Vectores duales y tensores. Borrador Preliminar

Transcripción

1 Capítulo 3 Vectores duales y tensores 63

2 La ruta de este capítulo Este capítulo completa el esfuerzo de formalzacón de conceptos que comenzamos en el capítulo anteror. Incamos con el estudo de los funconales lneales, extendendo el concepto de funcón al de una aplcacón entre elementos de espacos vectorales, lo cual nos llevará a la defncón de los espacos vectorales duales. Incorporamos el concepto de forma como ese conjunto de funconales que forman al espaco vectoral dual. Ahora el producto nterno se defnrá entre formas y vectores. En la seccón 3. defnremos una nueva clase de objetos matemátcos, los tensores, los cuales pueden verse como arreglos multlneales y consttuyen una extensón de objetos ya conocdos: los escalares, los vectores y las formas. Desarrollaremos el álgebra tensoral y sus leyes de transformacón. Ejemplfcamos la utlzacón de este concepto en Físca cuando dscutmos, en la seccón 3..9, el tensor de nerca y el de esfuerzos (strees). En la seccón 3.3 ncursonaremos en los espacos pseudoeucldanos para mostrar una stuacón en la cual podemos dferencar formas de vectores, aprovechamos además para ntroducr algunas nocones báscas de la teoría especal de la relatvdad. Para fnalzar, el la seccón 3.4 extenderemos los conceptos de espacos vectorales y bases dscretas a espacos de funcones y bases contnuas y en ese contexto dscutmos algunos rudmentos de teorías de dstrbucones. 3.. Funconales lneales En los cursos más elementales de cálculo se estudaron funcones de una y más varables reales. Estas funcones pueden consderarse que actúan sobre vectores en R 3 y podemos extender esta dea para otras que tengan como argumento vectores de un espaco vectoral abstracto. Comenzaremos con las más sencllas, las lneales, que tambén son conocdas como operadores lneales. Defnremos funconales lneales como aquella operacón que asoca un número complejo (o real) K a un vector v V, esdecr: 8 v V )F[ v] C, y cumple con: F [ v + v ] F [ v ]+ F [ v ], 8 v, v V y 8, K. En otras palabras, un funconal lneal (o forma lneal) es un morfsmo del espaco lneal V a un espaco undmensonal K. Notemos que cuando se escoge una base { e } de un espaco vectoral V de manera que para cualquer vector v V se especfcan sus componentes { } respecto a esa base, es decr, v = e, entonces lo que se tene para cada componente es un funconal lneal, como por ejemplo, F [ v] =. Algo parecdo ocurre con el producto nterno, cuando en un espaco vectoral V se defne el producto escalar hv v, del vector v con un vector fjo v, lo que tenemos es un funconal lneal F [ v] =hv v = K. Otro ejemplo sencllo de un funconal lneal es la ntegral de Remann que podemos nterpretar de la manera sguente: I [ f] = Z b a f (x)f(x)dx, donde f(x),f (x) C [a,b], es decr, pertenece al espaco vectoral de funcones reales y contnuas en el ntervalo [a, b] yf (x) es una funcón que se toma como fja. Entenderemos por morfsmo a toda regla o mapa que asgne a todo vector v de un espaco vectoral V un vector w de un espaco vectoral W yusualmentesedenotaporf : V ) W.

3 3... Espaco vectoral dual El conjunto de funconales lneales {F, F, F 3,, F n, } consttuyen a su vez un espaco vectoral, el cual se denomna espaco vectoral dual de V que es el espaco drecto y se denotará como V (aquí no es complejo conjugado). S V es de dmensón fnta n, entonces dmv =dmv = n. Es fácl convencerse que los funconales lneales forman un espaco vectoral ya que, dados F, F V se tene: 9 (F + F )[ v] =F [ v]+f [ v] = 8 v V. ; ( F)[ v] = F [ v] A este espaco lneal se le llama espaco de formas lneales y, a los funconales se les denomna formas o covectores. Como ya lo menconamos, en aquellos espacos lneales con producto nterno defndo, el msmo producto nterno consttuye la expresón natural del funconal. Así tendremos que: F a [ v] ha v 8 v V ^ 8 ha V. Es claro comprobar que el producto nterno garantza que los {F a, F b, } forman un espaco vectoral: (F a + F b )[ v] =F a [ v]+f b [ v] =ha v + hb v ( F a )[ v] =h a v = ha v = F a [ v] 9 = ; 8 v V. Esta últma propedad se conoce como antlnealdad. Se establece entonces una correspondenca a entre kets y bras, entre vectores y funconales lneales (o formas dferencales): v + v hv + hv, que ahora podemos precsar de la sguente forma: ha v = hv a, ha v + v = ha v + ha v, h a + a v = ha v + ha v. Más aún, dada una base { e, e, e n } para V sempre es posble asocar una base para V de tal manera que: v = e hv = e, con = e v ^ = hv e, para =,,,n. En un lenguaje arcaco (y muchos textos de mecánca todavía lo reproducen) se denota a la base del espaco dual e como la base recíproca de la base { e }, este caso lo lustraremos más adelante. Se puede ver tambén que s v = e, entonces F [ v] =F e = F [ e ]=!, con F [ e ]!. Nótese que estamos utlzando la notacón de Ensten en la que índces repetdos ndcan suma. Nótese tambén que las bases del espaco dual de formas dferencales e k llevan los índces arrba, los llamaremos índces contravarantes, mentras que los índces abajo, serán covarantes. Por lo tanto, las componentes de las formas dferencales en una base dada, llevan índces abajo ha = a e mentras que las componentes de los vectores los llevan arrba v = j e j.

4 Observe tambén que dada una base en el espaco drecto { e } exste una únca base canónca en el dual defnda como: e e j = F [ e j ]= j. Esta forma al actuar sobre un vector arbtraro resulta en: F [ v] =F j e j = j F [ e j ]= j j = su componente contravarante. El conjunto de formas {F } será lnealmente ndependentes. S v = e es un vector arbtraro en el espaco drecto y ha = a e un vector en el espaco dual, entonces: ha v = a e j e j = a j e e j = a j j = a, y para bases arbtraras, no ortogonales, { w } de V y { w } de V se tene: ha v = w w j a j Espacos duales y bases recíprocas Un ejemplo que lustra las bases duales y drectas son las bases recíprocas y drectas que menconamos anterormente, vamos a desarrollar un poco más sobre este tema. Consderemos el problema de expandr un vector a con respecto a una base no ortogonal, { w }, de tal forma que, a = a w. Por smplcdad, tomemos el caso R 3, de manera que a = a w ( =,, 3). Al proyectar el vector a sobre los ejes de algún sstema de coordenadas, es posble resolver el sstema de tres ecuacones que resulta para las ncógntas a. Las bases w y w serán duales, s satsfacen w w j = j. Es decr, cada uno de los vectores bases duales es perpendcular a los otros dos de la base dual: w será perpendcular a w y w 3 : w = (w w 3 ). Como w w =, entonces: y en general, es fácl ver que: w (w w 3 )= ) = w (w w 3 ) ) w w 3 w = w (w w 3 ), w w j w k = w (w j w k ), donde, j, k son permutacones cíclcas de,, 3. Notemos tambén que V = w (w j w k ) es el volumen del paralelepípedo que soportan los vectores {w } y que además se puede obtener una expresón análoga para los {w } en térmno de los {w }. Al ser {w } y {w } duales, y equvalentemente: a = a j w j ) w a = w (a j w j )=a j (w w j )=a j j = a, con =,, 3 a = a j w j ) a w =(a j w j ) w = a j (w j j w )=a j = a, con =,, 3. Es decr, un msmo vector se puede representar en ambas bases, a = a w = a w,atravésdesus componentes contravarantes a (componentes en el espaco drecto) o covarantes a (componentes en el espaco dual). S las base drecta es ortonormal su dual tambén lo será y, más mportante aún, ambas bases concden e e, y s la base orgnal o drecta es dextrógra su dual tambén lo será. Por otro lado, s a se expresa en un sstema de coordenadas defndo por una base: w : a = a w y queremos saber como se escrbe en otra base: u : a =ã u, entonces: 8 < a = a w ) u j a = u j (a w ) ) ã j = Ãj a : a = a w ) u j a = u j (a w ) ) ã j = Ã j a.

5 Donde: à j = uj w y à j = u j w. Del msmo modo el lector puede demostrar que: a j = A j ã y a j = A jã. Para fnalzar, es fácl obtener las relacones entre componentes covarantes y contravarantes, s defnmos una operacón entre vectores: w w j w j w = g j y w w j = w j w = g j, de manera que: a w = a j (w j w ), a w = a j (w w j ), de esta forma tendremos: a = g j a j, a = g j a j, con w w j = gj = j. Adconalmente, s las bases son ortogonales, tanto los e como los e, entonces: g j = g j =(6= j), lo que resulta en: a = g a, a = g a, a = g a, a = g a, a 3 = g 33 a 3,a 3 = g 33 a 3. La defncón: e e j e j e = g j, se conoce como el tensor métrco o sencllamente la métrca, y la operacón representa un producto tensoral. Más adelante, en las seccones 3. y 3.., mostraremos con detalle que estas defncones que aquí hemos realzado de manera operaconal, corresponden a una métrca tal y como la analzamos en Vectores, formas y leyes de transformacón Tal y como hemos menconado anterormente (tempranamente en la seccón.4.3 y luego en la seccón.3.4), un determnado vector a V puede expresarse en una base ortonormal { e j } como: a j e j donde las a j son las componentes contravarantes del vector en esa base. En general, como es muy largo decr componentes del vector contravarante uno se refere (y nos referremos de ahora en adelante) al conjunto a j como un vector contravarante obvando la precsón de componente, pero realmente las a j son las componentes del vector. Adconalmente, en esta etapa pensaremos a las bases como dstntos observadores o sstemas de referencas. Con ello tendremos (algo que ya sabíamos) que un vector se puede expresar en dstntas bases y tendrá dstntas componentes referdas a esa base a = a j e j =ã j ẽ j. Así una msma cantdad físca vectoral se verá dstnta (tendrá dstntas componentes) desde dferentes sstemas de coordenadas. Las dstntas vsones están conectadas medante un transformacón de sstema de referenca como veremos más adelante. Igualmente hemos dcho al comenzo de este capítulo (seccón 3..) que una forma dferencal o -forma, hb V es susceptble de expresarse en una base e del espaco dual V como b e y, como el espaco está equpado con un producto nterno, entonces: ha b = hb a = b a j e e j = b a j j = a b. Con lo cual avanzamos otra vez en la nterpretacón de este tpo de objetos: una cantdad físca escalar se verá gual (será nvarante) desde dstntos sstemas de referenca. Además sabemos que unas y otras componentes se relaconan como: e a = a j e e j = a 9 8 j j =ãj e ẽ j = < a = A jãj ẽ a =ã j ẽ ẽ j =ã j j = aj ẽ ; ) : e j ã = à j aj,

6 donde claramente: e ẽ j = A j; ẽ e j = à j y A kãk j = j () à j = A j. Dremos entonces que aquellos objetos cuyas componentes transforman como: a = A jãj o, equvalentemente como: ã = à j aj serán vectores, o en un lenguaje un poco más antguo, vectores contravarantes. Tradconalmente, e nsprados en la ley de transformacón, la representacón matrcal de las componentes contravarantes de un vector, e a = a j, para una base determnada { e j } se representan como una columna a ) a = e a, con =,, 3,,n () De la msma manera, en el espaco dual, V, las formas dferencales se podrán expresar en térmno de una base de ese espaco vectoral como hb = b e = b ẽ. Las {b } serán las componentes de las formas dferencales o las componentes covarantes de un vector b, o dcho rápdamente un vector covarante o covector. Al gual que en el caso de las componentes contravarantes las componentes covarantes transforman de un sstema de referenca a otro medante la sguente ley de transformacón: hb e j = b e e j = b j = b ẽ 9 8 e j = < b j = b A hb ẽ j = b ẽ ẽ j = b j = b e ; ) j : ẽ j bj = b à j. Otra vez, objetos cuyas componentes transformen como b j = b A j los denomnaremos formas dferencales o vectores covarantes o covectores y serán representados como matrces en un arreglo tpo fla: a a. a n C A. hb ) b = hb e, con =,, 3,,n () b b b n. Quzá hasta este punto la dferenca de formas y vectores, de componentes covarantes y contravarantes, así como sus esquemas de transformacón es todavía confusa. No dsponemos de ejemplos contundentes que lustren esa dferenca. Estos serán evdentes cuando nos toque dscutr las característcas de los espacos pseudoeucldanos en la seccón 3.3. Luego, en la seccón 5., consderaremos algunos ejemplos en coordenadas generalzadas Ejemplos. Consderemos V = R 3 como el espaco vectoral conformado por todos los vectores columna v el cual al representarse en su base canónca { } resulta en: v A A + A = =. Algunos autores preferen utlzar la sguente notacón para las transformacones: a = A j a j y a = A j aj,porloque j = A k A k j 3 A,

7 Sea un funconal lneal FV, de manera que los vectores duales F[ ] hf $(w,w,w 3 ), puedan ser representados por vectores flas. Notemos que la base de funconales lneals [ ], la defnmos como: [ j ]= j = j ) =, =, 3 =, =, =, En este caso: = h entonces =(,, ), =(,, ), 3 =(,, ) y además, [ v] =(,, 3 A =, [ v] =(,, 3 A =, 3 [ v] =(,, ). Encontremos la base dual para el espaco vectoral V = R 3, con base ortogonal: e A, e A, e 3 A. Todo vector de ese espaco queda representado en esa base por: v = v e = A + A + v 3 v +v v v v 3 A v + v v 3 A = 3. Una vez más, sea un funconal lneal FV, representa vectores duales F[ ] hf $(w,w,w 3 )y la base en el dual es: e =(a,b,c ). Además sabemos que: e e j = j. Por lo tanto: e e = (a,b,c A = a + b c = 8 < a = e 3 e = (a,b,c A =a b + c = ) b = : 3 c = 3 e e 3 = (a,b,c A = b c = e e = (a,b,c e e = (a,b,c e e 3 = (a,b,c A = a + b c = 8 < a = 3 A =a b + c = ) b = : 6 c = 6 A = b c =

8 Y fnalmente: e 3 e = (a 3,b 3,c 3 e 3 e = (a 3,b 3,c 3 e 3 e 3 = (a 3,b 3,c 3 A = a 3 + b 3 c 3 = 8 < a 3 = A =a 3 b 3 + c 3 = ) b 3 = : c 3 = A = b 3 c 3 = La base del dual es: e =( 3, 3, 3 ), e =( 3, 6, 6 ), e 3 =(, Notemos que, como era de esperarse: e v = 3, v +v v v v 3 A = v, 3 v + v v 3 e 3 v =, hf = w e + w e + w 3 e ), de manera que: e v = 3, v +v v v v 3 A = v 6 v + v v 3 v +v v v v 3 A = v 3. v + v v 3 3. Dados los vectores: u = + j +k, u = +j +3k, y u 3 = 3j +4k. Revsaremos s estos vectores son mutuamente ortogonales. Encontraremos la base recíproca u, el tensor métrco en ambas bases y para el vector a =3u +u + u 3 encontraremos sus componentes covarantes. Para saber s son ortogonales smplemente calculamos el producto escalar entre ellos: u u =9, u u 3 =6 yu u 3 = 7, por lo tanto no son ortogonales y adconalmente sabemos que: Procederemos a calcular prmero el denomnador: u u j u k = u (u j u k ) V = u (u u 3 ) ) ( + j +k) ([ +j +3k] [ 3j +4k]) = 6. En general: 8 u = u u3 V = 7 6 u = u j u >< 6 j 5 6 k k ) u = u3 u V V = j + 3 k >: u 3 = u u V = 6 6 j + 6 k Notemos que: apple 7 Ṽ = u (u u 3 ) ) 6 6 j k j + apple 3 k 6 6 j + 6 k = 6.

9 El tensor métrco para la base recíproca será: g j = g j = u u j u u u u u u 3 u u u u u u 3 A u 3 u u 3 u u 3 u 3 mentras que para la base orgnal: u u u u u u g j = g j = e e j u u u u u u 3 A A. u 3 u u 3 u u 3 u Y, como debe ser, u u j = g j A A. Entonces, para un vector dado por: a =3u +u + u 3 =6 +4j + 6k = a + a j + a 3 k, podemos calcular sus componentes covarantes de la manera sguente: 8 < a = g a + g a + g 3 a 3 = (6)(6) + (9)(4) + (6)(6) = 68 a = g j a j = a = g a + g a + g 3 a 3 = (9)(6) + (4)(4) + (7)(6) = : a 3 = g 3 a + g 3 a + g 33 a 3 = (6)(6) + (7)(4) + (6)(6) = 48 Esto es: a = a + a j + a 3 k = 68u + u + 48u 3 = 6 34j + 88k. 4. Repetremos los cálculos del ejercco anteror pero con los vectores: w = + j +k, w = j + k, w 3 =3 3j. Ortogonaldad: w w =, w w 3 = yw w 3 =. Son ortogonales. La base recíproca se construye a partr de: donde el denomnador es: w w j w k = w (w j w k ), V = w (w w 3 ) ) ( + j +k) ([ j + k] [3 3j]) = 8, y por lo tanto: 8 w = w w3 V = 6 w = w j w >< + 6 j + 3 k k ) w = w3 w V V = 3 3 j + 3 k >: w 3 = w w V = 6 6 j El volumen recíproco, como era de esperarse: Ṽ = w (w w 3 ) ) j + apple 3 k 3 3 j + apple 3 k 6 6 j = 8, A,

10 mentras que el tensor métrco para la base recíproca es: w w w w w w 3 g j = g j = w w j w w w w w w 3 6 A w 3 w w 3 w w 3 w 3 3 y para la base orgnal w w w w w w 3 6 g j = g j = w w j w w w w w w 3 A 3 A. w 3 w w 3 w w 3 w 3 8 Entonces el vector a =3w +w + w 3 =4 j +8k = a + a j + a 3 k, tendrá como componentes covarantes 8 < a = g a = (6)(4) = 4 a = g j a j = a = g a = (3)( ) = 6 : a 3 = g 33 a 3 = (8)(8) = 44 Esto es: a = a + a j + a 3 k = 4e 6e + 44e 3 = 3 8j +6k. Notemos que s la base orgnal hubese sdo ortonormal: entonces: w =( + j +k)/ p 6, w =( j + k)/ p 3, w 3 =(3 3j)/ p 8, Practcando con Maxma 8 < a = a g j = g j A ) a = a : a 3 = a 3. Tenemos para el espaco vectoral V = R 3, la base ortogonal: e =(,, ), e =(,, ), e 3 =(,, ). Con FV donde F[ ] hf $(w,w,w 3 )y e =(a,b,c ), con e e j = j. Comencemos ntroducendo los vectores como lstas: (%) e:[,,-];e:[,-,];e3:[,-,-]; ( %o) [,, ] ( %o) [,, ] ( %o3) [,, ] Efectvamente son mutuamente ortogonales: (%4) e.e;e.e3;e.e3; ( %o4) ( %o5) 8 A

11 ( %o6) Para fnes práctcos del cálculo que vamos a realzar, construremos una matrz con los vectores como flas: (%7) E:matrx([,,-],[,-,],[,-,-]); ( A De manera que: (%8) M:E.[a,b,c]; ( %o8) c + b + c b +aa c b De esta forma es sencllo calcular todas las combnacones de e e, con las condcón e e j = j,y resolver los sstemas de ecuacones para los dferentes {a,b,c }. Veamos: (%9) ec:m[,]=;ec:m[,]=;ec3:m[3,]=; ( %o9) c + b + a = ( %o) c b +a = ( %o) c b = (%)lnsolve([ec,ec,ec3],[a,b,c]); apple ( %o) a = 3, b = 3, c = 3 (%3)M:E.[a,b,c]; c + b + a ( c b +aa c b (%4)ec:M[,]=;ec:M[,]=;ec3:M[3,]=; ( %o4) c + b + a = ( %o5) c b +a = ( %o6) c b = (%7)lnsolve([ec,ec,ec3],[a,b,c]); apple ( %o7) a = 3, b = 6, c = 6

12 (%8)M3:E.[a3,b3,c3]; c 3 + b 3 + a 3 ( c 3 b 3 +a 3 A c 3 b 3 (%9)ec:M3[,]=;ec:M3[,]=;ec3:M3[3,]=; ( %o9) c3 + b3 + a3 = ( %o) c3 b3 +a3 = ( %o) c3 b3 = (%)lnsolve([ec,ec,ec3],[a3,b3,c3]); apple ( %o) a3 =, b3 =, c3 = De manera que la base dual e es: (%3)d:[/3,/3,-/3];d:[/3,-/6,/6];d3:[,-/,-/]; apple ( %o3) 3, 3, 3 apple ( %o4) 3, 6, 6 apple ( %o5),, Y son mutuamente ortogonales: (%6)d.d;d.d3;d.d3; ( %o6) ( %o7) ( %o8) Orgnalmente teníamos que: S construmos la sguente matrz: v = v e = v e + v e + v 3 e 3 (%9)V:transpose(matrx(v*e,v*e,v3*e3)); v v ( v v v3a v v v3

13 Podremos comprobar que efectvamente: e v = v (%3)d.V;d.V;d3.V; ( %o3) v ( %o3) v ( %o3) v3 (%33)kll(all)$. En este ejercco veremos la manera de construr la matrz de transformacón entre bases y el cálculo de las bases recíprocas. S tenemos la sguente transformacón entre bases: Para calcular la matrz de transformacón: e = j + k, e = + k, e 3 = + j. e = Ãj j, podemos trabajar de la manera sguente. Prmero ntroducmos los vectores como una matrz y luego calculamos la transpuesta: (%) v:[,,]$v:[,,]$v3:[,,]$ (%) Aj:transpose(matrx(v,v,v3)); ( A La matrz de transformacón nversa = A j e j, es smplemente la matrz nversa: (%3) A_j:nvert(%); ( Es claro que A j kãk = (%4) A_j.A_j; ( A j A (%5) kll(all)$

14 3. Con el uso del paquete vect podemos hacer algunos cálculos sencllos con vectores, como por ejemplo, el cálculo de las bases recíprocas. (%) load(vect)$ Dado el sguente conjunto de vectores: b =e = + j +k, b =e = j k, b3 =e 3 = j + k Calcularemos la base recíproca a través de: (%) b:[,,]; ( %o) [,, ] (%3) b:[-,-,-] ( %o3) [,, ] (%4) b3:[,-,]; ( %o4) [,, ] e e j e k = e (e j e k ), Podemos comprobar s la base orgnal b es ortogonal calculando sus productos escalares: (%5) b.b; b.b3; b.b3; ( %o5) 4 ( %o6) ( %o7) Por lo tanto, no son ortogonales. Ahora, los vectores recíprocos e se calculan de la manera sguente: (%8) e:express(b~b3)/(b3.(express(b~b))); ( %o8) apple 3 4, 4, (%9) e:express(b3~b)/(b3.(express(b~b))); ( %o9) apple 5 4, 3 4, (%)e3:express(b~b)/(b3.(express(b~b)));

15 ( %o) apple 4, 4, La base recíproca es entonces: e = j + k, e = j + k, e3 = 4 4 j Que tampoco es ortogonal: (%)e.e; e.e3; e.e3; ( %o) 7 8 ( %o) 8 ( %o3) 8 El tensor métrco para la base orgnal g j = e e j lo podemos construr de la manera sguente: (%4)gb:matrx([b.b,b.b,b.b3],[b.b,b.b,b.b3],[b3.b,b3.b,b3.b3]); 6 4 ( 4 3 A 9 Para la base recíproca g j = e e j (%5)ge:matrx([e.e,e.e,e.e3],[e.e,e.e,e.e3],[e3.e,e3.e,e3.e3]); ( A De manera que: e e j = g j = j : (%6)gb.ge; ( A Ejerccos. Encuentre las bases duales para los sguentes espacos vectorales: 4 a) R, donde: e $ y e $.

16 b) R 3, donde: e 3 A, e A y e 3 S V es el espaco vectoral de todos los polnomos reales de grado n apple, y defnmos: [ p] = Z p(x)dx ^ [ p] = Z A. p(x)dx, donde {, }V. Encuentre una base { e, e } V que resulte ortogonal a la dual a {, }. 3. S V es el espaco vectoral de todos los polnomos reales de grado n apple. Y s además defnmos [ p] = Z = p(x)dx, [ p] =p () ^ 3 [ p] =p() donde {,, 3 }V. Encuentre una base { e, e, e 3 } V que resulte ortogonal a la dual a {,, 3 }. 4. Sean v y v V y supongamos que F [ v ]=mplcaquef [ v ]=8FV.Muestreque v = v con K. 5. Sean F y F V y supongamos que F [ v] =mplcaquef [ v] =8 v V. Muestreque F = F con K. 6. En el caso 3D tenemos que s {e } defne un sstema de coordenadas (dextrógro) no necesaramente ortogonal, entonces, demuestre que: e j e k e = e (e j e k ),,j,k =,, 3 y sus permutacones cíclcas 7. Demuestre que s los volumenes: V = e (e e 3 )yṽ = e (e e 3 ), entonces V Ṽ =. 8. Qué vector satsface a e?demuestrequea es únco. 9. Demuestre que g j = e e j.. S la base {e } es ortogonal, demuestre que: a) g j es dagonal. b) g =/g (no hay suma). c) e =/ e.. Encuentre el producto vectoral de dos vectores a y b que están representados en un sstema de coordenadas oblcuo.. Dada la base: e =4 +j + k, e =3 +3j, e 3 =k. Encuentre: a) Las bases recíprocas {e }. b) Las componentes de la métrca g j, g j y g j. c) Las componentes covarantes y contravarantes del vector a = + j + 3k. 3. Resuelva los problemas anterores utlzando Maxma.

17 3.. Tensores y producto tensoral Las funcones más smples que se pueden defnr sobre un espaco vectoral, el funconal lneal, nos permte extendernos al concepto de tensor. Para llegar a la nocón de tensores amplaremos la dea de funconales lneales, que actúan sobre un únco vector, al de funconales blneales (o formas blneales) que tenen dos vectores en su argumento. Como veremos más adelante este tpo de funconales nos revelarán un contendo geométrco de gran rqueza Tensores, una defncón funconal Defnremos como un tensor a un funconal lneal (blneal en este caso) que asoca un elemento del campo K, complejo o real, a un vector v V, a una forma hu V, o ambas, y cumple con la lnealdad. Esto es: 8 v V ^ hu V! T [hu ; v] C. Entonces se debe cumplr: T [hu ; v + v ] T [hu ; v ]+ T [hu ; v ] 8 v, v V ^ hu V. T [µ hu + hu ; v] µt [hu ; v]+ T [hu ; v] 8 v, V ^ hu, hu V. En pocas palabras: un tensor es un funconal generalzado cuyos argumentos son vectores y/o formas 3,lo que sgnfca que T [ ; ] es una cantdad con dos puestos y una vez cubertos se converte en un escalar (complejo o real). Las combnacones son muy varadas: Un tensor, con un argumento correspondente a un vector y un argumento correspondente a una forma, lo podremos representar de la sguente manera: 3 v hu # # T 4 ; 5 C tensor de tpo. Un tensor con dos argumentos correspondentes a vectores y uno a una forma sería: 3 v v hu # # # T [, ; ] T 4, ; 5 C tensor de tpo, Un tensor con dos argumentos correspondentes a formas y uno a un vector: 3 v hu hu # # # T [ ;, ] T 4 ;, 5 C tensor de tpo. En general: T 4 v v #, #,, v n 3 hu m #,, 5 m C tensor de tpo. n hu hu # # # ; 3 Una presentacón nteresante y detallada de la utlzacón del concepto de tensor para el manejo de datos en computacón la pueden encontrar en: Lu, H., Platanots, K. N., & Venetsanopoulos, A. N. (). A survey of multlnear subspace learnng for tensor data. Pattern Recognton, 44(7),

18 En ésta notacón el punto y coma (;) separa las entradas formas de las entradas vectores. Es mportante recalcar que el orden s mporta, no sólo para las cantdades separadas por el punto y coma, sno el orden de los puestos vectores y puestos formas separados por coma, y repercutrá en las propedades de los tensores. Por ejemplo: s el orden de las entradas vectores no mporta, podremos permutarlas sn alterar al tensor, tendremos entonces tensores smétrcos respecto a esos puestos o entradas ; del msmo modo, serán tensores antsmétrcos aquellos en los cuales el orden s mporta y al permutar esos puestos o entradas hay un cambo de sgno en el tensor. Todos estos casos serán tratados con detalle más adelante, pero vale la pena recalcar que en general, para un tensor genérco el orden de la entradas o puestos s mporta pero no necesaramente se comporta como los casos reseñados anterormente. Notemos que en el caso general un tensor es báscamente un aplcacón multlneal T sobre V V: T : V m V n = V V V V {z V V V V } {z } m n ) C, con n el orden covarante y m el orden contravarante. m Por lo tanto, un tensor es un funconal multlneal que asoca m formas y n vectores con C. n Un ejemplo sencllo de un funconal blneal sobre un espaco vectoral V n con una base e es: donde: T [ v, v ]=a j j (, j =,,...,n), v = e ^ v = e. son vectores arbtraros V n y los a j son números. Notemos que: T [ v, v ]=T e, j e j = j T [ e, e j ]= j a j. Dremos que ésta será la representacón del funconal blneal para V n. Obvamente las formas pueden ser representadas por tensores ya que son funconales lneales de vectores. Para fnalzar, notemos lo sguente: Un vector es un tensor del tpo: 3 hu # T 4 5 C. Los vectores consttuyen un caso especal de tensores. Una forma es un tensor del tpo: T 4 v # 3 5 C, porque son funconales lneales para las formas dferencales. Un escalar es un tensor del tpo: C.

19 3... Producto tensoral Como será evdente más adelante, los tensores (smples) puedenprovenrdelproducto tensoral (exteror o drecto) de espacos vectorales. Esto es, consderaremos E y E dos espacos vectorales con dmensones n y n, respectvamente y vectores genércos, '() y () pertenecentes a estos espacos vectorales: '() E y () E. Defnremos el producto tensoral (exteror o drecto) de espacos vectorales, E = E E, s a cada par de vectores '() y () le asocamos un tensor tpo yssecumpleque: 3 h () h () # # '() () '() (),T 4, 5 = h () '()h () () C, y s además se cumplen las sguentes propedades:. La suma entre tensores de E vene defnda como: '() () + () () = '() () + () () = '() + () () + ().. El producto tensoral es lneal respecto a la multplcacón con números reales y µ: [ '()] () =[ '()] () = [ '() ()] = '() (), '() [ µ ()] = '() [µ ()] =µ [ '() ()] =µ '() (). 3. El producto tensoral es dstrbutvo respecto a la suma: '() [ () + ()] = '() () + '() () [ ' () + ' ()] () = ' () () + ' () (). Nótese que las etquetas () y () denotan la pertenenca al espaco respectvo. Es fácl convencerse que los tensores '() () E = E E forman un espaco vectoral y la demostracón se basa en comprobar los axomas o propedades de los espacos vectorales tal y como lo descrbmos en la seccón..3:. La operacón suma es cerrada en V : 8 v, v j V ) v k = v v j V. Esto se traduce en demostrar que sumados dos tensores '() () y () ()E el tensor suma tambén pertenece a E, con y pertenecentes al campo del espaco vectoral '() () + () () = '() + () () + (), y esto se cumple sempre ya que, el producto tensoral es lneal respecto a la multplcacón con números reales, y por ser E y E espacos vectorales se cumple: 9 '() + () = '() + () E = ) '() + () () + () E. ; '() + () = '() + () E

20 . La operacón suma es conmutatva y asocatva. Conmutatva: 8 v, v j V ) v v j = v j v. Esta prmera es clara de la defncón de suma: '() () + () () = '() + () () + () () () + '() () = () + '() () + (), por ser E y E dos espacos vectorales. Asocatva: 8 v, v j, v k V ) ( v v j ) v k = v j ( v v k ) Una vez más, esto se traduce en: ( '() () + () ()) + {()apple() = '() () +( () () + {()apple()), con lo cual, por la defncón de suma, la expresón anteror queda como: ( '() + () () + ()) + {()apple() = '() () +( () + {() () + apple()) ('() + ()) + {() ( () + ()) + apple() = '() + ( () + {()) () + ( () + apple()). 3. Exste un únco elemento neutro: 9 / v j = v j = v j 8 v j V. Es decr: '() () + ()() = '() + () () + () = '() () = '() (). 4. Exste un elemento smétrco para cada elemento de V: 8 v j V 9 v j / v j v j =. '() () '() () = '() '() () () = () () = ()(). 5. ( v )=( ) v : ( '() ()) = ( () '()) = () '() =( ) () '() =( ) '() (). 6. ( + ) v = v + v : 7. ( v v j )= v v j : ( + ) '() () = '() ( + ) () = '() () + () = '() [( () + ())] = '() () + '() (). ( '() () + () ()) = ( '() + () () + ()) = ('() + ()) () + () = '() + () () + () = '() () + () () = '() () + () (). Equvalentemente, podemos construr un producto tensoral entre espacos de formas dferencales. S E y E son dos espacos vectorales duales a E y E, con dmensones n y n, respectvamente. A estos espacos pertenecen las formas dferencales genércas h () E y h () E. Defnremos el producto tensoral de espacos vectorales duales, E = E E, s a cada par de formas dferencales h () E y h () E le asocamos un tensor tpo. Esto es: h () () = h () h ().

21 3..3. La tentacón del producto nterno A partr de las defncones de productos nternos en E y E, uno puede verse tentado a defnr un producto nterno de la sguente forma h '() () '() () = h '() '() h () (). Mostraremos, sn embargo, que NO es una buena defncón de producto nterno, y para ello debemos demostrar que no se satsfacen los axomas o propedades del producto nterno que expusmos en la seccón..3. Para facltar la lectura repetremos aquí las propedades que defnen el producto nterno (expuestas en la seccón..3) y haremos las adaptacones del caso:. hx x R ^ hx x 8 x V s hx x =) x. Esto es: h'() () '() () = h'() '() h () (), como h'() '() y h () () son buenas defncones de producto nterno tendremos que: 9 h'() '() = )h'() () '() (). ; h () () Aquí vale la pena menconar algunos puntos sutles sobre la segunda parte de la propedad a demostrar: S hx x = ) x, lo cual para este caso se traducen en: h'() () '() () = h'() '() h () () = 8 9 h'() '() = = >< h'() '() h () () = ) >: h () () 6= h'() '() 6= h () () = ; 9 = ; ) '() = () ) () = () 9 8 h'() '() = = < '() = () ; ) : h () () = () = () defntvamente, habría que restrngr los posbles vectores que ntervenen en el producto tensoral, de modo que no fuera posble vectores del tpo: '()() '() () o () () () (), sólo así se cumple la propedad menconada.. hx y = hy x 8 x, y V. Esto puede ser demostrado fáclmente como sgue: h '() () '() () = h '() '() h () () = h'() '() h () () =(h'() '() h () ()) = h'() () '() ().

22 3. hx y + z = hx y + hx z ^ hx + z y = hx y + hz y 8 x, y, z V. Partmos del lado derecho de la prmera de las gualdades anterores: h '() () [ '() () + () ()] = h '() () [ '() + () () + ()] = h '() '() + () h () () + (), y otra vez, como h'() '() y h () () son buenas defncones de producto nterno tendremos que: h '() '() + () = h '() '() + h '() () h () () + () = h () () + h () (), y al multplcar h () () + () por h '() '() + () surgrán cuatro sumandos: h '() '() h () ()+h '() '() h () ()+h '() () h () ()+h '() () h () (), lo cual contrasta con el lado zquerdo al utlzar la defncón dos veces que contene dos sumandos: h '() () '() () + h '() () () () = h '() '() h () () + h '() () h () (), por lo tanto, NO se cumple esta propedad y no hay forma de enmendarla Bases para un producto tensoral S { u ()} y { v ()} son, respectvamente, bases dscretas para E y E entonces podremos construr el tensor: u ()v j () = u () v j () E, el cual funconará como una base para E y, por lo tanto, podremos construr un tensor genérco de E: '() () = '() () = ' j u ()v j (), donde ' y j son las componentes de '() y () en sus respectvas bases. En otras palabras, las componentes de un tensor en E corresponden a la multplcacón de las componentes de los vectores en E y E. Recuerde que estamos utlzando la convencón de Ensten de suma tácta en índces covarantes y contravarantes, en la cual c k v k P n k= ck v k. Es mportante señalar que s ben un tensor genérco Esempresepuedeexpandr en la base u ()v j () no es certo que todo tensor de E provenga del producto tensoral de E y E. Es decr, E tene más tensores de los que provenen el producto tensoral. Esta afrmacón puede nturse del hecho que s E entonces: = c j u ()v j (), por ser { u ()v j ()} base para E. Es claro que dados dos números y habrá c j que no provenen de la multplcacón de. El conjunto de todas funcones blneales T [hu ; v] forman un espaco vectoral sobre el espaco drecto E. Este espaco vectoral de funcones tendrá una base dada por: u ()v j () = u () v j ().

23 3..5. Tensores, sus componentes y sus contraccones Hemos menconado anterormente, ubcándonos en R 3, que un escalar es una cantdad que se puede especfcar, ndependentemente del sstema de coordenadas, por un sólo número. Los vectores geométrcos que dbujábamos con flechas los susttumos ahora por tres números respecto a una base selecconada, es decr, a través de sus tres componentes. Los escalares y los vectores son casos partculares de objetos más generales que denomnamos tensores, tensores de orden o rango k y cuya especfcacón en cualquer sstema de coordenadas requerrá de 3 k números, llamadas las componentes del tensor. Esto sgnfca que un escalar es un tensor de orden (3 = componente) y un vector un tensor de orden (3 = 3 componentes). S el espaco vectoral es de dmensón n, entonces un tensor de orden k tendrá n k componentes 4. Como veremos más adelante, los tensores son mucho más que smples números respecto a un sstema de coordenadas y la clave radca en la ley de transformacón de sus componentes, es decr, en la relacón que exste entre las componentes de un tensor en un sstema de coordenadas y las componentes del msmo tensor en otro sstema de coordenadas dferente. Lo que hay detrás de todo esto es el hecho de que las leyes matemátcas que descrben los fenómenos físcos deben ser nvarantes bajo transformacones de coordenadas, como por ejemplo: traslacones (el espaco es homogéneo) y rotacones (el espaco es sótropo). Componentes de un tensor Denomnaremos componentes de un tensor, aquellos números que surgen de ncorporar bases de formas dferencales y vectores. Así, s { u (), v j (), t k (3)} y {hx m (), hy n () } son bases para los vectores y las formas, respectvamente, las componentes de un tensor serán: 3 3 u () v j() w k (3) hx m () hy n () # # # # # jk = S 4,, ;, 5. S mn Es de hacer notar que la seleccón de las bases no es arbtrara sno que deben corresponderse, entre el espaco drecto, E, y su dual E,.e. { u (), v j (), w k (3)} {hx m (), hy n () }, { x p (), y q ()} hu a (), v b (), hw c (). Claramente, esta defncón de componentes contene a las componentes de aquellos espacos tensorales generados por el producto tensoral. S consderamos un tensor como resultado de un producto tensoral y consderamos las bases: { u (), hx m () }, sus componentes se pueden expresar {' m () ()}, vale decr: () '() h () ) hx m () '() h () u () ) {' m () ()}. Combnacones lneales de tensores Es claro que podremos sumar (componentes) de tensores como lo hemos hecho con la suma de (componentes) de vectores: a + b =(a x + b x ) +(a y + b y ) j +(a z + b z ) k = a + b + a + b j + a 3 + b 3 k = a + b, 4 Exsten varas presentacones operatvas de estos conceptos para Físca e Ingenería, pueden consultar: Battagla, F., & George, T. F. (3). Tensors: A gude for undergraduate students. Amercan Journal of Physcs, 8(7), Comon, P. (4). Tensors: a bref ntroducton. IEEE Sgnal Processng Magazne, 3(3),

24 esto es: R j kl = Qj kl + Pj kl. Producto tensoral de tensores Podemos extender aún más la dea del producto drecto y extenderla para tensores. Así, para dos tensores, uno tpo: 3 h () h () # # ) '() () = '() () = T 4, 5 µ()apple() (), y el otro tpo: el producto drecto es: 3 u () h"() h () # # # ) µ() apple() h () = P 4 ;, 5, '() () µ()apple() () = '() () µ() apple() h () 3 3 h () h () u () h"() h () # # # # # = T 4, 5 P4 ;, 5 En componentes será como se muestra a contnuacón: Contraccón de un tensor 3 u () h"() h () h (3) h (4) # # # # # = R 4 ;,,, 5. R jlm k = T j P lm Denomnaremos una contraccón cuando sumamos las componentes covarantes y contravarantes, esto es, s tenemos ' () (), entonces se genera un escalar ndependente de la base. Esta stuacón será más evdente cuando defnamos métrcas y contraccón de tensores. Por analogía y consderando un caso más general, dada las componentes Sjk mn correspondente a un tensor podremos construr un nuevo tensor 3 a partr de una contraccón. Las componentes de este nuevo tensor serán: S jk mn ) Sn jk Sn jk. Del msmo modo, dadas las componentes de dos tensores, P lm y Q j zk generarán componentes de nuevos tensores R lj k = P lm Q j mk. Así: 9 ) P lm >= 3 ) ) R lj ) Q j k zk >; = P lm Q j mk. Es claro que s dos tensores dervan de productos tensorales y s { u ()}, {hu m () } y { v ()} son bases ortonormales para E, E y E, entonces sus productos podrán ser expresados como: k. () () = () j () u () v j (), () () = l () m () u l () hu m (), {z } {z } P j Q l m

25 entonces: l () m () u l () hu m () () j () u () v j () = l () m () = l () k () = P j Q l v j ()u l () = R jl v j ()u l (). () j () {hu m () u ()} v j () u l () {z } m k () j () v j () u l () Pero más aún, s u ()v j () = u () v j () E es base de E entonces se puede demostrar lo anteror sn crcunscrbrnos a tensores cuyas componentes provengan de multplcacón de las componentes en cada espaco vectoral. Smetrzacón de tensores Un tensor (las componentes) será smétrco respecto a dos de sus índces s su permutacón no camba su valor: S j = S j, S j = S j, S j kl mn = S j lk mn, S j kl mn = S j lk mn, y será antsmétrco s: A j = A j, A j = A j, A j kl mn = A j lk mn, A j kl mn = A j lk mn. Un tensor de rango, vene representado por una matrz que tendrá 3 = 9 componentes. S la matrz es smétrca tendrá como máxmo 6 componentes dstntas. Sj = S j S S S3 S S S S3 S S 3 A S S 3 S 3 S3 3 S S 3 A. S3 S3 S3 3 Mentras que un tensor antsmétrco de segundo orden tendrá, cuando máxmo, tres componentes con valor absoluto dstntos de cero, A A j = A j = A A A A 3. A 3 A 3 Sempre es posble construr tensores smétrcos y antsmétrcos a partr de un tensor genérco. Esto es: S j = (T j + T j ) T (j) () S j kl mn = (T j kl mn + T j lk mn )=T j (kl) mn A j = (T j T j ) T [j] () A j kl mn = (T j kl mn T j lk mn )=T j [kl] mn. Es evdente que las componentes de un tensor genérco, T j, pueden expresarse como una combnacón de su parte smétrca y antsmétrca: T j = S j + A j. Obvamente que algo equvalente se puede realzar para componentes contravarantes de tensores.

26 3..6. Tensor métrco, índces y componentes Para una base genérca, { u j }, no necesaramente ortogonal, de un espaco vectoral con producto nterno, podemos defnr la expresón de un tensor smétrco, que denomnaremos tensor métrco, de la sguente manera: 3 3 u u j hu hu j # # g 4,, 5 6 # # 7 = g [ u, u j ]=g j g j, g 4, 5 = g u, u j = g j g j, con g j =(g j ). h Nótese que las g j g j son las componentes del tensor g, una vez que la base { u j } ha actuado. La denomnacón de tensor métrco, no es gratuta, g cumple con todas las propedades de la métrca defnda para un espaco vectoral eucldano expuestas en la seccón... Una vez más, para facltar la lectura, transcrbremos a contnuacón esas propedades:. g [ u, u j ]=g j g j 8 u j,ys g [ u, u j ]=) = j.. g [ u, u j ]=g [ u j, u ] ) g j g j. 3. g [ u, u j ] apple g [ u, u k ]+g [ u k, u j ]: La desgualdad Trangular. S la base genérca es ortonormal, { u }! { e }, entonces estas propedades emergen de manera natural: g [, ] g j e e j g j e j e y g [, ] g j e e j g j e j e, (3.) con lo cual sus componentes serán matrces smétrcas g j = g j, e gualmente g j = g j. En general mpondremos que: g j u u j g km u k u m = g j g km u u k u j u m = g j g km k j m = g j g j = = n, ya que, j =,, 3,,n. Con lo cual g j es la matrz nversa de g j, es decr, hemos defndo las componentes contravarantes del tensor de modo que cumplan con g k g kj = j. Adconalmente, tambén es claro que s a = a k u k, entonces: g j u u j a = a k g j u u j u k = a k g j u j u k u = a k j g j u = a k g k u a u, con lo cual a = a k g k. De la msma forma: ha g j u u j = ha g j u u j = g j ha u u j = a k g j u k u u j = a k g kj u j a j u j, otra vez a j = a k g kj, ahora submos el índce correspondente. De esta manera, el tensor métrco nos permte asocar formas con vectores, componentes covarantes (formas) a componentes contravarantes (vectores) y dcho rápdo y mal, pero de uso muy frecuente: el tensor métrco nos permte subr y bajar índces. Otra forma de verlo es combnando las propedades del producto drecto de tensores y contraccón de í n d c e s : g j u u j Pk lmn u l u m u n u k ) g j Pk lmn u j Pk lmn u l u m u n u k u g j Pk lmn u j u l u m u n u k u = P jlmn u j u l u m u n ) g j P lmn P jlmn. {z } k k

27 Adconalmente, el tensor métrco permte la contraccón de índces. Así, dado un producto tensoral de dos vectores que se pueden expresar en una base ortonormal { e }: g j e a, b = a b = a k b m e k e m + e j a k e k b m e m = a k b m g j k j m = a k b m g km = a k b k = hb a = ha b. Es decr, el producto nterno de dos vectores nvolucra, de manera natural, la métrca del espaco, hb a = ha b = a k b k = a k b k = a k b m g km = a k b m g km. Obvamente la norma de un vector, tambén nclurá al tensor métrco: k ak = ha a = a a j e e j = a a = a a j g j = a a j g j Métrca, elemento de línea y factores de escala El caso más emblemátco lo consttuye la norma de un desplazamento nfntesmal. Para una base genérca, { u }, no necesaramente ortogonal de un espaco vectoral con producto nterno, el desplazamento nfntesmal puede expresarse como: ds hdr dr = dx k u k (dx m u m )= u k u m dx k dx m =dx m dx m = g km dx k dx m. (3.) S las bases de formas y vectores son ortogonales, { e }, (cosa más o menos común pero no necesaramente certa sempre) la métrca será dagonal y como en general: k e k 6=, entonces surgen los llamados factores de escala h = p g : g = g ) (ds) = h dx + h dx + h 3 dx 3, (3.3) donde h = p g, con, j =,, 3 (aquí no hay suma). En la seccón 5. dscutremos con detalle la construccón y el sgnfcado de los factores de escala para sstemas de coordenadas trdmensonales, por ahora los menconamos destacando sus consecuencas en la transformacón de las componentes covarantes y contravarantes entre dstntas bases de vectores. De esta manera, las componentes covarantes y contravarantes estarán relaconadas, a través de los factores de escala como: a j = g jk a k ) a = h [] a []. (Aquí h [] a [] NO ndca suma). En otras palabras, en aquellos sstemas de coordenadas en los cuales la métrca es dagonal pero no vene representada por la matrz undad, subr y bajar ndces puede nclur los cambos de escala. Obvamente, s la base { } es la canónca, es fácl ver que: (ds) hdr dr = k mdx k dx m =dx m dx m. es decr: g = g = g 33 =, g j =s6= j, esto sgnfca que en coordenadas cartesanas el desplazamento nfntesmal es la ya conocda expresón: ds =dx +dy +dz.

28 Teorema del cocente Al gual que exste el producto drecto entre tensores, cabe preguntarse s es posble multplcar un tensor arbtraro (de cualquer rango) por un objeto desconocdo Ese producto será un tensor? Exste mportantes stuacones físcas en las cuales es aplcable esta pregunta. S T j son las componentes de un tensor de rango y el producto T j V = B j es un objeto representado por un sólo índce Este objeto V será un vector? La respuesta es sempre afrmatva, y puede ser utlzada como un crtero para dentfcar componente de tensores. Este crtero se denomna el Teorema del Cocente. La respuesta a ésta pregunta surge de la respuesta a una pregunta dstnta pero equvalente. Supongamos que nos dan n números a j y un (una componente de un) vector genérco V, s la cantdad a j V V j es un escalar entonces la parte smétrca a (j) = (a j + a j ) será un (una componente de) tensor del tpo:. La demostracón nvolucra algunas de las deas antes expuestas y la haremos para fjar conceptos. Dados dos sstemas de coordenadas x = x ( x m )y x j = x j (x m ) (con, j =,, 3,,n)secumpleque: a j x x j = = =ã j x x j, donde = consttuye un escalar, y por lo tanto, dervando y utlzando la regla de la cadena: por lo que: x = x x j (x m x x m = m, a j x x j ã j x x x a x l j j x x j =, como hay una suma en j no se puede afrmar que la cantdad del paréntess se anula. Como esta afrmacón vale para cualquer sstema de coordenadas, selecconaremos las componentes coordenadas en la base canónca. x =(,,,, ), x =(,,,, ), x n =(,,,, ), con lo cual: x x l x x l =,, x x l nn ã n Como sempre podemos hacer: ã (kl) = (ã kl +ã lk )yã [kl] = (ã x x l ã kl =ã (kl) +ã [kl] ) a (mm) ã (kl) +ã n =, ã lk ) y separar el m = ) a (mm) =ã x x m. La parte smétrca del tensor transforma sguendo la regla: a mn = k m l nã kl y es lo que de ahora en adelante denomnaremos un tensor de segundo orden. En este caso, la parte smétrca de un tensor transforma como un verdadero tensor una vez que se contrae con un par de vectores Vectores, formas, tensores y leyes de transformacón En esta seccón dscutremos la mportanca de caracterzar objetos dentfcando las leyes de transformacón. La nvaranca bajo determnadas leyes de transformacón es clave en Físca y nos permte dentfcar propedades fundamentales. Ya hemos vsto, en la seccón.4.4, como los esquemas de transformacón de coordenadas nos han permtdo dferencar escalares y pseudoescalares y vectores de pseudovectores. En esta seccón puntualzaremos como transforman vectores y formas y como esos esquemas de transformacones los heredan los tensores.

29 Transformacones y las coordenadas En general las afrmacones anterores se pueden generalzar consderando que las coordenadas que defnen un determnado punto, P, expresado en un sstema de coordenadas partcular, son x,x,,x n y las coordenadas de ese msmo punto P, expresado en otro sstema de coordenadas son x, x,, x n. Ambas coordenadas estarán relaconadas por: 9 8 x = x x,x,,x n x = x x, x,, x n x = x x,x,,x n >= >< x = x x, x,, x n ().. >; >: x n = x n x,x,,x n x n = x n x, x,, x n En una notacón más compacta lo que tenemos es: x = x x j () x = x x j, con, j =,, 3,,n. (3.4) Retomemos lo que dscutmos en la seccón 3..3, pero ahora en el lenguaje de coordenadas. En esa oportundad mostramos como transformaban las bases y las componentes de formas y vectores. Ahora lo generalzaremos a los tensores. Otra vez, sólo exgremos (y es bastante) que:. Las funcones x = x ( x m )y x j = x j (x m ) sean al menos C (funcón y dervada contnua). Que el determnante de la matrz jacobana sean fnto y dstnto de cero, esto es ( x m x j @ @ x n x x n Ahora ben, una vez más, dervando y utlzando la regla de la cadena: 6= ) x = x ( x m ) () x j = x j (x m ). x = x x j (x m x x m = m ) x j d xj, como hemos comprobado para los dos casos partculares estudados con anterordad. De ahora en adelante tendremos las sguentes ReDefncones: Un conjunto de cantdades a,a,,a n se denomnarán componentes contravarantes de un vector a V en un punto P de coordenadas x,x,,x n,s:. dada dos bases ortonormales de vectores coordenados: { e, e,, e n } y { ẽ, ẽ,, ẽ n }, se cumple que: a = a e =ã e a = a ẽ ) ẽ a =ã ) ã = a j ẽ e j.. o equvalentemente, bajo una transformacón de coordenadas: x = x x j, con, j =,, 3,,n, estas cantdades transforman como: ã x y donde las k ak () x k ãk, x k deberán ser evaluadas en el x x l = l, (3.5)

30 Un conjunto de cantdades {b,b,,b n } se denomnarán componentes covarantes de un vector hb V en un punto P de coordenadas x,x,,x n,s:. dada dos bases de formas: hb = b e e, e,, he n y ẽ, ẽ,, hẽ n se cumple que: = b ẽ ) hb e = b hb ẽ = b ) b = b j he j ẽ.. o equvalentemente, bajo una transformacón de coordenadas x = x x j (con, j =,, 3,,n) estas cantdades transforman como: y donde las x x k k () b k b k, x k deberán ser evaluadas en el x x l = l, (3.6) Generalzamos los conceptos anterores de la sguente manera. Dado un conjunto bases para las formas dferencales {hx m (), hy n () }, hemos defndo las componentes contravarantes de un tensor: 3 hx () hy j () T j 6 # # 7 = T 4, 5 () T j T,T,,T n,t,t,,t n,,t nn, en esta vsón, las componentes contravarantes en un punto P de coordenadas x,x,,x n, x = x x j (con, j =,, 3,,n) transforman como: T j x m T km () T x x m x deberán ser evaluadas en el punto x k Esto nos permte construr el caso más general. T x x l = l, S { t (), u j (),, v k (m)} y hx e (), y f (),, hz g (n) son bases para los vectores y las formas, respectvamente, las componentes de un tensor: 3 t () u j() v k (m) hx e () hy f () hz g (n) T mn 6 # # # # # # 7 = T 4,,,, ;,,, 5, jk serán un conjunto de cantdades: T,T,,T,Tñ,Tñ,,T m,,tñ ñ m m que se denomnarán las componentes contravarantes y covarantes respectvamente, de un tensor mxto en un punto P de coordenadas x,x,,x n. Bajo una transformacón de coordenadas x = x x j (con, j =,, 3,,n) estas cantdades transforman como: T k e g a x x g x k x l l T p q a d k () Te @ x x x g y donde las k T p q a d, x k deberán ser evaluadas en el punto P.

31 3..9. Un par de tensores en Físca: Esfuerzos e Inerca En esta seccón vamos a ejemplfcar la utlzacón de los tensores en varos ámbtos de la Físca, en partcular de la Mecánca. En la próxma seccón consderaremos el tensor de esfuerzos para descrbr las tensones nternas de cuerpos sometdos a fuerzas externas 5. Haremos el análss tanto para el caso de dos como de tres dmensones. Luego a contnuacón consderaremos el tensor de nerca y su mpacto en la dnámca de cuerpos en movmento.. El tensor de esfuerzos (stress) El caso D Supongamos un cuerpo que se encuentra en equlbro y está sometdo a un conjunto de fuerzas externas. Para facltar las cosas consderemos el efecto de esas fuerzas sobre un plano que contene a un determnado punto P (ver fgura 3. cuadrante Ia). Es decr, vamos a consderar los efectos de las componentes de todas las fuerzas sobre ese plano y obvaremos el efecto del resto de las componentes. Como observamos en la fgura 3. Ib y Ic, s cortamos la superfce en dos líneas (AB y A B ), podemos ver que el efecto del conjunto de fuerzas externas es dstnto sobre P, en la dreccón perpendcular a cada una de esas líneas. De hecho, al cortar la superfce las fuerzas que aparecen sobre las líneas AB (y A B ) eran fuerzas nternas y ahora son externas al nuevo cuerpo cortado. Así, estas fuerzas por undad de longtud 6 sobre el punto P exsten como un conjunto de fuerzas que generan esfuerzos (stress). Por lo tanto, es claro que los esfuerzos sobre un punto dependen del punto, de las fuerzas externas y de la dreccón del efecto. Para rnos aclarando consderemos un elemento de área nfntesmal ds sobre la cual actúa un conjunto de fuerzas externas, las cuales podemos descomponer como normales y tangencales a la línea sobre la cual están aplcadas (ver fgura 3. cuadrante II). Es costumbre denotar los esfuerzos normales y tangencales por y respectvamente. 8 " Y = dx! X = dx >< dx Y da =dxdy ) 3 = 3 dy " " Y dy ds dy = dy X 3 = 3 dy!! X dx = dy >: " Y 4 = 4 dx! X 4 = 4 dx Consderamos la segunda ley de Newton aplcada a cada dferencal de masa dm y obtendremos: 8 X < dy + dx + 3 dy + 4 dx ==( + 4 )dx +( + 3 )dy F ext =dm a = ) : dy + dx + 3 dy + 4 dx ==( + 4 )dx +( + 3 )dy con lo cual: = 4, = 3, = 4, = 3. Como se trata de una stuacón en equlbro, tambén la sumatora de torques se tendrá que anular. Esto sgnfca que: ( dy) dx ( dx) dy = 9 = ( 3 dy) dx ( 4 dx) dy = ; ) = = 3 = 4, 5 Una presentacón más contemporánea del tensor de esfuerzos la pueden encontrar en De Prunelé, E. (7). Lnear stran tensor and d erental geometry. Amercan Journal of Physcs, 75(), En el caso trdmensonal, las fuerzas que generan los esfuerzos serán defndas como fuerzas por undad de área. Ese caso lo veremos en la próxma seccón.

32 Fgura 3.: Tensor de Esfuerzos (stress) en dmensones entonces, nos damos cuenta que exsten sólo tres cantdades ndependentes: dos esfuerzos normales y ; y un esfuerzo tangencal. Adconalmente notamos que los esfuerzos tenen que ver con la dreccón de la fuerza y la superfce sobre la cual va aplcada. Con ello podemos dseñar la sguente notacón para los esfuerzos: j. El prmer índce ndca la dreccón de la fuerza y el segundo la dreccón de la normal de la superfce donde está aplcada. Así, tal y como muestra la fgura (ver fgura 3. cuadrante II) xx, 4 yy, xy yx. El cambo de sgno se debe a lo ncómodo de la notacón: 4 y y ya que la normal de lado 4 apunta en la dreccón y. Es mportante tambén señalar que los esfuerzos en cualquer punto contendo en el dferencal de área da =dxdy deben ser consderado constantes, o lo que es lo msmo, que podemos hacer tender a cero el área del dferencal y con ello asocar los esfuerzos j aunpuntop contendo en da sobre la cual hemos calculado los esfuerzos. En esta msma línea de razonamento, nos podemos preguntar cuál es la expresón de los esfuerzos cuando se mden respecto a una superfce genérca, defnda por un vector normal n (ver fgura 3. cuadrante III). Es decr, queremos conocer los esfuerzos meddos en el punto P y en la dreccón n, esdecr, nn.

33 Por lo tanto, tendremos que: Fgura 3.: Tensor de Esfuerzos en 3 dmensones x! xx dy + xy dx = nn ds cos( )+ sn ds sen( ) y! yy dx + yx dy = nn ds sen( ) snds cos( ) Ahora ben, dado que dy =ds cos( )ydx =ds sen( ), entonces podemos expresar: nn = xx cos ( )+ xy sen( ) cos( )+ yx sen( ) cos( )+ yy sen ( ) sn = xxsen( ) cos( )+ xy sen ( ) yx cos ( ) yysen( ) cos( ) y s ahora nos damos cuenta que s construmos una matrz: A A x j = n A x s cos( ) sen( ) =, sen( ) cos( ) entonces: es decr: A y n A y s nn = A x na x n xx + A x na y n xy + A y na x n yx + A y na y n yy ) nn = A na j n j con, j = x, y sn = A x s A x n xx + A x s A y n xy + A y sa x n yx + A y sa y n yy ) sn = A sa j n j con, j = x, y kl = A ka j l j, con, j, k, l = n, s. Como ya hemos menconado, y veremos más adelante con más detalle, cualquer objeto que transforme como kl = A k Aj l j lo llamaremos tensor de segundo orden. El caso 3D Podemos proceder como en el caso anteror establecendo las sguentes condcones de equlbro: X X F ext = y ext =,

34 con ello construmos un volumen (cúbco) dferencal y construmos los esfuerzos normales y tangencales, los cuales serán: xxdydz, yydxdz, zzdxdy, xzdxdy, yzdxdy, xydxdz. Sguendo el msmo proceso que nvolucra mponer el equlbro, es fácl demostrar que al gual que el caso anteror, el tensor de esfuerzos j cumple con: xz = zx, yz = zy, xy = yx. Tendremos 6 componentes (tres normales y tres tangencales) ndependentes. Es decr, s ben el tensor de esfuerzos j vene representado por una matrz 3 3 y por lo tanto tene 9 elementos, sólo 6 son ndependentes. Vayamos ahora el caso general para un tensor de esfuerzos en un medo elástco. Para ello construmos un tetraedro regular tal y como muestra la fgura 3., y sobre su cara genérca asocada a un vector normal n una fuerza F: 8 9 F x = xn ds n >< >= F = F = F x + F y j + F z k ) F y = ) F = jn j ds ) F = ds. >: F z = yn ds n zn ds n De ésta manera se especfca como la fuerza actúa sobre un determnado elemento de superfce. Es claro que la condcón de equlbro se traduce en: X Fx = ) xn ds n xx dy dz X Fy = ) yn ds n yx dy dz X Fz = ) zn ds n zx dy dz >; xy dx dz yy dx dz zy dx dz xz dx dy =, yz dx dy =, zz dx dy =. S consderamos la proyeccón de ds n sobre cada uno de los planos del sstema cartesano tendremos: ds n cos (; n) = dy dz 9 =dsn A x n >= ds n cos (j; n) = dx dz =dsn A y n ) xn = xx A x n + xy A y n + xz A z n, y equvalentemente: ds n cos (k; n) = dx dy =dsn A z n >; yn = yx A x n + yy A y n + yz A z n y zn = zx A x n + zy A y n + zz A z n, las cuales se conocen como las relacones de Cauchy. Estas relacones representan los esfuerzos sobre la superfce con normal n. Ahora ben, dado que: F = ds es una relacón vectoral podemos proyectar en la dreccón û m : û m F = û m ( ds) ) F m = m n ds n = m A n ds n = m A n ds n,

35 por lo tanto: mnds n = m A n ds n ) mn ds n = k A k ma n ds n, con, j = x, y, z. Una vez más, podemos ver que transforma como un tensor.. El Tensor de nerca Consderemos el caso de un sstema de n partículas. La cantdad de movmento angular para este sstema vendrá dada por: L = X m () r () v (), donde hemos ndcado que la ésma partícula que está en la poscón r () tene una velocdad v (). S las dstancas entre las partículas, y entre las partículas con el orgen de coordenadas, es constante, podremos expresar la velocdad de cada una de ellas como: v () =! r (), Por qué? Donde! es la velocdad angular nstantánea del sstema. Entonces tendremos que: L = X X m () r()! r () = m ()! r() r () r ()! r (), y para cada partícula se cumple que las componentes de la cantdad de movmento angular serán: L k = X m () h! k r() m r ()m r() k! m r ()m. S vemos que! k () = es decr: L k = X k l!l () entonces: m () h kl! l r m () r ()m L k =! l () Ik l, donde: I k l = X " X r() k! m r ()m =!() l m kl () r() m r ()m r k () r ()l # {z } m () kl r m () r ()m r k () I k l r ()l. El objeto Il k se conoce como el tensor de nerca y corresponde a 9 cantdades (sólo 6 son ndependentes porque es un tensor smétrco). En coordenadas cartesanas se verá de la sguente forma: P I xx I xy I xz m () y() + z () P m P () x () y () m () x () z () Il k = B I yx I yy I yz A = P m P () x () y () m () x () + P z () m () y () z () B C I zx I zy zz P m () x () z () P m P A () y () z () m () z() + y () Por ahora, nos contentaremos en suponer que esta construccón es un tensor y lo demostraremos más adelante.

36 3... Ejemplos. Productos tensorales, vectores y matrces: Para fjar los conceptos que hemos desarrollado en las seccones 3.., y3..5 consderemos dos espacos vectorales V, V y sus duales V y V cuyos vectores y formas pueden ser representados como v u v v A V, hv =(v v v 3 ) V y u = B u A V, hu =(u u u 3 u 4 ) V v 3 Para ejemplfcar las componentes y bases de los espacos tensorales a partr de los espacos vectorales y sus duales prevamente dentfcados, podemos entonces defnr la sguente operacón, como el producto tensoral: v v u v u v u 3 v u 4 v() hu() v()u () v A (u u u 3 u 4 )=@ v u v u v u 3 v u 4 A V 3 = V V. v 3 v 3 u v 3 u v 3 u 3 v 3 u 4 y del msmo modo el dual del producto anteror hw() z() hw ()z() =(w w w 3 ) z z z 3 z 4 u 3 u 4 z w z w z w 3 C A = B z w z w z w 3 z 3 w z 3 w z 3 w 3 A V 3 = V V. z 4 w z 4 w z 4 w 3 Notemos que tanto v()u () como hv ()u() son funconales blneales tal y como lo defnmos en 3... Es fácl convencerse que v()u () y hv ()u() son tensores duales uno del otro. Consderemos que s { e (), e (), e 3 ()} es una base para V con { e (), e (), e 3 () } ysu dual en V, entonces, éstas pueden ser defndas como: e () A, e () A, e 3 () A, e () = ( ), e () = ( ), e 3 () = ( ). De gual forma las bases para V y V pueden ser defndas como e () = B A, e () = B A, e 3() = B A, e 4() = B A, y repectvamente: e () = ( ), e () = ( ), e 3 () = ( ), e 4 () = ( ), Entonces con el producto tensoral prevamente defndo, podemos construr la sguente base para el espaco tensoral V 3 = V V: e ()e () = e () e () A, e (); e () = e () e () A,

37 e (); e 3 () = e () e 3 () e (); e () = e () e () A, e (); e 4 () = e () e 4 () A, e (); e () = e () e () e ()e 3 () = e () e 3 () A, e ()e 4 () = e () e 4 () A, e 3 ()e () = e 3 () e () A, e 3 ()e () = e 3 () e () A, e 3 ()e 3 () = e 3 () e 3 () A, e 3 ()e 4 () = e 3 () e 4 () A. Invocando la correspondenca entre kets y bras que expresamos en 3.. construmos la base tensoral dual e ()e j () = e () e j () V3 y tendremos e ()e () = B A, e ()e () = B A, e ()e 3 () = B A, e ()e 4 () = B A, e ()e () = B A, e ()e () = B A, e ()e 3 () = B A, e ()e 4 () = B A, e 3 ()e () = B A, e 3 ()e () = B A, e 3 ()e 3 () = B A, e 3 ()e 4 () = B A. Como no tenemos defndo un producto nterno entre tensores y sus duales no podemos afrmar que esta base sea ortogonal, pero es claro que ambos conjuntos de vectores { e k ()e m ()} y sus duales e ()e j () son lnealmente ndependentes en V 3 y V3, respectvamente. Por lo tanto cualquer tensor, v()u () V 3 se puede expresar como combnacón lneal de esta base v() hu() v()u () = v u j e ()e j () U j e ()e j (), donde los U j = v u j son las componentes del tensor en esta base. A, A,

38 Equvalentemente el tensor hw ()z() V 3, tambén podrá expresarse en la base dual hw() z() hw ()z() = e ()e j () z j w e ()e j () W j. Otra vez los W j = zj w son las componente del tensor hw ()z() en la base e ()e j ().. Un ejemplo detallado de transformacón de tensores Ilustremos ahora las transformacones de tensores bajo cambos de la base del espaco tensoral. Esta vez, consderaremos que un tensor tendrá componentes Tj cuando se expresa como combnacón lneal de la base e ()e j () = e () e j () donde la base { e, e, e 3 } {, j, k} son los vectores untaros cartesanos para el espaco vectoral R 3.Estoes e = A ; e = j A, e = k A y su base dual he = h = ( ), he = hj = ( ), he 3 = hk = ( ), Consderemos un tensor en la base tensoral e ()e j () se expresa como: 3 Tj 3 4 A. Este ejercco consste en ver cómo calcular las expresones de los sguentes tensores: T j, T j y T j,s consderamos una nueva base: w =, w = + j y w 3 = + j + k,h w = h, h w = h + hj y h w 3 = h + hj + hk, Nótese que la nueva base no es ortogonal, w k w 6=, con lo cual no se cumplen muchas cosas, entre ellas: w k w k 6=. Pero sn duda se cumple que para transformar componentes de un tensor tendremos sempre la relacón T m k @ x m T j. Tenemos que dentfcar las matrces de @ x. Estas matrces de transformacón son m las msmas que transforman componentes (contravarantes) de vectores y las componentes (covarantes) de covectores o formas,.e. ã k ak, ã x k a m y además son las msmas matrces que devuelven el cambo de un sstema de coordenadas a otro: x k ãk, a k k ãm. Adconalmente, estas matrces son una la nversa de = j j. Para dentfcar esas matrces recordamos que un vector genérco transforma de la sguente manera: a = a j e j =ã j w j, por lo tanto: x x k a = a j e j =ã w +ã w +ã 3 w 3 =ã e +ã ( e + e )+ã 3 ( e + e + e 3 ),

39 donde hemos susttudo la expresón de la base w en térmnos de la base { ej } con lo cual: a = a e + a e + a 3 e 3 = ã +ã +ã 3 e + ã +ã 3 e +ã 3 e 3. Lo que nos lleva al sguente sstema de 9 a =ã +ã +ã x = = x = ; a =ã +ã 3 a 3 =ã 3 ; ) x k @ x x = ; 3 x = x = ; x 3 x 3 x 3 = Es de hacer notar que dado que la base: { e, e, e 3 } {, j, k} es ortonormal, se tene que: a = a j e j =ã w ) e a = a j e e j = a j j = a =ã k e w x k = e w k. Este msmo procedmento se puede aplcar para expresar el vector a como una combnacón lneal de los vectores w j : a =ã j ẽ j = a j e j = a e + a e + a 3 e 3 = a w + a ( w w )+a 3 ( w 3 w ), esto es: x 9 ã = a = x = = = 3 ã = a a 3 ã 3 = a 3 ; ) ãk a = = = 3 x = ; = ; = 3 Nótese que, como era x x j = j A A. Con las expresones matrcales para las transformacones, estamos en capacdad de calcular, componente a componente, las representacón del tensor dado en la nueva base: Veamos: T m k @ x m T j. T @ x T j x x x T 3 x x x T 3 x x T x T x T 3 3,

40 es decr: T = T +T +T 3 T +T +T 3 + T 3 +T 3 +T 3 3 = T T = =. Del msmo modo para T : resultando: T @ x T j x x x T 3 x x x T 3 x x T x T x T 3 3, T = T +T +T 3 T +T +T 3 + T 3 +T 3 +T 3 = T + T T + T = ( + ) ( + 3) =. Se puede contnuar térmno a térmno (el lector debe termnar los cálculos) o realzar la multplcacón de las matrces provenentes de la transformacón de componentes de tensores. Vale x T m k Tj x A 3 4 A. 3 5 Hay que resaltar el especal cudado que se tuvo en la ubcacón de las matrces para su multplcacón. S ben en la expresón T m k @ x xk m j las son números y no mporta el orden con el cual se multplquen, cuando se escrben como matrces debe respetarse la concatenacón nterna de índces. Esto es, cuando queremos expresar T m k como una matrz, donde el índce contravarante k ndca flas y el índce covarante m las columnas, fjamos prmero estos índces y luego respetamos la concatenacón de índces covarantes con los contravarantes. Esta es la convencón para expresar la multplcacón de matrces en la notacón de índces 7.Estoes: T m k @ x m T j ) T x m Tj x m. Los x fueron susttudos (en sus puestos correspondentes) por su representacón m matrcal. Con lo cual hemos encontrado la representacón matrcal T j de las componentes del tensor T en la base { w, w, w 3 } T j T T T 3 T T T 3 T T 3 T A 4 A Quzá una forma de comprobar s los índces están ben concatenados se observa s se bajan los índces contravarantes pero se colocan antes que los covarantes. Esto es, Tj! T j. Así,lamultplcacóndematrcesquedarepresentadadelasguente forma: C j = A k Bk j! C j = A k B kj yaquíesclaroqueíndcesconsecutvosestán concatenados endcanmultplcacón.

41 Para encontrar la expresón de T j ( T k j = g k T j ), requerremos las componentes covarantes y contravarantes del tensor métrco g k que genera esta base. Para ello recordamos que para una base genérca, { w j }, no necesaramente ortogonal, de un espaco vectoral con producto nterno, podemos defnr la expresón de un tensor que denomnaremos tensor métrco como: un tensor del tpo ) g x j g mn he m w he n w j g mn. Recordemos que la métrca covarante g j generada por una base ortonormal { e } { } es: Es decr: g =,g =,g 33 =,g = g = g 3 = g 3 = g 3 = g 3 =. g j = g j = gj A. Con lo cual, para el caso de la base genérca no ortonormal { w j } tenemos dos formas de calcular las componentes covarantes y contravarantes del tensor métrco. La prmera es la forma drecta: g j = he m w he n w j g mn.estoes: De manera que: g = he n w he m w g nm = e w e w + e w e w + e 3 w e 3 w = e w = g = he n w he m w g nm = e w e w + e w e w + e 3 w e 3 w = e w e w = g 3 = he n w he m w 3 g nm = e w e w 3 + e w e w 3 + e 3 w e 3 w 3 = e w e w 3 = g = he n w he m w g nm = e w e w + e w e w + e 3 w e 3 w = e w e w = g = he n w he m w g nm = e w e w + e w e w + e 3 w e 3 w = e w e w e w e w = g 3 = he n w he m w 3 g nm = e w e w 3 + e w e w 3 + e 3 w e 3 w 3 = e w e w 3 + e w e w 3 = g 3 = he n w 3 he m w g nm = e w 3 e w + e w 3 e w + e 3 w 3 e 3 w = e w 3 e w = g 3 = he n w 3 he m w g nm = e w 3 e w + e w 3 e w + e 3 w 3 e 3 w = e w 3 e w + e w 3 e w = g 33 = he n w 3 he m w 3 g nm = e w 3 e w 3 + e w 3 e w 3 + e 3 w 3 e 3 w 3 = e w 3 e w 3 + e w 3 e w 3 + e 3 w 3 e 3 w 3 =3 g j ) g =, g =, g 3 =, g =, g =, g 3 =, g 3 =, g 3 =, g 33 =3. Consecuentemente podemos arreglarlo como una matrz 8 de la sguente forma: g j g j A ) g j g j =( g j ) A. 3 8 Recordemos que hemos nsstdo que las matrces representan tensores mxtos

42 Nótese que tambén podríamos haber proceddo, y en térmnos matrcales, de la sguente forma: g x k j x m A A. 3 Nuevamente es bueno aclarar que para conservar la convencón de índces y poder representar la multplcacón de matrces, los índces deben estar consecutvos, por lo tanto, hay que trasponer la representacón matrcal para multplcarlas. Es por eso que en el cálculo anteror aparece como prmera matrz la transpuesta de la últma. El cálculo se debe hacer como se muestra a contnuacón: g x k g x m! g km = k g j jm! g km = k g j jm. Fnalmente, estamos en capacdad de obtener las representacones matrcales para los tensores: T j, T j, T j. T T j =( T j ) T () T 3 j 4 A 3 A n T km = g kn T m () T km 4 A A T kn = T m g n mk () T kn 4 A A. 3 5 Quséramos ejemplfcar una forma rápda y furosa (pero suca) de calcular la métrca generada por una determnada base genérca. La dea es que, volentando toda nuestra notacón e dea de tensores, construmos la métrca a partr de los vectores base defnéndola como g j = h w w, de esta manera: h w w h w w h w w 3 g j h w w h w w h w w 3 A h w 3 w h w 3 w h w 3 w 3 h h [ + j] h [ + j + k] [h + hj ] [h + hj ][ + j] [h + hj ][ + j + k] A A. [h + hj + hk ] [h + hj + hk ][ + j] [h + hj + hk ][ + j + k] 3 Dejamos al lector, la reflexón s esta forma rápda de calcular la métrca a partr de unos vectores base es general o, s en su defecto, es una concdenca úncamente válda para este caso. 3. Otros ejemplos con tensores cartesanos a) Dado los tensores: T j 3 4 A, E 4 A La parte smétrca de T j es: 3 S j = [T j + T j ]= 3 4@ 3 4 A 4 3 A5 = A

43 Para la parte antsmétrca de T j : A j = [T j T j ]= 3 4 4@ 3 4 A Por lo tanto: T j = S j + A j = 3 3 4@ A A A5 3 4 A. 3 4 Para calcular T j E j hacemos lo sguente: 8 < C = T E + T E + T 3 E 3 = ()() + ()(4) + ()(3) = 7 C = T E + T E + T 3 E 3 = C = T E + T E + T 3 E 3 = (3)() + (4)(4) + ()(3) = : C 3 = T 3 E + T 3 E + T 33 E 3 = ()() + (3)(4) + (4)(3) = 5 b) Dados T j, a y b R 3 con: 3 Tj 3 4 A, a A y b 5 5 A. 4 Supongamos que Tj, a y b están expresados en coordenadas cartesanas. Vamos a calcular: A j a b j, S j a a j y A j b b j, donde S j y A kl son, respectvamente, las partes smétrca y antsmétrca del tensor Tj. La métrca en coordenadas cartesanas vene dada por: g j A. Tendremos que: S j = (T j + T j )= A 4 AA = A Nótese que la expresón matrcal para T j g k Tj k es la msma que para T j debdo a la forma de la métrca en este espaco. Del msmo modo: A j = (T j T j AA 3 3 A, A.

44 por lo tanto: a A j b j = a S j a j = b A j b j = A = A =, Sstema genérco de coordenadas. Dado un sstema genérco de coordenadas oblcuas: e = a + b j, e = c + d j. a) Para una base arbtrara, { e }, la métrca vene defnda por: g j g j = g [ e, e j ] e e j e g j = e e e a e e e = + b ac + bd e ac + bd c + d. b) Un vector genérco: v = v x + v y j, en estas coordenadas se escrbe como: 9 8 e = a + b j = < = (d e b e ) ;, : e = c + d j j = ( c e + a e ) con = ad bc, por lo cual: v = v x + v y j = vx (d e b e )+ vy ( c e + a e ) = d v x c v y e b v x a v y e. c) Consderemos ahora una base y un tensor de manera concreta. p p 4 e =, e = + j, T j =. 4 Encontremos prmero la expresón matrcal para el tensor T 9 j. En general: x T j = g k T k j = g m T n x j, D A B 9 Ayuda: dadaunamatrzgenércaa j =,sunversaserá AD BC C D C AD BC B AD BC A AD BC!.

45 Identfcando: ṽ x =ṽ j vj v v = d v x c vy, ṽ y =ṽ j vj v v = b v x + a v y, = = = b = a. Como a =,b=,c= p,d= p, entonces: x k g k ) m ) p, Fnalmente: T j = p p 5. Cartesanas y polares, otra vez! p 4 x x j j ) p p p5 p p! p 4 3 =. El ejemplo más smple, y por ello clásco y emblemátco de cambo de coordenadas, lo consttuye las expresones de un msmo vector en dos sstemas de coordenadas en el plano: Cartesanas {, j} y polares { u r, u }. Esto es, para un vector a: a = a x + a x j = a e + a e y a = a r u r + a u =ã ẽ +ã ẽ. Al expresar una base en térmnos de la otra obtenemos: con lo cual: u r = cos( ) +sen( ) j y u = sen( ) + cos( ) j, ẽ hur hu e j = Ã j () Ã j = r j cos( ) sen( ). hu hu j sen( ) cos( ) Para la transformacón nversa se tene: e ẽ j = A j () A h ur h u j = cos( ) hj u r hj u sen( ) y por lo tanto: sen( ). cos( ) = cos( ) u r sen( ) u y j =sen( ) u r + cos( ) u. Cumplendo además con: cos( ) sen( ) cos( ) sen( ) = sen( ) cos( ) sen( ) cos( ) () A kãk j = j.!.

46 Por otro lado, s: a = a r u r + a u ã ẽ +ã ẽ = a x + a x j a e + a e, tendremos que: ã = Ã ja j () con lo cual: Del msmo modo: y a = A jã j () ar a cos( ) sen( ) = sen( ) cos( ) ax a y = a r = a x cos( )+a y sen( ) y a = a x sen( )+a y cos( ). ax a y 6. Pensando en componentes cos( ) = sen( ) sen( ) cos( ) ar a ax cos( )+a y sen( ), a x sen( )+a y cos( ) ar cos( ) a = sen( ) a r sen( )+a cos( ) a x = a r cos( ) a sen( ) y a y = a r sen( )+a cos( ). Arrba consderamos los cambos de base entre cartesanas y polares. A partr de cambos de la base construmos la matrz de transformacón entre sus componentes. Ahora pondremos la atencón en las componentes. En general, podemos pensar que las componentes de los vectores pueden ser funcones de las otras. Consderemos el ejemplo anteror con esta vsón para estudarlo con más detalle en dos y tres dmensones. Caso bdmensonal Tendremos que un punto en el plano vene representado en coordenadas cartesanas por dos números (x, y) y en coordenadas polares por otros dos números (r, ). Sguendo el ejemplo anteror un punto P, en el plano lo descrbmos como: P = r P u r = x P + y P j. Veamos como están relaconadas estas dos descrpcones, para este caso en el cual las ecuacones de transformacón son: x P = x P (r, ) =x = x x, x rp = r y P = y P (r, ) =x = x x, x () P (x, y) = x = x x,x = P (x, y) = x = x x,x y explíctamente: x P = r P cos( ) ) x = x cos( x ) y P = r P sen( ) ) x = x sen( x ) 8 < r P = p q x P y + y P ) x = (x ) +(x ) : = arctan yp ) x x = arctan Es claro que ambas coordenadas están relaconadas y que se puede nvertr la relacón. x = x x,x x x = x x,x () = x x, x x = x x, x. Se debe pedr, eso s, dos cosas razonables: x P x

47 a) que las funcones x = x ( x m )y x j = x j (x m ) sean al menos C (funcón y dervada contnua) b) que el determnante de la matrz Jacobana sea fnto, Más aún, s: x x j 6=. x = x x j x x x k = k ) x j d xj, con lo cual ntumos dos cosas: a) que las componentes de un vector, P, deben transformar bajo un cambo de coordenadas como: p x x j p j. b) Las x k k son una la nversa de la otra. Veamos s es certo para el caso de vectores en el plano. Para ello calculamos la matrz x, x x ( x, x ( x, x ( x, x ( x, x x C cos( x A = ) x sen( x ) sen( x ) x cos( x, ) y segudamente, dentfcando P = x P + y P j = r P u r p x, x j p j p cos( x ) p = ) x sen( x ) p sen( x ) x cos( x. ) Igualmente, s calculamos la nversa de la matrz x, x cos( x ) sen( x ) x j = sen( x ) tendremos: p p cos( x ) x x p x x (x ) +(x ) (x ) +(x ) x x (x ) +(x ) (x ) +(x ) A p x x (x ) +(x ) (x ) +(x ) x x (x ) +(x ) (x ) +(x ) p p A, ) p x j p j. Caso trdmensonal Consderemos nuevamente dos sstemas de coordenadas: uno cartesano x = x, x = y, x 3 = z y otro esférco x = r, x =, x 3 =. Tal y como hemos supuesto anterormente el punto P vendrá descrto por: de nuevo x = x (r,, )=x = x x, x, x 3 y = y (r,, )=x = x x, x, x 3 z = z (r,, )=x 3 = x 3 x, x, x 3 P = r P u r = x P + y P j + z P k, 9 8 = < r = r (x, y, z) = x = x x,x,x 3 ; () = (x, y, z) = x = x x,x,x 3 : = (x, y, z) = x 3 = x 3 x,x,x 3

48 Las ecuacones de transformacón serán: 8 < x P = r P sen( ) cos( ) ) x = x sen( x ) cos( x 3 ) y P = r P sen( )sen( ) ) x = x sen( x )sen( x 3 ) : z P = r P cos( ) ) x 3 = x cos( x ) y las transformacones nversas: 8 r P = p q x >< P + y P + z P ) x = (x ) +(x ) +(x 3 ) = arctan yp x P ) x x = arctan x p p x P >: = arctan +y P ) x 3 (x = arctan ) +(x ) z P Con lo cual la matrz de las dervadas para esta transformacón en partcular x, x, x 3 sen ( ) cos ( ) rsen ( )sen( ) r cos ( ) cos ( x j sen ( )sen( ) rsen ( ) cos ( ) r cos ( )sen( ) A cos ( ) rsen ( ) sen x cos x 3 x sen x sen x 3 x cos x cos x 3 sen x sen x 3 x sen x cos x 3 x cos x sen x 3 cos x x sen x Mentras que la nversa x x,x,x j = = sen ( ) cos ( ) sen( )sen( ) cos ( ) B sen( ) cos( rsen( ) cos( )cos( ) r p x x +y +z y x +y xz p yz (x +y +z ) x +y Dejaremos al lector comprobar que, efectvamente, 7. Energía lbre para un medo elástco x 3 C A rsen( ) cos( )sen( ) sen( ) r r p y p z x +y +z x +y +z x x +y (x +y +z ) (x +y +z ) p x +y p x +y p x, x, x x j p j () p x x,x,x j p j. Consderemos el sguente par de tensores provenentes de la teoría de elastcdad: u k = (@ k u u k u k = u k 3 um m k, y construyamos el tensor de esfuerzos como: p j = u j + Ku l l j. Calculemos la energía lbre para el medo elástco, defnda como: F = p j uj. Tenemos que: p j = u j + Ku l l j = u j 3 um m j + Ku l l j = u j + u l l j C A. K, 3 A.

49 donde: u m m = (@m u m m u m )=@ m u m, con lo cual: u j + u l l j u j = ju j K 3 F = p ju j = K u 3 ju j + ul l = u u + u u + u 3u 3 + K u l l 3 = u u + u u + u 3 u 3 + u u + u u + u 3 u 3 + u 3u 3 + u 3u 3 + u 3 3u K 3 = u + u + u u u + u 3u 3 + u 3 u 3 + K u l l 3 = K + u l l + u 3 u + u 3u 3 + u 3 u 3 = K + (@ x u x y u y z u z ) + (@ x u y u x y u z u y z u x u z ) Practcando con Maxma Tensores y Maxma Maxma presenta dos paquetes para la manpulacón de tensores, paquetes en constante desarrollo todavía. Estos paquetes son ctensor, manpulacón de componentes y el paquete tensor, manpulacón ndexada. En la manpulacón por componentes los tensores se representan por arreglos o matrces. En la manpulacón ndexada los tensores se representan por funcones de sus índces covarantes, contravarantes y de dervadas. Los índces covarantes se especfcan medante una lsta que será el prmer argumento del objeto ndexado, sendo los índces contravarantes otra lsta que será el segundo argumento del msmo objeto ndexado. S al objeto ndexado le falta cualquera de estos grupos de índces, entonces se le asgnará al argumento correspondente la lsta vacía [ ]. Así, g([a, b], [c]) representa un objeto ndexado llamado g, el cual tene dos índces covarantes (a, b), un índce contravarante (c) y no tene índces de dervadas, es decr, gab c (%) load(tensor)$ (%) metrc(g); (%3) show(g([j,k],[])*g([,l],[])*a([],[,j]))$ ( %t3) a j g jk g l (%4) show(contract(%))$ ( %t4) a kl (%5) show(kdelta([],[k])*a([k,l],[]))$ ( %t5) k a kl (%6) show(contract(%))$ ( %t6) a l u l l

50 La dentdad j j =3 (%7) show(contract(kdelta([], [j])*kdelta([j], [])))$ ( %t7) kdelta (%8) show(ev(%,kdelta))$ ( %t8) 3 El símbolo de Lev-Cvta: (%9) lev_cvta([,, 3]);lev_cvta([, 3, ]);lev_cvta([3, 3, ]); ( %o9) ( %o) ( %o) (%)expr:show( lev_cvta([],[,j,k])* lev_cvta([,j,k],[]))$ ( %t) " jk " jk Aquí es necesaro utlzar la funcón lckdt( ) que smplfca expresones que contengan el símbolo de Lev-Cvta, para convertrlas en expresones con la delta de Kronecker sempre que esto sea posble. (%3)show(lckdt(expr))$ ( %t3) k j 3 k j j k + j (%4)show(contract(expand(%)))$ ( %t4) 7 7 (%5)show(ev(%,kdelta))$ ( %t5) 6 (%6)kll(all)$ Transformacón de tensores y Maxma k j 3 k k 3 j j + 7 Como ya menconamos, Maxma contene un paquete para manpular componentes de tensores: ctensor. La manpulacón en componentes se realza en térmnos de matrces. La métrca se almacena en la matrz lg y la métrca nversa se obtene y almacena en la matrz ug. En un ejemplo vsto con anterordad se especfcaba las componentes de un tensor en coordenadas cartesanas, esto es: 3 To = Tj 3 4 A, en la base: { e, e, e 3 } {, j, k}. En ocacones, la funcón lckdt( ) hace uso del tensor métrco. S el tensor métrco no fue prevamente defndo con metrc, se obtene un mensaje de error.

51 Para luego representarlo en la nueva base: w =, w = + j y w 3 = + j + k. Entonces necestamos calcular: T m k @ x m T j ) Tn = To = Como vmos cuando hacíamos los cálculos: x k A. Respetando la concatenacón nterna de índces podemos realzar la multplcacón de matrces. (%) To:matrx([,,3],[,3,4],[,,]); ( 3 3 4A (%) alpha:matrx([,-,],[,,-],[,,]); ( A (%3) beta:matrx([,,],[,,],[,,]); ( A (%4) Tn:alpha.To.beta; 3 ( 4 A 3 5 Una vez que hemos calculado el nuevo tensor Tn = T j en la nueva base, podemos calcular: T j, Tj. Pero podemos utlzar la métrca para las coordenadas nuevas y con el paquete ctensor hacer las respectvas contraccones. (%5) load(ctensor)$ (%6) ct_coordsys(cartesan3d)$ Introducmos la métrca g k : (%7) lg:matrx([,,],[,,],[,,3]); ( A 3 Para tener la métrca nversa g k escrbmos: (%8) cmetrc()$

52 (%9) ug; ( A Para calcular T k j = g k T j hacemos lo sguente: (%)lg.tn; ( A 5 Y para calcular T j = T k gkj procedemos así: (%)Tn.ug; ( A (%)kll(all)$ Es posble, y a manera de completar esta prmer acercamento con la lbrería de tensores, calcular la métrca a partr de una transformacón de coordenadas, como vmos en la seccón anteror, ejemplo 6. Escrbmos las coordenadas que queremos utlzar, en este caso esfércas, utlzando la funcón ct coordsys. (%) load(ctensor)$ (%) ct_coordsys([r*sn(theta)*cos(ph),r*sn(theta)*sn(ph),r*cos(theta),[r,theta,ph]])$ Y le pedmos al programa que calcule el tensor métrco, al que le asgna el nombre lg. (%3) cmetrc()$ El tensor métrco g j es entonces (%4) lg:trgsmp(lg); ( r A r sn Ylamétrcanversag j, el programa la dentfca con la etqueta ug (%5) trgsmp(ug); ( r A r sn

53 3... Ejerccos. S A jk es un tensor covarante de orden 3 y B lmno un tensor contravarante de orden 4, pruebe que A jk B jkno es un tensor mxto de orden 3.. Consderemos un tensor B con componentes B j, un tensor A con componentes A y el producto: B j A j = C. Esta últma expresón se puede nterpretar como la accón de B sobre A que consste en producr un nuevo tensor C que tendrá una magntud y una dreccón dferente a A. Podremos estar nteresados en encontrar todos los vectores que NO son rotados por B, es decr, que estaríamos nteresados en resolver la ecuacón: B j A j = A, donde es un escalar. S estos vectores exsten se denomnan vectores característcos o autovectores de B y sus dreccones: dreccones prncpales o característcos. Más aún, los ejes determnados por las dreccones prncpales se denomnan ejes prncpales de B. Los valores de las componentes B j en el sstema de coordenadas determnado por los ejes prncpales se denomnan valores característcos o autovalores de B. Ahora, consderemos un sstema conformado por n partículas de masas guales: m,m,...m n = m, dstrbudas en el plano xy, yseai j el tensor de nerca con respecto a un sstema rectangular de coordenadas. Por ser un caso en D, el tensor de nerca tendrá solamente cuatro componentes. a) Encuentre: I = I xx, I = I yy y I = I xy = I = I yx. b) S un vector A concde con el eje prncpal de I j entonces debe satsfacer la ecuacón: I j A j = A ) (I j j )A (I )A j = ) + I A = I A +(I )A = Encuentre la solucón (no trval) para, es decr, resuelva: (I + I )+I I (I ) =. c) Cómo se nterpreta el hecho de que I =? d) S I 6=y 6=, entonces, para cada valor de se puede encontrar un vector (autovector) A ( ) y A ( ) resolvendo el sstema de dos ecuacones. Demuestre que las dreccones de estos vectores tenen pendentes, respecto al sstema de coordenada, dadas por: e) Demuestre que: es decr: A ( )? A ( ). tan( )= I, tan( )= I. I I tan( ) = tan( )= I, donde = + I I, f ) Cuáles son las componentes del tensor de nerca en el sstema de coordenadas determnado por los ejes prncpales? 3. Demuestre que s S j representa un tensor smétrco y A j uno antsmétrco, entonces, S j Aj =.

54 4. Dados los tensores: / 3/ Rj 5/ 3 A, T /3 /3 A, gj = g j = g j A. 7/ 4 9/ Encuentre: a) La parte smétrca S j y antsmétrca A j de R j. b) R kj = g k R j, Rk = g jk R j, T j = g j T Qué se concluye de estos cálculos? c) R j T, R j T j, R j T T j. d) R j Sj, R j Aj, Aj T, A j T T j. e) R j j Rl l,(r j j Rl l )T,(R j j Rl l )T T j. 5. Dado F jk un tensor totalmente antsmétrco respecto a sus índces jk, demuestre que el rotor de F jk defndo como sgue, tambén será un tensor. rot [F jk ]=@ m F F jkm j F k F jf j 6. El momento de nerca se defne como: Z Ij = dv (r) j x k x k x x j, con x = {x, y, z} ydv =dx dy dz. k F k. a) Muestre que Ij es un tensor. b) Consdere un cubo de lado l y masa total M tal que tres de sus arstas concden con un sstema de coordenadas cartesano. Encuentre el tensor momento de nerca, Ij. 7. Para un sstema de n partículas rígdamente undas, la cantdad de movmento p y cantdad de movmento angular L venen defndas por: p = m v = m (! r ) jk! j x k e, con =,,,n; e = {, j, k} y x = {x, y, z}. Muestre que: a) L = P m [(r r)! r (r!)]. L = X (r p) jk x k p k e, b) L = Ij!j, donde Ij = P m j x k x k x x j es el tensor momento de nerca para un sstema de n partículas rígdamente undas. 8. Dados dos sstemas de coordenadas ortogonales O (x, y, z) yõ ( x, ỹ, z), donde el sstema de coordenadas Õ se obtene rotando a O, /6 alrededor del eje z y / alrededor del eje x, con lo cual los ejes ỹ y z concden. a) S tenemos los vectores: A = +j +3k, B = + j +3k. Expréselos en el sstema de coordenadas Õ ( x, ỹ, z).

55 b) El tensor de esfuerzos (tensones normales y tangencales a una determnada superfce) se expresa en el sstema O (x, y, z) como: P P 4 Pj P A. P 3 Cuál será su expresón en el sstema de coordenadas Õ ( x, ỹ, z)? 9. Suponga un sstema de coordenadas ortogonales generalzadas q,q,q 3 las cuales tenen las sguente relacón funconal con las coordenadas cartesanas: q = x + y; q = x y; q 3 =z. a) Compruebe que el sstema q,q,q 3 conforma un sstema de coordenadas ortogonales. b) Encuentre los vectores base para este sstema de coordenadas. c) Encuentre el tensor métrco y el elemento de volumen en estas coordenadas. d) Encuentre las expresones en el sstema q,q,q 3 para los vectores: A =j, B = +j, C = +7j +3k. e) Encuentre en el sstema q,q,q 3 las expresones para las sguentes relacones vectorales: A B, A C, (A B) C. Qué puede decr s compara esas expresones en ambos sstemas de coordenadas?. La relacón entre las coordenadas cartesanas (x, y) y las coordenadas bpolares (, ) vene dada por: a snh( ) x = cosh( ) + cos( ), y = a sn( ), con a = const. cosh( ) + cos( ) a) Compruebe s los vectores base para las coordenadas bpolares son ortogonales. b) Encuentre el tensor métrco para las coordenadas bpolares Vectores, tensores y espacos pseudoeucldanos Hasta este punto la descrpcón de formas representadas por un bra: ha a k e k ha sdo cas estétca. Hemos nsstdo que las componentes de las formas tenen subíndces, mentras que sus vectores bases, e k, deben tener superíndces, pero no hemos vsto clara la necesdad de esa defncón. Un ejemplo, un tanto tímdo lo desarrollamos en en la seccón 3.., 66, donde menconamos que las bases recíprocas de vectores podrían jugar el papel de bases para el espaco dual. Quzá el ejemplo más emblemátco y smple, donde se observa la dferenca entre formas (bras) y vectores (kets) es el caso de los espacos mnkowskanos. Estos espacos, tambén llamados pseudoeucldanos, presentan una varante en la defncón de producto nterno, de tal forma que: hx x no es necesaramente postvo, y s hx x = no necesaramente mplca que x. La consecuenca nmedata es que la defncón de norma N ( v ) k v k, que vmos anterormente, no es necesaramente postva. Vale decr que tendremos vectores con norma postva, k v k >, pero tambén vectores con norma negatva o cero: k v k apple. Con lo cual la defncón de dstanca, entendda como la

56 norma de la resta de vectores, d ( x, y) k x yk, tampoco será necesaramente postva. Esto es, que las dstancas serán negatvas, postvas o nulas: d ( x, y) <, d ( x, y) =y d ( x, y) >. S extendemos la nocón de dstanca para que albergue las posbldades de dstancas nula y negatvas, entonces la defncón del tensor métrco para espacos pseudoeucldanos tambén debe cambar. 8 < < g [ x, x j ]=g j g j = : > En resumen < < = < < = < < hx x = = ) d ( x, y) = = : ; : ; ) g [ x, x j ]= = : > > > Este tpo de espacos luce como un excentrcdad más de los matemátcos y una curosdad de estudo es ver como organzar los conceptos que aprendmos de los espacos eucldanos y extenderlos a otros espacos. Quzá se hubera quedado así, como una curosdad matemátca s los físcos no huberan sacado partdo de estas partculardades para descrbr el comportamento de la naturaleza. En la próxma seccón analzaremos el caso de espacos mnkowskanos de dmensón 4, que denomnaremos M Espacos mnkowskanos Consderemos un espaco tetradmensonal expanddo por una base ortonormal: { e, e, e, e 3 }. Los vectores { e, e, e 3 } corresponden con la base canónca de R 3. Este espaco vectoral M 4 tendrá asocado un espaco dual: e, e, e, e 3 a través de una métrca: he e e he y e e e e, con, =,,, 3, y donde: = =, = =, = =, 33 = 33 = (con = para 6= ). Se dce que tene sgno. Tal y lo como presentamos en la seccón 3., podemos asocar componentes covarantes y contravarantes a través de la métrcas. S a = a e, entonces: he e a = a he e e = a e e he = a he = a he a he. Lo nteresante del caso es que: a = a ) a = a, a = a, a = a, a 3 = a 3. Es decr, en este caso, porque la métrca tene sgno, bajar los índces espacales (µ = =,, 3) es cambar el sgno a las componentes. Dcho con más propedad, las componentes espacales contravarantes (µ = =,, 3) tenen sgnos contraros a las componentes covarantes. De la msma manera que se expuso anterormente en la seccón 3.: ha e e = a he e e = a he e e = a e = a e a e. Realmente el sgno esunaconvencón,sepuedetambénconsderar µ de sgno +, con =, =+, =+, 33 =+. Otra vez, para la métrca con sgno, el cambo de sgno entre componentes covarantes y contravarantes se da para la componente, µ =

57 y otra vez, a = a, y habría cambo de sgno cuando se bajan los índces,, 3 para la métrca con sgno que hemos consderado anterormente. Del msmo modo se suben y se bajan índces para componentes de tensores: P P Por su parte, el producto nterno de dos vectores en un espaco de Mnkowsk nvolucra, de manera natural, la métrca del espaco. Esto es: ha b = hb a = a b = b a = a b = a b = a b a b a b a 3 b 3 = a b a b a b a 3 b 3. Una vez más, la norma de un vector, tambén nclurá al tensor métrco: k ak = ha a = a a he e = a a = a a = a a = a a a a a a a 3 a 3. El caso más conocdo lo consttuye la norma de un desplazamento nfntesmal, en un espaco tetradmensonal. Para una base genérca, { w } (no necesaramente ortogonal) de un espaco vectoral con producto nterno. El desplazamento nfntesmal puede expresarse como: ds hdr dr =(dx hw ) dx w =dx dx = dx dx =dt dx, con: dx = dx + dx + dx Un toque de Relatvdad Especal La genaldad de Albert Ensten fue haber entenddo que tenía que ncorporar el tempo como otra coordenada más, vale decr, que los eventos que ocurren en la naturaleza están etquetados por cuatro números: (t, x, y, z) (x,x,x,x 3 ) 3. El rápdo desarrollo de la comprensón de las deas relatvstas muestra que estaban en el ambente de la época de comenzos de 9, y una vez más la smplcdad como prejuco se mpuso. Sólo dos suposcones están en el corazón de la Relatvdad Especal:. El prncpo de la Relatvdad: Las leyes de la Físca son déntcas en todos los sstemas de referenca nercales.. La unversaldad de la velocdad de la luz en el vacío: La velocdad de la luz en el vacío es sempre la msma, y es ndependente de la velocdad de la fuente de luz respecto a un observador en partcular. En térmnos matemátcos estas dos audaces suposcones se concretan en una smple suposcón matemátca: el producto nterno entre dos elementos de este espaco tetradmensonal, debe conservarse para una famla de vectores base. Luego vendrá la asocacón de observadores físcos -o sstemas de coordenadascon los membros de la famla de vectores base, pero la dea es la msma que planteamos para los espacos eucldanos en..3: el producto nterno -y consecuentemente, la norma de los elementos del espaco vectoral y la dstanca entre éstos- es el msmo ndependentemente de la base en la cual expanda el espaco vectoral. La prmera de las nterpretacones es el cómo representamos los eventos en el espaco-tempo. Supongamos el caso undmensonal en el espaco, vale decr los eventos ocurren en un punto de la recta real x = x,yen un tempo determnado, por lo tanto podremos asocar al evento un vector evento:! (x,x ).. 3 Una dscusón sobre la necesdad de ncorporar los conceptos de relatvdad especal en los programas de estudo de Físca medante la utlzacón del álgebra geométrca la pueden encontrar en Bayls, W. E. (4). Relatvty n ntroductory physcs. Canadan journal of physcs, 8(),

58 A contnuacón nos preguntamos que representan las dstancas (espaco-temporales) entre estos dos eventos. Tal y como vmos, las dstancas entre dos elementos de un espaco vectoral puede ser construda a partr de la norma (de la resta de coordenadas) y la norma a partr del producto nterno: 8 < conexón tpo espaco: eventos desconectados causalmente. >< y x hy x y x = conexón tpo luz: posble conexón causal a través de rayos de luz. >: > conexón tpo tempo: posble conexón causal. Con esta prmera nterpretacón de los valores de la norma y la vsón tetradmensonal, el espaco-tempo, dvddo en pasado, presente y futuro, se puebla de eventos que pueden estar o no relaconados causalmente tal y como muestra la fgura 3.3. La preservacón del producto nterno para todos los observadores era ntutva en los espacos eucldanos y, al mantenerla para los pseudoeucldanos nos traerá consecuencas nada ntutvas en nuestra dea ntutva de realdad. Para el caso de la formulacón de la Relatvdad Especal, añadmos un supuesto más: las componentes del tensor métrco son nvarantes bajo transformacones de coordenadas, esto es: g [ e µ, e ] g [ ẽ µ, ẽ ], =, con: { e µ } y { ẽ µ } dos bases que se conectan a través de una transformacón de coordenadas: x µ = x µ ( x ), x µ = x µ (x ). Fgura 3.3: Cono de luz, espaco-tempo y eventos. Construyamos ahora el tpo de transformacón de coordenadas que mantene estos dos supuestos 4 :. El producto nterno de dos vectores es ndependente de la base que expande el espaco vectoral.. Las componentes del tensor métrcos son nvarantes bajo transformacones de coordenadas. S el producto nterno de dos vectores es ndependente de la base que expanda el espaco vectoral, tendremos: hx y = h x ỹ, x y = x ỹ, x y = x ỹ, y como lo vmos en 3..8 las componentes de vectores, bajo cambo de coordenadas, transforman como: ã k ak ) x y = x ỹ, x y y µ = x µ, con lo cual conclumos que: µ. (3.8) 4 Estamos suponendo que observadores, sstemas de coordenadas y sstemas de referenca son conceptos equvalentes.