Aputes de Estadístca para profesores Curso 006/007 Cocepcó Bueo García Tomás Escudero Escorza Isttuto de Cecas de la Educacó Uversdad de Zaragoza
Capítulo. Coceptos geerales.- Itroduccó Las dos grades fucoes de la Estadístca (descrpcó de datos y realzacó de ferecas) refleja la propa hstora del desarrollo de esta ceca. La Estadístca actual es el producto del ecuetro y la propa fecudacó de dos ramas dsttas del saber, la atgua estadístca y el cálculo de probabldades, que se ecotraro e el sglo I. Etmológcamete, la palabra estadístca procede de la palabra estado. Ya e la atgüedad los romaos y los egpcos hcero tetos por teer u coocmeto precso del úmero de sus habtates y de sus posesoes, es decr, por coocer el estado de sus acoes (de ahí la raíz del térmo). Para ello hcero recoleccoes de datos que posterormete teía que resumr de ua forma compresva y que permtera proporcoar formacoes útles. Este tpo de estudos do lugar a la estadístca descrptva cuya msó cosste e descrbr stuacoes y procesos dados; para ello se srve de tablas, represetacoes gráfcas, proporcoes, úmeros ídce y meddas típcas. embargo las coclusoes extraídas se agota e el propo cojuto de datos observados, pues el objetvo cosstía e hacerse ua dea clara de lo que había, y lo que había se cotaba y se medía. Lo que posbltó el cálculo de probabldades fue, precsamete, el desarrollo de u cojuto de métodos para extrapolar las coclusoes a etdades o observadas. Es decr, proporcoó el strumeto adecuado para poder hacer ferecas acerca de grades catdades de observacoes potecales a partr de uas pocas observacoes reales. Estas téccas tuvero su fudameto e el desarrollo de la curva ormal por Gauss, e su aplcacó por Galto a los problemas de hereca,etc. embargo los autétcos fudadores de estas téccas fuero Karl Pearso (857-936) y r Roald Fsher (890-96). Así se ha desarrollado la estadístca aalítca o ferecal basada e la teoría de probabldades que trata de obteer leyes geerales a partr de la observacó de alguos datos. Precsamete este fudameto probablístco codcoa el que los resultados obtedos se vea sujetos a uos márgees de error. Ahora se puede dar ua defcó de Estadístca e la que aparece alguos térmos o defdos lo cual o mpedrá eteder su sgfcado. Estadístca es la ceca que se ocupa de la ordeacó y aálss de datos procedetes de muestras, y de la realzacó de ferecas acerca de las poblacoes de las que éstas procede..- La Estadístca como herrameta para el profesor Detro del ambete educatvo la Estadístca es ecesara al meos para llevar a cabo estas cuatro tareas: ª Lectura de lteratura profesoal La vestgacó e Cecas de la Educacó emplea la Estadístca como herrameta habtual e la realzacó de cualquer expermeto. Por tato, el profesor que
quera estar al día respecto a la eseñaza de su dscpla debe estar e codcoes de poder compreder textos de vestgacó e Cecas de la Educacó. ª Coocmeto de la clase El profesor se efreta a la tarea de la educacó de uos alumos ubcados e ua clase, cetro escolar y cotexto socal cocreto, que va a teraccoar co sus característcas persoales. El coocmeto profudo de este cotexto e el que está volucrado el alumo resulta de vtal mportaca para el educador y o será posble s el aálss estadístco de los datos dvduales de los elemetos del cotexto. 3ª Dagoss ddáctca El profesor, a la hora de tomar decsoes acerca de sus alumos, cotará co el apoyo del aálss comparatvo de la stuacó relatva de cada dvduo e su clase, dsttas asgaturas y dsttas varables psco-socológcas. També la propa actvdad del profesor puede verse mejorada tras u aálss del redmeto escolar del grupo e su cojuto. Estas tareas requere tratametos estadístcos smples de los datos de los alumos. 4ª Ivestgacó y predccó El profesor puede estar teresado e averguar s ua ueva técca ddáctca es realmete más efectva de cara al redmeto de sus alumos que la usada por él hasta ahora. O e saber el efecto que produce varables famlares, rasgos pscológcos e la destreza del alumo e realzar tal o cual tarea... Este tpo de trabajos requere el uso de métodos estadístcos. 3.- Prmeros coceptos Normalmete, el vestgador desea coocer u parámetro o característca de los elemetos de ua poblacó. Esta poblacó suele ser demasado extesa (razoes ecoómcas) o poco defda (votates) como para estudarla al completo. Etoces se lleva a cabo ua seleccó (o muestreo) del que se obtee ua muestra de elemetos que sea ua represetacó de la msma. e mde a estos sujetos de la muestra la característca buscada y se calcula el valor de esa característca para esa muestra. Esa medda es u estadístco muestral que es, a su vez, ua estmacó del parámetro de la poblacó. Poblacó e desea coocer Parámetro Muestreo Estmacó Muestra e calcula Estadístco Fgura : Esquema de la relacó etre los coceptos de poblacó, muestra, parámetro y estadístco 3
E la Fgura aparece la relacó exstete etre estos coceptos. La flecha doble dca el camo segudo habtualmete por el vestgador. La stuacó descrta aterormete os lleva a dar las sguetes defcoes: - Poblacó estadístca es el cojuto de todos los elemetos que cumple ua o varas característcas o propedades. - Ua muestra es u subcojuto de los elemetos de ua poblacó. - U parámetro es ua propedad descrptva de la poblacó. - U estadístco es ua propedad descrptva de la muestra. Pogamos ahora alguos ejemplos que os permta detfcar los coceptos que hemos defdo: º.-upogamos que estamos teresados e saber cómo es la acttud de los estudates de la Uversdad de Zaragoza haca la práctca deportva cotuada. La poblacó es e estos mometos de alrededor de 50.000 estudates. Parece obvo que pregutarles a todos ellos acerca de esta acttud resultaría bastate costoso por lo que decdmos seleccoar alguos de ellos para realzar la cosulta. Co los resultados obtedos a partr de estos alumos seleccoados (muestra), podremos geeralzar sobre la acttud de todos los alumos de la UZ. E este estudo uo de los parámetros podría ser el tato por ceto de alumos de la UZ que tee ua acttud postva haca la práctca deportva cotuada. Este parámetro sería estmado por el valor del correspodete estadístco e la muestra que hemos seleccoado, es decr, por el tato por ceto de alumos co acttud postva e la muestra. º.-U profesor de hstora quere medr la efcaca del uso sstemátco de la hemeroteca para la eseñaza de la Hstora Cotemporáea de 3º de EO. Este profesor o puede realzar u estudo que mplque a todos los alumos de 3º de EO de España, así que decde hacer u expermeto co dos clases de las que él msmo es profesor. E prmer lugar cofeccoa ua prueba de coocmetos prevos de u tema de la asgatura y la pasa a sus alumos. E la clase A, aparte de la habtual leccó magstral, pde a sus alumos que lea alguos peródcos que refleje algú aspecto del tema. E la clase B se lmta a dar su leccó magstral. Cuado acaba la explcacó del tema exama a sus alumos. Ahora, co ayuda de la Estadístca, puede respoder a alguas pregutas como: Obtee mejores otas los alumos de la clase A que los de la clase B? Partía del msmo vel de coocmetos prevos? Podría este hecho flur sobre los resultados del expermeto? e puede geeralzar los resultados del expermeto de este profesor? 3º.-Queremos estudar el procesameto de formacó e tareas smples, para lo cual se ha utlzado tradcoalmete como medda el tempo de reaccó. E este caso estamos teresados e el tempo que ecesta u sujeto e cocreto para realzar ua tarea. Para ello, se preseta al sujeto e cada esayo uo de dos posbles estímulos. Ate uo de ellos el sujeto deberá presoar u botó ta rápdo como pueda, metras que o debe dar respuesta algua ate el otro. Para haceros ua dea global de cómo realza la tarea uestro sujeto, decdmos admstrarle 30 esayos co lo que obteemos 30 datos, cada uo de ellos represetado el tempo vertdo por el sujeto e cada uo de los esayos. E este caso la poblacó la compoe todas las 4
realzacoes de la tarea que potecalmete puede realzar uestro sujeto expermetal. La muestra la costtuye los treta esayos. El estadístco podría ser la meda del tempo empleado e los esayos. 4º.-Tratamos de hacer u sodeo acerca del resultado de u referédum que se celebrará próxmamete e España. La poblacó e este caso está poco defda porque o todas las persoas que puede votar lo hace realmete y, además, resultaría muy costoso pregutar a todos los votates por su tecó de voto por lo que seleccoamos 3000 españoles (muestra) que cosderamos represetatvos y les pregutamos por el setdo de su voto ate el referédum. El porcetaje de dvduos de la poblacó que respodería I es u parámetro. El porcetaje de uestra muestra que respode I es u estadístco, ua estmacó de ese parámetro. 4.- Varables y su clasfcacó A través de estos ejemplos se ve que cuado estudamos las etdades que coforma ua poblacó os teresamos por alguas de las propedades de sus elemetos, y esas propedades adopta dsttas varedades: - Ua característca es ua propedad o cualdad de u dvduo. - Ua modaldad es cada ua de las maeras como se preseta ua característca. Podemos señalar como ejemplo alguas de las característcas y modaldades de los alumos de Eseñaza ecudara: - Redmeto académco e las asgaturas cursadas que adopta dsttas modaldades, ormalmete so valores etre 0 y 0. - exo que adopta dos modaldades: varó y mujer - Lugar de procedeca - Motvacó ate la asgatura - Empleo del tempo de oco Ahora estamos e codcoes de defr el cocepto de varable como la característca de los elemetos de ua poblacó que toma ó puede tomar valores dsttos e cada uo de ellos. E cotraposcó a éste aparece el cocepto de costate que es ua característca de la poblacó que sólo puede tomar u valor para todos los elemetos de la poblacó. Las varables que aparece e los ejemplos so: - Acttud de los estudates de la UZ haca la práctca cotuada del deporte. - Nota obteda por los alumos e la prueba de coocmetos prevos. - Nota obteda por los alumos e la prueba fal. - Tempo de realzacó de la tarea. - Voto del referédum. Las costates que aparece e los ejemplos so: - E el prmero el vel de estudos de los ecuestados (todos so uverstaros). - E el segudo los estudos cursados (3º de EO). 5
- E el cuarto la acoaldad de los ecuestados (española). Las varables se puede clasfcar segú el úmero de valores que pueda tomar como varables dscretas y varables cotuas. Ua varable cotua es la que puede tomar todos los valores de u tervalo. Por ejemplo: el peso, la talla, el tempo empleado e la ejecucó de ua tarea, la duracó de u suceso, etc. Cuado tratamos co varables cotuas y las defmos como varables que puede tomar cualquer valor, teemos que teer e cueta la precsó del strumeto de medda que estamos usado. E realdad ua varable cotua uca puede medrse co total precsó, o podemos coocer su valor exacto, so su valor formado, que es el que os proporcoa el strumeto de medda. Por ejemplo, s utlzamos el metro como udad de medda, co aproxmacó de cetímetros, cuado decmos que ua persoa mde,65 queremos decr que mde etre,645 y,655. Ua varable dscreta es aquella que adopta valores aslados. Ejemplo: úmero de asgaturas aprobadas e el curso pasado, úmero de alumos de ua clase, sexo, setdo del voto e uas eleccoes, vel socoecoómco, etc. 5.- Medcó y escalas Llamamos medcó al proceso de atrbur úmeros a las varables. El cojuto de reglas o modelos desarrollados para la asgacó de úmeros a las varables es lo que se deoma escala. La clasfcacó de las escalas más usada es la propuesta por teves (946) que dvde las escalas e: omales, ordales, de tervalo y de razó. Escala omal: os permte detfcar sujetos como "guales" o "dferetes". Usado ua escala omal podemos decdr s u sujeto es gual o dferete a otro, pero o podemos establecer relacoes de orde respecto a esa característca, relacoes de catdad de dfereca. Por ejemplo: s medmos el color de los ojos podemos establecer la sguete escala: A azul, V verde, M marró y N egro. No podemos ordear los sujetos de mayor a meor o vceversa, smplemete podemos asegurar s dos sujetos tee el msmo o dstto color de ojos. Otros ejemplos: acoaldad, sexo, profesó. A este tpo de varables meddas co escala omal se les puede asgar a cada categoría cualquer tpo de símbolos. E el ejemplo hemos asgado letras pero podíamos haber optado por úmeros: azul, verde, 3 marró y 4 egro. Escala ordal: Esta escala o sólo permte la detfcacó y dferecacó de los sujetos so que además permte establecer relacoes del tpo "mayor que" o "meor que". Es decr, de los sujetos se puede decr cual preseta ua mayor o meor magtud de la característca medda, los objetos se puede ordear. Ejemplo: vel de estudos se puede asgar a estudos prmaros, a estudos secudaros, 3 a estudos uverstaros. Podemos ordear a los sujetos segú el vel de estudos, el valor 3 es mayor que el y el. Auque o podemos afrmar que la dfereca exstete etre el y el sea la msma que la que exste etre el 3 y el. N que el que tega vel 3 tega 3 veces más de vel de estudos que el que tee vel. Otros ejemplos de escala ordal: poscó relatva e la clase, escala de dureza de los merales. 6
Escala de tervalo: Co esta escala, además de poder detfcar u objeto y establecer relacoes del tpo mayor que y meor que, també podemos hacer afrmacoes acerca de las dferecas e la catdad del atrbuto de uos y otros objetos. Es decr, dspoemos de ua udad de medda, auque e este caso el cero sea u puto arbtraro e la escala. Es decr, o dca auseca total de la catdad de atrbuto. U ejemplo típco es el caledaro, podemos afrmar que ha trascurrdo el msmo tempo etre 960 y 966 que etre 980 y 986 porque cotamos co ua udad de medda llamada año. Pero o podemos afrmar que hasta el año 000 haya pasado el doble de tempo que hasta el año 500, porque el valor cero o represeta el comezo del tempo so que, e uestro caledaro se elgó el año del acmeto de Crsto como año. Otros ejemplos: la medcó de las temperaturas e grados cetígrados, la escala de los test de telgeca, las calfcacoes escolares. Escala de razó: També se llama de proporcó o de cocete. Además de las característcas de las otras tres escalas, cotamos co ua udad de medda co cero absoluto, es decr, que sgfca auseca del atrbuto o característca medda. Por ejemplo, la logtud, podemos afrmar que u objeto que mde 0 cm. tee el doble de logtud que uo que mde 5 cm. Otros ejemplos: peso, duracó de u suceso, temperatura e grados Kelv (que sí tee cero absoluto). Ua vez descrtas estas escalas podemos volver a clasfcar las varables segú la escala usada para medrlas, es decr, podemos hablar de varables omales, ordales, de tervalo y de razó. També se puede clasfcar atededo al tpo de formacó que provee e cualtatvas y cuattatvas. Varables cualtatvas so aquellas que se mde segú ua escala omal u ordal. Iforma más be de ua cualdad del sujeto: sexo, color de ojosvel socoecoómco, vel cultural, dureza de los merales. Varables cuattatvas so aquellas que se mde segú ua escala de tervalo o de razó. De algua forma da cueta de la catdad de atrbuto o característca que el dvduo posee. Por ejemplo: peso, talla, temperaturas, úmero de asgaturas aprobadas, calfcacó e la últma evaluacó de la asgatura. E la mayoría de las vestgacoes educatvas las varables maejadas se mde co escalas omales, ordales o de tervalo. o escasamete utlzadas las de razó o proporcó, salvo que se use, por ejemplo, el tempo utlzado para ejecutar ua tarea. 7
Capítulo. Orgazacó y represetacó de datos..- Dstrbucó de frecuecas, hstograma y polígoo de frecuecas. E el capítulo ateror ha quedado claro el hecho de que la Estadístca trabaja co datos de muy dversa ídole: - Datos que provee de la medcó de varables: peso, talla, tempo empleado e realzar ua tarea, redmeto académco, etc. - Datos que so frecuecas de categorías, que provee de u proceso de coteo: úmero de acmetos, úmero de matrculados e u curso, úmero de escolarzados, etc. - Datos que refleja porcetajes, probabldades: porcetaje de aprobados e u cetro, probabldad de perteecer a u grupo detro de u determado curso - Ratos o úmeros ídce, que so úmeros que provee de u cocete: el ídce de precos al cosumo, el IQ (edad metal / edad croológca) 00, rato alumos-profesor, tasa de aprobados por especaldad. E geeral, ua vez que el profesor o vestgador ha recabado formacó acerca de sus alumos ó de la muestra elegda e su caso, a través de test, exámees, cuestoaros o ecuestas dspoe, e prcpo, de ua lsta de datos. se ha observado pocos valores es posble que la smple speccó vsual de los msmos sea sufcete para poder descrbr el feómeo estudado. Pero esto o es ada frecuete. queremos, por ejemplo, después de u exame saber cuál es la putuacó del estudate típco, cuál es el rago e que varía las putuacoes, s los estudates se agrupa e las poscoes extremas o e las cetrales o está dspersos, etoces tedremos que poer e orde uestros datos de forma que podamos terpretarlos. U strumeto para cosegur esta ordeacó de los datos es lo que llamamos dstrbucó de frecuecas, que además de ésta fucó debe cumplr otras dos más: ofrecer la formacó ecesara para hacer represetacoes gráfcas y facltar los cálculos para obteer los estadístcos muestrales. Ua dstrbucó de frecuecas es, segú Hays (988), ua represetacó de la relacó etre u cojuto de meddas o clases de meddas mutuamete exclusvas y exhaustvas y la frecueca de cada ua de ellas. Para defr el térmo frecueca que aparece, a su vez, e esta defcó vamos a establecer ua otacó: la letra mayúscula represetará a la varable co la que estamos trabajado. La letra mayúscula co subídces, 3, servrá para represetar u valor cocreto de la varable e el sujeto,,3,...cuado queramos referros a u valor cocreto cualquera de la varable escrbremos. El úmero de elemetos que compoe la muestra será. e llama frecueca de u valor, y se smbolza por f al úmero de veces que se repte el valor e la muestra. 8
Ahora vamos a segur los pasos para la costruccó de ua tabla de dstrbucó de frecuecas co u ejemplo secllo. upogamos que u profesor pasa a sus alumos ua ecuesta e la que, etre otras cosas, se les preguta por el úmero de hermaos. Las respuestas de sus treta alumos so:,,,, 3,,,,, 3,,,,,,,,,, 4, 4,,, 3, 4, 3,, 3,,. Para costrur la tabla de dstrbucó de frecuecas se speccoa e prmer lugar los valores que toma la varable. E este caso se trata de ua varable dscreta que sólo toma los valores,, 3 y 4. E segudo lugar se cueta cuátas veces aparece cada uo de ellos. Estos datos se coloca e ua tabla de la forma sguete: Valores de la varable Frecueca f 4 3 3 5 9 3 30 Tabla : Dstrbucó de frecuecas de la varable Número de hermaos. Ua vez costruda esta tabla y a pesar de su smplcdad, ya podemos extraer alguas coclusoes, por ejemplo que las famlas co u úco hjo so las más frecuetes. sumamos la frecueca de éstas y la de las famlas de dos hjos, 3 + 9 so famlas, que e tato por ceto sobre 30 represeta el 73,3% de la muestra. Este es u ejemplo de tabla de dstrbucó de frecuecas muy smple debdo fudametalmete a que la varable sólo toma cuatro valores dferetes. Vamos a poer otro ejemplo algo más complejo: u profesor pasa u test de hábtos de estudo a sus treta alumos, los resultados so los sguetes: 37, 7, 7, 65, 54, 78, 85, 4, 49, 63, 6, 3, 5, 33, 77, 93, 85, 83, 63, 55, 58, 46, 57, 73, 73, 68, 73, 9, 75, 77. El valor más pequeño es 3 y el mayor 93. costruyésemos ua tabla de dstrbucó de frecuecas como la ateror tedríamos ua lsta demasado extesa (6 úmeros) y muchas de las frecuecas sería cero. E estos casos se recurre a lo que se deoma la agrupacó e tervalos de clase, que cosste e formar grupos de valores cosecutvos de la varable y poer cada uo de estos grupos e cada fla, e lugar de poer ua sola putuacó. Para agrupar las putuacoes de la varable se suele establecer estas dos reglas: 9
º. o preferbles los tervalos de clase que cotega,, 3, 5, 0 ó 0 udades de la escala. º. El úmero de tervalos o grupos debe varar etre 0 y 0. E uestro ejemplo, la varable toma valores etre 3 y 93, es decr, su rago ó ampltud total es 93-3+6. Nos fjamos e la regla º y dvdmos 6/06, y 6/03,. Esto quere decr que s agrupamos las putuacoes de 6 e 6 tedremos 0 tervalos, s las agrupamos de 3 e 3 tedremos alrededor de 0 tervalos. Atededo a la regla º, decdmos hacer tervalos de clase de ampltud 5. La sguete preguta es a partr de qué úmero empezamos a cotar e la escala?. A partr de u úmero que sea múltplo del tamaño de los tervalos de clase y que se aproxme lo más posble a la medda observada meor. E uestro ejemplo 3 es el valor más pequeño y 30 el múltplo de 5 más cercao, así que el prmer tervalo de clase cotedrá las putuacoes 30, 3, 3, 33 y 34 y el últmo 90, 9, 9, 93 y 94. La tabla de dstrbucó de frecuecas agrupada sería la sguete: Itervalos de clase Frecueca del tervalo f 90-94 85-89 80-84 75-79 4 70-74 5 65-69 60-64 3 55-59 3 50-54 45-49 40-44 35-39 30-34 30 Tabla : Dstrbucó de frecuecas co los datos agrupados e tervalos de clase de la varable putuacoes obtedas e u test de hábtos de estudo. egú esta tabla de dstrbucó de frecuecas agrupadas, la varable putuacó del test de hábtos de estudo o puede tomar valores etre 44 y 45 o etre 59 y 60. Auque e la práctca esto es así porque el test usado para medr hábtos de estudo o tee la precsó sufcete para obteer valores como 44,5 o 59,8, e teoría teemos que cosderar esta varable como cotua e el tervalo, es decr, puede tomar cualquer valor etre 30 y 94. Así pues los límtes exactos del tervalo 30-34 so 9,5-34,5, los del tervalo 35-39 so 34,5-39,5 y así sucesvamete de forma que el límte superor exacto de u tervalo cocda co el límte feror exacto del sguete. Por 0
otra parte, a los límtes de los tervalos que aparece e la Tabla, les llamaremos límtes formados. A partr de los límtes formados o de los límtes exactos se puede defr el puto medo del tervalo como el puto que resulta de la suma del extremo superor y el extremo feror dvdda por dos, es decr, como su meda. Por ejemplo, el puto medo del tervalo 60-64 es el puto 6, resultado de (60 + 64) / ó de (59,5 + 64,5) /. La ampltud del tervalo se defe como la dfereca etre el límte superor exacto y el límte feror exacto. E este mometo volveremos a escrbr uestra tabla de dstrbucó de frecuecas añadedo los límtes exactos de los tervalos y sus putos medos, para usarla más adelate e las represetacoes gráfcas. Itervalos de clase Límtes exactos Puto medo Frecueca f 90-94 89,5-94,5 9 85-89 84,5-89,5 87 80-84 79,5-84,5 8 75-79 74,5-79,5 77 4 70-74 69,5-74,5 7 5 65-69 64,5-69,5 67 60-64 59,5-64,5 6 3 55-59 54,5-59,5 57 3 50-54 49,5-54,5 5 45-49 44,5-49,5 47 40-44 39,5-44,5 4 35-39 34,5-39,5 37 30-34 9,5-34,5 3 30 Tabla 3: Itervalos de clase, límtes exactos, putos medos y frecuecas de las putuacoes obtedas e el test de hábtos de estudo. Ua vez costruda la tabla de dstrbucó de frecuecas, a la que hemos añaddo los límtes exactos de los tervalos y sus putos medos, estamos e codcoes de hacer alguas represetacoes gráfcas que os ayudará a terpretar la stuacó de los alumos e cuato al test de hábtos de estudo. Para hacer las represetacoes gráfcas de las tablas de dstrbucó de frecuecas podemos cosderar dos stuacoes dsttas: ª. Las observacoes detro de u tervalo de clase está dstrbudas uformemete etre sus límtes exactos. ª. Las observacoes detro de u tervalo de clase está cocetradas e su puto medo.
os ecotramos e la prmera stuacó haremos u hstograma o dagrama de columas. E el eje de abcsas se represeta los límtes exactos de los tervalos de clase y e el eje de ordeadas la frecueca de cada tervalo. obre cada uo de estos tervalos se dbuja u rectágulo cuya base está delmtada por los límtes exactos y su altura es la frecueca de ese tervalo. 6 5 Frecuecas 4 3 9,5 34,5 39,5 44,5 49,5 54,5 59,5 69,5 79,5 89,5 64,5 74,5 84,5 94,5 Putuacoes Fgura : Hstograma de los datos de la Tabla 3. os ecotramos e la seguda stuacó, es decr, s cosderamos que las observacoes detro de cada tervalo se cocetra e su puto medo, costruremos u polígoo de frecuecas. E el eje de abcsas represetaremos los putos medos de cada tervalo y e el de ordeadas la frecueca de cada tervalo. Uedo estos putos de forma cosecutva medate segmetos de recta, obtedremos el polígoo de frecuecas. Frecueca del tervalo 6 5 4 3 0 3 37 4 47 5 57 6 67 7 77 8 87 9 Putos medos de cada tervalo de clase Fgura 3: Polígoo de frecuecas de los datos de la Tabla 3. Es evdete que el hstograma y el polígoo de frecuecas ofrece ua mage muy smlar de la dstrbucó de frecuecas de los datos. Esto es así porque se puede
costrur el segudo a partr del prmero s más que ur los putos medos de las bases superores de los rectágulos del hstograma. Ahora vamos a hacer alguas cosderacoes respecto a las dos ormas para la costruccó de tablas de dstrbucoes de frecueca. E prmer lugar queda claro que, partedo de los msmos datos y teedo e cueta las dos reglas ctadas aterormete, se puede hacer muchas tablas dsttas, todas ellas gualmete váldas, es decr, que cumple los requstos para los cuales se ha dseñado: la ordeacó de ua maera clara y sstemátca de uestros datos. E segudo lugar, teemos que teer e cueta que se os puede presetar stuacoes e las que sea dfícl aplcar estas reglas s perder gra parte de la formacó. Por ejemplo, s estamos trabajado co la varable "gresos mesuales", tedremos ua mayoría de valores cocetrados e toro a valores cetrales y uos pocos que se desvía de éstos mucho por arrba. e u caso así se hcera u úmero de tervalos e toro a dez, y de ampltud costate, la mesa mayoría de los datos estaría cocetrados e uo o dos tervalos. Para evtar eso se utlza lo que se deoma tervalos abertos, e los cuales o se cosdera límte superor o límte feror. Por ejemplo, el prmer tervalo podría ser "meos de 50.000" y el últmo "más de 500.000"..- Dstrbucó de frecuecas acumuladas, polígoo de frecuecas acumuladas y polígoo de porcetajes de frecueca acumulada Hasta el mometo hemos presetado ua de las formas de represetacó y tabulacó de datos, ahora haremos refereca a la dstrbucó de frecuecas acumuladas que se usa cuado se tee terés e el úmero de observacoes que se stúa por debajo de u certo puto de la escala de medcó. Defremos frecueca acumulada de u tervalo de clase como el úmero de casos u observacoes detro de dcho tervalo más todos aquellos cotedos e tervalos ferores e la escala. La frecueca acumulada se calcula de forma medata a partr de la frecueca de cada tervalo de clase. Para el prmero de éstos ambas frecuecas cocde, para los sguetes, la frecueca acumulada es gual a su frecueca más la acumulada del tervalo ateror. Así, la frecueca acumulada del últmo tervalo será gual al úmero de observacoes de la dstrbucó. Cuado trabajamos co varables dsttas o co la msma varable medda e muestras de dstto tamaño resulta dfícl comparar las frecuecas absolutas. Ua forma de resolver este problema es calcular los porcetajes de frecuecas de cada tervalo de clase, ya que así compararemos dos dstrbucoes co ce observacoes. De la msma forma se calcula porcetajes de frecuecas acumuladas. Volvamos al ejemplo de los datos del test de hábtos de estudo, para costrur la tabla de la dstrbucó de frecuecas acumuladas calculado los porcetajes de frecuecas acumuladas 3
Itervalos de clase Límtes exactos Frecueca Frecueca Porcetaje de f acumulada frec. acumulada 90-94 89,5-94,5 30 00,00 85-89 84,5-89,5 8 93,33 80-84 79,5-84,5 6 86,67 75-79 74,5-79,5 4 5 83,33 70-74 69,5-74,5 5 70,00 65-69 64,5-69,5 6 53,33 60-64 59,5-64,5 3 4 46,67 55-59 54,5-59,5 3 36,67 50-54 49,5-54,5 8 6,67 45-49 44,5-49,5 6 0,00 40-44 39,5-44,5 4 3,33 35-39 34,5-39,5 3 0,00 30-34 9,5-34,5 6,67 Tabla 4. Dstrbucó de frecuecas acumuladas y porcetaje de frecuecas acumuladas de las putuacoes e el test de hábtos de estudo. A partr de esta tabla podemos represetar gráfcamete el polígoo de frecuecas acumuladas y el polígoo de porcetajes de frecuecas acumuladas, represetado e el eje de abcsas los límtes superores exactos de los tervalos de clase y e el de ordeadas las correspodetes frecuecas acumuladas o porcetajes de frecuecas acumuladas respectvamete. Estos dos polígoos tee exactamete la msma forma, dfere úcamete e la escala del eje de ordeadas. Estos gráfcos os permte coocer cuátas observacoes o qué porcetaje se stúa por debajo de u tervalo de clase. Frecueca acumulada 30 5 0 5 0 5 0 34,5 39,5 44,5 49,5 54,5 59,5 64,5 69,5 74,5 79,5 84,5 89,5 94,5 Límtes superores exactos Fgura 4: Polígoo de frecuecas acumuladas a partr de los datos de la Tabla 4. 4
% de frecueca acumulada 00 80 60 40 0 0 34,5 39,5 44,5 49,5 54,5 59,5 64,5 69,5 74,5 79,5 84,5 89,5 94,5 Límtes superores exactos Fgura 5: Polígoo de porcetajes de frecueca acumulada a partr de los datos de la Tabla 4. 3.- Otras represetacoes gráfcas De etre las dsttas represetacoes gráfcas que se puede hacer co uestros datos haremos sólo refereca a los pctogramas y los perfles por su uso más exteddo. U pctograma es ua represetacó gráfca de ua varable e forma de círculo que está dvddo e tatos sectores como valores dsttos tome la varable. Además la superfce de los msmos es proporcoal a la frecueca de cada modaldad de la varable. E la fgura aparece el pctograma de la varable Estudos de los padres. Además de las modaldades de la msma hemos añaddo el tato por ceto que represeta cada ua. E ocasoes, cuado se quere destacar ua de las seccoes e partcular se separa del resto para captar la atecó del lector e esa modaldad partcular. uperores 7% estudos 7% ecudaros 33% Prmaros 43% Fgura 6: Pctograma de la varable Estudos de los padres. Los perfles se usa bastate e formes pscopedagógcos o de redmeto. E el eje de ordeadas se represeta las putuacoes alcazadas e dsttas varables o parámetros, todos ellos meddos co la msma udad. Por ejemplo: las calfcacoes de u alumo e cuatro asgaturas dsttas meddas de uo a dez, o las medas de la asgatura de Matemátcas de º de EO e los grupos A, B, C y D. Y e el eje de abcsas se coloca ua marca por cada sujeto, grupo o varable medda. E los ejemplos, u marca por cada asgatura o ua marca para cada uo de los grupos. E la fgura 5
aparece el perfl correspodete a las calfcacoes de u alumo e cuatro asgaturas. 8 7 6 5 4 3 0 Dbujo Matemátcas Iglés Cecas Naturales Fgura 7: Perfl de las calfcacoes de u alumo. 4.- El rago del percetl upogamos que el padre de uo de uestros alumos acude a la tutoría para teresarse por las otas de su hjo. Nuestra respuesta puede ser: e Matemátcas obtuvo u 5.5, e Lteratura u 6.8 y e Flosofía u 8. A prmera vsta puede ser ua formacó valosa, pero s queremos sacarle u poco más de jugo que el aparete, eseguda os damos cueta de que os falta bastates datos. E geeral, para poder terpretar el sgfcado de ua putuacó es ecesaro hacerlo e térmos relatvos y co respecto a u grupo de refereca. E uestro caso ecestaríamos saber dóde está uestro alumo e relacó a los alumos de su clase. Para hacer estas valoracoes relatvas se utlza las llamadas meddas de poscó, que so ídces dseñados para revelar la stuacó de ua putuacó co respecto a u grupo, utlzado a éste como marco de refereca. Ua de las meddas de poscó más utlzadas so los percetles també llamados cetles ó el rago del percetl. Los cetles o percetles so 99 valores de la varable que dvde a la dstrbucó e 00 seccoes, cada ua de ellas coteedo a la cetésma parte de las observacoes. Ua putuacó correspode al rago del percetl K, cuado el K% de las observacoes se stúa por debajo de. Ua forma de calcular aproxmadamete las putuacoes a las que correspode tal o cual percetl es a través del polígoo de porcetajes de frecuecas acumuladas. queremos calcular a qué putuacó correspode el percetl 50, trazamos a la altura del 50 e el eje de ordeadas ua líea paralela al eje de abcsas hasta terceptar el polígoo. E ese puto trazamos ua líea paralela al eje de ordeadas hasta terceptar co el eje de abcsas y ese puto es precsamete el que se correspode al percetl 50. segumos estos pasos e la Fgura 5, que correspode al polígoo de porcetajes de frecuecas acumuladas de los datos obtedos del test de hábtos de estudo, el percetl 50 correspodería aproxmadamete a la putuacó 67. 6
La fórmula para obteer el percetl K es : P I + k 00 k L a dode: - P k es la putuacó correspodete al percetl k. - L es el límte feror exacto del tervalo crítco (aquel que acumula al meos el k% de la frecueca acumulada). - I es la ampltud de los tervalos. - es la frecueca del tervalo crítco. - k es el porcetaje de observacoes ferores a P k. - es el úmero de observacoes hechas. - a es la frecueca acumulada hasta L. Ahora vamos a poer u ejemplo para lustrar el uso de esta fórmula. Vamos a calcular e prmer lugar la putuacó a la que correspode el percetl 40. Tedremos que determar el tervalo que acumula al meos el 40% de las observacoes. Mramos la Tabla 4, dstrbucó de frecuecas acumuladas, e la columa de porcetaje de frecueca acumulada. E uestro caso se trata del tervalo cuyos límtes exactos so 59,5-64,5 cuyo porcetaje de frecueca acumulada es 46,67%, y ua vez localzado este tervalo ya teemos todos los datos requerdos e la fórmula: L 59,5, I 64,5 59,5 5, 3, k 40, 30, a y, por tato P k 59,5 + (5 / 3) ( - ) 6,7 La putuacó 6,7 correspode al percetl 40, es decr el 40% de las observacoes se stúa por debajo de 6,7. Aprovechamos este resultado para dcar que la putuacó que correspode a u determado percetl o tee por qué cocdr co ua putuacó observada como ocurre e este ejemplo. Nguo de los alumos del ejemplo obteía e el test de hábtos de estudo ua putuacó de 6,7. Utlzaremos e forma versa la fórmula para calcular a qué percetl correspode ua determada putuacó. U alumo ha obtedo la putuacó 85 y os preguta a qué percetl se correspode o más be os preguta s es ua putuacó alta o baja e relacó co sus compañeros de clase. Empleamos la msma fórmula auque e éste caso la cógta es k. P k es 85, el tervalo crítco es aquél que cotee la putuacó 85, cuyos límtes so 84,5-89,5. Por tato, L 84,5, I 5,, 30, a 6. usttuyedo e la fórmula teemos: 85 84,5 + (5 / ) (( (k 30) / 00 ) - 6), 85 84,5.5 ( (k 0,3) - 6), 0,5 /,5 (k 0,3) - 6, 0, + 6 k 0,3 k 6, / 0,3 87,33 7
La putuacó de uestro alumo se correspode co el percetl 87,33, el 87,33% de los resultados del test de hábtos de estudo se ecuetra por debajo de su putuacó, lo cual quere decr que su putuacó destaca detro de la clase. Nos hemos referdo al rago del percetl como ua medda de poscó que os permte comparar observacoes de ua varable respecto de las observacoes de la msma e u grupo o comparar varables dsttas e u msmo grupo. Pero como tal medda de poscó tee també sus coveetes. El más mportate es el que se derva del hecho de que se está utlzado ua escala ordal: las msmas dferecas e percetles o se correspode co dferecas e la putuacó de la varable. Las dferecas e las putuacoes correspodetes a los percetles 55 y 56 o tee por qué ser guales a las dferecas etre las putuacoes que correspode a los percetles 93 y 94. Geeralmete, las dstacas etre cetles termedos suele ser meores que las dferecas etre cetles extremos, y esto es así porque ormalmete se obtee co más frecueca putuacoes termedas de las varables y los valores más extremos so más frecuetes. Ua vez defdos los percetles podemos hacer refereca a otras meddas de poscó que se obtee drectamete de ellos: los cuartles y los decles. Los cuartles so tres y se deota por Q, Q y Q 3. e defe como los tres valores de la varable que dvde a la dstrbucó e cuatro partes, cada ua cotedo al 5 por ce de las observacoes. Por lo tato el prmer cuartl cocde co el percetl 5, el segudo co el percetl 50 y el tercero co el percetl 75. Los decles se represeta por D k, dode k represeta el úmero del decl al que se refere, y so ueve putuacoes que dvde a la varable e 0 partes cada ua coteedo el 0 por 00 de las observacoes. El prmer decl correspode al percetl 0, el segudo al percetl 0 y así sucesvamete. 5.- Característcas geerales de ua dstrbucó de frecuecas Hasta este mometo hemos vsto cómo costrur tablas y represetar gráfcamete u cojuto de datos, pero estas téccas todavía o so sufcetes para hacer comparacoes etre dsttas dstrbucoes de frecuecas. Para ello es ecesaro defr alguas característcas de las dstrbucoes de frecuecas que llamamos: tedeca cetral, varabldad o dspersó, sesgo y curtoss. Todas ellas tee sus correspodetes meddas, es decr, sus dcadores que obteemos medate ua sere de cálculos a partr de los datos de ua tabla de dstrbucó de frecuecas. upogamos que el jefe de estudos del cetro os preguta: Cuál es el redmeto de la clase A e tu asgatura? Cuáto tempo ha empleado tus alumos e recorrer el crcuto?. Le podríamos respoder presetádole las tablas de dstrbucoes de frecuecas o cluso las lstas co los ombres de los alumos, sus calfcacoes y tempos, pero cas co toda segurdad le costaría u gra esfuerzo etresacar de esos datos respuestas precsas. Otra forma de respoder a las pregutas más claramete sería calcular alguas meddas de tedeca cetral de esas dstrbucoes, que precsamete so represetacoes del valor "típco" o "promedo" de la varable, que se refere al cetro de la dstrbucó de frecuecas, a la putuacó que represeta a todas las demás. Las meddas de tedeca cetral más utlzadas so la meda, la medaa y la 8
moda. Por su mportaca, dedcaremos a su cálculo, su sgfcado y sus propedades ua parte del capítulo sguete. La varabldad o dspersó se refere al grado de cocetracó de las observacoes e toro al promedo. Ua dstrbucó de frecuecas será homogéea o poco varable s los datos dfere poco etre sí y,por tato, se agrupa e toro a su promedo. Por el cotraro será heterogéea o muy varable s los datos se dspersa mucho respecto al promedo. Esta propedad es depedete de la tedeca cetral, es decr, dos dstrbucoes puede teer la msma meda y dstta varabldad y vceversa. Precsamete, esta depedeca es la causa de la mportaca de la varabldad, porque s prescdésemos de ella, podríamos cofudr, por teer el msmo redmeto medo, ua clase co alumos de redmeto medo muy smlar co otra que tuvera alumos de redmeto máxmo y alumos de redmeto mímo. Las meddas de varabldad o dspersó más frecuetes so: las desvacó típca, desvacó meda, la varaza, el rago y la ampltud semtercuartl. Al gual que co la tedeca cetral, al cálculo y propedades de estas meddas dedcaremos parte del capítulo sguete. E la Fgura 8 aparece las represetacoes de las dstrbucoes de frecueca de tres grupos A, B y C. Los grupos A y B so guales e cuato a tedeca cetral y dferetes e cuato a varabldad, el grupo B es más varable que A. Los grupos A y C so guales e cuato a dspersó y dfere e su tedeca cetral: la de A es meor que la de C. Fgura 8: Ejemplos de tres dstrbucoes e las que A y B tee tedecas cetrales smlares, y meores que la C, metras que co respecto a la varabldad la de B es mayor que las otras dos. El sesgo o asmetría se refere al grado e que los datos tede a cocetrarse e los valores cetrales, e los valores ferores al promedo, o e los valores superores a éste. També podemos decr que hace refereca al grado e que los datos se reparte equlbradamete por ecma y por debajo de la tedeca cetral. Ua dstrbucó será smétrca cuado, al dvdrla e dos a la altura de la meda, las dos mtades se superpoe. Ua dstrbucó tee asmetría postva cuado la mayor cocetracó de putuacoes se produce e la parte baja de la escala metras que alguas putuacoes 9
so altas. Ua dstrbucó tee asmetría egatva cuado la mayor parte de las observacoes se stúa e la parte alta de la escala metras que se produce algua observacó e la parte baja. U ejemplo: s poemos a uestros alumos u exame muy fácl, la dstrbucó de frecuecas de sus calfcacoes tedrá sesgo egatvo puesto que la mayoría de los alumos obtedría calfcacoes altas. por el cotraro el exame es dfícl, estaremos ate ua dstrbucó co sesgo postvo puesto que la mayoría de los alumos obtedría otas bajas y sólo alguos destacaría co otas altas. el exame es de dfcultad meda, lo más probable es que la dstrbucó sea smétrca. Para esta característca o vamos a estudar gú ídce porque ormalmete los cálculos so laborosos, más be podemos dar u crtero aú cuado la podemos aprecar medate la speccó vsual del polígoo de frecuecas. El crtero tee que ver co las dferecas etre cuartles y es el sguete: (Q 3 - Q ) > (Q - Q ) etoces la dstrbucó tee sesgo postvo..(q 3 - Q ) < (Q - Q ) tee sesgo egatvo. (Q 3 - Q ) (Q - Q ) la dstrbucó será smétrca. Respecto a la speccó gráfca, e la Fgura 9 aparece las gráfcas de tres grupos A, B y C. La dstrbucó A es smétrca, la B tee sesgo postvo y la C egatvo. Fgura 9: Ejemplos de dstrbucoes co dstto tpo de sesgo. La A es smétrca, la B asmétrca postva y la C asmétrca egatva. La curtoss se usa para saber cómo es de escarpado o plao u polígoo de frecuecas. El cocepto de curtoss sólo se aplca a dstrbucoes umodales (dstrbucoes que tee u úco pco ) y se refere al empameto de la curva e la proxmdad de la moda. Geeralmete el grado de curtoss de ua dstrbucó se compara co u modelo de dstrbucó que estudaremos más adelate que es la llamada campaa de Gauss o dstrbucó ormal. Así, las dstrbucoes que tee el msmo grado de aputameto que la ormal se llama mesocúrtcas. Las dstrbucoes que tee mayor grado de aputameto que la ormal se llama leptocúrtcas y las que lo tee meor platcúrtcas. Los ídces empleados habtualmete para calcular la 0
curtoss so demasado complcados, comparados co su utlzacó, por lo que e estas otas o haremos refereca a ellos. Fgura 0: Ejemplos de dstrbucoes co dsttos tpos de curtoss. La A es leptocúrtca, la B mesocúrtca y la C platcúrtca.
Captulo 3. Meddas de tedeca cetral.- La meda. La meda de ua varable se defe como la suma de todos los valores observados dvdda por el úmero de ellos. e deota por la msma letra que la varable co ua barra horzotal ecma. teemos valores de la varable su meda se calcula como: Por ejemplo, las otas obtedas por ua clase de 0 alumos e u exame de Hstora y ordeadas de meor a mayor so :,,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8 y 9. u meda se calcula : ( +++3+3+3+4+4+4+5+5+5+5+5+6+6+7+7+8+9 ) / 0 94 / 0 4,7 També podemos calcular la meda a partr de la dstrbucó de frecuecas: k k f f dóde k represeta el úmero de valores dsttos que toma la varable y f la frecueca de la putuacó. Naturalmete, la suma de las frecuecas de las putuacoes, el deomador de la fórmula ateror, tee que ser gual al úmero de datos observados. Es decr: k f Veamos ahora cómo podemos usar la tabla de dstrbucó de frecuecas, empleado los datos del ejemplo, para aplcar la fórmula ateror del cálculo de la meda. Como e el umerador aparece la suma de los productos de cada putuacó por su frecueca, añadmos ua columa más a la tabla de dstrbucó de frecuecas e la que escrbmos precsamete cada uo de estos sumados. La meda será el cocete etre la suma de la tercera columa y la suma de la seguda de la sguete Tabla 5. El resultado para la meda es: 94 0 4,7
f f 9 9 8 8 7 4 6 5 5 5 4 3 3 3 9 4 Total 0 94 Tabla 5: Tabla de dstrbucó de frecuecas para el cálculo de la meda estamos ate ua dstrbucó de frecuecas agrupadas y por tato o dspoemos de los datos observados, para calcular la meda e lugar de los datos observados trabajaremos co los putos medos de los tervalos de clase y la frecueca de cada uo de ellos. Por tato, s deotamos como m el puto medo del tervalo -ésmo y f la frecueca del msmo, calcularemos la meda como: k m k f f Hay que teer e cueta que e las otras fórmulas el sumatoro se extedía a lo largo de todas las putuacoes observadas y a lo largo de las putuacoes dsttas observadas, respectvamete, e este caso el sumatoro tee tatos sumados como tervalos de clase. Es decr, e esta expresó k represeta el úmero de tervalos de clase. Para lustrar el uso de esta fórmula, valédoos de las tablas de dstrbucó de frecueca, retomamos la Tabla 3 de las putuacoes de u test de hábtos de estudo pasado a 30 alumos. A esta tabla añadmos ua columa que es el resultado de multplcar cada puto medo del tervalo de clase por su frecueca. Así, la meda será el resultado de dvdr el total de esta columa etre el total de las frecuecas, tal como aparece e la Tabla 6: 940 30 64,67 3
m f m f 90-94 9 84 85-89 87 74 80-84 8 8 75-79 77 4 308 70-74 7 5 360 65-69 67 34 60-64 6 3 86 55-59 57 3 7 50-54 5 04 45-49 47 94 40-44 4 4 35-39 37 37 30-34 3 64 Total 30 940 Tabla 6: Dstrbucó de frecuecas agrupadas e tervalos de clase para el cálculo de la meda Estos dos ejemplos os srve també para hacer ua observacó: ótese que la meda o tee por qué cocdr co ua putuacó observada, auque se haya defdo como ua putuacó que "represeta a todas". Otra terpretacó de la meda, desde el puto de vsta físco, cosste e cosderarla el cetro de gravedad de las putuacoes. a lo largo de ua barra pusésemos ua udad de peso sobre cada valor observado y tatas udades como veces se haya observado el valor, etoces esa barra sólo estaría e equlbro s el fulcro estuvese colocado a la altura de la meda. Este hecho, que costtuye ua de las prcpales propedades de la meda, se puede expresar matemátcamete dcedo que la suma de las dferecas de putuacoes respecto de su meda es gual a cero. E efecto: ( ) 0 e lugar de sumar las dferecas de las putuacoes respecto de la meda sumamos sus cuadrados, etoces ecotramos otra propedad teresate de la meda: que esta suma es meor que s tomásemos las dferecas respecto de otro valor cualquera. Expresado e leguaje matemátco: ( ) < ( C) edo C ua costate cualquera dstta de la meda. 4
upogamos ahora que sabemos la meda de las clases A, B y C de las putuacoes de la últma evaluacó de Químca y queremos saber la meda de los alumos de los tres grupos jutos. Podríamos calcularla a través de las putuacoes drectas pero podemos aprovechar la formacó que ya teemos porque la meda total sería: A A + A B + B B + + C C C dóde A y A so, respectvamete, el úmero y la meda de los alumos de la clase A, B y B so, respectvamete, el úmero y la meda de los alumos de la clase B y C y C so, respectvamete, el úmero y la meda de los alumos de la clase C. Para comprobar co u ejemplo las propedades de la meda magemos que las 0 otas de los alumos de la clase so: 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 7 y 9. La meda de estas otas es 5,4. Vamos a comprobar que la suma de las dferecas de cada putuacó respecto de su meda es cero: ( 3 5,4 ) + ( 4 5,4 ) + 3 ( 5 5,4 ) + ( 6 5,4 ) + ( 7 5,4 ) + ( 9 5,4 ) ( (-,4) ) + ( -,4 ) + ( 3 (-0,4) ) + 0,6 + (,6 ) + 3,6-4,8,4, + 0,6 + 3, + 3,6 0 Ahora comprobaremos que la suma de las dferecas al cuadrado respecto de la meda es más pequeña que la suma de las dferecas al cuadrado respecto a otra costate: ( (-,4) ) + ( -,4 ) + ( 3 (-0,4) ) + (0,6) + ( (,6) ) + (3,6) ( 5,76) +,96 + (3 0,6) + 0,36 + (,56) +,96 3,4 Esta es la suma de las dferecas al cuadrado respecto de la meda. Ahora elegmos como costate el úmero 5 para calcular la suma de dferecas al cuadrado: ( 3-5 ) + ( 4-5 ) + ( 6-5 ) + ( 7-5 ) + ( 9-5 ) ( 4 ) + + + ( 4 ) + 6 34. E este caso, 34 es mayor que 3,4, co lo que queda comprobada la seguda propedad de la meda. Hay que hacer otar que esta es ua mera comprobacó y o ua demostracó rgurosa..- La medaa La medaa es u puto de la escala de medda que dvde a la dstrbucó e dos partes guales, es decr, la mtad de las putuacoes so mayores que la medaa y la otra mtad so meores. Este ídce se represeta por Md. A la hora de calcularla podemos ecotraros frete a putuacoes drectas o, por el cotraro, frete a ua dstrbucó de frecuecas agrupadas. estamos e el prmer caso, a su vez os podemos ecotrar ate u úmero mpar de observacoes o ate u úmero par. E prmer lugar teemos que ordear las putuacoes drectas de 5
meor a mayor, s su úmero,, es mpar etoces la medaa es el lugar que ocupa la poscó (+) /. es par, la medaa es el puto medo etre los dos valores cetrales, que e este caso so el valor / y ( / ) +. Cuado dspoemos de ua dstrbucó de frecuecas agrupada e tervalos de clase, la medaa cocde co el percetl 50, puesto que justamete es aquella putuacó por debajo de la cuál se stúa el 50 % de las observacoes y por tato el otro 50% so mayores que ella. Por tato, para calcularla usamos la fórmula de los percetles hacedo k50 lo que resulta: I Md L + dode: a - L es el límte feror exacto del tervalo crítco. - I es la ampltud de los tervalos. - es la frecueca del tervalo crítco. - es el úmero de observacoes hechas. - a es la frecueca acumulada hasta L. tomamos como ejemplo para calcular la medaa el ctado e el capítulo referdo a las otas obtedas por 0 alumos e u exame de Hstora, al ser u úmero par de observacoes que ya está ordeadas de meor a mayor, buscamos las que ocupa los lugares 0 / 0 y (0/ ) + que so e ambos casos u 5. El puto medo e este caso es (5 + 5) / 5. La medaa es la putuacó 5. upogamos ahora que queremos saber la medaa de las putuacoes sguetes: 7,, 6, 5, 7,, 9, 8, 0, 6 y 9. E prmer lugar, las ordeamos de meor a mayor: 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 0,,. Ahora buscamos la que ocupa la poscó ( + ) / 6 que e este caso es 9. La medaa de estas putuacoes es 9. El resultado de u test de coocmetos prevos sobre Geografía realzado por 00 alumos queda reflejado e la sguete tabla. f f a 8-0 40 00 5-7 50 60-4 40 0 9-30 70 6-8 5 40 3-5 5 5 Tabla 7: Dstrbucó de frecuecas agrupadas e tervalos y frecuecas acumuladas de las putuacoes de u test de coocmetos prevos sobre Geografía. 6
Determamos la medaa de las putuacoes usado la Tabla 7. El tervalo crítco será aquél que cuya frecueca acumulada sea 00 ó más, puesto que el 50% de 00 es 00. Por tato el tervalo crítco es el -4, su límte feror exacto es,5, la ampltud es 3, la frecueca es 40 y la frecueca acumulada hasta ese tervalo es 70. usttuyedo los valores e la fórmula: Md 3 90,5 + 40 40 ( 00 70),5 + 3, 75 També podemos estmar gráfcamete la medaa utlzado el polígoo de porcetajes de frecuecas acumuladas. Para ello, se traza ua paralela al eje de abcsas a la altura del 50% del de ordeadas hasta terceptar el polígoo y, desde este puto, ua paralela al eje de ordeadas hasta terceptar el de abcsas. Precsamete este puto de terseccó será ua estmacó de la medaa porque el proceso mecoado aterormete o es más que ua "búsqueda gráfca" del valor de la abcsa al que le correspode la ordeada 50. Dcho de otra forma, hemos buscado aquel puto que acumula el 50% de las observacoes, tee por debajo de sí el 50% de las msmas y, por tato, el msmo porcetaje por ecma de sí. Y esta es la propedad que defe a la medaa. E la Fgura queda represetado este proceso para las putuacoes de la Tabla 7. 00 75 50 5 0 Medaa3,75 5.5 8.5.5 4.5 7.5 0.5 Fgura : Estmacó gráfca de la medaa para los datos de la Tabla 7. 3.- La moda La moda, que se represeta por Mo, es la medda de tedeca cetral más fácl de calcular ya que se defe como el valor de la varable co mayor frecueca. embargo, o todas las dstrbucoes tee moda, todas tee ua úca moda, por lo que es ecesaro hacer refereca a dsttos casos que se puede presetar. E prmer lugar u caso que o ofrece gua duda: e el sguete grupo de putuacoes, 3, 4, 4, 5, 7, 9, 9, 9 y 0, la moda es 9. embargo e este grupo:,,,, 3, 3, 4 y 4 o hay moda, se dce que la dstrbucó es amodal porque todas las putuacoes tee la msma frecueca. 7