TEMA Prelimires: Números y cojutos P- Números eteros: Se deomi úmeros turles (tmbié llmdos eteros positivos) los úmeros que os sirve pr cotr objetos:,,,4,5,... El cojuto de los úmeros turles se desig por l letr N: N={,,,4,5,6,...} El 0 o lo cosiderremos úmero turl, uque otros utores si lo hce. Se deomi úmeros eteros l cojuto de los úmeros turles, sus egtivos y el 0. El cojuto de los úmeros eteros se desig por l letr Z: Z={...,-4,-,-,-,0,,,,4,...} Evidetemete N Z (el cojuto de los Nturles está icluido e el de los Eteros) E el cojuto de los úmeros Z, se defie vris opercioes y coocids, como l sum y el producto. Se dice que los úmeros 4 y -4 so opuestos. A prtir de l sum se defie l difereci o rest de úmeros eteros: b ( b) c debe cumplir que c b Es decir: Restr dos úmeros es sumr l primero el opuesto del segudo. Ej: 6 4 = puesto que + 4 = 6 5 7 = puesto que + 7 = 5 L divisió se defie trvés del producto: Diremos que 0 divide b si existe u úmero etero q que cumple que b q Se represet por b Ej. 8 ( divide 8) y que existe el 4, tl que 8 =. 4 (Diremos que el resto de l divisió de 8 etre es 0 y tmbié que 8 etre d divisió exct) Obvimete o divide 7, pues o hy igú etero q que. q = 7 Múltiplo, divisor: Si u úmero, l dividirlo por otro b, d divisió exct (resto 0), se dice que es múltiplo de b y b se dice divisor de. Ej. 8 es múltiplo de 4 y 4 es divisor de 8. Además se dice que es divisible por b y que b divide. Ej. 8 es divisible por 7 y 7 divide 8. Pero 0 o es divisible por.
Algus propieddes de l divisió:. Culquier úmero 0 divide 0 ( 0 pr todo 0 ). El divide culquier otro úmero ( pr todo ). Todo úmero divide si mismo ( pr todo 0 ) Pr e impr: U úmero etero divisible por se dice pr. Impr e cso cotrrio. Por ejemplo, 8 es pr y es impr. Todos los pres se puede represetr por, siedo u úmero etero culquier. Los impres se puede represetr e geerl por ó. Regls de divisibilidd: Nos permite sber si u úmero es divisible por otro, si ecesidd de efectur l divisió. Ls más utilizds so: U úmero es divisible por si termi e 0 o e cifr pr. U úmero es divisible por si l sum de los vlores de sus cifrs es o múltiplo de. U úmero es divisible por 5, si termi e 0 o e 5. Ej. Ver si el úmero 80 es múltiplo de, y 5. Vlor Absoluto: Llmremos vlor bsoluto de u úmero etero, l mismo úmero co sigo positivo, idepedietemete del sigo que tuvier. Al vlor bsoluto de lo desigremos por, etoces: si 0 Es decir el mismo úmero si es positivoocero si 0 Es decir el opuesto si es egtivo Ej: 5 =5, 5 = ( 5)= 5 Algoritmo de l Divisió: Si (dividedo)y b (divisor) so dos úmeros eteros co b0, existe q (cociete) y r (resto) eteros tles que =bq+r, dode 0r< b (es decir, r es positivo). Además q y r so úicos. A los úmeros, b, q, y r se les suele llmr dividedo, divisor, cociete y resto. Ej. Ddos 7 y se tiee que q= y r=, 0< L iguldd =bq+r, se cooce como prueb de l divisió. Así e el ejemplo terior se cumple 7= + Not: Si el resto es 0, qued que =bq y esto coicide co lo dicho tes sobre l divisió de eteros. Es decir, e este cso b divide. Ej. Efectur l divisió euclide etre -5 y 8 y etre - y -7. Divisores comues Si u úmero d divide tto, como b, se dice que d es u divisor comú de mbos úmeros.
Todo pr de úmeros tiee l meos u divisor comú que es el. Números primos. U úmero se dice primo cudo sólo es divisible por él mismo y por l uidd. E el cojuto de los diez primeros úmeros turles el,,, 5 y 7 so primos, mietrs que 4, 6, 8, 9 y 0 so úmeros compuestos (tiee otros divisores demás de él mismo y l uidd). Observd que el es el úico pr que es primo. - Descomposió e fctores primos (Fctorizció): Llmremos sí l operció de descompoer u úmero como producto de fctores primos. Ej.: 48 4 6 4 6 - Se expres sí: 6 48= 4 4= 6= U sugereci pr descompoer e fctores cudo el úmero termie e uo o más ceros, es teer e cuet que cd 0 d lugr u y u 5. Ej. Descompogmos e fctores el úmero 90 y el úmero 5.400. Quedrí: 5400. 5 90.5 54 9 7 9 Luego l descomposició fctoril e fctores primos (descomposició cóic) será: 90..5 y 5.400=..5 Ej. Descompoer 76400 4..5.7
76400. 5 764 88 44 47 49 7 7 7 Máximo comú divisor (m.c.d.) y míimo comú múltiplo (m.c.m.) Llmremos máximo comú divisor de,,..., y lo desigremos por m.c.d.(,,..., ) l myor etero positivo que es divisor de todos ellos l vez. Es decir, es el divisor myor comú todos ellos. Ej. y 8 (Escribir todos y ver cul es myor) Idem. 0 y Regl: Pr hllr el máximo comú divisor de dos úmeros o más, los fctorizremos y luego multiplicremos los fctores comues elevdos l meor expoete. Ej.: Clcúlese el máximo comú divisor de 640 y 580. 640= 4 5 580= 5 79 m.c.d.(640, 580)= 5=0 Llmremos míimo comú múltiplo de,,..., y lo desigremos medite m.c.m.(,,..., ) l etero positivo más pequeño que es múltiplo de todos ellos l vez. Es decir l múltiplo más pequeño, comú todos ellos. Ej. y 8 (Escribir lguos y ver cul es el más pequeño) Idem. 0 y Pr hllr l míimo comú múltiplo de dos úmeros o más, los fctorizmos y luego multiplicmos los fctores comues y o comues elevdos l máximo expoete. Ej.: Clcúlese el míimo comú múltiplo de 640 y 580. 640= 4 5 580= 5 79 m.c.m.(640,580)= 4 5 79=47560 Pr hllr l míimo comú múltiplo de dos úmeros pequeños, es más rápido proceder como sigue: Se coge el myor de ellos y se v multiplicdo sucesivmete por,,, etc. pr hllr sus múltiplos, hst ecotrr uo que se múltiplo del otro úmero. El primer múltiplo que cumpl es propiedd, será el m.c.m de los dos. 4
Ej.: Clcúlese el míimo comú múltiplo de 0 y. Los múltiplos sucesivos de so:, 4, 6, 48, 60 Los múltiplos sucesivos de 0 so: 0, 0, 0, 40. 50, 60,.. El 60 es el primer múltiplo comú de mbos luego: m.c.m (0, ) = 60 Ej. Idem co 8 y Ej. Idem 6 y 8 Ej. Idem, 4, 6 Propiedd: Se cumple siempre que el producto del m.c.d (,b) y el m.c.m (,b) d como resultdo el producto de por b. ej. Verlo co m.c.d y m.c.m de 0 y ( y 60) Ejercicio Clcúlese el máximo comú divisor y el míimo comú múltiplo de: ) 68 y 00 b) 0 y 50 Primos etre sí Dos úmeros que tiee como m.c.d. de ellos dos, l uidd, se dice primos etre sí (Es decir so los que o tiee divisores comues, exceptudo el ). Ej. 8 y so primos etre sí (uque iguo de ellos es primo) P- Números rcioles. Los úmeros rcioles so los del tipo m dode m y so eteros y 0. E los úmeros rcioles se icluye los eteros pues =/, por lo tto el cojuto de los eteros está coteido e el cojuto de los rcioles. Al cojuto de los úmeros rcioles lo deomiremos por el símbolo Q: Q={m/ m, Z y 0 } Los símbolos y se lee tl que y perteece Alguos úmeros rcioles so /, -5/4, -5, 6, 00/40,... etc. Al úmero m/ tmbié se le deomi frcció, los úmeros m y se les deomi umerdor y deomidor de l frcció. El sigificdo de l frcció / es l siguiete: Los dos tercios de u trt equivle dividir l trt e tres prtes y tomr dos. (Ver sigificdo de 7/4) = b c Dos úmeros rcioles /b y c/d se dice que so igules o equivletes si d Es decir: c. d b. c b d Ej. /4 es igul o equivlete 6/8 puesto que.8=4.6 Ser igules o equivletes sigific tmbié teer el mismo vlor: Así d lo mismo dividir u trt e cutro prtes y tomr, que dividirl e 8 y tomr 6. Tmbié equivle que l expresió deciml obteid l dividir etre 4, es l mism que l dividir 6 etre 8; e este cso mbs vle 0,75. 5
Todos los úmeros rcioles puede ser represetdos por u úmero ifiito de frccioes. Por ejemplo: 4 6 6 9 U frcció es irreducible cudo el umerdor y el deomidor so primos etre sí. Ej. /4 es irreducible, mietrs 6/8 o lo es; / lo es, mietrs que 4/6 o. Simplicr u frcció es covertirl e irreducible. L form de coseguirlo es dividir el umerdor y deomidor por el m.c.d. de mbos. Tmbié se puede ir simplificdo grdulmete, dividiedo umerdor y deomidor por divisores comues, hst llegr covertirl e irreducible. Ej. L frcció simplificd de 0/4 es 5/7. - Reducir dos o más frccioes comú deomidor es hllr otrs frccioes, equivletes, que teg tods ells el mismo deomidor. Dds dos frccioes /b, c/d l form más secill de ecotrr frccioes equivletes es clculr el m.c.m.(b, d) = m, y después dividir m por cd uo de los deomidores y multiplicr el resultdo por los umerdores correspodietes, dejdo como deomidor comú m. Así: Si m dividido por b es p y m dividido por d d q hbrí que hcer: p c c q, b m d m Ej.: Ddos /, /4, como el m.c.m.(, 4)= se tiee: /=4 y /4= luego: 4 4 6, 4 Opercioes co frccioes: - Sum y difereci: primero se reduce comú deomidor (operció terior), posteriormete se sum o rest los umerdores dejdo por deomidor el comú deomidor. Ej.: 4 6 4 6 0 5 4 6 simplif. - Multiplicció o producto: se oper multiplicdo los umerdores y los deomidores: Ej.: 4 4 5 7 57 5 - Divisió o cociete: se /b y c/d dos úmeros rcioles; el cociete de estos dos úmeros /b : c/d es otro úmero rciol que tiee por umerdor el úmero.d y por deomidor el úmero b.c. (Es como si multiplicármos e cruz) 5 6 8 Ej.: : 5 6 55 5 Not: Utilizré pr l divisió idistitmete los símbolos :, ó / 6
Ejercicio: Simplifíquese el úmero rciol (Sol: 5 ) 76 7 5 4 8 9 7 8 6 4 y hállese su frcció irreducible. Se deomi expresió deciml de u úmero rciol l form deciml que se obtiee l dividir el umerdor por el deomidor. (Ver e clse como se divide co decimles, co y si clculdor) Ej. /4 Ls expresioes decimles se divide e dos grdes grupos: Ls expresioes fiits o exct (cudo l dividir e lgú mometo prece u resto 0). Ej. /4 =,5 9/50= 4,764 Y ls o fiits o ifiits (uc se lleg u resto ulo). Ests últims puede ser: - Expresioes periódics. - Expresioes o periódics. Ls expresioes decimles periódics se clsific e: - Periódics purs: el periodo (grupo de cifrs que se repite) comiez prtir de ls décims. Ej.: 0,... que se expres como 0, ;,4545... que se expres como, 45 - Periódics mixts: etre l com y el período hy cifrs que o se repite. Ej.:,44... que se expres, 4 ( l prte deciml que o se repite se le suele llmr te período) Esquem: Fiits ( Ej., 8) Purs Ej., 6 Exp. decim. Periódics Ifiits Mixts Ej., No periódics Ej., 000000... Not: Puesto que l dividir el umerdor etre el deomidor, siempre d u resto meor que divisor, puede psr dos coss: O el resto es 0, e cuyo cso l expresió deciml resultte es fiit. O el resto cb por repetirse, co lo que se repite tmbié ls cifrs decimles, estbleciedo u periodo y ddo lugr u expresió deciml periódic. Por tto: Todo úmero rciol tiee u expresió deciml fiit o periódic. 7
Vemos que est firmció tmbié se cumple l ivers. Es decir, si cd frcció o úmero rciol le correspode u expresió deciml fiit o periódic, tmbié cd expresió deciml fiit o periódic le correspode u frcció que l geer (geertriz), que se obtiee segú ests regls:. Pr hllr l frcció geertriz de u expresió deciml exct, se coloc e el umerdor l prte eter seguid de l prte deciml si l com y e el deomidor l uidd seguid de ttos ceros como cifrs tiee l prte deciml. 79 Ej. 7,9 00. Pr hllr l frcció geertriz de u expresió deciml periódic pur, se coloc e el umerdor l prte eter seguid de u período si l com l que se le rest l prte eter y e el deomidor ttos ueves como cifrs tiee el período. 8 8 Ej., 88... 99 99. Pr hllr l frcció geertriz correspodiete u expresió deciml periódic mixt, se coloc e el umerdor l prte eter seguid del te período seguido de u período si l com, meos el úmero formdo por l prte eter y el te período si l com, y por deomidor ttos ueves como cifrs tiee el período seguidos de ttos ceros como cifrs tiee el te período. 675 6 659 Ej., 67575... 990 990 Por tto: Tod expresió deciml fiit o periódic procede de u frcció (úmero rciol) Ejercicio: Ecuétrese l form frcciori del los úmeros rcioles 0, 87, 0, 86767676... y 0, 5666... De todo lo que se h dicho, result que: Todo úmero rciol tiee u expresió fiit o periódic y vicevers. Más detlldo: - Todo úmero rciol tiee u sol expresió deciml fiit o periódic. Y vicevers: - Tod expresió deciml fiit o periódic tiee su frcció geertriz que represet u úmero rciol. 8
EJERCICIOS CON NÚMEROS ENTEROS Y RACIONALES.- 5 5 Sol. 54 ) 8 8 7 Sol. 44 b) c) 0 8 5 8 4 Sol. d) 0 Sol. 0 e) 5 4 Sol. -99 f) 5 5 4 Sol. -.- m.c.d. y m.c.m. 60 y 4 mcd= 6 mcm=40 55 y 0 mcd= 5 mcm=600 77 y 4 mcd= 7 mcm=46.- Clcul y simplific: ) 5 8 9 Sol. 6 b) 6 6 7 4 7 4 Sol. c) 5 5 5 4 7 4 Sol. 0 d) 4 5 4 Sol. 9 60 e) 5 8 7 7 4 4 Sol. 9
EJERCICIOS CON FRACCIONES.- 7 5 4 8 9 7 8 6 4 Sol. 5 76.- 4 5 4 7 5 4 4 4 Sol. 0 69.- 5 5 Sol. 4 40 5 54 75 4 500 4.- 5 5 Sol. 0 5.- 6 5 5 Sol.
P- Números irrcioles y úmeros reles Vimos e el tem terior que todo úmero rciol tiee u expresió deciml fiit o periódic y vicevers. Por tto: Llmremos úmero irrciol todo úmero que teg u expresió deciml ifiit y o periódic. Por ejemplo,...,,0000000000..,, =,45965..., e =,78...etc. El cojuto de los irrcioles lo represetremos por l letr I. Si reuimos e u mismo cojuto, los úmeros rcioles y los irrcioles form los úmeros reles (Es decir, detro de los reles se ecuetr todos los úmeros turles, eteros, rcioles e irrcioles). El cojuto de estos úmeros se desig por l letr R. Alguos de ellos so:, -/4, 4, -5, 0 74,..., etc. Se expres sí: R Q I E el cojuto de los úmeros reles se defie l sum de úmeros reles y el producto de úmeros reles. Ambs cumple u serie de propieddes que podéis ver e el libro e l pági 0 (Citr e clse lgus pr que se costumbre los ombres de propieddes que y cooce) Destcr: Si.b = 0 etoces = 0 o bie b = 0 Ej. 5x = 0 implic que x = 0. Represetció de los úmeros reles e l rect Los úmeros reles se puede hcer correspoder co los putos de u rect. Pr represetrlos gráficmete e l rect, se tom dos putos, l de l izquierd se se soci el 0 y l de l derech el. Los úmeros eteros se represet desplzdo el segmeto que v de 0, bie l izquierd (si es egtivo) o l derech (si es positivo), tts uiddes como idic el vlor bsoluto del úmero etero que se quiere represetr. Otros como los rcioles se represet por el teorem de Tles y los irrcioles utiliz otrs teorems geométricos, como el de Pitágors y otros, cuy técic que o estudimos. /4 - - - 0
P-4 Desigulddes y vlor bsoluto de u úmero rel Ddos dos úmeros reles y b, diremos que > b, si existe u úmero rel positivo q que cumple que = b + q ( > b se lee es myor que b. Ver gráficmete) Diremos que b si > b ó = b < b se lee es meor que b b sigific que o bie < b o = b > 0 se lee es myor que 0 y sigific evidetemete que es positivo. Si < 0, se dice que es egtivo A ests expresioes se llm desigulddes. Not: Gráficmete, positivo sigific que está represetdo l derech del 0 e l rect rel y egtivo l izquierd. Ls desigulddes verific ls siguietes propieddes: Propieddes Ejemplos Si <b y c>0,.c<b.c Puesto que <, /< Si <b y c<0,.c>b.c Puesto que <, - >- Se llm vlor bsoluto de u úmero rel, l mismo úmero si es positivo o cero y su opuesto si es egtivo, es decir, si 0 Es decir el mismoúmero si es positivoocero si 0 Es decir el opuesto si es egtivo P-5 Potecis de úmeros reles. Se u úmero rel, y se u úmero turl. Etoces se deomi poteci del úmero co expoete, l úmero: veces... Al úmero se le llm bse de l poteci y se le deomi expoete. Propieddes de ls potecis: - Multiplicció: l multiplicció de potecis de bses igules es otr poteci de igul bse, cuyo expoete es l sum de los expoetes de los fctores: m m 5, L multiplicció de potecis de expoetes igules es otr poteci de igul expoete, cuy bse es el producto de ls bses: 5 b, 5 5 b O l revés: L poteci de u producto es igul l producto de potecis: 5 5 b b, 5 Not: Ojo! No se cumple que b b, como se puede comprobr ddo vlores uméricos.
- Divisió: el cociete de potecis de bses igules es otr poteci de l mism bse, cuyo expoete es l difereci de los expoetes del dividedo y el divisor: 5 m, m El cociete de potecis de expoetes igules es otr poteci de igul expoete, cuy bse es el cociete de ls bses:, b b 5 5 O l ivers: L poteci de u cociete es igul l cociete de potecis., b b 5 5 - Poteci de u poteci: l poteci de u poteci es otr poteci de igul bse que l poteci iicil, cuyo expoete es el producto de los expoetes: m m 5 5, 7 7 Not: Tods ls propieddes expresds se puede leer, puesto que so igulddes, de izquierd derech o de derech izquierd. - Poteci de expoete cero: u poteci de expoete cero y bse distit de cero es igul l uidd. 0 Pr clculr, o se puede utilizr l defiició dd tes (emrcd e gris), puesto que o tiee setido. Se defie 0 por cohereci mtemátic y que: 0 0 - Poteci de expoete etero egtivo: Por rzoes similres lo terior, u poteci de expoete egtivo se defie como l uidd dividid por otr poteci de igul bse y de expoete opuesto l terior (positivo): Esto es coherete co lo visto pues multiplicdo mbs potecis, qued: 0 que e efecto es y despejdo quedrí l fórmul terior. Ej. 8 Hcer ejercicio siguiete: 4 b 4 b Simplifíquese l expresió 6 / b Solució: 4
4 4 b 4 b b b b 6 b m m E el um. plic.: 4 7 b m m E el um. plic.: b b E el deom.: b b b 4 9 4 4 b 4 7 m m E el um. plic.: b b 4 5 6 Sol: 4 7 b Ríz de u úmero rel. Hemos defiido l poteci de expoete etero. Pr exteder l defiició de poteci expoete rciol o etero, ecesitmos defiir l ríz -ésim de u úmero rel. Ríz -ésim de u úmero rel es otro úmero b (si existe), que elevdo l poteci N d como resultdo. b b El úmero es el ídice de l ríz, que debe ser etero positivo; es el rdicdo; es el sigo rdicl. Ej. 8 puesto que 8 (L ríz de ídice tres se llm ríz cúbic) Si o se poe ídice se sobreetiede que es (ríz cudrd) que es el más usdo. Not: Fijros que se puede escribir tmbié como! Es decir: E efecto, por l defiició de ríz, l iguldd es verdder cudo el resultdo de l ríz (lo que hy l derech de l ríz) elevdo l ídice, d el rdicdo; pero e efecto: Relció etre potecis y ríces: - L poteci -ésim de l ríz -ésim es igul l rdicdo: - L ríz -ésim de l poteci -ésim es igul l bse. Ests propieddes, puede verse que se cumple e geerl, uque eso o lo demuestro (o es uestro objetivo). Vemos co ejemplos: E efecto: 9 9 y tmbié 9 = 5
Por ests dos propieddes se dice que l rdicció y l potecició so operdores iversos, y que lo que uo hce el otro lo deshce. Ahor y podemos defiir l poteci de expoete frcciorio. Todo úmero fectdo de expoete frcciorio represet u rdicl que tiee por ídice el deomidor de l frcció y por rdicdo l poteci de dicho úmero de expoete igul l umerdor de l frcció (tmbié se cumple l ivers): m E efecto, est defiició es cosecuete co l defiició de ríz. Pr que cierto, el resultdo de l ríz elevdo l ídice, debe dr el rdicdo, como sí es: Ej. 8 8 m m m Propiedd de ls ríces: El vlor de u ríz o vrí si se multiplic o se divide por u mismo úmero el expoete del rdicdo y el ídice de l ríz: Apliccioes de l propiedd terior: p q p q p y q p / q / - Simplificció de rdicles. Simplificr u rdicl es escribirlo e l form más secill, pr lo cul hy que coseguir que el ídice y el expoete se primos etre sí. Esto se logr dividiedo el ídice de l ríz y los expoetes del rdicdo por su m.c.d. (si es posible, previmete hy que descompoer e fctores el rdicdo) Ej.: 4 4 9 5 6 5 (Si más que dividir por seis los ídices) - Reducció de rdicles ídice comú (deomid homogeeizció de rdicles). Se oper de form similr l de l reducció de frccioes comú deomidor: ) Se hll el m.c.m. de los ídices, que será el ídice comú. b) Se divide el ídice comú por cd ídice, se poe como ídice de l ríz el m.c.m. y el cociete se multiplic por el expoete del rdicdo. Ej.: Reducir ídice comú los siguietes rdicles:, 6 4 5, m.c.m.(, 6, 4, )= Los rdicles teriores se covierte e los siguietes rdicles homogéeos: 6, 5, Otrs propieddes de ls ríces (so cosecueci de ls propieddes de ls potecis): - Ríz de u multiplicció: b b - Ríz de u divisió: b m - Poteci de u ríz: m m b m m - Ríz de u ríz: (Ests propieddes ls podéis comprobr ddo vlores uméricos, m, y b, es decir co ejemplos) m m se 6
Not: Ojo! No se cumple que b b, como se puede comprobr ddo vlores uméricos. Extrcció de fctores de u ríz Se procede de l form siguiete: ) Se divide el expoete del rdicdo por el ídice de l ríz. ) El cociete etero de dich divisió se escribe como expoete del fctor fuer del sigo rdicl. ) El resto de l divisió se escribe como expoete del fctor detro del sigo rdicl. Ej.: Pr extrer el fctor de 7, se efectú l divisió eter 7 7: cociete = 5, resto =. Por tto, 7 Esto se puede justificr sí: 5 7 5. 5. 5. uque e l práctic se plic l regl terior. Ej. 6 ; 8 Ej. 7 9 Itroducció de fctores e u ríz Pr itroducir detro del sigo rdicl u fctor que multiplic u ríz, se elev el fctor l ídice de l ríz y se multiplic por el rdicdo que hy detro de l ríz. Ej.: 5 Opercioes co rdicles. - Adició y sustrcció de rdicles.(pr sumr y restr rdicles es ecesrio que se semejtes, es decir que teg el mismo ídice y el mismo rdicdo) Ej.: 5 8 6 - Multiplicció y divisió de rdicles. (Pr multiplicr o dividir rdicles es ecesrio reducir ídice comú). Ej.: 4 5 64 8 5 64. 8. 5 648000 4 6 4 6 6 6 - Rciolizció de deomidores (Importte) Se llm rciolizr suprimir los rdicles del deomidor de l frcció, dejdo que l frcció teg el mismo vlor iicil. ) Si el deomidor est formdo por u elemeto (u moomio): ) Co u rdicl de ídice : Se multiplic el umerdor y el deomidor por l ríz que prece e el deomidor. Ej.: 5 5 5 5 6 b) Co u rdicl de ídice culquier m: E este cso se multiplic los dos térmios de l frcció por l ríz m-ésim de u expresió cuyo producto por el rdicdo del deomidor se poteci m-ésim perfect. Ej.: 5 5 6 6 6 6 5 6 6 5 6 6 5 6 6 4 ) El deomidor es u biomio co u rdicl de ídice : 7
Se multiplic el umerdor y el deomidor por el biomio cojugdo del deomidor, el cul se obtiee cmbido el sigo cetrl de uo de los térmios. Así el cojugdo de b es b Ej.: ( )( ) Not: Hemos utilizdo e el ejercicio terior, l propiedd siguiete que veremos e otro tem, más delte: b b b que se lee: Sum por difereci es igul difereci de cudrdos Ejercicios: Simplifíquese ls expresioes siguietes: 5 96 89 Sol: 7 96 5 98 Sol: EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS º.- Rciolizr y simplificr: 5 ) b) c) d) e) Se llm rciolizr quitr rdicles del deomidor. L técic e ), b) y d) es multiplicr el umerdor y el deomidor, por l ríz que prece e el deomidor. ) b) d) E c) y e) hy que multiplicr umerdor y deomidor por el cojugdo del deomidor. El cojugdo de b es b, luego se plic l fórmul ( b) ( b) b. c) 5 5 5 5 5 5 5 8
e) 6 6 6 9
Ests dos istruccioes se puede permutr P-6 Ecucioes e iecucioes lieles. Sistems de ecucioes U ecució es u iguldd e l que prece expresioes lgebrics (úmeros y letrs llmds vribles ligdos por opercioes) que sólo se verific pr vlores específicos o determidos que se de ls vribles. Resolver u ecució sigific hllr los vlores que, sustituidos e ls vribles llmds icógits, verific ls igulddes. Estos vlores se llm solucioes o ríces de l ecució. Tods ls ecucioes de primer grdo tiee u expresió de l form siguiete o se puede reducir ell: x b 0 Not: El libro hbl de x b c pero es lo mismo y que c puede psr l primer miembro y operrlo co b, queddo l expresió dich. (Ver Ejercicio 6 pg 5 libro) Ls iecucioes tiee l mism expresió que ls ecucioes, pero e lugr del sigo de iguldd, tiee lguo de estos sigos:,, ó Por ejemplo: x b 0 Cómo resolver u ecució de primer grdo co u icógit? ) Se suprime prétesis (si los hubier) ) Se suprime, los deomidores (si los hubier), multiplicdo los dos miembros de l iguldd por el míimo comú múltiplo de los deomidores. ) Se ps los térmios que coteg l icógit l primer miembro y los que o, l otro (Trsposició de térmios) 4) Se reduce los térmios semejtes. 5) Se despej l icógit, dividiedo mbos miembros por el coeficiete de l icógit. Los psos ) y ) puede ser plicdos e el orde cotrrio si es ecesrio, como se ve e el ejemplo siguiete. Ej.: x 5 x xx 6 4 Multiplicmos mbos miembros de de l l iguldd, por por que que es es el m.c.m el m.c.m de los deomidores: x 5 x x x.. 6 4 x 5 x xx Quitmos prétesis: 6 4 x 5 x 6 xx Tr spoemos térmios: 4 x 5 x x 6 6 6 6 Se reduce térmios semejtes: x 9 Se despej l l x: : 9 x 4 Not: Hy ecucioes de más de u icógit, que prederemos resolver e otros tem de más delte. Ejercicio 6 del libro. Resolver. 0
Como hemos dicho, u ecució e l que se sustituye el sigo de iguldd por el de myor o meor, se llm iecució. Solució de u iecució es todo úmero rel que, sustituido e l icógit, stisfce l desiguldd. Ls iecucioes ls trtremos e el tem del segudo volume, pues ecesitmos el cocepto de itervlo pr resolverls. Sistem de ecucioes U problem que surge meudo es el de resolver simultáemete vris ecucioes, es decir u sistem de ecucioes. Auque los sistems so objeto de u tem etero, vemos quí como se resuelve u cso. Utilizremos el método de resolució por sustitució que cosiste e despejr de u de ls ecucioes, u de ls icógits y sustituir el vlor hlldo e ls otrs ecucioes. Co ello se cosigue covertir el sistem origil e otro sistem de u ecució y u icógit meos. (se suele elegir l ecució y l icógit que más os fcilite l tre l hor de despejr). Vemos e el ejemplo terior: x y + z = 5 x y + z = x y z = º Despejmos l x e l segud ecució: x = y z º Sustituimos l x e l ª y e l ª ecució:.(y z ) y + z = 5 (y z ) y z = Operdo y simplificdo qued: y z 4 y + z = 5 y z y z = luego: y z = y z = 0 Ahor repetimos l operció despejdo l y e l primer ecució y sustituyedo e l segud: y = z y = z +, luego sustituyedo e l ª qued: ( z + ) z = 0 z z = 0 z = 0 Por tto: z = Sustituyedo este vlor e l ecució y = z +, qued y = + + por tto y = y filmete, sustituyedo los vlores de z e y hlldos e l ecució x = y z, qued x = + = Por tto l solució es: x, y y z Not: Como veremos más delte, hy sistems de ecucioes, que crece de solució. P-7 Ecucioes de segudo grdo. (Este prtdo es de lo más importte del tem)
U ecució es de segudo grdo si el myor expoete de l icógit es. L expresió de u ecució complet de segudo grdo es: x bx c 0 co 0 Cómo resolver u ecució de segudo grdo? Si es icomplet se puede presetr tres csos: c c ) b 0 qued x c 0 luego x por t to x ) c 0 qued x bx 0 por lo que scdo fctor comú l x qued b x x b 0 luego ó x 0 ó x b 0 de dode x ) b c 0 qued x 0, por lo que x 0 luego x 0 Si es complet, es decir tiee l form x bx c 0, co, b y c0, se utiliz l siguiete formul: b x b 4c Ej. x 6 0 por lo que x 6 luego x de dode x x luego x 5 0 Ej. 5x 0 Ej. x 5x 4 0 luego x por tto ls solucioes so: 5 5 4..4 5 5 6 5 x. x 0 y x 5 x Resolver ls ecucioes siguietes: x 6x 0(Simplificr primero); x x 5 0 y x x 5 0 Not: E el cso e que 0, coviee multiplicr mbos miembros por - tes de resolver (equivle cmbir el sigo de todos los coeficietes de l ecució) Ej. Resolver 0x x 0 L trsformmos e 0x x 0 y plicmos l fórmul: 5 5 8 x 4 0 x 0 0 0 Ecucioes bicudrds: Ejemplo (pág. 9 libro) 4 Resolver l ecució x x 6 0 0 x 0 0 x 0 0 5
P-8 Defiicioes de cojuto y subcojuto. U cojuto es culquier colecció, bie defiid, de objetos llmdos elemetos o miembros del cojuto. U mer de describir u cojuto es poer los elemetos etre llves e form de list (o import el orde). Así, el cojuto de ls tres primers letrs del lfbeto se puede escribir: {, b, c}. Est form de descripció se llm por extesió. Cudo el cojuto tiee ifiitos elemetos, o es posible describirlo eumerdo cd uo de ellos, etoces se suele describir especificdo u propiedd de los elemetos del mismo (por compresió). Por ejemplo el cojuto de los úmeros reles meores que se puede escribir sí: {x R x < }. Tmbié los cojutos co u úmero fiito de elemetos, se puede describir por compresió: el cojuto que cotiee tods ls letrs de l plbr cceso puede idicrse por: {x x es u letr e l plbr cceso }. El símbolo deot l expresió, tl que. Se utiliz ls letrs myúsculs, como A, B, C,... pr represetr cojutos, y miúsculs pr los elemetos. Ddo u cojuto A, se escribe x A, si x es u elemeto de A; se lee x perteece A ; y x A, idic que x o perteece A. Se A y B dos cojutos se dice que A es u subcojuto de B o que A est coteido e B si todos los elemetos de A so tmbié elemetos de B, esto es: Si x A etoces x B, y se escribe: A B ( o bie B A) E u cepció más mpli se dmite que u cojuto A está icluido e otro B, siempre que A o teg elemetos que o teg B. Evidetemete todo cojuto es subcojuto de sí mismo ( A A) Dos cojutos A y B so igules si tiee exctmete los mismos elemetos. Propiedd: A = B A B y B A Dos cojutos que crece de elemetos comues se llm disjutos. Los cojutos se represet grficmete por medio de lies curvs cerrds, llmdos digrms de Ve. Se deomi cojuto vcío quel que o cotiee igú elemeto y se deot por. Evidetemete A pr todo A (puesto que el cojuto o tiee igú elemeto que o teg A) U cojuto es fiito si tiee elemetos distitos pr lgú úmero turl o dicho de otr form si sus elemetos se puede cotr. E este cso, se le llm el crdil de A y se deot por A. Por ejemplo, si A={, 4, 5, 7, 8}, etoces A =5. Cudo se trbj co u fmili de cojutos, hy que teer e cuet que existe u cojuto uiversl U (que puede vrir e cd fmili), tl que culquier otro cojuto A que se mecioe, se puede cosiderr, si o se dice otr cos, que es subcojuto de U. Por ejemplo, e el cso de estr trbjdo co úmeros turles el cojuto uiversl es N. Si A es u cojuto, etoces l cojuto de todos los subcojutos de A se le deomi cojuto de prtes de A y se idic por P(A). Por ejemplo, si A={,b, c}, etoces el cojuto de prtes de A es el cojuto P(A)= {, {}, {b}, {c}, {, b}, {, c}, {b, c}, {, b, c}}. Luego el crdil de A, A =, y el de prtes de A, P(A) = =8. L form de o olvidr iguo es empezr por los subcojutos de 0 elemetos, luego los de uo, los de dos, etc. Pr formr los de dos se tom cd subcojuto de u elemeto y se les v ñdiedo sucesivmete cd uo de los que le sigue. El crdil de P(A), P(A) es siempre A. P-9 Opercioes co cojutos. Si A y B so dos subcojutos de u cojuto uiversl U, se defie su uió como el cojuto formdo por todos los elemetos que perteece A, B o mbos y se idic por AB. A B={x x A o xb} Si A y B so dos cojutos de u cojuto uiversl U, se defie su itersecció como el cojuto formdo por todos los elemetos que perteece tto A como B y se idic por A B. A B={x x A y x B} El crdil de l uió viee ddo por l fórmul siguiete: A B A B A B Ej. Ddos los cojutos A,4,6,8 y B,,,4 terior reltiv l crdil de l uió. AB AB,,,4,6,8,4 Como se ve clrmete A B 6 y AB, por lo que se cumple l iguldd: A B A B A B y que 6 = 4 + 4. Hll A B y A B. Comprueb que se cumple l fórmul
Gráficmete co digrms de Ve: E l pági siguiete se represet gráficmete ls opercioes teriores, por medio de digrms de Ve. A B A B Si A y B so dos cojutos se defie el complemetrio de B co respecto A, como el cojuto de todos los elemetos que perteece A pero o B y se idic por A-B. Es decir: A B = {x x A y x B} AB 6,8 Gráficmete co digrms de Ve: Ej. Ddos los cojutos A,4,6,8 y B,,,4. Hll A B A A - B B Si A es el cojuto uiversl U, etoces U-B se le llm el complemeto de B y se idic por B c. Es decir B c = {x x B} ( No hce flt especificr que x U y que todos los elemetos perteece U por ser el cojuto uiversl). Por ejemplo el complemeto o complemetrio de los úmeros pres es el de los impres. Evidetemete B c C B Gráficmete co digrms de Ve: B c U B BB Hcer el ejercicio de l pági 6 del libro. 4
Producto crtesio de dos o más cojutos Ddos dos cojutos A y B, los pres ordedos de l form (x, y) co x A e y B form u tercer cojuto que se desig por A x B y se deomi producto crtesio de A por B (e este orde). Se puede hllr el producto crtesio de tres o más cojutos. Igulmete se puede hllr el producto crtesio de u cojuto por sí mismo, e cuyo cso se represet por: AxA = A. Así se puede hblr de R, R, o R. Evidetemete el crdil de A x B es: A x B = A. B Ejercicio: Si A={,, } y B={, b}, etoces hllr: ) A x B b) B x A c) B d) B 5
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS Icluyo cotiució u relció de símbolos lógico mtemáticos que irá preciedo lo lrgo de los tems:, b, c,... Idic el cojuto formdo por los elemetos, b, c,... Si es u úmero sigific vlor bsoluto de u º El rco del úmero quiere decir periodo y equivle... < b se lee meor que b > b se lee myor que b b se lee meor o igul que b b se lee myor o igul que b Si y b so dos úmeros reles: (, b) sigific el itervlo bierto de extremos y b. Si y b so dos úmeros reles:, b sigific el itervlo cerrdo de extremos y b. L brr verticl sigific tl que A sigific el elemeto perteece l cojuto A A sigific que el elemeto o perteece l cojuto A A B sigific el cojuto A está icluido e el cojuto B A B sigific o icluido Si A es u cojuto A sigific crdil de A, es decir el úmero de elemetos de A, hbldo de cojutos, es el cojuto vcío hbldo de sucesos es el suceso imposible sigific l igul que si y solo si, lo que equivle que si se cumple lo de l izquierd de l flech, se cumple lo de l derech de l flech y vicevers l igul que sigific implic es decir de lo de l izquierd se deduce lo de l derech sigific uió de cojutos sigific itersecció de cojutos B C sigific el complemeto o cojuto complemetrio de B f : A B se lee plicció o fució f de A e B g f sigific composició de ls fucioes f y g (e ese orde) sigific pr todo o pr cd Si A es u cojuto P(A) sigific el cojuto de ls prtes de A, o cojuto poteci de A. Si A es u suceso p(a) sigific probbilidd de A 6