Uversdad Técca Federco Sata María Departameto de Iformátca ILI-80 Capítulo Probabldades Estadístca Computacoal II Semestre 004 Profesores: Héctor llede (hallede@f.utfsm.cl Rodrgo Salas (rsalas@f.utfsm.cl Pága: www.f.utfsm.cl/~hallede Coceptos áscos Expermeto aleatoro : ξ Espaco Muestral : Ω Espaco Muestral : Dscreto, Cotuo Eveto o Suceso Sucesos elemetales, seguros e mposbles Probabldad : grado de certdumbre Probabldad y Juegos de zar Probabldad y Frecueca relatva Probabldad Subetva (Persoal Coceptos áscos Coutos y Evetos Expermeto leatoro: -Proceso que tee o más resultados posbles Eveto ( Suceso Elemetal: - Resultado de u expermeto dvsble - Mutualmete Excluyetes : s ocurre uo o exste posbldad de observar otro - Equprobable : Cada eveto smple tee detca probabldad Espaco Muestral -El couto que cotee todos los resultados posbles Eveto -El couto de todos los evetos elemetales posbles que resulta e la ocurreca del eveto Ω (S s Ω Ω (S: Espaco Muestral: Todos los posbles resultados elemetales s S, resultado elemetal I :Famla de todos los evetos posbles de S I, luego es u Eveto E s, luego eveto mposble S I, luego S es el Eveto Seguro y I, luego so evetos I; I; c I, so evetos 4 Cocepto de σ-álgebra de sucesos Coutos vs. Evetos Sea I ua clase o vacía formada por certos subcoutos del espaco muestral S. I es ua σ- algebra de sucesos s los sucesos complemetaros de aquellos que está e I també está e I, así como sus uoes umerables (sea ftas o ftas. Esto se puede eucar como: c I I es ua σ álgebra I I,..., U 5 Teoría Coutos Teoría Probabldades S Ω Uverso Espaco Muestral I Couto Poteca Famla Clases de Evetos I subcouto de S es u Eveto s s es elemeto de Ocurre el eveto Couto vacío Eveto Imposble S Uverso Eveto Seguro uó Eveto o Eveto terseccó Eveto y Eveto c Complemeto de Eveto o- es subcouto de mplca y so dsutos y mutuamete excluyetes 6
Eemplo Dado Se realza u expermeto aleatoro de lazar u dado al are: -Sucesos elemetales {}, {}, {}, {4}, {5}, {6} -Espaco Muestral S{,,,4,5,6} -Couto Poteca I S{Ø,S,{},{},...,{,},...} Øsuceso mposble σ-álgebra S suceso seguro {,, 5} -Sucesos aleatoros {4, 5, 6} {, 4, 6}{,, 5} C... Eemplo S se realza u expermeto aleatoro de esperar el tempo que hace falta para que u átomo de carboo catorce, C 4, se destegre de modo atural, se tee que + S Ω R s embargo, el σ-álgebra de sucesos que se cosdera o es R, que es ua clase demasado complea para defr sobre sus elemetos ua medda de probabldad. E su lugar se cosdera el σ-álgebra formada por todos los tervalos, abertos o cerrados, y sus uoes ftas I {Ø, R +, (,,...,(,],...} lo que por supuesto cluye a los putos de R +. 7 8 Expermeto leatoro I II Se toma al azar ua esfera de la ura I Se trasfere a la ura II, se mezcla be. Se elge, aleatoramete, ua esfera de la ura II. cuál es la probabldad a pror que sea verde? 9 I Espaco Muestral Traspasar Roa # II 4 5 6 7 Traspasar Verde # II 8 9 0 II Traspasar Verde # Dsttas formas como puede resultar el expermeto. Ya que las esferas has sdo sacadas al azar, cada uo de ellos tee la msma posbldad de ocurrr 0 ocoes de Probabldad Eemplo Probabldad es ua medda de la certdumbre (Estmacó de la probabldad Teórca - Pror -Pr ( / úmero de posble formas e que puede ser observado úmero total de resultados posbles Hstórca (empírca-frecueca - Posteror -Pr ( / úmero de veces que ocurro úmero total de observacoes Subetva -La Opó de u Experto E la fgura se preseta la evolucó de la frecueca relatva del úmero de caras obtedo e el lazameto de ua moeda e 00 ocasoes (smulado e u computador.
Modelo Probablístco Sea ua Dstrbucó de Probabldad P, fucó que asga a cada sub-couto razoable de Ω u valor etre 0 y. Ω Sea I coleccó de evetos razoables de Ω (σ-álgebra P : I [0;] Modelo de Probabldad ( Ω, I, P Cálculo de Probabldades (Evetos Equprobables ocó tutva (regla de Laplace: Resultados favorables Resultados ocó frecuetsta: Sea : total de veces que se realza u expermet o : total de veces que ocurre lm al eveto posbles 4 Eemplo Dado Cuál es la probabldad de que al lazar u dado se tega par? -El espaco muestral es Ω{,,, 4, 5}. Vamos a llamar, al suceso cosstete e que el resultado es mpar, {,,5}. Como o supoemos que gua de las caras ofrece ua probabldad de ocurreca dferete a las demás, podemos aplcar la regla de Laplace para obteer que P[ ] úmero de casos favorables a úmero de casos posbles 6 Observacó Cálculo de Probabldades (Evetos Equprobables -E muchas ocasoes os preocupamos de elegr de maera aleatora uo o más obetos desde ua coleccó de obetos Sea el úmero de obetos. -Elegr obeto al azar, sgfca que cada obeto tee la msma probabldad de ser elegdo. elegr a / -Elegr obetos al azar sgfca que cada par de obetos tee la msma probabldad de ser selecoado. Supogamos que exste K de tales pares, etoces la probabldad de elegr u par cualesqueres es / K. -Elegr r obetos aleatoramete, r <, sgfva que cada r-tupla de obetos tee la msma probabldad de ser seleccoada que cualquer otra r-tupla. 5 6 Probabldad xomátca Propedades xoma : xoma : 0 Ω xoma :- Supoedo que { }, I sea mutuamete se verfca que, excluyete. φ 0.. C - 4. S 5. + - Σ S - - 7 8
Espaco Muestral Fto Probabldad Codcoal Sea S { E { s } s, s,..., s } U E S,.., Espaco Muestral Fto Eveto Elemetal Mutuamete excluyete s de a pares plcado los axomas se tee E f > 0 U E Como E I E 0,,,..., f E I E E + E Sea, dos sucesos tal que > 0. La probabldad de codcoada a la ocurreca de, deotada como : I Propedades:. 0. Ω. Σ co,, : 9 0 Probabldad Codcoal Probabldad Codcoal Ω Cetra el foco de atecó e el hecho que se sabe que ha ocurrdo el eveto També se ha ecotrado que el 5% de la pezas que o tee fallas superfcales so fucoalmete defectuosas Se ha ecotrado que el 5% de las pezas co fallas superfcales so fucoalmete defectuosas Estamos dcado que el espaco muestral de terés se ha reducdo sólo a aquellos resultados que defe la ocurreca del eveto Por lo tato el 90% o tee fallas vsbles e la superfce. 00% pezas Maufacturadas Se sabe que el 0% de las pezas maufacturadas tee fallas vsbles e la superfce. Etoces, mde la probabldad relatva de co respecto al espaco reducdo Eveto { peza fucoalmete defectuosa} { peza tee ua falla vsble e la superfce} dado? Casos Probabldad Codcoal Probabldad Total S 0 S S S Sea,,..., evetos mutuamete excluyetes : P ( Etoces U Cosecueca (Regla de ayes: 4
Equpo Fallado Sea,,..., Etoces Probabldad Total 5 4 4 evetos mutuamete excluyetes Equpo Maufacturado e Plata U Supogamos de que se elge aleatoramete u Equpo y se ecuetra que está fallado. cuál es la probabldad que sea maufacturado e Plata? Se pde ; pero sólo se cooce,,,,.., k Sabemos que Regla de ayes I φ ; U S 5 6 Probabldad Multplcatva Regla de la Multplcacó Ley Multplcatva: I... I sempre que: I > 0 El úmero de maeras dferetes de elegr o sacar u elemeto de del couto que tee elemetos, luego u elemeto de u couto que tee elemetos,..., y falmete u elemto del k-ésmo couto que tee k elemetos, e dode el orde como se seleccoa es mportate * *...* k 7 8 Eemplo Solucó Sea, sucesos de u msmo modelo de probabldad (Ω, R, P tales que: 0,4 0,7 0,75 Determar: C ; - ; C C ; C C - + - / 0,75 * 0,4 0, 0,7-0,4 + 0, 0,6 C 0,4 - C - 0,6-0, 0, C C C + C - C C C C C - C 0,6-0, 0, Luego C C 0,4 + 0,6-0, 0,7 / C C 0, 0,5 C 0,4 9 0
Eemplo U procesador para computadores puede prover de cualquera de tres fabrcates co probabldades: p 0,5; p 0,50; p 0,5. Las probabldades de que u procesador fucoe correctamete durate 0.000 horas es 0,; 0, y 0,4 respectvamete para los fabrcates: Calcular la probabldad de que u procesador elegdo al azar fucoe durate 0.000 horas. S el procesador fucoó correctamete durate el período de 0.000 horas cuál es la probabldad de que haya provedo del er fabrcate? C C F 0.* 0.5 + 0.* 0.5 + 0.4* 0.5 0.5 Solucó F C F F F C C 0.4* 0.5 0.444 0.5 Idepedeca Probablístca Observacoes Sea, dos evetos del modelo probablístco (Ω, I, P., se dce probablístcamete depedetes ss: I Sea { : I {,,,...,k}} ua coleccó de evetos de (Ω, I, P. Se dce que los elemetos so coutamete depedetes ss: I φ J I {,,,..., k} J J Idepedeca probablístca Couta Idepedeca de a pares. Idepedeca probablístca de a pares Idepedeca probablístca Couta. S, so evetos depedetes probablístcamete. Etoces se tee, C so depedetes. C, C so depedetes C, so depedetes 4. Sea (Ω, Ω, P modelo de probabldad. Estudar depedeca couta y de a pares. 4 Idepedeca Probablístca Eemplo : Sea (Ω, Ω, P modelo de probabldad. Ω { (,0,0 (0,,0 (0,0, (,, } {w } /4, 4 Sea,, evetos de (Ω, Ω, P : : era coord. es : da coord. es : era coord. es Estudar depedeca couta y de a pares. Eemplo.4 : Idepedeca Probablístca 4 Probabldad de cerrar los relés,, y 4 es p. S todos los relés fucoa depedetemete, cuál es la probabldad que pase correte de a 4 ( E P[( R I R U ( R I R4]; E P[ R I R ] + P[ R I R4 ] P[ IR ] p p P 5 4 5 6
Costruccó Modelos de Probabldad Sea µ ua medda e el Espaco Muestral tal que µ (Ω < : Logtud ; Superfce Volume. etc. Etoces exste u fucó defda e IR P : R R µ ( µ ( Ω es ua medda de Probabldad 7 Eemplo.5: Problema del ecuetro: Dos estudates acuerda [9; 0] ecotrarse e la bbloteca de la UTFSM etre las 9.M. y las 0.M. u día lues. El prmero que llega a la bbloteca, espera al otro 0 mutos (detro del tervalo de tempo pactado. S se supoe que cada uo llega al azar e el tervalo de tempo covedo y que los tempos de llegada so depedetes. Cuál es la probabldad que estos estudates se ecuetre? Solucó: X(t : Llegada del estudate Y(t : Llegada del estudate [X(t;Y(t] [9; 0]x [9; 0] [0; 60]X [0; 60]Ω {[X(t;Y(t] : X(t;Y(t < 0} µ(α/µ(ω / 6 8 Eemplo.5: Problema del ecuetro: Dos estudates acuerd [9; 0] a ecotrarse e la bbloteca de la UTFSM etre las 9.M. y las 0.M. u día lues. El prmero que llega a la bbloteca, espera al otro 0 mutos (detro del tervalo de tempo pactado. S se supoe que cada uo llega al azar e el tervalo de tempo covedo y que los tempos de llegada so depedetes. Cuál es la probabldad que estos estudates se ecuetre? Solucó: X(t : Llegada del estudate Y(t : Llegada del estudate [X(t;Y(t] [9; 0]x [9; 0] [0; 60]X [0; 60]Ω {[X(t;Y(t] : X(t;Y(t < 0} µ(α/µ(ω / 6 Varacoes Def: Sea u couto : Card (, se llama varacó smple o s repetcó a todo subcouto de elemetos dstguédose estos etre s, e los elemetos que lo compoe y e el orde e que estos elemetos va colocados x, x,..., x } V(, ( V(, ( (... { V(, k ( (...( k + Obs: S las varacoes so co repetcó V (, k k 9 40 Permutacoes Combacoes úmero de maeras dsttas de sacar r elemetos de lote de CUDO EL ORDE IMPORT : ota: Estudar permutacoes co repetcó obetos P r! ( r! ----- 4 r Combacoes (s repetcó: úmero de maeras dsttas de sacar r elemetos de lote de CUDO EL ORDE O IMPORT ota : Estudar combacoes co repetcó C (,r (+r-!/ r!(-!! C(, r r!( r! 4 4