UNIDAD 4: INTEGRAL DEFINIDA

UNIDAD 4: INTEGRAL DEFINIDA ÍNDICE DE LA UNIDAD.- INTRODUCCIÓN.....- SUMAS SUPERIORES E INFERIORES....- LA INTEGRAL DEFINIDA.... 4.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA... 5.- TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL... 4 6.- APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA... 5 7.- ACTIVIDADES... 9 8.- SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES... 4.- INTRODUCCIÓN. Como y vimos en l unidd nterior, el Cálculo Integrl h sido desrrolldo lo lrgo de l histori de ls mtemátics prtir del prolem de clculr áres encerrds jo curvs. Científicos tn importntes como Arquímedes, Kepler o Newton dedicron grn prte de sus estudios resolver este prolem. L ide de sumr infinitos trozos de áres de figurs sencills (normlmente rectángulos) pr rellenr figurs de ldos curvos, h sido l clve durnte los siglos pr resolver el prolem. Est ide es el fundmento de l Integrl Definid, cuyo desrrollo forml y riguroso se dee, sore todo l trjo de Riemnn y es l se de los contenidos que ordremos durnte est unidd..- SUMAS SUPERIORES E INFERIORES Definición : Se [, ] un intervlo en. Se llm prtición de dicho intervlo todo conjunto P [ ] { } = < < < < =,, =,,,... n de puntos tles que... n es decir todo conjunto de puntos ordendos de menor myor tles que el primero es y el último. Llmmos diámentro de un prtición l myor de ls distncis entre los puntos de l prtición, es decir, l máimo de ls diferencis,,..., n n. Q, si está Diremos que un prtición [, ] contenid en l primer, es decir si Q [, ] P [, ] P de un intervlo es más fin que otr [ ]. Decimos que un prtición es regulr si divide l intervlo en prtes igules. Designremos por Pn[, ] = {,,,... n} dichs prticiones en ls que el diámetro es n Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin

Not : Osérvese que pr otener prticiones cd vez más fins de un intervlo, P,5 =,,5, podemos st tomr nuevos puntos en l de prtid, sí, por ejemplo, si [ ] { } otener Q [,5] = {,,,5} que es más fin que l nterior y [,5] {,,,4,5} R =. Es evidente ver tmién que los diámetros de ls misms vn jndo pultinmente y si se sigue indefinidmente, su diámetro tenderá. En lo que sigue de unidd nos centrremos en el cso de funciones continus o continus trozos pr fcilitr ls definiciones y cálculos y que el desrrollo generl de l integrl definid se escp de los ojetivos del curso. No ostnte, hemos de insistir en que se puede desrrollr, con no demsid dificultd, el cso generl Definición : Se un prtición del intervlo. Llmmos: f: [, ] un función continu y se P [ ] = { },,,,... n Sum superior de Riemnn de l función f pr l prtición P [, ] l sum: n,... SfP ( ) = Mi ( i i ) = M( ) + M( ) + + Mn( n n ), siendo cd i = M i el máimo de l función f en cd intervlo [, i i] Sum inferior de Riemnn de l función f pr l prtición P [, ] l sum: n,... sfp ( ) = mi ( i i ) = m( ) + m( ) + + mn( n n ) i = m el mínimo de l función f en cd intervlo [ ] i, i i, siendo cd Not : A l vist gráfic son evidentes ls siguientes preciciones: Pr cd prtición P, [, ] se cumple que sfp (, ) SfP (, ) prtición, l sum inferior es menor que l superior., Si Q [ ] es un prtición más fin que [, ] s( fp, ) s( fq, ) S( fq, ) S( fp, ), es decir, en cd P, se cumple que, es decir, cunto más fin es un prtición, más próims están entre sí ls sums inferior y superior. Prece lógico pensr que tomndo prticiones cd vez más fins, ls sums inferiores y superiores se cercn entre sí un vlor común que, en el cso de funciones positivs, prece ser el áre encerrd entre l curv y el eje de sciss. Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin

.- LA INTEGRAL DEFINIDA Definición : Se [ ] f:, un función continu. Entonces llmmos integrl definid de f en el intervlo [, ] l número f ( ) d = Líms ( f, P ) = LímS ( f, P ) n n. n n Not : Es evidente que si f: [, ] es un función continu en [, ], el áre encerrd entre l curv y el eje de sciss coincide con el vlor de l integrl f ( ) d. 4.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Proposición : (Propieddes de l integrl definid) Sen continus. Entonces se cumple: [ ] f, g:, funciones ( ) ( ) ( ) ) ( ) ± ( ) = ± f g d f d g d λf ( ) d = λ ( ) c) Si c f d c, entonces, ( ) = ( ) + ( ) d) f ( ) d = e) f ( ) d = ( ) f d f) Si ( ) [ ] ( ) f d f d f d c f > en, f d > f < en, f d < g) Si ( ) [ ] ( ) h) Si ( ) ( ) [, ] ( ) ( ) f g en f d g d i) f ( ) d ( ) f d j) Si f es continu en [, ] y pr, entonces: ( ) = ( ) f d f d k) Si f es continu en [, ] e impr, entonces: ( ) = f d Ests dos últims propieddes nos vn fcilitr el cálculo de integrles de funciones simétrics, que precen mucho, y relcionr l integrl definid y el áre. Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin

Proposición : (Teorem del vlor medio integrl) Se f:, un función continu. Entonces eiste un [ ] punto c [, ] que cumple que ( ) = ( )( ) f d f c. Gráficmente esto signific que eiste un punto intermedio que cumple que el rectángulo de se y ltur f ( c ) tiene igul áre l encerrd por l curv. 5.- TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL Definición 4: Se f: [, ] integrl de f en el intervlo [, ] l función F: [, ] definid por F ( ) ( ) un función continu. Entonces llmmos función Not 4: Cundo l función f es positiv, F en cd punto gráficmente el vlor de ( ) coincide con el áre jo l curv y f ( ) = entre y. Por eso tmién se le conoce con el nomre de función áre. = f t dt. Proposición : (Teorem fundmentl del cálculo integrl) Se f: [, ] función continu. Entonces, l función integrl F ( ) = f ( t ) dt es derivle en (, ) cumple que F' ( ) = f ( ) (,. un y se Not 5: Como consecuenci del teorem nterior tenemos que si f es continu y g es un función derivle, entonces, l función F ( ) ( ) F' ( ) = f g( ) g', ( ) ( ) ( ) g( ) = f t dt es derivle y Incluso se puede etender que si g y h son derivles, entonces F ( ) ( ) derivle y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) F' = f g g' f h h', g( ) = f t dt es Proposición 4: (Regl de Brrow) Se f: [, ] un función continu y se G: [, ] un primitiv de f. Entonces, ( ) = ( ) ( ) f d G G Proposición 5: (Teorem de cmio de vrile) Se f: [, ] continu y se = g( t) un cmio de vrile siendo g y g continus en [, ] d g( c) = f ( ) d = f ( g ( t )) g '( t ) dt siendo c g( d) = ( ) h un función cd. Entonces, Es importnte oservr que con l regl de Brrow prece l primer relción direct entre l integrl definid y l indefinid y, por lo tnto, l relción entre l cálculo Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin 4

diferencil y el cálculo integrl. Est regl supone, sin lugr duds, l herrmient más efectiv pr el cálculo de integrles definids. Ejemplo : Hllemos l derivd de l función ( ) = ( + ) definid en [ ) F ln t 4 dt,+. Es evidente que l función del integrndo es continu por ser composición de funciones continus (polinomio y logritmo). Así pues, plicndo el teorem fundmentl del cálculo F' f ln 4,+. = = + en ( ) integrl, tendremos que F es derivle y que ( ) ( ) ( ) Ejemplo : Hllemos el vlor de lguns integrles definids: π / π / π ) d [ ] d [ ] cos = sen = sen sen = = = ln = ln ln= ln c) 5 + si < f ( ) d siedo f ( ) = si. Es evidente que f no es continu en [,5 ], pero sí lo es trozos. Por tnto, utilizndo l propiedd de l integrl (proposición c), clculmos dichs integrles por seprdo: 5 5 5 8 f ( ) d = ( ) ( ) ( ) ( ) + d + d = + + = + + + 4 + (5 5) ( 4 6) = ln d d) Clculemos el vlor de l integrl de dos forms distints. L mner más fácil y l que usremos es hllr l integrl indefinid primero: t = ln ln t ln ln ln ln ln ln d = d = t dt = + C = + C d = dt = = = L otr form es utilizndo el teorem de cmio de vrile pr integrles definids: t = ln ln ln ln d = d = t dt = t dt = = = dt = ln ln ln t ln Se proponen ls ctividdes, y. 6.- APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Ls plicciones de l integrl definid en l mtemátic modern son múltiples y de enorme utilidd, no solo en l Mtemátic, sino en l Físic, l Químic, l Ingenierí y ls Ciencis en generl. Centrándonos en ls Mtemátics, ls más importntes son el cálculo de áres, volúmenes y longitudes de curvs. En este curso, únicmente ordremos el cálculo de áres entre curvs, dejndo el resto pr estudios posteriores. Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin 5

Aunque finlmente lo ordremos de form conjunt en un solo cso, pr empezr entender lo que vmos ver en este punto, distinguiremos dos csos: Cso : Áre encerrd entre un curv y el eje de sciss. Es evidente, después de lo visto en los puntos y que en el cso de un función positiv, podemos decir que el áre jo est curv coincide con el vlor de l integrl, es decir, A = f ( ) d, como podemos oservr en l siguiente gráfic. Si se trt de un función negtiv, es ovio que el áre no puede ser l integrl (y que serí un áre negtiv), pero es sencillo oservr que el áre coincide con l integrl de l función opuest plicndo un simetrí de eje OX, es decir, A = f ( ) d = f ( ) d, y que ls simetrís conservn ls áres. Como podemos oservr en los gráficos de l derech, ls áres son idéntics. Por último, si es un función que cort l eje de sciss, se trt de un cominción de ls dos situciones nteriores. Por tnto, st clculr por seprdo ls dos áres mos ldos del punto de corte con el eje OX y sumrls. c Esto es, = + = ( ) + ( ) A A A f d f d Como podemos oservr en los gráficos de l derech, ls áres son idéntics. c Es evidente que ls tres situciones se pueden resumir en un que ls englo tods, podemos decir que el áre encerrd entr un curv y el eje de sciss es l integrl del vlor soluto de l función. A = f ( ) d. Además, en l práctic, siempre trjremos con funciones con signo constnte trozos, y que cundo corten l eje OX, seprremos en dos integrles. Así pues, utilizndo ls propieddes de l integrl (proposición f y g) podemos integrr y luego tomr vlor soluto, y que si el signo de f no vrí en un intervlo [,, ] se verific que f ( ) d = f ( ) d. Vemos esto de form más clr con lgunos ejemplos: Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin 6

Ejemplo : Hllemos el áre entre l curv y = + y el eje de sciss en el intervlo [,]. Lo primero que hemos de hcer es un pequeño estudio gráfico. Es evidente que se trt de un función positiv, por lo tnto el áre pedid es l integrl definid en el intervlo: pr 8 44 A = ( + 5) d = ( 5) d 5 u + = + = + = Ejemplo 4: Hllemos hor l de l curv y = entre = y =. Vemos sus ríces, que fácilmente son =, = y = y hcemos un esozo de su gráfic entre y. ( ) ( ) A = d = + d + d = 4 4 6 4 5 = + + = + + + = u 4 4 4 4 4 Cso : Áre encerrd entre dos curvs. Si se trt de dos funciones f y g tles que f( ) g( ) [, ] entre ls curvs en dicho intervlo es siempre = ( ( ) ( )), el áre encerrd A f g d independientemente del signo de cd un y de los cortes con los ejes, si los hy. Vemos est conclusión en distintos csos: ( ) ( ) ( ) ( ) A = f d g d = ( f g ) d ( ) ( ) ( ) ( ) A = g d f d = ( f g ) d ( ) ( ) ( ) ( ) A = f d + g d = ( f g ) d Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin 7

( ) ( ) ( ) ( ) A = A+ A = ( f g ) d + ( f g ) d = ( ) ( ) = ( f g ) d c c Si se trt de dos funciones f y g tles que se cortn el lgún punto, simplemente tenemos que hllr dichos puntos de corte y seprr en dos integrles como ls del cso nterior y sumr ls áres. Esto es: ( ) ( ) ( ) ( ) A c = A + A = ( f g ) d + ( g f ) d c Not 6: Es evidente que el eje de sciss puede ser considerdo tmién un función, de hecho es l función y =. Así pues, podemos decir, que en todos los csos, el áre entre dos curvs se otiene hllndo en cd intervlo, el vlor de l integrl de l rest de l que está por encim menos l que está por dejo. Tmién se pueden restr sin tener en cuent cuál está por encim y cuál por dejo y tomr el vlor soluto de cd integrl. Si no hy dos curvs, sino un sol y el eje de sciss, considermos el eje de sciss como l segund función, que es y =, como hemos dicho ntes. Ejemplo 5: Hllemos el áre entre ls curvs cudrnte. y = y l isectriz del primer y tercer Lo primero que hemos de hcer es clculr los puntos de corte de ls dos gráfics que vienen ddos por el sistem: y = y cuys soluciones son: = y =. Un y = simple esozo de ms gráfics nos indic que l rect está por encim. Así pues, el áre pedid viene dd por: 8 9 A = ( + ) d = 4 + = + + = Ejemplo 6: Hllemos hor el áre limitd por ls π curvs y = sen e y = cos en el intervlo,. Lo primero que hemos de hcer es ver los puntos de corte e intentr hcer un esozo gráfico lo más proimdo posile. Pr hllr los puntos de corte, resolvemos el sistem: Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin 8

y = sen sen = cos sen cos = cos sen cos cos = cos ( sen ) = y = cos π cos = = π sen = sen = = 6 π/6 π/ Fácil Así pues, el áre pedid es A = ( cos sen ) d + ( sen cos ) d u = + = π /6 4 4 Se proponen ls ctividdes 4, 5, 6, 7, 8 y 9. 7.- ACTIVIDADES ACTIVIDADES INTERCALADAS EN LA TEORÍA Actividd : Clcul ls siguientes integrles: ) e) 4 ( ) d 4 e + d c) ln d d) / e d + π /4 sen π cos d f) d g) sen d h) ( ) cos π d + + Actividd : Hll l derivd de ls siguientes funciones: t F = e + dt ) ( ) 5 ( ) = ( ) Actividd : Dd l función ( ) G t dt si < f = si 6 si >, clcul l integrl f ( ) d Actividd 4: Clcul el áre que determin l curv entre los vlores - y 4. y = + con el eje de sciss Actividd 5: Hll el áre de l región del plno encerrd por l curv punto de corte con el eje OX y el punto de scis = e. y = ln entre el Actividd 6: Hll el áre limitd por ls práols = =. y e y Actividd 7: Clcul el áre del recinto limitdo por l práol y = 5 y el eje OX. y =, l rect Actividd 8: Clcul el áre del recinto plno limitdo por ls rects y =, y = y l práol y =. Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin 9

Actividd 9: Dos hermns heredn un prcel que hn de reprtirse en prtes igules. L prcel es l región pln encerrd entre l práol y = y l rect y =. Deciden dividir l prcel medinte un rect horizontl. Hll el vlor de. ACTIVIDADES DE DESARROLLO Actividd : Clcul ls siguientes integrles definids: ) + d e cos d c) π d) + d d π e) sen cos d ( ) Actividd : Rzon cuál de ls dos integrles siguientes es myor sin clculrls: e d y e d Actividd : Determin los etremos reltivos de l función ( ) = ( ) Actividd : Semos que f ( t ) dt = ( + ) rzondmente el vlor de f ( ). f t t dt, siendo continu en. Determin Actividd 4: En el intervlo [ 4,4] se define l función F ( ) = 6 ) Cuánto vle F ' ( )? Cuánto vle ( 4) F? Actividd 5: Dd práol f ( ) =, hll el punto c [,] tl que el áre que encierr l práol con el eje OX en el intervlo [, ] se igul l de un rectángulo de se y ltur f ( c ). Qué teorem segur l eistenci de c? Actividd 6: Dd l función f ( ) = +, clcul ( ) f d t dt Actividd 7: Clcul el áre de l región limitd por l curv y = =, = e y = y ls rects Actividd 8: Clcul el áre del recinto limitdo por ls curvs de ecuciones: = y, + y =, y =, = Actividd 9: Clcul el áre de l región del plno comprendid entre ls práols: y = 6 + 5, y = 5+ 6. Actividd : Hll el áre limitd por l curv y = + y l rect 5 y = +. 4 Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin

Actividd : Hll el áre limitd por ls curvs y = sen e y = sen entre el origen de coordends y el siguiente punto de corte entre ms. Actividd : Hll el áre limitd por l curv cudrnte. y = y l isectriz del primer y tercer Actividd : Hll el áre limitd por ls curvs = =. + y e y Actividd 4: Determin el áre de l superficie limitd por el eje OX y ls curvs de ecuciones y = ln e y = e Actividd 5: Clcul el áre del recinto limitdo por ls gráfics de ls funciones f = y g =. ( ) ( ) Actividd 6: L siguiente gráfic represent l función f :[,7]. Se F :[,7] l función definid por F ( ) ( ) ) Clcul F( 4) y F ( 7) Diuj l gráfic de F. = f t dt Actividd 7: De un función integrle f : [,] se se que pr cd vlor de, se verific ( ) f +. De los números:,,,.5 y.75, cuáles pueden ser el vlor de l integrl f ( ) d Actividd 8: De ls funciones continus f, g : se se: ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f + g d =, f g d =, f d =, f d = Clcul, si es posile, ( ) g d, y, si no es posile, di por qué. Actividd 9: L gráfic de l función f djunt corresponde un función cudrátic. ) Determin l epresión lgeric de f. Clcul el áre de l región somred. Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin

Actividd : () Se f : ACTIVIDADES DE SELECTIVIDAD / l función definid por f ( ) = e. ) En qué punto de l gráfic de f l rect tngente ést ps por el origen de coordends? Hll l ecución de dich rect tngente. Clcul el áre del recinto cotdo que está limitdo por l gráfic de f, l rect tngente y el eje de ordends. Actividd : () Se se que l función f : definid por f ( ) = + + c tiene máimo soluto en el punto de scis =, que su gráfic ps por el punto (,4 ) y que f ( ) d =. Hll, y c. Actividd : () En l figur djunt puedes ver representd en el intervlo [, ] l gráfic de l práol de ecución y =. Hll el vlor de m pr el que ls 4 áres de ls superficies ryds son igules. Actividd : () Se f : l función definid por f ( ) = + ) Hll l ecución de l rect tngente l gráfic de f en el punto de scis =. Clcul el áre del recinto limitdo por l gráfic de f, l rect tngente otenid y el eje OY. Actividd 4: () Se se que l función f : definid por f ( ) = + + + c tiene un etremo reltivo en el punto de scis = y que su gráfic tiene un punto de infleión en el punto de scis =. Conociendo demás que f ( ) d = 6, hll, y c. Actividd 5: () Dds l práol de ecución y = +, se pide: y = + y l rect de ecución ) Áre de l región limitd por l rect y l práol. Ecución de l rect prlel l dd que es tngente l práol. Actividd 6: () Determin el vlor positivo de λ, pr el que el áre del recinto limitdo por l práol y = y l rect yλ= se. Actividd 7: () Se f : l función definid por f ( ) =. ) Clcul l rect tngente l gráfic de f en el punto scis =. Esoz el recinto limitdo por l gráfic de f y l rect tngente otenid. c) Clcul el áre del recinto del prtdo nterior. Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin

Actividd 8: () Se l función f : definid por f ( ) = 6+ 4. Clcul el áre del recinto limitdo por l gráfic de f y su rect tngente en el punto de scis correspondiente l máimo reltivo de l función. Actividd 9: () Consider ls funciones f, g: y g( ) =. ) Diuj el recinto cotdo que está limitdo por ls gráfics de f y g. Clcul el áre del recinto descrito en el prtdo nterior. Actividd 4: (4) Consider l función f : definids por f ( ) = 6 definids por f( ) =. ) Diuj l región cotd del plno que está limitd por l gráfic de f y l isectriz del primer y tercer cudrnte. Clcul el áre de l región descrit en el prtdo nterior. Actividd 4: (4) Consider l función f : definids por f ( ) = e + 4e. ) Determin los intervlos de crecimiento y de decrecimiento de f y hll sus etremos solutos o gloles (puntos en los que se otienen y vlores que lcnz l función). Clcul el áre del recinto limitdo por l gráfic de f, el eje de sciss y ls rects = y=. Actividd 4: (4) Siendo Ln el logritmo neperino de, hll el áre de l superficie somred. Actividd 4: (4) Clcul el áre del recinto cotdo que está limitdo por l rect y = y por ls curvs y = e y =. Actividd 44: (4) Clcul d + + Actividd 45: (4) Consider l integrl definid 9 I = d +. ) Epres l nterior integrl definid plicndo el cmio de vriles + = t. Clcul I. Actividd 46: (4) Se f : l función definid por f ( ) = + +. ) Hll l ecución de l rect tngente l gráfic de f en un punto de l mism de ordend y =, teniendo en cuent que dich rect tngente tiene pendiente negtiv. Clcul el áre de l región del plno limitd por l gráfic de f, l rect tngente otenid y el eje de ordends. Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin

Actividd 47: (4) Consider ls funciones f ( ) respectivmente, por f ( ) = Ln y ( ) :, + y g : definids, g =, siendo Ln el logritmo neperino de. Clcul el áre del recinto limitdo por ls rects = y = y ls gráfics de f y g. Actividd 48: (4) Determin siendo que > y que el áre del recinto limitdo por l práol de ecución y = y los ejes coordendos es igul 8. Actividd 49: (4) Determin siendo que > y que el áre de l región limitd por l curv y = y l rect y = es igul 9/. Actividd 5: (5) Se se que ls dos gráfics del diujo corresponden l función f : definid por f = e y su función derivd f. ( ) ) Indic, rzonndo l respuest, cuál es l gráfic de f y cuál l de f. Clcul el áre de l región somred. Actividd 5: (5) Consider l función f : definids por f ( ) e =. ) Hll l ecución de l rect tngente l gráfic de f en el punto de scis =. Clcul el áre de l región cotd que está limitd por l gráfic de f, l rect de ecución = y l rect tngente otenid en ). Actividd 5: (5) Se se que l función f : [, ) + definid por f si 8 = si 8 < 4 ( ), es continu en [,+ ) ) Hll el vlor de. Clcul f ( ) d Actividd 5: (5) Se f : l función definid por + 4 si f( ) = ( ) si > ) Clcul los puntos de corte de l gráfic de f con el eje de sciss y esoz dich gráfic. Hll el áre de l región cotd que está limitd por l gráfic de f y por el eje de sciss. Actividd 54: (5) Clcul ( + ) Ln d, siendo Ln el logritmo neperino. Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin 4

Actividd 55: (5) Consider l función f : definids por f ( ) = 5+ 4. ) Hll l ecución de l rect tngente l gráfic de f en el punto de scis =. Clcul el áre de l región cotd que está limitd por el eje de ordends, por l gráfic de f y por l rect tngente otenid. Actividd 56: (5) Se se que l gráfic de l función f : definid por f ( ) = + + + c es l que prece en el diujo. ) Determin f. Clcul el áre de l región somred. Actividd 57: (5) De un función f : se se que f ( ) = y que f ( ) = ) Determin f. Clcul el áre de l región limitd por l gráfic de f, por el eje de sciss y por ls rects de ecuciones = y=. Actividd 58: (5) Consider l integrl definid I = 8 d + ) Eprésl plicndo el cmio de vrile + = t. Clcul I. Actividd 59: (6) 5 ) Hz un esozo del recinto limitdo por ls curvs y = e y =. + Clcul el áre de dicho recinto. e si Actividd 6: (6) Se f l función definid por f( ) = e si < ) Estudi l derivilidd de f en = y, si es posile, clcul l derivd de f en dicho punto. Clcul el áre del recinto limitdo por l gráfic de f, el eje de sciss y l rect =. Actividd 6: (6) Se I = + d ) Epres I plicndo el cmio de vrile Clcul el vlor de I. t = +. Actividd 6: (6) El áre del recinto limitdo por ls curvs de ecuciones y = e y =, con >, vle. Clcul el vlor de. Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin 5

Actividd 6: (6) ) Se f : 6 siendo que ( ) l función definid por f ( ) = +. Hll los vlores de y f d = 6 y que l pendiente de l rect tngente l gráfic de l función f en el punto de scis vle -. Se f : l función definid por f ( ) = + p + q. Clcul los vlores de p y q siendo que l función f tiene un etremo en = 6 y su vlor en él es. Actividd 64: (6) Hll el áre del recinto limitdo por l gráfic de l función f ( ) = sen y ls rects tngentes dich gráfic en los puntos de sciss π= y =. Actividd 65: (6) Sen ls funciones f y g : [, + ) dds por f ( ) = y g( λ ) =, donde λ es un número rel positivo fijo. Clcul el vlor de λ siendo que el áre del recinto limitdo por ls gráfics de ms es. Actividd 66: (6) Se f : (,) siendo Ln l función logritmo neperino. l función definid por ) Estudi l derivilidd de f en el punto =.,5 Clcul f ( ) d. Ln si < f( ) = Ln( ) si < <, Actividd 67: (6) f : l función definid por f( ) si <. si = + > ) Hll el vlor de siendo que f es continu. Esoz l gráfic de f. c) Clcul el áre del recinto limitdo por l gráfic de f, el eje de sciss y ls rects + = y =. Actividd 68: (7) Se l función f : definid por f( ) =. ) Estudi l derivilidd de f en el punto =. Esoz l gráfic de f. c) Clcul el áre del recinto limitdo por l gráfic de f y el eje de sciss. Actividd 69: (7) Sen f: y g : ls funciones medinte f ( ) = + y g( ) = +. ) Esoz l gráfic de f y de g clculndo sus puntos de corte. Clcul el áre de cd uno de los dos recintos limitdos entre ls gráfics de f y g. Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin 6

Actividd 7: (7) Consider ls funciones f: y g : definids por f ( ) = e y g( ) e =. ) Esoz l gráfic de f y de g y determin su punto de corte. Clcul el áre del recinto limitdo por el eje OY y ls gráfics de f y g. Actividd 7: (7) Se f : l función definid por f ( ) = ( ). ) Clcul los intervlos de crecimiento y decrecimiento de f. Hz un esozo l gráfic de f. c) Clcul el áre del recinto limitdo por l gráfic de f y el eje de sciss. Actividd 7: (7) Se f : (,) l función f ( ) = ) Determin α y Clcul ( ) f d. β siendo que f es derivle. α si < β si < < + α si < Actividd 7: (7) Se f : l función definid porf( ) = e si ) Determin el vlor α siendo que f es derivle. Hz un esozo l gráfic de f. c) Clcul f ( ) d. Actividd 74: (7) Clcul β > pr que el recinto limitdo por ls gráfics de ls funciones de f: y g : definids por f ( ) (uniddes de áre). Actividd 75: (7) Se f : l función definid por = y g( ) f( ) =. β = + se 7 ) Determin l ecución de l rect tngente l gráfic de f en el punto de scis =. Diuj el recinto limitdo por l gráfic de f, l rect tngente otenid en el prtdo nterior y el eje OX. Clcul su áre. Actividd 76: (8) Dds ls funciones f: (, ) y g : (, ) por f ( ) = y g( ) + + definids =. Clcul el áre del recinto limitdo por ls gráfics de f y g. Actividd 77: (8) Se f : l función definid por f ( ) = + + c + d. Se se que f tiene un máimo locl en =, que el punto (,) es un punto de infleión de su gráfic y que ( ) 9 f d =. Clcul,, c y d. 4 Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin 7

Actividd 78: (8) Se : (, ) logritmo neperino). g + l función dd por g ( ) = ln (ln denot ) Justific que l rect de ecución y = es l rect tngente l gráfic de g en el e punto de scis = e. Clcul el áre del recinto limitdo por l gráfic de g, el eje de sciss y l rect tngente del prtdo nterior. Actividd 79: (8) Dd l función g : (, ) + definid por g ( ) = +. ) Esoz l gráfic de g. Clcul g ( ) d Actividd 8: (8) Sen f: y g : ls funciones definids por f ( ) = y g( ) = +. ) Esoz ls gráfics de f y de g. Clcul el áre del recinto limitdo por dichs gráfics. Actividd 8: (8) Clcul ( )( ) d Actividd 8: (8) Se f : l función dd por f( ) = e ) Justific que l rect de ecución y = e es l rect tngente l gráfic de f en el punto de scis =. Clcul el áre del recinto limitdo por l gráfic de f, el eje de ordends y l rect tngente del prtdo nterior. Actividd 8: (8) Sen f: y g : ls funciones definids por f ( ) = 4 y g( ) = 6. ) Determin los puntos de corte de ls gráfics de f y de g. Clcul el áre del recinto limitdo por dichs gráfics. Actividd 84: (8) Clcul ln( + ) d (Ln denot logritmo neperino). Actividd 85: (8) Sen f: y g : ls funciones definids por f ( ) = y g( ) ( con ) = >. Se se que el áre del recinto limitdo por ls gráfics de f y g es 4/. Clcul el vlor de l constnte. Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin 8

Actividd 86: (8) Se f : l función definid por si f( ) = 6 si > ) Esoz l gráfic de f. Estudi l derivilidd de f. c) Clcul el áre comprendid entre l gráfic de f y el eje de sciss. e Actividd 87: (8) Clcul ln( ) d (Ln denot logritmo neperino). Actividd 88: (8) Se g : l función dd por g ( ) = + 4 ) Esoz l gráfic de g. Determin l ecución de l rect tngente l gráfic de g en el punto =. c) Clcul el áre del recinto limitdo l gráfic de g y el eje de sciss. Actividd 89: (9) Consider ls funciones f, g : definids por ( ) ( ) 6 f = y g =. ) Esoz el recinto limitdo por sus gráfics. Clcul el áre de dicho recinto. Actividd 9: (9) L rect tngente l gráfic de l función f : definid por f ( ) m n, 6, es prlel l rect y =. = +, en el punto ( ) ) Determin ls constntes m y n. Hll l ecución de l rect tngente. Clcul el áre del recinto limitdo por l gráfic de l función, l rect tngente del prtdo nterior y el eje de ordends. Actividd 9: (9) L curv y A B C y D en dos recintos. (, ), (, ), (,) (,) ) Diuj dichos recintos. Hll el áre de cd uno de ellos. Actividd 9: (9) Se f : = divide l rectángulo de vértices l función definid por f( ) = ) Esoz l gráfic de f. Comprue que l rect de ecución y = es l rect tngente l gráfic de f en el punto de scis =. c) Clcul el áre del recinto limitdo por l gráfic de f y l de dich tngente. Actividd 9: (9) Consider l curv de ecución y =. ) Hll l ecución de l rect tngente l curv en el punto de scis =. Clcul el áre del recinto limitdo por l curv dd y l rect y =. Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin 9

Actividd 94: (9) Se f : (, + ) l función definid por f( ) ln( ) l función logritmo neperino. ) Comprue que l rect de ecución = e. = +, siendo ln y = + es l rect tngente l gráfic de g e en el punto de scis Clcul el áre del recinto limitdo por l gráfic de f, el eje de sciss y l rect tngente del prtdo ). Actividd 95: (9) Se considern ls funciones f [ ) g =. por f ( ) =, ( ) :, + y g : definids ) Hz un esozo de sus gráfics. Clcul el áre del recinto limitdo por ls gráfics de ms funciones. Actividd 96: (9) ) Clcul sen d Sen ls funciones f, g : áre del recinto limitdo por sus gráfics. f = +, g =. Clcul el definids por ( ) ( ) Actividd 97: (9) Ls dos gráfics del diujo corresponden l función f :(, ) ln definid por f ( ) = + ( ) y l de su derivd f : (, ) neperino). ) Indic, rzonndo l respuest, cuál es l gráfic de f y cuál l de f. Clcul el áre de l región somred. + + (ln denot logritmo Actividd 98: (9) Sen f : y g : ls funciones definids por f ( ) = + y g( ) =. ) Determin los puntos de corte de ls gráfics de f y g. Esoz dichs gráfics. Clcul el áre del recinto limitdo por dichs gráfics. Actividd 99: (9) Clcul un número positivo, menor que 4, pr que el recinto limitdo por l práol de ecución y =, y ls dos rects de ecuciones y = 4 e y =, teng un áre de 8 / uniddes cudrds. Actividd : () Clcul el vlor de > siendo que el áre del recinto comprendido entre l práol y = + y l rect y + = vle 6 uniddes cudrds. π Actividd : () Clcul sen( ) d. Sugerenci: Efectú el cmio = t Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin

Actividd : () Consider l función f dd por f( ) = 5 y l función g definid 4 como g ( ) = pr. ) Esoz el recinto limitdo por ls gráfics de f y g indicndo sus puntos de corte. Clcul el áre de dicho recinto. Actividd : () Dd l función f definid por f( ) = pr 5 + 4 y 4. Clcul el áre del recinto limitdo por l gráfic de f, el eje de sciss y ls rects =, =. Actividd 4: () Consider l función f : definid por f( ) =. ) Esoz su gráfic Clcul el áre del recinto limitdo por l gráfic de f, el eje de sciss y l rect de ecución =. Actividd 5: () Consider ls funciones fg, : g ( ) = definids por f( ) = y ) Esoz sus gráfics en unos mismos ejes coordendos. Clcul el áre del recinto limitdo por ls gráfics de f y g. Actividd 6: () Dd l función : (, ) es l función logritmo neperino, se pide: f + definid por f ( ) ln =, donde ln ) Comprue que l rect de ecución y = e + + e es l rect norml l gráfic de f en el punto de sciss = e. Clcul el áre de l región limitd por l gráfic de f, el eje de sciss y l rect norml del prtdo ). Actividd 7: () Consider l función f : dd por f ( ) 4 = +. ) Hll l ecución de l rect tngente l gráfic de f en el punto de scis =. Esoz el recinto limitdo por l gráfic de f, el eje de ordends y l rect de ecución y = +. Clcul su áre. Actividd 8: () Sen f, g : ls funciones definids por f( ) = + y g ( ) = +. ) Esoz ls gráfics de f y g, y hll su punto de corte. Clcul el áre del recinto limitdo por ls gráfics de ms funciones y el eje de ordends. Actividd 9: () Clcul el vlor de >, siendo que el áre de l región comprendid entre l curv y = y l rect y = es de 4 uniddes cudrds. Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin

Actividd : () Consider ls funciones fg, : definids por f( ) 6 = y g ( ) =. ) Esoz sus gráfics en unos mismos ejes coordendos y clcul sus puntos de corte. Clcul el áre del recinto limitdo por ls gráfics de f y g. Actividd : () Sen fg, : g ( ) =. ls funciones definids por f = + y 4 ( ) 4 ) Hll l ecución de l rect tngente l gráfic de f en el punto de scis =. Esoz el recinto limitdo por ls gráfics de ms funciones y l rect y = + 5. c) Clcul el áre de este recinto. Actividd : () Sen f : y g : ls funciones definids por: f( ) = 4 y g ( ) = ) Esoz ls gráfics de f y g. Determin sus puntos de corte. Clcul el áre del recinto limitdo por ls gráfics de f y g. Actividd : () Clcul: π cos( ) d. Actividd 4: () Clcul un número positivo, menor que, pr que el recinto limitdo por l práol de ecución y = y ls dos rects horizontles y = e y =, teng un áre de 4 / uniddes cudrds. Actividd 5: () Dd l función f : definid por f( ) = +. ) Prue que ls rects y = + e y = son tngentes su gráfic. Hll el áre del recinto limitdo por l gráfic de f y ls rects mencionds en el prtdo nterior. Actividd 6: () Se f : (, + ) l función definid por f( ) = ln( + ), donde ln denot l función logritmo neperino. ) Esoz el recinto limitdo por l gráfic de f, el eje OY y l rect y =. Clcul los puntos de corte con de ls gráfics. Hll el áre del recinto nterior. Actividd 7: () Sen fg, : ls funciones definids por f( ) = sen y g ( ) = cos respectivmente. π ) Reliz un esozo de ls gráfics de f y g en el intervlo,. Clcul el áre totl de los recintos limitdos por ms gráfics y ls rects π = y = Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin

Actividd 8: () Se f : l función definid por f( ) = 4 ) Hll l ecución de l rect tngente l gráfic de f en el punto de scis =. Esoz el recinto limitdo por l gráfic de f y l rect y =, determinndo los puntos de corte de ms gráfics. c) Clcul el áre del recinto nterior. Actividd 9: () Sen fg, : g ( ) 4 = + respectivmente. ls funciones definids por f( ) = y ) Hll los puntos de corte de sus gráfics y reliz un esozo del recinto que limitn. Clcul el áre de dicho recinto. Actividd : () Se I = d + ) Epres I plicndo el cmio de vrile t =. Clcul el vlor de I. 9 Actividd : () Se f : l función definid por f( ) = 4 ) Hll l ecución de l rect tngente l gráfic de f en el punto de scis =. Esoz el recinto limitdo por l gráfic de f, l rect + y = 5 y el eje de sciss. c) Clcul el áre de dicho recinto. Actividd : () Se f un función continu en el intervlo [, ] y F un primitiv de f tl que F( ) = y F( ) =. Clcul: ( ) ) f ( ) d f ( ) d c) ( ) ( ) 5 7 F f d Actividd : () Se l función f definid por f( ) = pr y ) Hll un primitiv de f. Hll el vlor de k pr que el áre del recinto limitdo por el eje de sciss y l ln, donde ln denot logritmo neperino. gráfic de f en el intervlo [,k ] se ( ) Actividd 4: () Se consider el recinto del plno situdo en el primer cudrnte limitdo por ls rects y = 4, y = 8 4 y l curv y = ) Reliz un esozo de dicho recinto. Clcul su áre. Actividd 5: () Clcul los vlores de y siendo que l función f : (, ) definid por f ( ) ln( ) 4 reltivo en = y que f ( ) d = 7 8ln( 4) + = +, donde ln denot logritmo neperino, tiene un etremo. Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin

Actividd 6: () Sen ls funciones f: y g : [, ) 4 por f ( ) = y g( ) = respectivmente. + definids ) Hll los puntos de corte de ls gráfics de f y g. Reliz un esozo del recinto que limitn. Clcul el áre de dicho recinto. 8.- SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES Actividd : ) 5 8 6 Actividd : ) F' ( ) e Actividd : 55 Actividd 4: 6 u Actividd 5: u 4 Actividd 6: u 5 Actividd 7: 6 u 7 Actividd 8: 6 u c) 4 e d) = + ( ) 5 Actividd 9: = Actividd : ) e π Actividd : L segund. π e) 4 G' = c) π 4 d) f) 5 g) h) ln 4 ln e) Actividd : L función f tiene un máimo reltivo en (,) punto B (, / 6). Actividd : f ( ) = 6 Actividd 4: ) F ' ( ) = F ( ) Actividd 5: c = Actividd 6: 46 Actividd 7: ln O y un mínimo reltivo en el 4 = 4π. El teorem que lo segur es el del vlor medio integrl. 7 u Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin 4

Actividd 8: Actividd 9: Actividd : Actividd : Actividd : Actividd : Actividd 4: Actividd 5: 7 u 7u 5 u 4 u u π u e u + e 7 u ) F( ) y F( ) 4 = 4 7 = Actividd 6:, o.5 Actividd 7: ( ) g d = Actividd 8: 8 ) f ( ) = + 4 4 u Actividd 9: e ) P(, ) y t : y = Actividd : =, =, c = 7 Actividd : m = Actividd : ) y = 4 7 9u Actividd : =, = y 9 c = 4 Actividd 4: e 6 u ) 6 u y = + 4 λ = 6 Actividd 5: Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin 5

Actividd 6: ) y = + c) 7 4 u Actividd 7: Actividd 8: 7 u ) 44 u Actividd 9: ) u Actividd 4: ) L función es creciente en ( ln,+ ), decreciente en (,ln) solutos y tiene un mínimo soluto en A ( ln,4). 4 e + u e Actividd 4: u Actividd 4: 4u Actividd 4: ln Actividd 44: 4 ) I = dt t 4 ln Actividd 45: 7 8 ) y = + 9 u, no tiene máimos Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin 6

Actividd 46: ln + u ln Actividd 47: = Actividd 48: = Actividd 49: ) L es f y l es f Actividd 5: ) y = + Actividd 5: ) = 8 Actividd 5: ) A(, ), B(, ), C(,4) 6 u e u e 6 6ln u u Actividd 5: ln Actividd 54: ) y = 5 Actividd 55: 9u 7 ) f ( ) = + 4 u Actividd 56: 4 ) f ( ) = + u Actividd 57: ) I = dt + t + ln u Actividd 58: ) ( ) 4 rctg u Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin 7

Actividd 59: e si ) f es derivle en, siendo f '( ) = ( ) e si > Actividd 6: 5 t 5 + ) I = dt I = t Actividd 6: = Actividd 6: ) =, = 5 p =, q = 4 π 8 Actividd 6: u 4 Actividd 64: λ = Actividd 65: ) Es derivle en { } ln e u e Actividd 66: ) = c) ( 6 + ln) u Actividd 67: ) f es derivle en { } c) 4 u Actividd 68: ) 4u Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin 8

Actividd 69: ) + e+ u e Actividd 7: ) Es creciente en (,) (, + ) y decreciente en (, ) c) 7 4 u Actividd 7: ) α =, β = ln Actividd 7: ) α = c) 5 e Actividd 7: β = Actividd 74: ) y = c) u Actividd 75: u Actividd 76: =, =, c =, d = Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin 9

Actividd 77: ) Hcer Actividd 78: e u ) 6 Actividd 79: ) u Actividd 8: ln + 4 6 Actividd 8: ) Hcer Actividd 8: e u 4 ) A(, 5 ), B(, ), C(,) 4 u Actividd 8: 4 Actividd 84: = Actividd 85: ) Es derivle en { } c) u Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin

Actividd 86: e + 9 u Actividd 87: ) y = c) u Actividd 88: ) 44 u Actividd 89: ) m =, n = 5 t : y = 5 c) u Actividd 9: ) A u, A = = u Actividd 9: ) Hcer c) u Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin

Actividd 9: ) y = Actividd 9: 7 4 u ) Hcer Actividd 94: e u e ) u Actividd 95: ) cos + sen + C Actividd 96: 9 u ) f es l ) y f es l 8ln 8 u Actividd 97: ) 7 u Actividd 98: = Actividd 99: = 5 Actividd : π Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin

Actividd : ) 5 4ln4 u Actividd : Actividd : ln u ) 8 u Actividd 4: ) 7 u Actividd 5: ) Hcer e + u e Actividd 6: ) y = + u Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin

Actividd 7: ) 4 u Actividd 8: Actividd 9: = ) 64 u Actividd : ) y = + 5 c) 5 u Actividd : ) u Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin 4

π Actividd : Actividd : Actividd 4: = ) Hcer Actividd 5: 6 u ) ( ) e u Actividd 6: ) ( ) u Actividd 7: ) y = c) 7 4 u Actividd 8: ) 9u Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin 5

Actividd 9: ) = ( ) I t t dt Actividd : I = ) y 5 = + c) 5 u Actividd : ) c) 7 Actividd : ) ln ln + k = 5 Actividd : ) u Actividd 4: = y = Actividd 5: ) 6 u NOTA IMPORTANTE: Ls ctividdes de l l 4 son de Selectividd. En ls dos págins we siguientes se encuentrn ls soluciones de todos los eámenes de form detlld: http://emestrd.wordpress.com////mtemtics-ii-prolems-selectividd-resueltos/ http://www.iesyl.com/selectividdmtemtics/ Mtemátics II. º de Bchillerto A. Prof.: Sntigo Mrtín Fernández Págin 6