Apuntes de Análisis Curso 18/19 Esther Madera Lastra 1. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real f de variable real es una relación que asocia a cada número real,, un único número real y = f (. A la variable se le denomina variable independiente, y a la variable y, variable dependiente. Una función se puede epresar de esta forma: f : IR IR y = f ( Una función puede cortar varias veces al eje X, pero sólo puede cortar una vez como máimo al eje Y. A cada valor de para el que eiste la gráfica, le corresponde un único valor de y. Esta gráfica corresponde a una función. En estas gráficas de la derecha, eisten valores de la variable a los cuales les corresponden más de un valor de y. Estas gráficas no corresponden a funciones.. FUNCIONES ELEMENTALES Funciones polinómicas: rectas Funciones polinómicas: parábolas Funciones racionales: hipérbolas 1
Apuntes de Análisis Curso 18/19 Esther Madera Lastra Funciones irracionales: ramas de parábolas Funciones eponenciales Funciones logarítmicas Funciones trigonométricas Funciones valor absoluto
Apuntes de Análisis Curso 18/19 Esther Madera Lastra. LÍMITES. El ite de una función puede ser un número, +, o no eistir Un ite determinado es un número real, o bien, o +. En otro caso es indeterminado (no se puede saber a priori su resultado): ; ; 1 ; ;. ; ; Las indeterminaciones aparecen generalmente en el cálculo de ites en un punto que no sea del dominio, en los etremos finitos del dominio o en los ites infinitos..1. Límite de una función en un punto. Al aproimarnos a un punto podemos hacerlo por la izquierda (con valores menores que él) o por la derecha (con valores mayores). f ( f ( + Límite de f ( cuando tiende hacia a por la izquierda El ite lateral de la función f ( en = a por la izquierda es el valor al que se aproima la función f ( cuando la variable independiente se aproima al valor a por la izquierda, es decir, por valores menores que a. Límite de f ( cuando tiende hacia a por la derecha El ite lateral de la función f ( en = a por la derecha es el valor al que se aproima la función f ( cuando la variable independiente se aproima al valor a por la derecha, es decir, por valores mayores que a. Para que eista el ite de una función en ser iguales. = a, tienen que eistir los ites laterales y deben En las funciones definidas por una sola fórmula se tiene que: = f ( a) a Dom( f ) siempre que Utiliza las gráficas para calcular los ites laterales de las funciones: a) En = 1 b) En = Para calcular el ite lateral de una función en un punto sustituimos en la función la variable por el punto; si no obtenemos indeterminación, ése es el ite. Por la izquierda: ( 1) = 1 1 = 1 1 = 1 Por la derecha: ( + 1) = 1 + 1 = + 1 = + 1 Cuando toma valores muy próimos a y menores que, los valores de f ( tienden a : = Cuando toma valores muy próimos a y mayores que, los valores de f ( tienden a + : = + +
Apuntes de Análisis Curso 18/19 Esther Madera Lastra Ejercicio 1: Calcula los siguientes ites: a) ( + 1) b) + 1 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES 1. [ k] = k. [ ± g( ] = ± g(. [ g( ] = g( 4. = ; g( g( g( 5. g[ ] = g( ), si eiste g( ) 6. [ ] g ( g ( = [ ], si [ ] g ( es determinado Indeterminación de tipo Suele aparecer al calcular ites del cociente, en un punto a en el que f ( a) = y g ( a) =. g( Para resolver estas indeterminaciones transformamos el numerador y el denominador para simplificar la fracción. Serán más sencillos con la regla de L Hopital, por lo que ahora no lo veremos... Límite de una función en el infinito. = L + = L + + f ( = + f ( = f ( = + f ( = Si para valores muy grandes de, los valores de la función se aproiman al número L. Si para valores muy pequeños de, los valores de la función se aproiman al número L. Si para valores muy grandes de, los valores correspondientes de f ( son mayores que cualquier número prefijado. Si para valores muy grandes de, los valores correspondientes de f ( son menores que cualquier número prefijado. Si para valores muy pequeños de, los valores correspondientes de f ( son mayores que cualquier número prefijado. Si para valores muy pequeños de, los valores correspondientes de f ( son menores que cualquier número prefijado. Ejercicio 1: Sea la función =, calcula f ( + + 1 y f ( Importante: el f ( sustituir por + y por -. cuando eisten raíces, puede dar lugar a problemas. Lo mejor es 4
Apuntes de Análisis Curso 18/19 Esther Madera Lastra. Propiedades de los ites. Son las mismas que las de ites de funciones en un punto teniendo en cuenta que, será necesario operar con epresiones donde aparece infinito. A veces los resultados determinan directamente la eistencia del ite y su valor y, en otros casos, no es posible (indeterminaciones que tendremos que salvar). Las tres últimas indeterminaciones (potencia) que aparecen en este cuadro no las vamos a estudiar. Suma y resta Producto Cociente Potencia + + = + + ( + ) = + k k < = = ; k ( + ) = + ( ) = k + k > + k indeterminado indeterminado ( + ) = = ± ; k + k < 1 ( ) = + k = + k > 1 ± + k < 1 indeterminado indeterminados k = k > 1 k = 1 ± indeterminados Indeterminación tipo de Suelen aparecer al calcular ites de cocientes de polinomios o cocientes donde pueden aparecer radicales. Se resuelven dividiendo entre la mayor potencia de, o más sencillamente, con la regla de los grados. Serán más sencillos con la regla de L Hopital. Ejercicio : Calcula los ites: a) b) + 1 + 1 + 9 c) d) + 1 + 5 + 5 Indeterminación de tipo + 1 Suelen aparecer al calcular ites de funciones con diferencia de radicales (se resuelve multiplicando y dividiendo por el conjugado) o diferencia de cocientes de polinomios (se resuelve realizando la diferencia de los cocientes). Ejercicio 4: Calcula los ites: a) b) + 1+ 4 5 + 1 + 4. ASÍNTOTAS. Las asíntotas son rectas a las que se aproiman algunas ramas de una función. En el cálculo de las asíntotas es importante hallar su ecuación y, si nos lo preguntan, estudiar la posición de la gráfica respecto de la asíntota. Posición de la gráfica respecto de la Asíntota Definición asíntota Se estudia: f ( y f ( Vertical Recta = a tal que f ( = ± Una función puede tener infinitas asíntotas verticales. Ejemplo: (La gráfica de una función no puede cruzar la asíntota vertical, ya que si discontinua en este valor) + En la práctica, para determinar el signo de los ites laterales podemos dar valores muy muy próimos al punto. = tg = a es una A. V., la función es 5
Apuntes de Análisis Curso 18/19 Esther Madera Lastra Horizontal Recta y = k tal que lim = k ± Una recta puede ser asíntota horizontal cuando + Una función a lo sumo puede tener dos asíntotas horizontales, una cuando + Oblicua En la práctica para determinar la situación de las ramas asíntóticas, damos valores muy muy grandes y muy muy pequeños a., o viceversa. y otra cuando y, sin embargo, no serlo cuando (La gráfica de una función puede cortar a la asíntota horizontal) Ejemplo: + + = + 1 Recta y = m + n tal que m y En la práctica para determinar la situación de las ramas asíntóticas, m = ; n = [ m] damos valores muy muy grandes y muy ± ± muy pequeños a. y, sin embargo, no serlo cuando, o viceversa. y otra cuando Una recta puede ser asíntota oblicua cuando + Una función a lo sumo puede tener dos asíntotas oblicuas, una cuando + (La gráfica de una función puede cortar a la asíntota oblicua) Ejercicio 5: Estudia si la función = tiene asíntotas. 1 Ejercicio 6: Estudia si la función ( = ( + 1) 4 f tiene asíntotas. + 1 Ejercicio 7: Estudia si la función = tiene asíntotas. + Ejercicio 8: Halla las asíntotas de = 1 5. CONTINUIDAD. 5.1 Continuidad de una función en un punto. Una función f ( es continua en un punto = a si se cumple que: 1º. Eiste f (a) º. Eiste f ( º. f ( a) = Si una función no es continua en un punto, decimos que la función presenta una discontinuidad en ese punto. + 5 Ejercicio 9: Comprueba si la función = es continua en = y = 1. 1 5..-Tipos de discontinuidad. Discontinuidad evitable Se produce cuando eiste f (, pero ocurre una de estas condiciones: No coincide con f (a) La función no está definida en el punto. Esta discontinuidad se llama evitable porque la función se convierte en continua asignando al valor de la función el valor del ite: f ( a) = 6
Apuntes de Análisis Curso 18/19 Esther Madera Lastra Discontinuidad de salto finito Se produce cuando no eiste f (, porque los ites laterales no coinciden. + La discontinuidad de salto finito es frecuente en las funciones definidas a trozos, en los puntos en los que la función cambia su epresión algebraica. Discontinuidad de salto infinito Uno o los dos ites laterales son infinito. f ( = o f ( + = 5.. Propiedades de la continuidad. Si las funciones f ( y g ( son continuas en = a, entonces las siguientes funciones son continuas en = a : a) ± g( b) k f ( siendo k IR c) g( d) g( siempre que g ( a) Además, si g ( es continua en f (a) : e) ( g o f )( = g( ) es continua en = a. Las funciones elementales son continuas en sus dominios de definición: 1. Las funciones polinómicas son continuas en todo IR.. Las funciones racionales no son continuas en los puntos que anulan el denominador.. Las funciones con radicales con índice de la raíz par no eisten en los valores que hacen el radicando negativo. Si el índice es impar, son continuas en todo IR. 4. Las funciones eponenciales son continuas en todo IR. 5. Las funciones logarítmicas no son continuas en los puntos en los que la epresión de la que queremos hallar el logaritmo se convierte en cero o en un número negativo. 6. De las funciones trigonométricas, la única función que no es continua es = tg, que π no eiste en = + kπ. En la práctica, para estudiar la continuidad de funciones definidas a trozos, debemos estudiar si los ites laterales coinciden o no. 1 Ejercicio 1: Estudia la continuidad de a) = + 5 > 1 < 1 b) = = c) = 4 + 5 > Ejercicio 11: Justifica si las siguientes funciones son continuas: a) = cos 1 b) = e c) = 4ln 7
Apuntes de Análisis Curso 18/19 Esther Madera Lastra Ejercicio 1: Dada la función a si 1 = Para que valores de a es continua? si > 1 a Ejercicio 1: Determina el valor del parámetro a para que se verifique + ( + a + 1 = Ejercicio 14: Determina los valores de a y b para que la función siguiente resulte continua en todos los puntos: a + b si < = a si < 1 a + b si 1 a + b Ejercicio 15: De la función = con a, b IR, sabemos que pasa por el punto a ( 1, ) y que tiene una asíntota oblicua cuya pendiente es 6. a) Determina los valores a y b de la función. b) Determina, si eisten, las asíntotas verticales de dicha función. 6. LA DERIVADA 6.1. Tasa de variación media La tasa de variación media de una función f ( en un f ( b) f ( a) intervalo [ a, b] es el cociente: T. V. M. ([ a, b] ) = b a La T.V.M. de la función f ( en el intervalo [ a, b] es la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por los puntos ( a, f ( a) ) y ( b, f ( b) ). Con frecuencia, en la T.V.M. se considera el intervalo f ( a + h) f ( a) Variación de f ( = a, a + h, donde h indica su longitud. h Variación de [ ] 6.. Derivada de una función en un punto. La derivada de la función f ( en un punto de abscisa a es el valor del ite, si eiste y es finito: f ( a) f ( a) = a Si en esta definición hacemos = a + h, la fórmula es equivalente a f ( a + h) f ( a) f ( a) = h h Ejercicio 16: Calcula la derivada de la función = 4 + 5 en =. Comprueba que las dos fórmulas anteriores son equivalentes. 8
Apuntes de Análisis Curso 18/19 Esther Madera Lastra 7. CÁLCULO DE DERIVADAS Para hallar la derivada de funciones simples no es necesario utilizar la definición, pues eisten reglas que facilitan su cálculo. Y para hallar la derivada de funciones compuestas se utiliza la regla de la cadena [( g o f ) ( = g ( ) f ( ] REGLAS DE DERIVACIÓN 9
Apuntes de Análisis Curso 18/19 Esther Madera Lastra Ejercicio 17: Deriva las siguientes funciones: 4 6 4 = ) = 4) = 1 5 = 6 + 6) = 7 8 + 6 1 7) = 8 6 8) = 6 8 4 = 7 1) = + 9 11) = ln( ) 1) = ln + = ln( 8 14) = ln(8 + sen 15) = cos( ) 16) = + 1 + + 1 4 4 = 18) = 19) = ( ) = ( 8 + = e ) = 4 ) = ( + ) 5 4) = sen(5 ) 1) = 7 ) 5) 8 9) 1) ) 17) 1) + 1 f 6) = tg(4 + 8) 7) = tg 8) = arcsen(5 1) sen( + ) sen = arctg(ln ) = 5 1) = tg(6 8) ) = + e + 1 = 4) e = sen( tg 5 5) = cos 6) = tg ( 1 4 5) ( = cos ( ) 9) ) ) 7) = arcsen(5 ) 8) ln( sen 5 = 9) ( = sen + 4 f 4) cos = 8. RECTA TANGENTE Y NORMAL Geométricamente, la derivada f (a) de una función en = a coincide con la pendiente de la P a, f ( a) recta tangente a la gráfica de la función en el punto ( ) Recta tangente a la gráfica de la función P a, f ( a) : en el punto ( ) y f Recta normal a la gráfica de la función en el punto P ( a, f ( a) ) : 1 y f ( a) = a f ( a) ( a) = f ( a) ( a) ( ) Ejercicio 18: Determina las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función = + en = y en = 1. Ejercicio 19: Determina los puntos de la gráfica de = + + donde la recta tangente es horizontal. Calcula la ecuación de la recta tangente y normal en esos puntos. 1
Apuntes de Análisis Curso 18/19 Esther Madera Lastra 9. CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD f ( es derivable en = a f ( es continua en = a En la práctica se utiliza su contrarrecíproco: Una función que no es continua en un punto, no puede ser derivable en él. f Función Estudio Gráfica = + + 4 ( f = ( + si No es continua en =, por tanto, no es derivable si > en dicho punto. < 1 1 No es continua en = 1, por tanto, no es derivable en dicho punto. Es fundamental estudiar la continuidad antes que la derivabilidad. Lo primero que tenemos que hacer para comprobar que una función es derivable en un punto es asegurarnos de que es continua en ese punto. Si la función no es continua en un punto, tampoco es derivable. f = ( + + 4 si si > Es continua en = y no es derivable en ese valor. (Observamos que para = se dibujan dos rectas tangentes distintas) Una función puede ser continua en un punto y, sin embargo, no ser derivable en él. EN GENERAL, la característica de las gráficas que son derivables son curvas continuas que no tienen picos. Esto es cierto siempre y cuando eista el ite que define la derivada y éste sea finito. Ejemplo de función no derivable: Estudia la derivabilidad de la función = en =. La gráfica de la función = en = no tiene un pico; sin embargo, no es derivable en =. La pendiente de la recta tangente es +, es decir, la tangente es la recta vertical =. En la práctica, para saber si una función es o no derivable, en primer lugar estudiaremos si es continua. Si lo es, estudiaremos los ites laterales de la derivada. Si coinciden, será derivable. Ejercicio : Es derivable la función en =? f 4 = + 4 ( si < si 11
Apuntes de Análisis Curso 18/19 Esther Madera Lastra Ejercicio 1: Es derivable la función =? si < = = en si Las funciones algebraicas y trascendentes, definidas por una sola fórmula, son derivables en los puntos de su dominio, ecepto en aquellos valores donde la tangente es vertical. La mayoría de las funciones que no son derivables en algún valor son construidas artificialmente a trozos. Los valores conflictivos se encuentran en los puntos de empalme de los trozos que definen la función. Ejercicio : Calcula el valor de los parámetros a + b 1 si 1 = sea derivable en = 1. b si > 1 a y b para que la función 1. REGLA DE L HÔPITAL. La regla de L Hôpital se utiliza para resolver las indeterminaciones del tipo Sean dos funciones f ( y g ( derivables en un entorno de a. f ( Si =, g( = y eiste, entonces eiste a g ( g( = f ( a g ( La regla de L Hôpital es válida si a es un número real, + o. g( y su valor es Ejercicio : Calcula ln 1 La regla de L Hôpital también se puede aplicar si a g( = Ejercicio 4: Calcula a) ln + ln + ln sen Aplicación de la regla de L Hôpital en la indeterminación : Se escribe el ite de forma que aparezca una indeterminación o. Ejercicio 5: Calcula a) [ ( ) ln ( ) ] b) ln sen + Aplicación de la regla de L Hôpital en la indeterminación Ejercicio 6: Calcula a) 1 1 sen 1 b) 1 1 ln En la práctica, es muy normal encontrar ejercicios de L Hopital con parámetros. 1
Apuntes de Análisis Curso 18/19 Esther Madera Lastra 11. MONOTONÍA, MÁXIMOS Y MÍNIMOS. 11.1 Monotonía. Una función f es creciente en un intervalo ( a, b) si para cualquier par de números 1, del intervalo ( a b) <, tal que 1 implica que f ) < f ( ) ( 1 Una función f es decreciente en un intervalo ( a, b) si para cualquier par de números 1, del intervalo ( a b) <, tal que 1 implica que f ) > f ( ) ( 1 Ejemplo Criterio para funciones crecientes o decrecientes f ( ) > f ( creciente en = f ( ) < f ( decreciente en = Es creciente en (, ) y en (, 7). Es decreciente en (, ) y en (, + ) 7. Recta tangente en a la gráfica tiene pendiente positiva Recta tangente en a la gráfica tiene pendiente negativa 11. Máimos y mínimos relativos. f presenta un máimo relativo en si, en ese punto, la función pasa de ser creciente a decreciente, y un mínimo relativo si pasa de ser decreciente a creciente. [ f presenta un máimo absoluto en si es el mayor de los máimos relativos, y un mínimo absoluto si es el menor de los mínimos relativos ], es un punto máimo o mínimo relativo de la gráfica de f (, entonces f ( ) =, o bien Si el punto ( f ( )) f ( no es derivable en =. Procedimiento Ejemplo: = + 6 D ( f ) = IR 1º. Hallamos discontinuidades No hay º. Hallamos f ( f ( = 6 + 6 6 º. Estudiamos el signo en los intervalos que proporcionan las discontinuidades y los puntos críticos de la función (puntos donde la derivada se anula) [ f ( = =, = ] 4º. Escribimos los intervalos La gráfica de f ( es creciente en (, ) y (, + ). de crecimiento y de decrecimiento. La gráfica de f ( es decreciente en (, ). 5º. Estudiamos máimos y/o mínimos relativos. Crec. a la izqda. de = y decrec. a la drch. = má. Decrec. a la izqda. de = y crec. a la drch. = mín. 6º. Calculamos las coordenadas de los máimos y mínimos. (, 81) (, 44) f ( ) = 81 P má. de la gráfica f ( ) = 44 Q mín. de la gráfica 1
Apuntes de Análisis Curso 18/19 Esther Madera Lastra 1. PUNTOS DE INFLEXIÓN Y CURVATURA. 1.1 Curvatura. Concavidad Conveidad Punto de infleión La gráfica de f ( es cóncava,, porque está por debajo de las a, b en ( a b) tangentes en ( ) f ( ) < f ( cóncava en = La gráfica de f ( es convea en ( a b),, porque está por encima de las a, b tangentes en ( ) f ( ) > f ( convea en = La gráfica de f ( pasa en = de convea a cóncava y la tangente atraviesa la gráfica. 1. Puntos de infleión. Una función f presenta un punto de infleión en si, en ese punto, dicha función pasa de ser convea a cóncava, o viceversa. Si el punto ( f ( )), es un punto de infleión de la gráfica de f (,entonces f ( ) =, o bien f ( no es derivable en =. Procedimiento Ejemplo: = + 6 D ( f ) = IR 1º. Hallamos discontinuidades. No hay º. Hallamos f (. f ( = 6 + 6 6 f ( = 1 + 6 º. Estudiamos el signo en los intervalos que proporcionan las discontinuidades y los ceros de su segunda derivada. 1 [ f ( = = ] 1 La gráfica de f ( es cóncava ( ) en,. 4º. Escribimos los intervalos de concavidad y conveidad. 1 La gráfica de f ( es convea ( ) en, +. 5º. Estudiamos puntos de f ( cóncava a la izqda. de = 1/ y convea a la drch. infleión. = 1/ punto de infleión. 6º. Calculamos las coordenadas de 1 7 f ( ) = 1 7 A, los puntos de infleión. es un punto de infleión. 14
Apuntes de Análisis Curso 18/19 Esther Madera Lastra 1. PUNTO DE INFLEXIÓN, MÁXIMO O MÍNIMO? Cuando se anulan las dos primeras derivadas en un punto, para decidir si en hay un punto de infleión, un máimo o un mínimo tenemos que analizar la primera derivada NO NULA en dicho punto. ) f n ( ) < en se alcanza un máimo. Si esta derivada es de orden par: ) f n ( ) > en se alcanza un mínimo. ) Si es de orden impar: f n ( ) en hay un punto de infleión. Ejemplos: = 4 f ( = 4 f ( = 1 f ( = 4 f IV ( = 4 f ( = = Posible máimo o mínimo. f ( ) = = Posible punto de infleión. f ( ) = IV f ( ) > en = se alcanza un mínimo. = 5 + f ( = 5 4 f ( = f ( = 6 f IV ( = 1 f V ( = 1 f ( = = Posible máimo o mínimo. f ( ) = = Posible punto de infleión. f ( ) = IV f ( ) = V f ( ) en = hay un punto de infleión. Ejercicio 7: Calcula los máimos, mínimos y puntos de infleión de f + ( = 1. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Optimizar un proceso es conseguir que una magnitud sea lo mayor o lo menor posible sujeta a unas condiciones. Para ello, es preciso encontrar el máimo o mínimo de una función. Hay muchos ejemplos de estos tipos de problemas en la ciencia, la tecnología, la economía, las finanzas, la población y la medicina: encontrar el máimo beneficio, minimizar el coste, hallar la máima distancia, determinar el máimo voltaje, hallar la máima resistencia, Procedimiento: a) Se escriben los datos, las incógnitas y se hace un dibujo si es posible. b) Se escribe la función que se desea maimizar o minimizar y las condiciones del problema, que serán ecuaciones que relacionan las variables y los datos. c) Se escribe la función con una sola variable, mediante las ecuaciones utilizadas. d) Se calculan los máimos y los mínimos de esta función. e) Se interpretan los resultados y se rechazan aquellos que no sean posibles por las condiciones o la naturaleza del problema. Ejercicio 8: El consumo de un barco que navega a una velocidad de nudos viene dado por 45 C( = +. Calcula la velocidad que es más económica y su consumo. 6 Ejercicio 9: De todos los triángulos rectángulos de 5 m de hipotenusa, halla el que tiene área máima. 15
Apuntes de Análisis Curso 18/19 Esther Madera Lastra 14.-ANÁLISIS DE FUNCIONES Y REPRESENTACIÓN DE CURVAS. Finalidades: Dada la fórmula de una función, analizarla estudiando todas sus características. Dada la fórmula de una función, saber representarla gráficamente. [Para representar una función no es necesario analizarla totalmente estudiando todas sus características; a veces, con hallar las asíntotas, la posición de la gráfica respecto de ellas y los máimos y mínimos relativos se puede hacer un esbozo bastante completo de la misma ] Propiedades de f obtenidas directamente Dominio de la función. Recorrido o imagen de la función. Puntos de discontinuidad f ( a) Simetrías. a) Función par. b) Función impar. Caracterización Valores que puede tomar Valores que puede tomar y o Función par: Simétrica respecto del eje Y + Función impar: Simétrica respecto del origen de coordenadas Periodicidad (sólo eiste en funciones trigonométricas) f ( + T ) = T período mínimo Puntos de corte con los ejes: a) Corte con el eje X Ninguno, uno o más puntos b) Corte con el eje Y Ninguno o un punto Asíntotas: a) Asíntotas verticales: = c b) Asíntotas horizontales: y = k c) Asíntotas oblicuas: y = m + n Propiedades de f obtenidas por las derivadas sucesivas Monotonía: a) Intervalos de crecimiento b) Intervalos de decrecimiento c) Mínimos y/o Máimos Curvatura: a) Intervalos de concavidad ( ). b) Intervalos de conveidad ( ). c) Puntos de infleión. Son los puntos de la forma (, ) Es el punto de la forma (, ()) f ( = ± c = k ± [hay que resolver la ecuación = ] f [si f ( está definida en = ] + [ c = a, a, a ] m= ; n= [ m] ± ± f > f < Caracterización f ( ) = y f ( ) > En = se alcanza un mínimo f ( ) = y f ( ) < En = se alcanza un máimo f < f > f ( ) = y f ( ) En = hay un punto de infleión 16
Apuntes de Análisis Curso 18/19 Esther Madera Lastra 15. EJEMPLOS DE ANÁLISIS GRÁFICOS DE FUNCIONES. Considera una función cuya representación gráfica en el intervalo (, ) es la que aparece a la derecha. Haz un esbozo de la gráfica de la derivada de esta función. Epresión de los resultados en términos de Características gráficas la derivada f ( es creciente en (, ) y en (, ) f ( > en (, ) y en (, ) f ( es decreciente en (, ) y en (, ) f ( < en (, ) y en (, ) f ( alcanza los máimos en los puntos de abscisa = y f ( tiene puntos de corte con los ejes en los = puntos de abscisa = ; = y = f ( alcanza un mínimo en = f ( es cóncava en (, 1 ) y en (, ) f ( es convea en ( 1, ) f ( tiene un mínimo en = 1 f ( tiene dos puntos de infleión en los puntos de abscisa = 1 f ( tiene un máimo en = y = CONCLUSIÓN: Dada la gráfica de h (, deduce la monotonía y etremos relativos de h (, así como la curvatura y sus puntos de infleión, eplicando cómo lo haces. Características gráficas Puntos donde h ( cambia su monotonía. h ( > h ( < h ( > h ( < Puntos donde h ( cambia su curvatura. Epresión de los resultados en términos de la función h ( es creciente en (, ) U ( 6, 7) U ( 7, + ) h ( es decreciente en (, ) U (, 6) h ( alcanza un máimo en = h ( alcanza dos mínimos, en = y = 6 h ( es cóncava ( ) en (, 4) U ( 7, + ) h ( es convea ( ) en (, ) U ( 4, 7) h ( tiene dos puntos de infleión, en = y = 4 [Como h (7) no eiste, h ( no tiene un punto de infleión en = 7, aunque cambia su curvatura] 17
Apuntes de Análisis Curso 18/19 Esther Madera Lastra SELECTIVIDAD 16 Ejercicio 1 Ejercicio Ejercicio Ejercicio 4 Ejercicio 5 Ejercicio 6 Ejercicio 7 Ejercicio 8 Ejercicio 9 18
Apuntes de Análisis Curso 18/19 Esther Madera Lastra Ejercicio 1 Ejercicio 11 Ejercicio 1 SELECTIVIDAD 15 Ejercicio 1 Ejercicio 14 Ejercicio 15 Ejercicio 16 Ejercicio 17 19
Apuntes de Análisis Curso 18/19 Esther Madera Lastra Ejercicio 18 Ejercicio 19 Ejercicio Ejercicio 1 Ejercicio Ejercicio Ejercicio 4 SELECTIVIDAD 14 Ejercicio 5
Apuntes de Análisis Curso 18/19 Esther Madera Lastra Ejercicio 6 Ejercicio 7 Ejercicio 8 Ejercicio 9 Ejercicio Ejercicio 1 Ejercicio Ejercicio 1
Apuntes de Análisis Curso 18/19 Esther Madera Lastra Ejercicio 4 Ejercicio 5 Ejercicio 6 SELECTIVIDAD 1 Ejercicio 7 Ejercicio 8 Ejercicio 9 Ejercicio 4 Ejercicio 41 Ejercicio 4
Apuntes de Análisis Curso 18/19 Esther Madera Lastra Ejercicio 4 Ejercicio 44 Ejercicio 45 Ejercicio 46 Ejercicio 47 Ejercicio 48 SELECTIVIDAD 1 Ejercicio 49
Apuntes de Análisis Curso 18/19 Esther Madera Lastra Ejercicio 5 Ejercicio 51 Ejercicio 5 Ejercicio 5 Ejercicio 54 Ejercicio 55 Ejercicio 56 4
Apuntes de Análisis Curso 18/19 Esther Madera Lastra Ejercicio 57 Ejercicio 58 Ejercicio 59 Ejercicio 6 SELECTIVIDAD 17 Ejercicio 61 Ejercicio 6 Ejercicio 6 5
Apuntes de Análisis Curso 18/19 Esther Madera Lastra Ejercicio 64 Ejercicio 65 Ejercicio 66 Ejercicio 67 Ejercicio 68 Ejercicio 69 Ejercicio 7 Ejercicio 71 Ejercicio 7 6