 S todas las mpulsones nterores provenen de vínculos permanentes (es decr, partículas que estaban undas antes de la mpulsón y permanecen undas), los térmnos del sumatoro (10.12) debdos a ellas se anulan dos a dos, ya que ocurren en parejas del tpo (v 2 + v 1 ) I + (v 2 + v 1 ) ( I) = 0 Resulta por tanto bajo esta hpótess T 2 T 1 = 1 I ext [(v ) 2 + (v ) 1 ] (10.13) Coefcente de Resttucón Estudamos dos cuerpos que chocan a través de sus puntos P y Q respectvamente. Sean las velocdades de dchos puntos v 1 P y v1 Q (antes del choque) y v 2 P, v2 Q (después del choque). Admtremos la hpótess de que las lgaduras nternas en cada cuerpo cumplen que son todas debdas a vínculos permanentes, lo que es váldo por ejemplo en un sóldo rígdo. En el choque se produce una mpulsón I sobre P, de dreccón defnda por el versor d (I = Id), y la correspondente mpulsón reactva ( I) sobre Q. Defnmos: Coefcente de resttucón es el cocente, cambado de sgno, de las velocdades relatvas de los puntos de mpacto después y antes del choque, en la dreccón de la mpulsón: e def = (v2 P v2 Q ) d (v 1 P v1 Q ) d = w 2 d w 1 d (10.14)

11 Aptdo Consderacones Energétcas I v 1 v 1 P Q II I v 2 P v 2 Q II Fgura 10.3: Choque entre dos cuerpos I y II a través de sus puntos P y Q respectvamente; stuacones nmedatamente anteror y posteror al choque. Donde w 2, w 1 son las velocdades relatvas después y antes del choque, respectvamente. El coefcente de resttucón lo podemos relaconar con la pérdda de energía cnétca del sstema conjunto. Para ello expresemos el balance energétco global. Para el cuerpo I: y para el cuerpo II: T I = 1 2 (v1 P + v 2 P ) I T II = 1 2 (v1 Q + v 2 Q) ( I) En estas expresones se ha aplcado (10.13), que permte consderar tan sólo las mpulsones exterores: I sobre el cuerpo I y I sobre el II. Sn embargo, la evaluacón de T I y t II corresponde a la energía cnétca total de cada sóldo, ncluyendo la de rotacón. Sumando ambas contrbucones, T = 1 2 [(v1 P v 1 Q) + (v 2 P v 2 Q)] I = 1 2 [w 1 d + w 2 d]i y consderando, por la defncón (10.14) del coefcente de resttucón, que w 2 d = e(w 1 d), resulta T = 1 2 w 1 I(1 e) (10.15) Para clarfcar la aplcacón de esta fórmula recordemos que w 1 = v 1 P v1 Q (velocdad relatva de P respecto de Q antes del choque) e I es la mpulsón que se produce sobre el punto P. Según el valor de e dferencamos varos tpos de choque: e = 1, choque elástco ( T = 0).

12 10.12 Capítulo 10. DINÁMICA DE IMPULSIONES e = 0, choque plástco ( T = 1 2 w 1 I, máxma pérdda de energía cnétca). Convene precsar que, a pesar de que la pérdda de energía sea la máxma, en general no se perde toda la energía cnétca ncal ( T T 1 ). 0 < e < 1, caso ntermedo. La expresón del coefcente de resttucón tene por tanto un sgnfcado en térmnos de balance energétco. Para resolver una mpulsón es precso por lo general plantear, además de las ecuacones (10.10) y (10.11) que expresan balance de cantdad de movmento y de momento cnétco, alguna ecuacón que exprese el balance energétco, como la del coefcente de resttucón (10.14). Esta últma condcón se podría establecer gualmente expresando drectamente la pérdda de energía cnétca T = T 2 T 1. (10.16) Sn embargo es preferble emplear para esto las ecuacones (10.14) ó (10.15) del coefcente de resttucón, ya que éstas proporconan expresones lneales en las velocdades, en lugar de expresones cuadrátcas como surge de (10.16) Teorema de Carnot Este teorema expresa la pérdda de energía para un caso partcular: aquel en que el sstema sea holónomo con vínculos lsos, y las mpulsones se deban exclusvamente a la aparcón de nuevos vínculos nterores permanentes. Partmos para ello del prncpo de trabajos vrtuales, que se puede aplcar con su enuncado restrngdo (10.9) debdo a las hpótess realzadas: (m v I ext ) v = 0, {v } compatbles Al no haber mpulsones exterores, I ext desaparece: m v v = 0 Esta relacón se cumple para velocdades vrtuales v cualesquera, sempre que sean compatbles con los vínculos. En partcular, se cumplrá para las velocdades reales después del choque, v = v 1 + v = v 2, es decr m (v 2 v 1 ) v 2 = 0 (10.17) Consderando la gualdad 2 m (v 1 v 2 ) = m (v 1 v 2 ) 2 + m v m v 2 2,

13 Aptdo Choque Entre Sóldos Rígdos desarrollando (10.17) resulta m v m (v 1 v 2 ) 2 1 m v1 2 1 m v2 2 = Y por tanto es decr 1 m (v 1 v 2 ) 2 = 1 m v2 2 1 m v1 2 = T 2 T T 2 T 1 = 1 m (v 1 v 2 ) 2 (10.18) 2 Esta expresón ofrece una nterpretacón ntutva muy clara, ya que permte calcular la pérdda de energía cnétca como la energía cnétca de un sstema (fctco) en que cada partícula posea precsamente la velocdad que ha perddo, (v 1 v 2 ). Repetmos la observacón realzada arrba sobre las hpótess restrctvas que es necesaro verfcar para que se pueda aplcar este teorema. Convene analzar detalladamente las condcones de cada problema, verfcando que se cumplen las hpótess enuncadas, antes de aplcarlo. En la práctca, por este motvo el teorema de Carnot tene una utldad bastante lmtada Choque Entre Sóldos Rígdos La Deformabldad de los sóldos Para explcar los choques y fenómenos mpulsvos la teoría de mpulsones entre sstemas dscretos (entre los que se hallan los sóldos rígdos), requere ntroducr fuerzas mpulsvas de contacto de valor nfnto. Asmsmo, el balance energétco se expresa medante un concepto nuevo, el de coefcente de resttucón. En la realdad físca, las fuerzas de contacto se generan por la deformabldad de los cuerpos, comenzando en cero y aumentando a medda que las zonas de contacto se comprmen. Aunque pueden alcanzar valores elevados en relacón con las fuerzas de naturaleza no mpulsva, obvamente no alcanzan nunca valores nfntos. En cualquer caso, tenen lmtacones de tpo físco debdo a los límtes de rotura de los materales en contacto o a posbles transformacones termodnámcas de los msmos (bajo presones muy elevadas muchos materales se lcúan o ncluso se sublman). La pérdda de energía se explca por uno de los motvos sguentes: Energía resdual de vbracón elástca que permanece en los cuerpos después de separarse. Se trata en realdad de energía cnétca y energía

14 10.14 Capítulo 10. DINÁMICA DE IMPULSIONES potencal elástca, pero para calcularla sería precso estudar la dnámca de la mpulsón como cuerpos que fuesen deformables, aspecto que se halla fuera del ámbto de este curso. Pérddas por energía plástca dspada, cambos de tpo termodnámco, rudo, calor, etc. La deformacón local en el área de contacto produce unas fuerzas nternas en el sóldo denomnadas tensones. La velocdad con que se transmte la onda de tensón generada en el choque (asocada a una dscontnudad de velocdades) es fnta. Por ejemplo, en una barra, la velocdad con la que se propaga es c = E/ρ sendo E el módulo elástco de Young y ρ la densdad másca. El cambo de velocdades del sóldo no se produce por tanto de forma nstantánea, sno de manera gradual, asocado a la propagacón de una onda que provoca un salto de velocdades y de tensones en el materal. Esta onda se refleja ( rebota ) en los extremos o bordes de los cuerpos, producendo en general estados de vbracón elástca más o menos complejos. En ocasones es mprescndble estudar de manera detallada la transmsón de ondas de tensón para explcar los fenómenos mpulsvos. Como ejemplo, consderamos el caso en que mpactan axalmente dos barras homogéneas, una de las cuales se mueve con velocdad v y la segunda está en reposo. S ambas barras son de gual longtud l, al cabo de un tempo pequeño 2 la prmera barra se queda en reposo, mentras que la segunda sale despedda con velocdad v. En este caso la energía cnétca que tenía la prmera barra se ha transmtdo íntegramente a la segunda barra. En cambo, s las barras son de dstnta longtud (por ejemplo l y 2l), permanece una porcón de la energía en la prmera barra, en forma de vbracones elástcas. Esto ocurre así a pesar de que localmente el choque se produzca con coefcente de resttucón e = 1. En este últmo caso, se observaría, desde el punto de vsta del sóldo rígdo (punto de vsta que podríamos denomnar macroscópco ), una pérdda de energía, que en realdad (desde el punto de vsta mcroscópco ) permanece en el sstema como energía nterna de vbracón Caso general de choque entre dos sóldos Análogamente al planteamento en la dnámca de las ecuacones de la cantdad de movmento y del momento cnétco, se debe consderar en una mpulsón el balance de dchas magntudes. Sendo v G la velocdad del centro 2 este tempo se puede calcular como el que tardan las ondas elástcas en avanzar hasta el extremo lbre y volver al punto de mpacto, es decr T = 2l/ E/ρ

15 Aptdo Choque Entre Sóldos Rígdos de masa, el balance de la cantdad de movmento se expresa como: I = M {}}{ m v = ( m ) v G Por tanto I ext = M v G (10.19) El balance del momento cnétco arroja: r I ext = H G = I G Ω + θ (I G Ω) }{{} 0 El térmno complementaro del ncremento se puede desprecar debdo a que la rotacón θ producda durante la mpulsón es un nfntésmo. Por lo tanto se escrbe r I ext = I G Ω (10.20) La expresón de balance del momento cnétco se puede aplcar gualmente s se toman momentos respecto de un punto cualquera, que no sea n un punto fjo (O) n el centro de masas (G). Tal como se vó en el apartado , es posble aplcar la ecuacón (10.11) para establecer el balance en un punto Q cualquera r I ext = H Q. Ahora ben, convene precsar que en este caso H Q no se expresa de la msma manera que como en la ecuacón (10.20), en funcón del tensor de nerca, es decr H Q I Q Ω. La expresón de H Q en un caso general es H Q = I Q Ω + QG Mv Q (10.21) por lo que, en una mpulsón, el ncremento sería H Q I Q Ω + QG M v Q Tambén podramos haber empleado otras expresones alternatvas de H Q (véase la ecuacón (6.14)), s resultan más convenentes, como H Q = I O Ω + Mv G OQ = I G Ω + Mv G GQ La expresón (10.21) se reduce a la (10.20) s Q G (el punto tomado concde con el centro de masas) o s v Q = 0 (el punto tomado tene velocdad nula).

16 10.16 Capítulo 10. DINÁMICA DE IMPULSIONES Choque drecto Se denomna choque drecto aquel en que el vector deslzante que defne la mpulsón, I, se halla sobre la normal común a los sóldos en contacto, en el que se encuentran asmsmo los centros de masa respectvos. Para que se cumpla la condcón enuncada de normaldad, las superfces han de ser lsas, o ben en caso de no serlo, no deben tener velocdad tangencal relatva los puntos de contacto. En el choque drecto, al no producrse momentos de las mpulsones respecto al centro de masas, basta con estudar el movmento de los centros de masas, como s se tratase de mpulsones de partículas. G A G B G A G B v1a n v1b n v2a n v2b n Fgura 10.4: Choque drecto entre dos sóldos; stuacón nmedatamente anteror e nmedatamente posteror al choque. Sólo se modfca la velocdad normal de A y B, que concden con las velocdades de los centros de masa respectvos, conservándose la velocdad tangencal. Sean v1a n, vn 1B, las velocdades antes del choque de los centros de masa de los dos sóldos A y B en dreccón de la mpulsón (es decr, en dreccón normal), y v2a n, vn 2B las velocdades posterores al choque. Al estar alneados los centros de masa con la normal, sus velocdades son las msmas que las de los puntos de contacto, por lo que la ecuacón del coefcente de resttucón es v2a n v2b n = e(v1a n v1b) n (10.22) Consderamos sólo las velocdades normales, que son las que camban. Las velocdades tangencales a la mpulsón, va t y vt B, se mantenen constantes. Por conservacón de la cantdad de movmento: m A v n 1A + m B v n 1B = m A v n 2A + m B v n 2B (10.23) De (10.22) y (10.23) despejamos las ncógntas v n 2A y vn 2B : v n 2A = m B(1 + e)v n 1B + (m A em B )v n 1A m A + m B v n 2B = m A(1 + e)v n 1A + (m B em A )v n 1B m A + m B

17 Aptdo Dnámca Anaĺıtca de Impulsones Estas expresones generales se pueden partcularzar a los casos de choque perfectamente elástco (e = 1) o choque plástco (e = 0) v n 2A = 2m Bv n 1B + (m A m B )v n 1A m A + m B v n 2B = 2m Av n 1A + (m B m A )v n 1B m A + m B v n 2A = m Bv n 1B + m Av n 1A m A + m B v n 2B = v n 2A El choque de esferas o dscos lsos es un ejemplo típco de choque drecto, ya que los centros de masa están sempre en la normal a la superfce, dreccón asmsmo de la mpulsón, al ser lsas Impulsones tangencales S en la percusón hay componente tangencal de la velocdad relatva en el punto de mpacto, y las superfces no son lsas, se producrá además de la mpulsón normal I N, una mpulsón tangencal I T. El valor máxmo de esta últma se obtene medante un coefcente admensonal k: I T k I N Esta expresón establece un límte máxmo para la mpulsón I T que se movlza, en funcón de I N, de forma smlar al rozamento de Coulomb. Este valor máxmo se alcanza s hay deslzamento después de la mpulsón. El valor de k es por lo general semejante al coefcente de rozamento de Coulomb, µ Dnámca Analítca de Impulsones Es posble aplcar los métodos de la mecánca analítca, descrtos en el capítulo 7, al caso de las mpulsones. Supongamos para ello un sstema holónomo, con vínculos lsos, y coordenadas lbres {q j }, (j = 1, 2,, n). Recordamos la expresón de las ecuacones de Lagrange (7.12): ( ) d T T = Q j, (j = 1, 2,, n) dt q j q j El prmer sumando del lado zquerdo de esta ecuacón representa las fuerzas de nerca, dervadas temporales de los momentos generalzados, mentras que

18 10.18 Capítulo 10. DINÁMICA DE IMPULSIONES el segundo corresponde a fuerzas fctcas debdas a la eleccón de coordenadas generalzadas {q j }. En el caso en que éstas sean coordenadas cartesanas, este segundo térmno es nulo. Para establecer el balance de momentos generalzados se ntegra sobre el ntervalo [τ ɛ, τ + ɛ]. La ntegral del sustraendo ( T/ q j ) resulta ser un nfntésmo del orden de ɛ, al tener dcho térmno un valor acotado. Resulta pues: T q j τ+ɛ = F r dt, q }{{ j } Q j donde se sobreentende el sumatoro sobre índces repetdos en el ntegrando. Desprecando las fuerzas ordnaras (no mpulsvas), la ntegral de las fuerzas vale I δ(t τ) r q j dt = I ( ) r q j def = P j donde la barra superpuesta ndca el valor medo a lo largo de la mpulsón. Defnmos esta expresón como mpulsón generalzada P j. Así, la ecuacón de balance resulta ( ) T = P j (10.24) q j }{{} p j La aplcacón de esta ecuacón exge que se cumplan las condcones expuestas al prncpo de este apartado, es decr que los vínculos sean holónomos lsos, y por tanto permanentes, condcones que a menudo no se dan. Convene por tanto tener cudado con su empleo ya que, debdo a estas restrccones, la aplcacón drecta de la ecuacón (10.24) a las mpulsones, sn comprobar adecuadamente que se verfcan las hpótess expuestas, puede dar lugar a errores.