CAPÍTULO 3 METODOLOGÍA El objetvo del capítulo 3 es coocer la metodología, por lo cual os apoyaremos e el lbro de Smulato modelg ad Aalyss (Law, 000), para estudar alguas pruebas de bodad de ajuste. També os apoyaremos e el lbro Fudametos de Fazas Corporatvas (Ross, 1997), para coocer lo que es el resgo sstemátco y el resgo o sstemátco ya que para calcular el redmeto esperado es ecesaro tomar e cueta el resgo co el que se cueta. 3.1 Pruebas de Hpótess Segú el lbro Estadístca Matemátca co Aplcacoes (Medehall, 1986), las pruebas de hpótess se realza e todas las stuacoes e las cuales se puede cotrastar la teoría e comparacó co la observacó. Por ejemplo, u caddato a la presdeca puede afrmar que la mayoría de las persoas que vota está de su lado. Se somete esta hpótess a ua verfcacó estadístca comparádola co los datos muéstrales observados, es decr, que para probar ua hpótess mplca tomar ua decsó al realzar ua comparacó etre la muestra observada co respecto a la teoría. Para llevar a cabo ua prueba de hpótess es mportate tomar e cueta los sguetes elemetos: 1. Hpótess ula H 0. Es aquella que platea lo cotraro de lo que se quere probar.. Hpótess alteratva H a. Es aquella que platea lo que se quere probar
3. Estadístco de prueba. Es ua fucó de las medcoes muéstrales, es decr, es el valor calculado medate valores muéstrales, este valor srve para tomar e ua decsó estadístca, dcha decsó cosste e optar s se rechaza o o la hpótess ula. 4. Nvel de sgfcacó _. Se defe como la probabldad de rechazar de maera erróea la hpótess ula. 5. Valor p o p-value. Es el vel de sgfcacó alcazado de ua prueba. Esta catdad represeta el valor mímo de _. Dode se rechaza la hpótess ula s valor p _. Hay que tomar e cueta que para calcular el valor p para valores pequeños de u estadístco de prueba E, es el sguete: valor p= P(E e, cuado la hpótess ula es verdadera) Ahora be, para valores grades de E, el valor p asocado al valor observado es: valor p= P(E e, cuado la hpótess ula es verdadera) Dode e es el valor asocado de E. Para compreder más a fodo las pruebas de hpótess se plateará u problema a resolver. Supogamos que e ua ecuesta polítca se seleccoa 0 votates de los cuales el Sr. Jua afrma que más del 50% está a su favor, pero se sospecha que dcha formacó es falsa, y además supogamos que el estadístco de prueba Y es el úmero de votates a favor del Sr. Jua. També supogamos u alfa del 5% y además que Y = 5 y tee ua dstrbucó bomal. E este caso la hpótess alteratva es p < 0. 5 y la hpótess ula es p = 0. 5
De acuerdo co la defcó del valor p, éste se calcula de la sguete maera: valor p = P(Y 5) Dode Y tee ua dstrbucó bomal co = 0 y p = 0.5, utlzado la tabla de la bomal obteemos que el valor p es 0.01. Como podemos observa el valor p es meor que alfa, por lo tato rechazamos la hpótess ula y coclumos que o se cueta co sufcete formacó para rechazar la sospecha de que la afrmacó del Sr. Jua es falsa. 3. Pruebas de Bodad de Ajuste Las pruebas de bodad de ajuste so pruebas de hpótess estadístcas que srve para comprobar s ua sere de datos se ajusta a ua dstrbucó de probabldad coocda. Para llevar a cabo estas pruebas es ecesaro tomar e cueta los sguetes elemetos: 1. Hpótess ula H 0. Es aquella que platea lo que se quere demostrar. Hpótess alteratva H a. Es lo cotraro a la hpótess ula. 3. Estadístco de prueba. 4. Nvel de sgfcacó _. 5. Valor p o p-value. 3..1 Prueba Kolmogorov-Smrov Esta prueba també se cooce como prueba K-S, dode su objetvo es verfcar la dstrbucó de ua sere de datos que provee de ua muestra aleatora, es decr, que so depedetes y de ua msma poblacó. Su mecasmo cosste e comparar la fucó de dstrbucó teórca 1 co la fucó de dstrbucó empírca, y luego se 1 La dstrbucó teórca es aquella que se quere demostrar.
calcula el estadístco de prueba que es u valor de dstaca D, dcho valor se defe como la dstaca máxma e valor absoluto etre la fucó de dstrbucó observada y la fucó de dstrbucó teórca. E otras palabras, el estadístco de prueba para la prueba K-S es el sguete: D = max F( Y ) S ( x), para = 1,..., N (3.1) - Dode: F(x) es la fucó de dstrbucó teórca. Y es el -ésmo estadístco de orde 3 N es el úmero de datos a aalzar y S N ( x) = es la fucó de dstrbucó empírca N Cabe mecoar que, para que esta prueba fucoe, es ecesaro que se trabaje co fucoes cotuas porque co fucoes dscretas o srve., ya que esta prueba está dseñada para datos o umerables y las fucoes dscretas solo toma e cueta datos umerables. N Después de obteer el estadístco de prueba es ecesaro calcular el estadístco ajustado 4, el cual se compara co el valor crítco de la tabla que perteece a la prueba K-S. Es mportate mecoar que dcha tabla se ecuetra dvdda depededo de la dstrbucó que se desee probar. Falmete, la regla de rechazo para esta prueba queda dada de la sguete maera: Se rechaza H 0 s: La dstrbucó empírca es aquella que provee de los datos. 3 Para obteer el -ésmo estadístco de orde, prmero se acomoda los datos de meor a mayor y luego se toma el -ésmo dato. 4 El estadístco ajustado es el valor resultate específco de prueba para ua dstrbucó de probabldad.
Estadístco ajustado > C 1-_, o Dode: Valor p _ C 1-_ es el valor crítco asocado co 1 -a, Valor p = (D d 0, cuado la hpótess ula es verdadera). E dode d 0 es el valor asocado al estadístco de prueba D. E la tabla 3.1 se muestra parte de los estadístcos ajustados co sus respectvos valores crítcos, e la que se ecuetra los casos para ua dstrbucó ormal y para ua dstrbucó expoecal. Tabla 3.1 Valores Crítcos de la Prueba K-S 1 - a 0.85 0.9 0.95 0.975 0.99 Dstrbucó Estadístco ajustado C 1-a 0.85 N ( X ( ), S ( )) ( - 0.01 + ) D 0.775 0.819 0.895 0.951 1.035 0. 0.5 Expo ( X ( )) ( D - )( + 0.6 + ) 0.96 0.99 1.094 1.19 1.308 Fuete: Elaboracó propa 3.. Prueba Aderso-Darlg Para realzar esta prueba es ecesaro teer e cueta los elemetos aterormete mecoados e la prueba K-S. El estadístco de prueba para la prueba Aderso-Darlg es: A [ F ( x) - F( x) ] F( x) [ 1 F( x) ] = f ( x)dx (3.) Ú - - A ( -1) [ l F ( Y ) + l(1 - F ( Y )) ] N = -Â + 1- - = 1 (3.3)
Dode: es el úmero de datos F (x) es la fucó de dstrbucó de probabldad teórca F (x) es la fucó de dstrbucó empírca. Para defr la regla de rechazo para esta prueba es ecesaro, també, obteer el estadístco ajustado para luego compararlo co los valores crítcos de la tabla de Aderso-Darlg. E la fgura 3.1 se puede observar los valores crítcos para dstrbucoes dsttas, co parámetros coocdos. Fgura 3.1 Tabla de Valores Crítcos para la Prueba Aderso-Darlg Fuete: Smulato Modelg ad Aalyss Ua vez obtedo el estadístco ajustado, la regla de rechazo se realza aálogamete a utlzada e la prueba K-S, explcada aterormete. E este caso el valor es el sguete: Valor p = ( A a 0, cuado la hpótess ula es verdadera). E dode a 0 es el valor asocado al estadístco de prueba A. 3.3 Resgo Sstemátco y Resgo o Sstemátco Se le llama resgo sstemátco aquél que fluye e mayor o meor grado e u gra úmero de actvos y afecta a todo el mercado. Las tasas de terés o la tasa de
flacó so dos claros ejemplos de resgo sstemátco, ya que u aumeto esperado e cualquera de estos dos factores afecta a cas todas las empresas. Por otra parte, se le llama resgo o sstemátco aquél que afecta a u solo actvo o a u grupo pequeño de actvos por lo que també se le cooce como resgo úco. U ejemplo claro de este tpo de resgo es el auco de ua huelga de cualquer empresa, ya que esto sólo afectaría a esa empresa e partcular. 3.3.1 Prcpo de Dversfcacó de Relacó co el Resgo o Sstemátco y Sstemátco El prcpo de dversfcacó os habla de que el hecho de que se dstrbuya ua versó etre varos actvos elmará parte del resgo. Por ua parte, relacoado este prcpo co el resgo o sstemátco se llega a la coclusó de que éste puede ser elmado medate la dversfcacó, lo cual se debe a que, como ya se cometó aterormete, el resgo o sstemátco afecta a ua empresa e partcular; por lo que la varabldad asocada co los actvos dvduales se elma medate la dversfcacó. Por lo aterormete mecoado, ua cartera relatvamete grade coformada por actvos cas o preseta resgo o sstemátco. Por otra parte, relacoado este prcpo co el resgo sstemátco, sucede todo lo cotraro que co el resgo o sstemátco. Es decr, e este caso como el resgo sstemátco afecta a cas todas las empresas etoces o se puede elmar medate la dversfcacó.
Ya presetados estos dos térmos, el resgo total se puede expresar de la sguete maera: RT = S + NS (3.4) Dode RT es el resgo total observado e el año y, S y NS represeta el resgo sstemátco y el o sstemátco respectvamete. 3.3. Resgo Sstemátco y Beta Sabemos que e el mercado de captal (actvdad facera que promueve el crédto de medao y largo plazo) para que exsta ua gaaca debe exstr u resgo, por lo que es ecesaro saber exactamete lo que queremos decr co resgo. El prcpo de resgo sstemátco os dce que el redmeto esperado de u actvo co resgo depede úcamete del resgo sstemátco relacoado co dcho actvo. Cabe mecoar que depedetemete del resgo total que tega u actvo, la parte relevate para determar el redmeto esperado es el resgo sstemátco de dcho actvo. Ya que sabemos que el resgo sstemátco es el determate del redmeto esperado de u actvo, hay que saber como medr el vel de dcho resgo para dferetes versoes. Dcha medda recbe el ombre de coefcete beta o beta (b ), la cual dca la catdad de resgo sstemátco que tee u determado actvo e relacó co u actvo promedo. Por ejemplo, s u actvo tee ua b = 0. 5 quere decr que tee la mtad de resgo sstemátco que el otro actvo co el que se está relacoado. E otras palabras, s estamos comparado u actvo x cotra u actvo y, y se tee que b es meor que 1, quere decr que el actvo x tee meor resgo sstemátco que el actvo y. S b es mayor que 1, etoces el actvo x tee mayor resgo que el otro y; s es gual a 1, etoces tee el msmo resgo sstemátco. Cabe mecoar que el
coefcete beta se puede obteer medate ua regresó leal smple, dode beta es la pedete de la líea recta ajustada. 3.4 Regresó Leal Smple Exste modelos matemátcos que puede ser determístcos o probablístcos que srve para represetar modelos co varables depedetes que está relacoadas co varables depedetes. La dfereca que exste etre estos dos modelos es que los determístcos o permte gú tpo de error e la predccó, e cambo los probablístcos predce u valor Y dado u valor de x, es decr, lleva a cabo u proceso ferecal e el que se cooce las propedades de error. El prcpal objetvo detro de ua regresó leal smple es el de ecotrar ua recta que defa los cambos e la varable depedete co respecto a los cambos e la varable depedete. Dcha recta se defe de la sguete maera: Y = a + b + e (3.5) x Dode: Y es la varable depedete correspodete a la observacó x es la varable depedete correspodete a la observacó _ es la ordeada _ dca el cambo e Y correspodete e x. e (error) es la -ésma exacttud de la fucó de desdad de probabldad de x, f(x), co respecto a Y. Además, e es ua varable aleatora que tee ua dstrbucó de probabldad específca co meda gual a cero. Calculado el valor esperado de Y e la ecuacó 3.5, se obtee: E( Y ) = a + bx (3.6)
Cabe mecoar que hay que cosderar los sguetes supuestos: a) E( e ) = 0, o se espera teer error b) e ~ N(0, s ), el error se dstrbuye ormal co meda 0 y varazas guales, es decr, cada uo de los errores preseta la msma varaza. c) Cov( x, e ) = E( xe ) = 0, se supoe depedeca y los errores o está Cov( e, e ) = E( e e ) = 0 j j correlacoados. Para estmar los parámetros de este modelo leal se utlza el método de los mímos cuadrados, ya que su procedmeto cosste e estmar parámetros de cualquer modelo leal. El procedmeto de los mímos cuadrados pretede que las desvacoes sea pequeñas. Ua maera para lograr esto es mmzar la suma de los cuadrados de las desvacoes vertcales, o llamados de otra forma, suma de los cuadrados de los errores (SEC), de la recta ajustada Ya que â y bˆ so estmadores _ y _ de respectvamete, etoces estmador de E(Y). Ÿ y = aˆ + bˆ x es u S Ÿ y = aˆ + bˆ x es el valor que se predce del -ésmo valor de y, cuado x = x, etoces la desvacó del valor observado de y a partr de la recta Ÿ y es: dode e es el error. Por lo que SEC queda de la sguete maera: e = y - yˆ, Â = 1 [ ( )] y - ˆ + bx Ÿ Ê ˆ ˆ = Â Á y - y = Â = 1 Ë = 1 e a (3.7)
S SEC tee u mímo, etoces éste ocurrrá tato para â como para bˆ. Por lo tato, se obtee las dervadas parcales de SEC co respecto a â y co respecto a bˆ y se guala a cero. SEC aˆ = 0 SEC, = 0 bˆ Dchas dervadas se deoma ecuacoes de los mímos cuadrados para estmar parámetros de ua recta. Ahora be, se tee las sguetes solucoes: Â Ÿ = 1 = ( x - x) ( y - y) Â( x - x) = 1 b (3.8) Dode: x so varables depedetes, para = 1,,, y so varables depedetes, para = 1,,, x es la meda muestral de las varables depedetes, y y es la meda muestral de las varables depedetes Ÿ Ÿ a = y - b x (3.9) De esta maera se obtee Ÿ b, que es la estmacó del cambo e Y correspodete al cambo e x, y a Ÿ que es la estmacó de la ordeada y está es el valor que toma la varable depedete cuado la varable depedete es gual a cero.. Ya obteda la ecuacó del modelo exste ua maera para determar la caldad de la regresó, para lo que se utlza el ombre de coefcete de determacó. Ya que
sabemos que el objetvo de la regresó es explcar los cambos e la varable depedete, es mportate saber que exstrá cambos, e el modelo, que se pueda explcar y otros que o, a esto se le llama coefcete de determacó ( R ), dode R Varacó explcada Varacó total  = 1 = = Â( y - y) = 1 Ÿ Ê Á y Ë ˆ - y (3.10) Dode R mde qué tato fluye la varable depedete e la varable depedete, es decr, etre más cercaa sea R a 1 mejor será la regresó, por lo que cuado sea gual a 1 se podrá decr que es u modelo perfecto, ya que se estaría dcedo que la varable depedete fluye 100% e la varable depedete. R 3.5 Beta y Prma por Resgo de Mercado La prma por resgo de mercado se defe como la dfereca etre el redmeto esperado de la cartera y la tasa lbre de resgo, como podría ser la tasa de los CETES. Relacoado el coefcete beta co la prma por resgo de mercado y tomado e cueta que el redmeto esperado de u actvo del mercado es la suma de ua tasa lbre de resgo y la prma por resgo de mercado, podemos decr que: E R ) = R + b ( E( R ) - R ) (3.11) ( a L a m L Dode E(R a ) represeta al redmeto esperado del actvo, R L represeta la tasa lbre de resgo, b represeta la catdad de resgo, E R ) represeta el redmeto a ( m esperado del mercado y E( R m ) - R ) la prma por resgo de mercado. ( L
Es mportate mecoar que s b < 1, etoces el redmeto esperado del actvo a tee meor resgo que el redmeto esperado del mercado. Por ejemplo s b = 0. 5, etoces el premo del actvo se cremetará o reducrá e la mtad de la proporcó del aumeto o reduccó del premo del mercado, es decr, que s la prma del mercado preseta u cremeto de putos porcetuales, etoces la prma del actvo presetará u cremeto de 1 puto porcetual; por el caso cotraro, s se espera que el premo del mercado dsmuya u %, etoces se esperaría que el premo del actvo dsmuya e 1%. a Ahora be, s b > 1, etoces el actvo tee más resgo que el actvo promedo del a mercado. Por ejemplo, s b = quere decr que s el premo del mercado se a cremeta u %, etoces el premo del actvo se cremetará u 4%, pero s el premo del mercado se reduce u %, etoces el premo del actvo se reducrá u 4%. Por últmo, s b = 1 quere decr que el premo del actvo aumetará o dsmurá e la a msma cuatía que el premo del mercado, es decr, s se espera teer u cremeto del % e el premo de mercado, etoces el premo del actvo aumetará u %.