Curso de Cotabldad y Matemátcas Faceras 2ª parte: Matemátcas Faceras Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Ídce de cotedos Pága CAPÍTULO CAPITALIZACIÓN SIMPLE 3. CONCEPTO Y FÓRMULAS GENERALES 3.. Cocepto 3..2 Cálculo del terés total 3..3 Cálculo del captal fal 4..4 Cálculo del captal cal 5..5 Cálculo del tato de terés 5..6 Cálculo del tempo 6.2 TANTOS DE INTERES 7.2. Tatos equvaletes 7.2.2 Iterés atcpado (Tato de descueto) 8.3 EL DESCUENTO 9.3. El descueto racoal 0.3.2 El descueto comercal.3.3 El descueto de las letras de cambo 2.4 EQUIVALENCIA DE CAPITALES 8.4. Prcpo de equvaleca de captales 8.4.2 El captal comú 8.4.3 El vecmeto comú 22.4.4 El vecmeto medo 24.5 LAS CUENTAS CORRIENTES 25.5. Cocepto 25.5.2 Lqudacó de las cuetas corretes 26.6 OTROS ACTIVOS FINANCIEROS 29 2
Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Capítulo CAPITALIZACIÓN SIMPLE. CONCEPTO Y FÓRMULAS GENERALES.. Cocepto Se deoma captalzacó al cálculo de uos captales geeradores de tereses e u mometo posteror a la versó de estos. E el régme de captalzacó smple, el captal productor de tereses sempre es el msmo a lo largo de la duracó de la operacó, ya que los tereses que se va producedo e cada período o se acumula al captal cal, co lo que o afecta al cálculo de los tereses de los períodos posterores. Como cosecueca de esto, los tereses que se va geerado e cada uo de los dsttos períodos ha de ser guales. Las leyes basadas e el terés smple suele utlzarse e operacoes faceras co duracó gual o meor al año...2 Cálculo del terés total Como ya se ha cometado aterormete, los tereses que se produce e cada período ha de ser guales, y su mporte será el resultado de multplcar el captal cal por el tpo de terés. Por tato tedremos: er período: I C 0 2 do período: I 2 C 0 3 er período: I 3 C 0.... período : I C 0 El valor del terés total será la suma de los tereses de todos y cada uo de los períodos. I I + I 2 + I 3 +.. + I S susttumos los valores de los tereses de cada período por su expresó e fucó del captal cal y del tpo de terés obtedremos: I C 0 + C 0 + C 0 + + C 0 Como C 0 se repte veces, teemos que el terés total será: I C 0 3
Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Ejemplo: Se tee u captal de.000, el cuál se quere vertr durate 0 años a u tato del 0 % aual e ua operacó a terés smple. Calcular los tereses totales que se obtedrá cuado trascurra dcho plazo? C 0.000 0 0,0 Aplcado la formula del terés total: I C 0.000 0,0 0.000..3 Cálculo del captal fal Deomamos captal fal o motate a la suma del captal cal y de los tereses totales. C C 0 + I Vamos a susttur e la expresó del captal fal el terés total, poédolo e fucó del captal cal, del tato de terés y de la duracó de la operacó. C C 0 + C 0 Sacado factor comú C 0 tedremos: C C 0 + C 0 C 0 ( + ( )) C C 0 ( + ( )) Ejemplo: Se tee u captal de.000, el cuál se quere vertr durate 0 años a u tpo de terés del 0 %. Calcular el captal fal que se obtedrá cuado trascurra dcho plazo? C 0.000 0 0,0 Aplcado la formula del captal fal: C C 0 ( + ( )).000 ( + ( 0,0 0 )) 2.000 4
Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE..4 Cálculo del captal cal Se puede calcular el captal cal despejado C 0 e la fórmula del captal fal o be e la del terés total. E el prmer caso tedremos: C C 0 ( + ( )) C 0 C + ( ) S despejamos C 0 e la fórmula del terés total obtedremos: I C 0 C I 0 Ejemplo: Trascurrdos 0 años y a u tpo de terés del 0% obteemos u captal fal de 3.000 Cuál fue el captal vertdo calmete? Aplcado la fórmula del captal cal teemos: C 0 C + ( ) 3.000.500 + (0,0 0)..5 Cálculo del tato de terés Al gual que e el caso ateror, se puede calcular el tato de terés despejado be e la fórmula del captal fal o be e la del terés total. E el prmer caso tedremos: C C 0 ( + ( )) C 0 + C 0 C - C 0 C 0 C C C 0 0 5
Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE S despejamos e la fórmula del terés total obtedremos: I C 0 C I 0 Ejemplo: Se verte.000 hoy y al cabo de 0 años se obtee 2.500 Cuál es el tato de terés aplcado e esta operacó? C C C 0 0 2.500.000 0,5 5% 000 0..6 Cálculo del tempo Para calcular el tempo també vamos a partr de las dos fórmulas aterores y de aquí y despejado la varable tempo obtedremos que: S partmos de la fórmula del captal fal: C C 0 ( + ( )) C C C 0 0 S partmos de la fórmula del terés total: I C 0 C 0 I Ejemplo: Ivrtedo u captal de.000 al 5% de terés obteemos 2.500 Cuáto tempo estuvo mpuesto dcho captal? C C C 0 0 2.500.000 0 años.000 0,5 6
Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE.2 TANTOS DE INTERES.2. Tatos equvaletes La captalzacó smple se emplea e aquellas operacoes faceras que so a corto plazo, es decr, co duracó gual o feror al año. Por ello los períodos suele estar referdos a fraccoes de año, metras que los tatos suele expresarse co refereca aual, sedo ecesaro e este caso, adaptar la udad temporal de la duracó o del tato para que esté expresadas e la msma udad de tempo. Para adaptar el tato o tpo de terés, debemos utlzar el cocepto de tato equvalete. Defremos los tatos equvaletes como Aquellos que referdos a dstta udad de tempo, produce los msmos tereses cuado se aplca al msmo captal por gual período de tempo. O be, dremos que dos o más tatos de terés so equvaletes, cuado al aplcarlos a u msmo captal durate u msmo período de tempo obteemos el msmo captal fal. Por tato será equvaletes u tato aual y otro referdo a ua fraccó de año s aplcados al msmo captal y por gual período de tempo (expresado e años para el prmero de los casos y e fraccoes para el segudo) produce el msmo terés total. El terés total producdo por la versó de u captal C 0 durate u año a u tato de terés aual, es gual a: I C 0 C 0 S el terés se paga e ua fraccó de año, el terés total producdo e u año será: I C 0 C 0 Igualado ambas fórmulas obteemos: C 0 C 0 De dode: Tomado como refereca u año adoptará los sguetes valores: 2 cuado se refera a semestres 3 cuado se refera a cuatrmestres K 4 cuado se refera a trmestres 2 cuado se refera a meses 365 cuado se refera a días 7
Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Ejemplo: Calcular los sguetes tatos equvaletes correspodetes a u tpo aual del 2%: mesual trmestral cuatrmestral semestral º Tpo de terés mesual: 0,2 2 0,2 2 0,0 % 2 2º Tpo de terés trmestral: 4 4 0,2 0,03 3% 4 3º Tpo de terés cuatrmestral: 3 3 0,2 0,04 4% 3 4º Tpo de terés semestral: 2 2 0,2 0,06 6% 2.2.2 Iterés atcpado (Tato de descueto) E determadas ocasoes el prestamsta cobra los tereses por adelatado, e el mometo e el que se produce la operacó. Por tato el prestataro recbrá el captal prestado meos los tereses debdos a esta atcpacó. La catdad efectva recbda por este será: C 0 C C d 8
Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE C 0 C ( d ) Ahora y para tratar de buscar la relacó exstete etre los tereses atcpados y el tato de terés por vecdo, vamos a susttur el valor que acabamos de obteer de C 0 e la fórmula del motate o captal fal: C C 0 ( + ) C C ( d ) ( + ) Despejado d teemos: d + ( ) Y de aquí obteemos també el valor de : d (d ) Ejemplo: Cuál será el tato de terés atcpado equvalete a u tato de terés por vecdo del 2%? d + ( ) 0,2 + 0,2 0,0742857.3 EL DESCUENTO E la captalzacó obteemos el captal futuro producdo por la versó de u captal presete, metras que e el descueto susttumos ese captal futuro por otro co vecmeto presete. El descueto es por tato la operacó versa a la captalzacó. Exste dos tpos de descueto, el racoal y el comercal. Estos se dfereca e que e el prmer caso utlzamos el tpo de terés y e el segudo u tpo pactado, que es el tpo de descueto. 9
Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE.3. El descueto racoal Para calcular el descueto racoal, dfereca etre el captal a cobrar al fal del período pactado y el mporte que realmete recbmos s se atcpa el cobro, utlzamos el tato de terés. Este descueto hace que la operacó facera sea reversble, esto es, que s el mporte recbdo o efectvo se mpoe a gual tato de terés y por gual plazo obtedremos el msmo captal fal, y por el cotraro, s descotásemos ese captal fal al msmo tato de terés e gual plazo obtedríamos el efectvo. El descueto racoal será la dfereca etre el valor fal o omal y el valor descotado o actual: D r C - C 0 C 0 ( + ) - C 0 Deshacedo el factor comú: D r C 0 + C 0 - C 0 Smplfcado, obtedremos la expresó del descueto racoal o matemátco: D r C 0 Al tratarse del descueto, el valor coocdo es el del captal fal. Por tato será más útl expresar el descueto como: D r C - C + ( ) Operado, obtedremos la expresó del descueto racoal e fucó del captal fal o omal: C D r + C C + ( ) C D r + ( ) 0
Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Ejemplo: Se desea atcpar el pago de ua deuda que vece detro de 5 años y que mporta 30.000. S el pago se quere realzar e el mometo actual. Qué catdad tedrá que aboarse sabedo que el tato de terés al que se cocerta la operacó es del 0% aual? Cuál será el mporte del descueto? C 30.000 5 años 0,0 º Vamos a calcular el efectvo que habrá de satsfacerse a día de hoy. C 0 +C ( ) 30.000 + (0,0 5) 20.000 2º Cálculo del descueto racoal D r C C 0 30.000 20.000 0.000.3.2 El descueto comercal E el descueto comercal se pacta u tato de descueto es decr, se fja el mporte que deberá deducrse para cada udad de captal por atcpar su pago e ua udad de tempo. El descueto comercal será gual al mporte del captal que se atcpa por el tato de descueto que se ha fjado y por el plazo de tempo que se atcpa. D c C d Y el mporte efectvo que percbmos será el captal fal que se ba a percbr ó omal meos el descueto debdo a la dspobldad atcpada del captal. E C - D c C - C d C ( - d ) C 0 C ( - d )
Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Ejemplo: Se desea atcpar el pago de ua deuda que vece detro de 5 años y que mporta 30.000. S el pago se quere realzar e el mometo actual. Qué catdad tedrá que aboarse s el tpo de descueto fjado es del 0% aual? Cuál será el mporte del descueto? C 30.000 5 años d 0,0 º Vamos a calcular el efectvo que habrá de satsfacerse a día de hoy. C 0 C ( - d ) 30.000 ( - 0,0 5 ) 5.000 2º Cálculo del descueto comercal D r C C 0 30.000 5.000 5.000.3.3 El descueto de las letras de cambo E la práctca comercal, las operacoes de descueto se lleva a cabo medate la presetacó de letras de cambo e etdades de crédto. La letra de cambo es u documeto por el cuál ua de las partes (lbrador) ordea a otro (lbrado) que pague ua determada catdad a u tercero (teedor) e ua fecha determada. S u comercate vede algo o presta u servco y el cobro lo realza e su totaldad o e parte aplazado medate la aceptacó de letras de cambo, tee dos posbldades: Esperar al vecmeto del efecto y presetarlo al cobro Presetar al descueto el efecto ates de su vecmeto e ua Etdad de Crédto. El mporte que percbrá e este segudo caso (efectvo), será el mporte omal de la letra meos los tereses del descueto, las comsoes y los gastos fjos que cobre la Etdad. Los tereses se halla sobre el valor omal y so gual a : D c N d 2
Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Sedo: N Nomal del efecto d Tato de descueto Plazo que exste etre la fecha de descueto del efecto y la de su vecmeto Su valor varará depededo de cómo se exprese el tempo. años semestres 2 trmestres 4 meses 2 días 360 Es mportate para el cálculo del descueto saber cual es la fecha del vecmeto de la letra. Las letras de cambo se lbra de algua de estas formas segú establece el art. 38 y ss. de la Ley 9/985 Cambara y del Cheque: o A fecha fja: Estas debe pagarse el día dcado e la letra. o A u plazo desde la fecha: Estas vece cuado a trascurrdo este plazo el cuál empeza a computarse desde el día sguete al de la fecha de expedcó. o A la vsta: Esta es pagadera a su presetacó. Debe presetarse al pago e el año sguete a su fecha. o A u plazo cotado desde la vsta: Aquí el plazo comeza a computarse a partr del día sguete a la fecha de aceptacó. La comsó es el mporte que va a cobrar la Etdad de Crédto por egocar dcho efecto y que va a ser u porcetaje sobre el omal. Los gastos fjos so cuatías que cobra las Etdades e cocepto de correo, supldos, tmbres, etc y que se va a descotar del omal. E resume, la catdad que se percbe es: Efectvo Nomal Descueto Comsoes Gastos fjos 3
Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Ejemplo: El día 3 de julo se desea descotar ua letra que vecerá el día 0 de dcembre. Cuál será el efectvo aboado por la Etdad sabedo que el tpo de descueto aplcado es del 0%, que se cobra ua comsó del 2 por 000, exstedo ua comsó míma por efecto de 5, y sabedo també que los gastos fjos ascede a 3? Nomal Vecmeto Fecha de expedcó Fecha de aceptacó 3.000 0-2 5-07 20-07 Nomal: 3.000 Días desde la fecha de egocacó hasta la fecha de vecmeto: 32 días Tpo de descueto: 0,0 Comsó: 2 por 000 co u mímo de 5 Gastos fjos: 3 360 (ya que trabajamos e días) Cálculo de los tereses: D c N d D c 3.000 0,0 32 0 360 Cálculo de la comsó: Las comsoes salvo que se establezca otra cosa se calcula sobre el valor omal. Comsó 0,002 3.000 6 > 5 mporte de la comsó míma que cobrará la Etdad. Cálculo de los gastos fjos: Gastos fjos 3 Cálculo del efectvo a aboar por la Etdad: Efectvo Nomal Descueto Comsoes Gastos fjos Efectvo 3.000 0 6 3 2.88 Facturas de descueto E la práctca comercal lo ormal es que los efectos comercales o se evía uo a uo so agrupados e remesas para su descueto. La lqudacó efectuada por la Etdad sobre esta remesa recbe el ombre de factura de egocacó. 4
Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Ejemplo: Se evía a ua Etdad de Crédto ua remesa de 3 efectos para su descueto. Cuál será el efectvo producdo por estos el día de mayo fecha de egocacó de la remesa sabedo, que el tpo de descueto aplcado es del 0%, que se cobra ua comsó del 2 por 000, exstedo ua comsó míma por efecto de 5, y sabedo també que los gastos fjos por el descueto de los efectos ascede a 0? Nomal Vecmeto Fecha de expedcó Fecha de aceptacó 3.000 0-07 5-04 20-04 2.000 30 días desde la fecha 20-04 25-04 4.000 60 días desde la vsta 5-04 20-04 Cálculo del úmero de días que va desde la fecha de descueto 0-05 hasta la fecha de vecmeto de cada ua de las letras Nomal Fecha descueto Fecha vecmeto Días 3.000 0-05 0-07 70 2.000 0-05 20-05 () 9 4.000 0-05 9-06 (2) 49 () Al tratarse de días desde la fecha para coocer su fecha de vecmeto el plazo comeza a computarse desde la fecha de expedcó. (2) Al tratarse de días vsta el plazo comeza a computarse desde la fecha de aceptacó. Cálculo de los tereses a pagar por cada letra Nomal Días d Importe del descueto 3.000 70 0,0 58,33 2.000 9 0,0 0,56 4.000 49 0,0 54,44 El calculo del descueto se hará para cada letra aplcado la sguete fórmula: D c N d Cálculo de la comsó a pagar por cada letra Nomal Comsó del 2 por Importe de la Comsó míma 000 sobre el omal comsó a aplcar 3.000 6 5 6 2.000 4 5 5 4.000 8 5 8 5
Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Cálculo del mporte efectvo etregado por la Etdad Nomal Importe del descueto Comsó Gastos fjos 3.000 58,33 6 2.000 0,56 5 4.000 54,44 8 9.000 23,33 9 0 Efectvo Nomal Descueto Comsoes Gastos fjos Efectvo 9.000 23,33 9 0 8.847,67 Devolucó de efectos mpagados E el mometo del vecmeto de la letra esta puede ser: Pagada por el lbrado Impagada por el lbrado E este últmo caso la Etdad de Crédto resttuye la letra descotada al clete cargádole e su cueta el mporte de la letra o atedda más los gastos, cludos los de protesto y las comucacoes. Ejemplo: El día 0 de dcembre la Etdad de Crédto os comuca que la letra que descotamos el día de mayo de omal 3.000 y fecha de vecmeto 0 de julo ha sdo mpagada. S la Etdad cobra ua comsó de devolucó del %, uos gastos de correo de 0,50 y además exste uos gastos de protesto de 0 Cuál será el mporte de la lqudacó? Vamos a calcular el mporte de la lqudacó efectuado por la Etdad. El mporte de la lqudacó será gual al mporte de la letra o atedda más los gastos. Nomal del efecto:... 3.000,00 Comsó de devolucó: 0,0 3.000 30 Gastos de protesto: 0 Gastos de correo: 0,50 Total gastos:... 40,50 Importe del adeudo e C/C:... 3.040,50 6
Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE La letra de resaca Es aquella letra que tee por objeto recuperar el mporte y los gastos de la letra que ha sdo devuelta. El omal de esta ueva letra estará formado por (art. 62 de la Ley Cambara y del Cheque): El mporte de la letra o pagada Los tereses de la catdad ateror desde la fecha del vecmeto (al tpo del terés legal del dero cremetado e dos putos) Los gastos ocasoados por la falta de pago (protesto, comucacoes, etc ) Comsó sobre el omal de los efectos protestados El mporte del tmbre de la letra Ejemplo: Se llega a u acuerdo co el lbrado por el que se decde emtr ua ueva letra co objeto de recuperar el mporte y los gastos de la letra mpagada del ejemplo ateror. Cuál será el omal de la letra de resaca emtda s se establece que vecerá 30 días después a u tpo de descueto del 2%, cobrádose ua comsó sobre el omal del 0,5% y supoedo que el tmbre de la letra sea de 5? Vamos a calcular el mporte de la lqudacó efectuado por la Etdad. Prescdedo de los tereses de la catdad ateror desde su fecha de vecmeto, el omal de la letra de resaca será gual a: Nomal de la letra de resaca (N) Nomal de la letra mpagada: 3.000,00 Gastos por falta de pago: 40,50 Comsó (0,5%): 0,005 N Tmbre: 5,00 Descueto: N 0,2 30 360 N 3.000 + 40,50 + 0,005 N + 5 + 0,0 N 0,985N 3.045,50 N 3.09,88 7
Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE.4 EQUIVALENCIA DE CAPITALES.4. Prcpo de equvaleca de captales Decmos que dos captales so equvaletes e u mometo determado del tempo, cuado sus valores faceros e ese mometo so guales. S se tee varos captales C, C 2, C 3,..., C que va a vecer e dsttos mometos t, t 2, t 3,..., t estos va a ser equvaletes a otros captales C +, C +2, C +3,..., C que va a vecer respectvamete e t +, t +2, t +3, t, dado u tato de valoracó, s se cumple la sguete ecuacó de equvaleca: E el descueto racoal: Decíamos que C 0 C + Por tato y para que exsta equvaleca facera la suma de los captales C, C 2, C 3,..., C e el mometo 0 a de ser gual a la suma de los valores de los captales C +, C +2, C +3,..., C també valorados e el mometo 0 De dode: C + t C2 + + t 2 C3 + + t 3 C +...+ + t C + + t + + C + 2 + t + 2 + C + 3 + t + 3 C +...+ + t E el descueto comercal: E el descueto comercal C 0 C ( d ) De dode: C ( d t ) + C 2 ( d t 2 ) + C 3 ( d t 3 ) +...+ C ( d t ) C + ( d t + ) + C +2 ( d t +2 ) + C +3 ( d t +3 ) +...+ C ( d t ).4.2 El captal comú El captal comú es aquel captal C t que vecedo e el mometo t susttuye a varos captales C, C 2, C 3,..., C que vece respectvamete e t, t 2, t 3,..., t. 0 t t 2 t 3 t t C C 2 C 3 C t C 8
Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE La ecuacó de equvaleca será: E el descueto racoal: C t C + t + t C2 + + t 2 C3 + + t 3 C +...+ + t De dode s despejamos C t, obteemos: C C t ( + t C2 + + t 2 C3 + + t 3 C +...+ + t ) x ( + t) C j Ct ( + t) ( + t j ) j E el descueto comercal: C t ( d t ) C ( d t ) + C 2 ( d t 2 ) + C 3 ( d t 3 ) +...+ C ( d t ) S despejamos C t de la fórmula ateror teemos que: C t C ( d t) + C2 ( d t2 ) + C3 ( d t3) +... + C ( d t ) ( d t) De dode y s segumos operado, tedremos: C j d C j j C t t d j t j El tato de descueto que os de va a ser ormalmete aual, pero osotros podemos estar trabajado e meses, días... 9
Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE o S trabajamos e días la expresó se formularía como: C t j C j d 360 j d t 360 C j t j 360 S ahora multplcamos y dvdmos la expresó por os queda: d 360 d C t C j C jt j j 360 t d j o S trabajamos e meses: C t j C j d 2 j d t 2 C j t j 2 S ahora multplcamos y dvdmos la expresó por os queda: d 2 C C t d j j j j C t 2 t d j Llamaremos dvsor fjo y lo desgaremos como D a la expresó d cuyo valor será: 360 S trabajamos e días d 2 S trabajamos e meses d De dode, el captal úco quedará expresado como: C t D C j C jt j j D t j 20
Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Ejemplo: Se desea coocer el mporte del captal úco que vecedo detro de 60 días, sustturá a tres deudas de.000, 2.000 y 3.000 euros que veza respectvamete e el plazo de 30, 40 y 90 días. Sedo el tato de descueto del 0%. Solucó: º S calculamos la equvaleca de captales e el mometo 0.000 2.000 C 3.000 0 0 20 30 40 50 60 70 80 90 60 30 40 90 C ( - 0,0 ).000 ( - 0,0 ) + 2.000 ( - 0,0 ) + 3.000 ( - 0,0 ) 5.994,35 360 360 360 360 2º S calculamos la equvaleca de captales e fucó de la fórmula del captal úco C t D C j C jt j j D t j C j t j C j t j.000 30 30.000 2.000 40 80.000 3.000 90 270.000 j C j 6.000 C t j j j 380.000 360 6.000 380.000 0,0 C t 5.994,35 360 60 0,0 2
Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE 22.4.3 El vecmeto comú E este caso se cooce el captal úco C t que susttuye a varos captales C, C 2, C 3,..., C que vece respectvamete e t, t 2, t 3,..., t, y hemos de calcular el mometo t e el cuál vece ese captal úco C t. Por tato dremos que el vecmeto comú es el mometo t e el cuál vece u captal C t que susttuye a varos captales C, C 2, C 3,..., C que vece respectvamete e t, t 2, t 3,..., t. E el descueto racoal t C t + t C + + 2 2 t C + + 3 3 t C + +...+ t C + S despejamos t os queda: t C C t j j j t ) ( + E el descueto comercal: Obtedremos el vecmeto comú partedo de la fórmula del captal comú y despejado de esta t : C t t D t C C D j j j j j Operado tedremos: j j j j j t t C C D t D C ) ( + j j j j j t t t C C D C D t C t j j j j j t C t C C D C t + ) (
Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Ejemplo: Se desea coocer el mometo e el cuál vecerá u captal úco de mporte 3.00 que sustturá a tres deudas de.000 cada ua que veza respectvamete e el plazo de 30, 60 y 90 días. Sedo el tato de descueto del 0%. Solucó: º S calculamos la equvaleca de captales e el mometo 0 t 3.00 ( - 0,0 360 30 60 90 ).000 ( - 0,0 ) +.000 ( - 0,0 ) +.000 ( - 0,0 )74 días 360 360 360 2º S calculamos la equvaleca de captales e fucó de la fórmula del captal úco t D( C t C j j j C t ) + C j t j 360 (3.00 3.000) + 80.000 0,0 74 días 3.00 C j t j C j t j.000 30 30.000.000 60 60.000.000 90 90.000 j C j 3.000 C t j j j 80.000 23
Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE.4.4 El vecmeto medo El vecmeto medo es u caso partcular del vecmeto comú, que se produce cuado la suma de los captales que vamos a susttur es gual al mporte del captal úco que los susttuye, es decr, C t S susttumos e la fórmula del vecmeto comú el valor de C t por el de os queda: t j C j j C t j j j C j j C j Ejemplo: Se desea coocer el mometo e el cuál vecerá u captal úco de mporte 6.000 que sustturá a tres deudas de.000, 2.000 y 3.000 que veza respectvamete e el plazo de 0, 25 y 40 días. Sedo el tato de descueto del 0%. Solucó: º S calculamos la equvaleca de captales e el mometo 0 t 6.000 ( - 0,0 360 0 25 40 ).000 ( - 0,0 ) + 2.000 ( - 0,0 ) + 3.000 ( - 0,0 ) 30 días 360 360 360 2º S calculamos la equvaleca de captales e fucó de la fórmula del captal úco t j C j j C t j j 80.000 30 días 6.000 C j t j C j t j.000 0 0.000 2.000 25 50.000 3.000 40 20.000 j C j 6.000 C j t j j 80.000 24
Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE.5 LAS CUENTAS CORRIENTES.5. Cocepto La cueta correte es u cotrato que se efectúa etre dos persoas o etdades y e el que se establece que las operacoes que etre ellos se realza y de las que se derva crédtos y débtos, se salde a ua determada fecha, a u determado tpo de terés y co el método de valoracó que e él se establezca. Normalmete este cotrato se produce etre u baco y ua persoa, comprometédose la persoa a depostar dero e la cueta y el baco por su parte a cumplr sus órdees de pago. La frma del cotrato e estos casos se realza e u formularo prerredactado y estadarzado que establece las codcoes geerales de la cueta correte. Por tato ua cueta correte es ua operacó facera, valorada e captalzacó smple y co lqudacó peródca de tereses. Estos tereses puede ser: Recíprocos: se establece gual tpo de terés para los saldos deudores que para los acreedores. No recíprocos: e los cuáles el tpo de terés varará segú se trate de saldos deudores o acreedores. Los elemetos que aparece e los modelos de lqudacó de las cuetas corretes so: Fecha operacó cocepto Debe Haber Saldo Deudor Saldo Acreedor Fecha valor Días Números Deudores Números Acreedores Saldo ateror 0,00 0-0 0-0 Etrega efectvo 422,20 422,20 0-0 7 2.955 2-0 Comsó matemeto 39,74 382,46 08-0 4.207 9-0 Tesoro Públco 80,8 48,72 9-0 49 9-0 Etrega e efectvo.000,00 58,28 20-0 5 2.906 02- Tarjeta Crédto 222,95 358,33 25-0 358 27-0 Telefóca 486,07 27,74 26-0 4 5 30-0 Tesoro Públco 206,92 334,66 30-0 3.004 30-0 Etrega e efectvo 206,92 27,74 02-4 5 2- Proveedores 25,49 253,23 06-6.59 - Etrega e efectvo 500,00 246,77 2-6.48 8- Comsó,44 245,33 8-2 49 8- Igreso cheque 957,00 202,33 20-4 4.809 25- Telefóca 27,79 930,54 24-93 02-2 Tarjeta Crédto 269,6 66,38 25-8 5.29 04-2 Proveedores 25,49 535,89 03-2 2.254 25-2 Telefóca 289,4 246,48 24-2 8.972 Totales 92 3.964 36.655 25
Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Fecha operacó: Es la fecha e que se produce la operacó Cocepto: Es la descrpcó del apute efectuado Movmetos: Los movmetos puede ser al debe o al haber depededo de que se trate de u cargo o u aboo. Saldo: Es la varacó acumulatva de los movmetos Fecha valor: Es el día e que se realza la cotrapartda de la operacó Días: Es el úmero de días que trascurre desde el día sguete a la prmera fecha de valor hasta la sguete fecha de valor, esta cluda. Números: Los úmeros so guales al saldo por los días.5.2 Lqudacó de las cuetas corretes Exste tres métodos dferetes de lqudacó de las cuetas corretes. Estos so: Método drecto: El método drecto es aquel que cosdera que cada captal deudor o acreedor devega tereses durate los días que va desde el vecmeto a la fecha de cerre de la cueta. Por tato para poder utlzar este método debemos coocer de atemao la fecha de lqudacó. Método drecto: E este método los días se cueta desde cada vecmeto hasta ua fecha fja establecda. Lo que se produce es u cálculo de úmeros que o correspode a los que realmete produce tereses. Método hamburgués: E este últmo método los días se cueta de vecmeto a vecmeto. De los tres el método más empleado para la lqudacó de las cuetas corretes es el hamburgués. Las operacoes a realzar e la lqudacó por el método hamburgués de la cueta correte so las sguetes:. Cálculo de los úmeros Números Saldo Días () () Los días so los que meda etre dos fechas de valor cosecutvas 2. Cálculo de los tereses Itereses Suma de los úmeros comercales / (días aturales/ tpo de terés expresado e tato por uo) 26
Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Ejemplo: Lqudar la sguete cueta correte cerrada a 3 de marzo por el método hamburgués sabedo que, los tereses so del 5% para los saldos deudores y del 0,% para los saldos acreedores y que preseta los sguetes movmetos: Fecha Saldo Saldo Fecha cocepto Debe Haber operacó Deudor Acreedor valor Saldo ateror 0,00 0-0 0-0 Etrega e efectvo 422,20 422,20 0-0 2-0 Comsó matemeto 39,74 382,46 08-0 9-0 Tesoro Públco 80,8 48,72 9-0 9-0 Etrega e efectvo.000,00 58,28 20-0 02- Tarjeta Crédto 222,95 358,33 25-0 27-0 Telefóca 486,07 27,74 26-0 30-0 Tesoro Públco 206,92 334,66 30-0 30-0 Etrega e efectvo 206,92 27,74 02-2- Proveedores 25,49 253,23 06- - Etrega e efectvo 500,00 246,77 2-8- Comsó,44 245,33 8-8- Igreso cheque 957,00 202,33 20-25- Telefóca 27,79 930,54 24-02-2 Tarjeta Crédto 269,6 66,38 25-04-2 Proveedores 25,49 535,89 03-2 25-2 Telefóca 289,4 246,48 24-2 27
Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Solucó: Fecha operacó cocepto Debe Haber Saldo Deudor Saldo Acreedor Fecha valor Días () Números Deudores Números Acreedores Saldo ateror 0,00 0-0 0-0 Etrega e efectvo 422,20 422,20 0-0 7 2.955 Comsó 2-0 39,74 382,46 08-0 4.207 matemeto 9-0 Tesoro Públco 80,8 48,72 9-0 49 9-0 Etrega e efectvo.000,00 58,28 20-0 5 2.906 02- Tarjeta Crédto 222,95 358,33 25-0 358 27-0 Telefóca 486,07 27,74 26-0 4 5 30-0 Tesoro Públco 206,92 334,66 30-0 3.004 30-0 Etrega e efectvo 206,92 27,74 02-4 5 2- Proveedores 25,49 253,23 06-6.59 - Etrega e efectvo 500,00 246,77 2-6.48 8- Comsó,44 245,33 8-2 49 8- Igreso cheque 957,00 202,33 20-4 4.809 25- Telefóca 27,79 930,54 24-93 02-2 Tarjeta Crédto 269,6 66,38 25-8 5.29 04-2 Proveedores 25,49 535,89 03-2 2.254 25-2 Telefóca 289,4 246,48 24-2 8.972 Totales 92 3.964 36.655 ()Los días so los que meda etre dos fechas de valor cosecutvas. El apute que realzará el Baco será: 36.655 Itereses a su favor 0, 0 365 0,00 3.964 Itereses a uestro favor, 63 365 0,5 28
Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE.6 OTROS ACTIVOS FINANCIEROS Los actvos faceros so títulos emtdos por las empresas, etdades faceras, el Estado co el f de obteer facacó. S esta facacó se quere obteer e el corto plazo estamos ate actvos faceros a corto plazo. Los actvos faceros puede ser emtdos por: El Tesoro Públco: Etre los títulos de Deuda Públca emtdos por el Tesoro ecotramos: Letras del Tesoro: So valores de reta fja a corto plazo emtdos por el Tesoro Español. Las Letras se emte medate subasta. El mporte mímo de cada petcó ha de ser de.000 y las petcoes de mporte superor ha de ser múltplos de.000. So valores emtdos al descueto, debdo a esto su preco de adquscó es feror al mporte que el versor recbrá a la fecha de vecmeto de la Letra. La dfereca etre el preco de adquscó y el valor de reembolso será el redmeto geerado por la Letra. Sus redmetos está exetos de retecó a cueta tato e el ámbto del IRPF como del Impuesto de Socedades. E la actualdad el Tesoro emte letras a 3, 6, 2 y 8 meses, teedo e cueta que es posble su veta ates de su vecmeto. Pagarés del Tesoro: So títulos emtdos por el Tesoro Español al descueto, por lo que el redmeto se obtee por dfereca etre el preco pagado por el título y el valor de reembolso. Sus redmetos está exetos de retecó a cueta tato e el ámbto del IRPF como del Impuesto de Socedades. Por emsores partculares: Pagarés de empresa: So títulos emtdos por las empresas, geeralmete se suele tratar de grades empresas y lo hace para dversfcar sus fuetes de facacó. Pagarés faceros: E este caso, estos títulos so emtdos por etdades de depósto tales como Bacos y Cajas de ahorro. 29
Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Cálculo de retabldades de descueto para letras del tesoro, pagarés del tesoro y pagarés de empresa. Cálculo del efectvo a partr del tpo de descueto d E N 360 Cálculo de la retabldad a partr del tpo de descueto Cálculo de la retabldad a partr del efectvo N E 360 00 r E Cálculo del tpo de descueto a partr del efectvo 360 00 d r 360 00 d d N E 360 00 N E Efectvo de compra, N Nomal, r Retabldad aual. d Tpo de descueto aual. Número de días etre fecha de compra y fecha de vecmeto. Ejemplo: Se adquere ua Letra del Tesoro de.000 de valor omal y descotada al 0% aual, co fecha de vecmeto 2 meses. Calcular: El efectvo que se paga por la compra de la Letra del Tesoro S cuado falta 80 días para su vecmeto se vede e el mercado secudaro a u tato de descueto del 9,75%. Calcular el mporte que habrá de pagar el segudo comprador Calcular la retabldad obteda por el prmer comprador Calcular la retabldad obteda por el segudo comprador º Vamos a calcular el mporte pagado por la adquscó de la Letra del Tesoro. N.000 0 E N( - d ).000 ( 0,0 ) 900 2º Preco de veta de la Letra del Tesoro 900 80 días E 2.000 0 80 E 2 N( - d 2 ).000 ( 0,0975 ) 95,25 360 t 30
Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE 3º Calcular la retabldad obteda por el prmer comprador Podemos calcular de las sguetes formas: 85 días 80 días 900 95,25.000 r t 0 85 E 2 E ( + r ); 95,25 900 ( + r ) 0,0808,08% 360 N E 360 00 95,25 900 360 00 r,08% E 900 85 4º Calcular la retabldad obteda por el segudo comprador Podemos calcular de las sguetes formas: 85 días 80 días 900 95,25.000 r t 0 N E 2 ( + r ( t) ) 80.000 95,25 ( + r ) 0,0249674 0,25% 360 N E 360 00.000 95,25 360 00 r 0,25% E 95,25 80 3
Curso de Cotabldad y Matemátcas Faceras 2ª parte: Matemátcas Faceras Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Ídce de cotedos Pága CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 3 2. CONCEPTO Y FÓRMULAS GENERALES 3 2.. Cocepto 3 2..2 Característcas 3 2..3 Cálculo del captal fal 3 2..4 Cálculo del captal cal 5 2..5 Cálculo del tato de terés 5 2..6 Cálculo del tempo 6 2..7 El terés total 7 2.2 TANTOS DE INTERÉS 8 2.2. Tatos equvaletes 8 2.2.2 Tato omal 9 2.3 CAPITALIZACIÓN POR TIEMPOS FRACCIONADOS 2.3. Captalzacó por tempos fraccoados: coveo leal y coveo expoecal 2.4 EL DESCUENTO COMPUESTO 2 2.4. Descueto racoal 3 2.4.2 Descueto comercal 4 2.4.3 Equvaleca etre tato de terés y tato de descueto. 5 2.5 EQUIVALENCIA DE CAPITALES 7 2.5. Equvaleca de captales e captalzacó compuesta 7 2.5.2 El captal comú 7 2.5.3 Vecmeto comú 9 2.5.4 Vecmeto medo 20 2.5.4. Caso partcular: captales de la prestacó guales etre sí 22 2
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Capítulo 2 CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 2. CONCEPTO Y FÓRMULAS GENERALES 2.. Cocepto Las operacoes e captalzacó compuesta se caracterza porque, a dfereca de lo que ocurre e captalzacó smple, el captal que srve de base para calcular los tereses camba al co de cada período, y es gual al captal más los tereses del período ateror. Se puede defr la captalzacó compuesta como aquella operacó facera que trata de susttur u captal por otro, que es equvalete pero co vecmeto posteror medate la aplcacó de la ley facera de captalzacó compuesta. 2..2 Característcas La captalzacó compuesta se caracterza por:. El captal que srve de base para el cálculo de los tereses va varado de período a período y es gual al captal más los tereses del período ateror. Matemátcamete se expresa, como: C C + C 2. Los tereses so dsttos e cada período, y además al acumularse al captal va a producr uevos tereses e el período sguete. Matemátcamete se expresa, como: I C 2..3 Cálculo del captal fal S C 0 es el captal cal e, es el tato por uo al que se calcula los tereses de cada período, se verfcará que: 3
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA C 0 C C 2 C 3 C - C 0 2 3 - Período 0: C 0 Período : C C 0 + C 0 C 0 ( + ) Período 2: C 2 C + C C ( + ) C 0 ( + ) ( + ) C 0 ( + ) 2 Período 3: C 3 C 2 + C 2 C 2 ( + ) C 0 ( + ) 2 ( + ) C 0 ( + ) 3 Período : C C - + C - C - ( + ) C 0 ( + ) Por tato, el captal fal o motate será: C C 0 ( + ) Esta fórmula es aplcable sempre que el tpo de terés o varíe, y sempre y cuado el tato y el tempo se refera al msmo período, es decr, que s teemos u tato semestral, el tempo debe expresarse e semestres. Ejemplo: Se tee u captal de.000, que se va a vertr durate 0 años a u tpo de terés del 0% Qué motate se obtedrá cuado trascurra dcho plazo? Aplcado la fórmula del captal fal: C C 0 ( + ).000 ( + 0,0 ) 0 2.593,74 S el tato hubese sdo del 8% para los cco prmeros años y del 0% para los cco restates. Cuál sería el captal fal obtedo? E este caso o podemos aplcar la fórmula del captal fal, ya que al varar el tato de terés debemos trabajar co el tato vgete e cada período. 000 C 0 8% 5 0% 0 C C 0 ( + ) 5 ( + 2 ) 5 000 ( + 0,08 ) 5 ( + 0,0 ) 5 2.366,37 4
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 2..4 Cálculo del captal cal Partedo de la fórmula del captal fal y co las varables tempo, tato de terés y motate coocdas, despejado, obtedremos el valor del captal cal: C C 0 ( + ) S pasamos ( + ) al otro membro de la gualdad dvdedo, os queda: C 0 C (+ ) Ejemplo: Trascurrdos 0 años y a u tpo de terés del 0% se obtee u captal fal de 3.000 Cuál fue el captal cal vertdo? C 0 3.000 0 0% 0 Aplcado la fórmula del captal cal teemos: C 0 C ( + ) 3.000.56,63 0 ( + 0,0) 2..5 Cálculo del tato de terés Al gual que e el caso ateror, partedo de la fórmula del motate o captal fal y co las varables captal cal, fal y tempo coocdas, despejado, obtedremos el tato de terés: C C 0 ( + ) º Pasamos C 0 al otro membro de la gualdad dvdedo C ( + ) C 0 5
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 2º Qutamos la poteca, hallado la raíz -ésma e ambos membros de la gualdad C C o ( + ) C ( + ) C o 3º Despejamos el tato de terés C C C - o Co Ejemplo: S se verte.000 y al cabo de 0 años se obtee 2.500 Cuál será el tato de terés aplcado e esta operacó? C Co 2.500 0.000 0,095958226 0,096 9,6% 2..6 Cálculo del tempo Para calcular el tempo o la duracó de la operacó, procederemos de gual maera que e los apartados aterores, es decr, despejaremos la varable deseada, () e este caso, de la fórmula de la captalzacó. C C 0 ( + ) Paso º: Pasamos C 0 al otro membro de la ecuacó C ( + ) C 0 Paso 2º: Se despeja, utlzado logartmos C Log log ( + ) log C log C 0 log ( + ) C 0 Propedades de los logartmos aplcadas: a) El logartmo de u cocete es gual al logartmo del dvdedo meos el logartmo del dvsor b) El logartmo de ua poteca es gual al expoete multplcado por el logartmo de la base 6
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Paso 3º: Despejado obteemos: log C log C 0 log ( + ) Ejemplo: Ivrtedo u captal de.000 al 9,6% de terés obteemos 2.500 Cuáto tempo estuvo mpuesto dcho captal? log C log C 0 log 2.500 log.000 0 años log ( + ) log ( + 0.096 ) 2..7 El terés total El terés total, es la dfereca que exste etre el captal cal vertdo y el motate o captal fal obtedo; es decr: I C C 0 S susttumos C, por la fórmula del valor fal obteemos que: I C 0 ( + ) C 0 C 0 [( + ) - ] Ejemplo: Qué tereses producrá.000 vertdos 0 años al 0%?.000 C 0 0 0 C 0 C 0 ( + ).000 ( + 0,0 ) 0 2.593,74 I C C 0 2.593,74.000.593,74 I C C 0 C 0 [( + ) ].000 [( + 0,0 ) 0 ].593,74 7
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 2.2 TANTOS DE INTERÉS 2.2. Tatos equvaletes Decmos que dos o más tatos de terés so equvaletes, cuado al aplcarlos a u msmo captal durate u msmo período de tempo se obtee el msmo captal fal. Ua vez defdos los tatos equvaletes, vamos a defr la frecueca de captalzacó. La frecueca es el úmero de veces que durate u período de tempo se captalza los tereses producdos. S tomamos como refereca u año dremos que la frecueca ( ) adopta los sguetes valores: S se captalza semestralmete: 2 S la captalzacó es trmestral : 4 S se captalza mesualmete : 2 E la captalzacó compuesta para que dos tatos sea equvaletes tee, que por defcó cumplr la sguete relacó: ( + ) + Despejamos obteemos: ( + ) Despejado : ( + ) - ( + ) / Dode recbe la deomacó de tato efectvo aual e es el tato equvalete -esmal 8
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Ejemplo: Calcular los sguetes tatos equvaletes correspodetes a u tato efectvo aual del 0%: mesual trmestral cuatrmestral semestral º Tato de terés mesual: 0,0 2 2 ( + ) / ( + 0,0 ) /2 0,007974404 2º Tato de terés trmestral: 4 4 ( + ) / ( + 0,0 ) /4 0,0243689 3º Tato de terés cuatrmestral: 3 3 ( + ) / ( + 0,0 ) /3 0,0322805 4º Tato de terés semestral: 2 2 ( + ) / ( + 0,0 ) /2 0,048808848 2.2.2 Tato omal El tato omal se obtee multplcado la frecueca de captalzacó por el tato de terés -esmal. Por tato: J 9
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA O de otra forma: J Es decr el tato -esmal se obtee dvdedo el tato omal etre la frecueca de captalzacó. Dcha relacó os permte obteer fáclmete el tato efectvo -esmal ua vez que coocemos su correspodete tato omal aual captalzable por - ésmos o vceversa. E el sguete esquema se observa las relacoes que exste etre los dsttos tatos: Dado tedremos que: Dado tedremos que: ( + ) / J [ ( + ) / ] ( + ) J J ( + ) Dado J tedremos que: J Dode: (): Tato de terés efectvo aual T.A.E. ( ): Tato efectvo -esmal (J ): Tato omal aual captalzable por -ésmos Ejemplo: Dado u tato de terés omal captalzable por trmestres del 2% Cuál será el tato efectvo aual correspodete? 4 J 4 0,2 4 J 4 /40,2 /40,03 (+ 4 ) 4 (,03) 4 0,255088 0
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 2.3 CAPITALIZACIÓN POR TIEMPOS FRACCIONADOS 2.3. Captalzacó por tempos fraccoados: coveo leal y coveo expoecal Puede ocurrr que e la fórmula de la captalzacó C C 0 ( + ), o p represete u úmero etero de años, so que sea gual a h +, dode h sea u úmero etero de años y p sea ua fraccó de año. E este caso la fórmula del captal fal será: C C 0 ( + ) h + (p/) C 0 ( + ) h ( + ) (p/) Ate esta stuacó exste dos posbles formas de calcular el captal fal: Coveo leal: cosste e captalzar e régme de captalzacó compuesta el úmero etero de años y e régme de captalzacó smple la fraccó del año. C C 0 ( + ) h ( + p ) Coveo expoecal: e el coveo expoecal la captalzacó se realza e régme de compuesta tato por el período etero como por el fraccoado. C C 0 ( + ) h ( + ) p Sedo el tato -esmal equvalete al aual. També se podría calcular el captal fal e fucó úcamete del tato de terés aual, o be del tato de terés -esmal, e cuyo caso tedríamos respectvamete que: C C 0 ( + ) h + p C C 0 ( + ) h + p
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Ejemplo: Calcular el captal fal que producrá.000 mpuestos al 0% durate 0 años y 8 meses utlzado ambos coveos: º Coveo leal: 0,0 C C 0 ( + ) h ( + p ).000 ( + 0,0 ) 0 ( + 0,0 2 8 ) 2.766,66 2º Coveo expoecal: 0,0 2 ( + ) /2 ( + 0,0 ) /2 0,007974404 C C 0 (+ ) h ( + ) p.000 (+ 0,0) 0 ( + 0,0079744) 8 2.763,89 També podemos hallar el captal fal: E fucó del tpo de terés -esmal, úcamete C C 0 ( + ) h+p.000 ( + 0,0079744 ) (0 2) + 8 2.763, 89 E fucó del tato de terés aual C C 0 ( + ) h + p 8.000 ( + 0,0 ) 0 + 2 2.763, 89 2.4 EL DESCUENTO COMPUESTO El descueto compuesto es aquella operacó facera que tee por objeto la susttucó de u captal futuro por otro co vecmeto e el presete, medate la aplcacó de la ley facera de descueto compuesto. Es decr, es ua operacó facera que resulta de aplcar u tato de descueto a u captal C ó omal co vecmeto futuro, para obteer el valor del captal actual C o llamado efectvo, de dspobldad medata. E deftva, es la operacó versa a la captalzacó. E la captalzacó obteemos el captal futuro producdo por la versó de u captal presete, metras que e el descueto susttumos ese captal futuro por otro co vecmeto presete. Sedo el descueto el mporte que se percbe por atcpar la dspobldad de u captal. 2
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA El descueto se calcula restado del captal fal al vecmeto o omal el captal que se obtee e el presete o efectvo. ( DC -C o ) C 0 C 0 2 Exste dos clases dferetes de descueto compuesto segú el captal que tegamos e cueta para el cálculo de los tereses. 2.4. Descueto racoal El descueto racoal es el terés que produce u captal cal durate el período que va etre el vecmeto del captal fal o motate y el del captal cal. Es decr se cosdera geerador de tereses el captal al co de dcho período. C 0 C C 2 C - C 0 2 - Vamos a realzar el cálculo del captal para los dsttos mometos del tempo: Mometo : C C Mometo -: C - C I C C - ; C - + C - C ; C - ( + )C ; C - ( + ) C Mometo -2: C -2 C - I - C - C -2 ; C -2 + C -2 C - ; C -2 ( + )C - ; C -2 2 (+ ) C Mometo 0: C 0 C I C C 0 ; C 0 + C 0 C ; C 0 ( + ) C ; C 0 C ( + ) ( + ) Partedo de las fórmulas del captal fal C C 0 ( + ) y del captal cal C 0 C ( + ) -, y susttuyedo e la fórmula del descueto racoal D r C C 0 tedremos: S susttumos C 0, obtedremos el mporte del descueto e fucó del omal D r C - C ( + ) - C [ - ( + ) - ] S susttumos C, obtedremos el mporte del descueto e fucó del efectvo D r C 0 ( + ) C 0 C 0 [ ( + ) - ] 3
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Ejemplo: Se desea atcpar el pago de ua deuda que vece detro de 5 años y que mporta 30.000. S el pago se quere realzar e el mometo actual Qué catdad tedrá que aboarse s el tpo de terés al que se cocerta la operacó es del 0% aual? Cuál será el mporte del descueto? C 0 30.000 0 0,0 5 C 30.000 5 años 0,0 º Vamos a calcular el efectvo o captal cal que habría de satsfacer a día de hoy. C 0 C ( + ) - 30.000 ( + 0,0 ) -5 8.627,64 2º Cálculo del descueto racoal D r C C 0 30.000 8.627, 64.372,36 2.4.2 Descueto comercal El descueto comercal resulta de la aplcacó de u tato de descueto d al omal durate el período de tempo a cosderar. E este caso y a efectos del cálculo de los tereses de u período, tomamos el captal al fal de dcho período, y el tato d que se establezca para la operacó. Vamos a realzar el cálculo del captal para los dsttos mometos del tempo: Mometo : C Mometo -: C - C C d C ( d ) Mometo -2: C -2 C - C - d C - ( d ) C ( d ) 2 Mometo -3: C -3 C -2 C -2 d C -2 ( d ) C ( d ) 3 Mometo 0: C 0 C ( d ) 4
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA La fórmula que permte obteer el efectvo ( C o ) aplcado el tato de descueto ( d ) al valor omal ( C ) es: C 0 C ( - d ) S partmos del valor que acabamos de obteer para el captal cal, y lo susttumos e la fórmula del descueto comercal D c C C 0 tedremos: D r C - C ( - d ) C [ - ( - d ) ] Quedado expresado el descueto e fucó del omal. Ejemplo: Se desea atcpar el pago de ua deuda que vece detro de 5 años y que mporta 30.000. S el pago se quere realzar e el mometo actual Qué catdad tedrá que aboarse s el tpo de descueto fjado es del 0% aual? Cuál será el mporte del descueto? C 0 30.000 C 30.000 5 años d 0,0 0 d 0,0 5 º Vamos a calcular el efectvo o captal cal que habría de satsfacer a día de hoy. C 0 C ( - d ) 30.000 ( - 0,0 ) 5 7.74,7 2º Cálculo del descueto comercal D r C C 0 30.000 7.74,7 2.285,3 2.4.3 Equvaleca etre tato de terés y tato de descueto. Ua vez que se ha vsto los dos modelos de descueto exstetes, y teedo e cueta que descotado el msmo captal, por gual período y al msmo tato, los resultados que obteemos va a ser dferetes segú que utlcemos uo u otro, vamos a tratar de ecotrar la relacó que exste etre ambos tatos para que el resultado sea el msmo utlzado cualquera de los dos procedmetos. 5
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Para que exsta equvaleca etre el tato de terés y el de descueto, el valor actual obtedo al descotar u captal fal o omal a u tpo de terés y por u período determado, ha de ser el msmo, que s descotásemos ese msmo omal a u tato de descueto y por gual período de tempo. Es decr: C ( + ) - C ( - d ) S smplfcamos C e ambos membros de la ecuacó, queda: ( + ) - ( - d ) S ahora elevamos a la poteca / ambos membros de la gualdad teemos: ( d) (+ ) - Smplfcado: ( d ) ( + ) - A partr de esta ecuacó ya podemos relacoar el tato de descueto y el de terés: ( d) d Despejado : ( d ) - - ( d ) ( d) ( d) Despejado d: d - ( + ) + (+ ) (+ ) Ejemplo: U tpo de descueto del 0% a qué tpo de terés es equvalete? d 0,0 0,... ( 0,0) ( d) Y u tpo de terés del 0% a qué tpo de descueto es equvalete? d (+ ) 0,0 0,9090909 (+ 0,0) 6
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 2.5 EQUIVALENCIA DE CAPITALES 2.5. Equvaleca de captales e captalzacó compuesta Se dce que varos captales C, C 2, C 3,..., C que vece respectvamete e t, t 2,t 3,..., t so equvaletes a otros captales C +, C +2, C +3,..., C que vece e t +, t +2, t +3, t, cuado, la suma de sus valores sea gual, para u mometo t cualquera e que se compare. S valoramos e el mometo actual, para que sea equvaletes, debe cumplrse que: C (+) t t + C 2 (+) 2 t + (+) 2 t + C +3 (+) + 3 + C 3 (+) t 3 t +...+C (+) t + C ( + ) t C + (+) + +C +2 E la equvaleca etre captales, es dferete cual sea el mometo e que realce la valoracó, s dos captales so equvaletes va a serlo, sea cual sea el mometo e que se valore. 2.5.2 El captal comú Es el captal úco y equvalete C t que vece e u mometo t y que susttuye a varos captales C, C 2, C 3,, C co vecmetos e t, t 2, t 3,, t respectvamete, sedo todos ellos coocdos. º Partedo de la ecuacó de equvaleca: C t ( + ) -t C ( + ) t t 2 + C 2 ( + ) t + C ( + ) C t ( + ) t C (+ ) j j t j t + C 3 ( + ) 3 +... 2º Pasado ( + ) -t al otro membro de la ecuacó: C t C (+ ) j j (+ ) t t j 7
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Ejemplo: Se desea coocer el mporte del captal úco que vecedo detro de 5 años, sustturía a tres deudas de.000, 2.000 y 3.000 que vecese e el plazo de 2, 4 y 6 años respectvamete. La operacó se realza a u tato de terés del 0%. Solucó: º S calculamos la equvaleca de captales e el año 5..000 2.000 C 5 3.000 0 2 3 4 5 6 C 5.000 ( + 0,0) 3 + 2.000 ( + 0,0) + 3.000 ( + 0,0) - 6.258,27 2º S calculamos la equvaleca de captales e el año 0.000 2.000 C 5 3.000 0 2 3 4 5 6 C 5 (+0,0) -5.000 (+0,0) -2 + 2.000 (+0,0) -4 + 3.000 (+0,0) -6 6.258,27 3º S utlzamos la fórmula del captal comú C t t j C j ( + ) j t ( + ) 3.885,894982 5 (,0) 6.258,27.000 (,0) -2 826,44628 2.000 (,0) -4.366,0269 3.000 (,0) 6.693,4279 t C j ( + ) j j 3.885,894982 8
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 2.5.3 Vecmeto comú Es el mometo del tempo t e el que vece el captal úco C t que va a susttur a varos captales (C, C 2, C 3,, C ) cuyas fechas de vecmeto so (t, t 2, t 3,, t ), sedo todos los datos, excepto t, coocdos. Matemátcamete, el vecmeto comú será el mometo t e el cual se cumple que: C t ( + ) -t t C ( + ) t2 + C 2 ( + ) t3 + C 3 ( + ) t +... + C ( + ) Sedo: C t C + C 2 + C 3 + + C La ateror ecuacó la podemos expresar como: C ( + ) t C ( + t j t j ) j Aplcado las propedades de los logartmos podemos despejar t: t log C t log C (+ ) j log( + ) j t j Propedades de los logartmos aplcadas: a) El logartmo de u cocete es gual al logartmo del dvdedo meos el logartmo del dvsor b) El logartmo de ua poteca es gual al expoete multplcado por el logartmo de la base. 9
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Ejemplo: Se debe pagar tres deudas de 2.000, 5.000 y 7.000 co vecmetos respectvos a los 2, 4 y 6 años. El mporte de las deudas, se desea susttur por u pago úco de 0.000. La operacó se realza a u tato de terés del 2%. Cuádo habrá de efectuarse el pago? Solucó: 2.000 (,2) -2.594,38776 5.000 (,2) -4 3.77,59039 7.000 (,2) 6 3.546,4785 t j C j ( + ) j 8.38,40 log( 0.000) log(8.38,40) t log(,2),6246 t año 7 meses y 4 días 2.5.4 Vecmeto medo Es u caso partcular del vecmeto comú e el que: C + C 2 + C 3 + + C C t ; es decr C t C S susttumos el valor de C t por el de C j e la fórmula de vecmeto comú obteemos: j j j t m log j C j log log( C ( + j + ) j ) t j 20
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Ejemplo: Se debe pagar tres deudas de 2.000, 5.000 y 7.000 co vecmetos respectvos a los 2, 4 y 6 años. El mporte de las deudas, se desea susttur por u pago úco de 4.000. La operacó se realza a u tato de terés aual del 2% Cuádo habrá de efectuarse el pago? Solucó: 2.000 (,2) -2.594,38776 5.000 (,2) -4 3.77,59039 7.000 (,2) 6 3.546,4785 t j C j ( + ) j 8.38,40 t log( 4.000) log(8.38,40) log(,2) 4,593607 t 4 años 7 meses y 3 días 2
Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 2.5.4. Caso partcular: captales de la prestacó guales etre sí Este es u caso partcular del vecmeto medo, e el que todos los captales so guales etre sí y además el mporte del captal úco que los susttuye es gual a la suma de dchos captales. De dode: C C 2 C 3 C C + C 2 + C 3 + + C C t C º S partmos de la ecuacó de equvaleca y susttumos e ella los valores teemos: C t ( + ) -t t C ( + ) t2 + C 2 ( + ) t3 + C 3 ( + ) t +... + C ( + ) C ( + ) -t t C ( + ) t2 + C ( + ) t3 + C ( + ) t +... + C ( + ) 2º S sacamos factor comú C: C ( + ) -t t C [( + ) t2 + ( + ) t3 + ( + ) t +... + ( + ) ] 3º Smplfcado y pasado al otro membro de la ecuacó: (+ ) t m j C ( + ) j 4º Aplcado las propedades de los logartmos: t j t m log log ( + ) j log( + ) t j 22