Apuntes de Integrción de funciones de un vrible Miguel Mrtín Suárez Deprtmento de Análisis Mtemático Universidd de Grnd
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Sums de Riemnn. Definición de áre y de integrl. Se f : [, b] R un función continu y positiv. Representremos por G( f,, b) l región del plno comprendid entre l curv y = f(x), el eje de bsciss y ls rects y =, y = b (es l región pintd en gris en l figur de bjo). b Nos proponemos clculr el áre de dich región. Puesto que, en generl, l figur no puede descomponerse en triángulos, rectángulos o culquier otro tipo de figur elementl, no hy un fórmul que nos permit clculr directmente su áre. En situciones como est, un estrtegi básic consiste en obtener soluciones proximds que permitn definir el vlor excto del áre como límite de ls misms. Fíjte que, l proceder sí, estmos definiendo dicho vlor excto, es decir, estmos dndo un definición mtemátic del concepto intuitivo de áre. Qué ocurre cundo l función f no es positiv? Prece útil, y de hecho lo es en muchs situciones, compensr el áre que se qued por encim del eje OX con el áre que se qued por debjo del eje OX, esto es, considerr positiv el áre gris clro y negtiv el áre gris oscuro de l figur de l derech. Quedrá todo más clro si definimos l prte positiv y l prte negtiv de un función, que permite escribir culquier función como diferenci de dos funciones positivs. Prte positiv y prte negtiv de un función Se f : [, b] R un función continu; siempre podemos escribir f como diferenci de dos funciones continus y positivs: su prte positiv y su prte negtiv (ver figur en l siguiente págin). Se define l prte positiv de f como l función f + : [, b] R dd por f + (x) = máx{ f(x), 0} y l prte negtiv de f como f : [, b] R, f (x) = máx{ f(x), 0} x [, b], x [, b].
Integrción en un vrible Prte positiv. Gráfic de f. Prte negtiv. Es rutinrio comprobr que que f + y f son funciones continus y positivs y que f = f + f f = f + + f. Nuestr ide es ver l integrl de un función (que hor definiremos) como un áre con signo : el áre bjo l prte positiv menos el áre bjo l prte negtiv, esto es, áre ( G( f +,, b) ) áre ( G( f,, b) ). Lo que vmos hcer es proximr es áre con signo de l que hblmos rrib usndo rectángulos, por exceso y por defecto, de l siguiente form. Primero, se divide el intervlo [, b] en un número finito de subintervlos [x k, x k ], k n, cuys longitudes pueden ser distints y con l únic condición de que no se solpen: = x 0 < x < x < < x n < x n = b; se dice que estos puntos constituyen un prtición de [, b]. Definmos M k = sup f[x k, x k ], m k = ínf f[x k, x k ]. Los números n n S( f, P) = M k (x k x k ), I( f, P) = m k (x k x k ), k= k= se llmn, respectivmente, sum superior y sum inferior de f pr l prtición P. b b Sum superior. Sum inferior. Observciones: Cundo f es positiv, S( f, P) es un vlor proximdo por exceso de áre ( G( f,, b) ) e I( f, P) es un vlor proximdo por defecto de áre ( G( f,, b) ), esto es, I( f, P) áre ( G( f,, b) ) S( f, P).
Integrción en un vrible 3 Cundo f tom vlores positivos y negtivos, S( f, P) es un vlor proximdo por exceso de áre ( G( f +,, b) ) áre ( G( f,, b) ) e I( f, P) es un vlor proximdo por defecto de áre ( G( f +,, b) ) áre ( G( f,, b) ), esto es, I( f, P) áre ( G( f +,, b) ) áre ( G( f,, b) ) S( f, P). L ide hor es tomr límite, esto es, considerr prticiones en los que los rectángulos tengn cd vez un bse más pequeñ. Formlmente, considermos l mejor proximción por exceso y l mejor proximción por defecto, esto es, considermos Si f es positiv, tenemos m..exceso = ínf { S( f, P) : P prtición de [, b] }, m..defecto = sup { I( f, P) : P prtición de [, b] }. m..defecto áre ( G( f,, b) ) m..exceso. Si f tom vlores positivos y negtivos, tenemos m..defecto áre ( G( f +,, b) ) áre ( G( f,, b) ) m..exceso. Obsérvese que tenemos entonces dos buens proximciones del áre con signo, un por exceso y otr por defecto. Si mbs fuesen igules, lo que tendrímos de hecho es un definición correct de áre y áre con signo. Esto ps pr ls funciones continus, como dice el siguiente resultdo, que no vmos demostrr, y que permite definir l integrl de un función continu definid en un intervlo cerrdo y cotdo. Proposición. Se f : [, b] R un función continu. Entonces, ínf { S( f, P) : P prtición de [, b] } = sup { I( f, P) : P prtición de [, b] }. Definición. Pr un función continu f : [, b] R, definimos l integrl de f entre y b como el número rel b f(x) = ínf { S( f, P) : P prtición de [, b] } = sup { I( f, P) : P prtición de [, b] }. De lo dicho nteriormente, se deduce lo siguiente: Si l función f es positiv en [, b], entonces áre ( G( f,, b) ) = b f(x), fórmul que podemos tomr como definición de áre de l región G( f,, b). Si l función f tom tnto vlores positivo como negtivos, entonces b f(x) = áre ( G( f +,, b) ) áre ( G( f,, b) ). En l figur de bjo, l integrl de l función será el áre de l región gris clro menos el áre de l región gris oscuro.
Integrción en un vrible 4 3 - - - - -3-4 Vemos hor lguns propieddes elementles de l integrl que cbmos de definir. Proposición (Propieddes de l integrl). (i ) L integrl de l sum es l sum de ls integrles: b (ii ) L integrl sc esclres : [ f(x) + g(x)] = b b b f(x) + g(x). b λ f(x) = λ f(x). (iii ) Aditividd respecto del intervlo de integrción: b f(x) = (iv ) L integrl respet el orden: c b f(x) + f(x) c pr todo c [, b]. f(x) g(x) en [, b] b f(x) b g(x). Relción con el cálculo de primitivs. Supongmos que tenemos un función continu y positiv f : [, b] R, y queremos hllr áre ( G( f,, b) ). Acbmos de ver que áre ( G( f,, b) ) = b f(x), pero es fórmul no nos sirve de nd si no somos cpces de buscr un form de clculr integrles. Lo que vmos hcer hor es probr que el cálculo de áres (equivlentemente, el cálculo de integrles) se reduce l cálculo de primitivs. Un primitiv de un función f es otr función cuy derivd es f. Pr cd punto x 0 [, b], llmemos A(x 0 ) l áre bjo y = f(x) comprendid entre y x 0, esto es A(x 0 ) = áre ( G( f,, x 0 ) ). Nuestro objetivo es probr que l función áre, x 0 A(x 0 ), es derivble en todo punto x 0 de [, b] con derivd f(x 0 ), esto es, queremos ver que lím x x 0 A(x) A(x 0 ) x x 0 = f(x 0 ).
Integrción en un vrible 5 Fijemos ε > 0 y usemos l continuidd de f en x 0 pr encontrr δ > 0 tl que x x 0 < δ, x [, b] f(x 0 ) ε < f(x) < f(x 0 ) + ε. Si x > x 0, entonces A(x) A(x 0 ) no es más que el áre bjo l curv entre x 0 y x, esto es, el áre de un pseudo-rectángulo de bse x x 0 y ltur vrindo entre el mínimo de f en [x 0, x] y el máximo de f en [x 0, x]. Si se tiene que x x 0 < δ, entonces tendremos f(x 0 ) ε < mín{ f(t) : t [x 0, x]} máx{ f(t) : t [x 0, x]} < f(x 0 ) + ε, con lo que ( f(x0 ) ε ) (x x 0 ) < A(x) A(x 0 ) < ( f(x 0 ) + ε ) (x x 0 ). Por tnto A(x) A(x 0 ) f(x x 0 ) x < ε. 0 Hemos demostrdo sí que A es derivble por l derech en x 0, y de form bsolutmente nálog podemos ver que lo es por l izquierd, con lo que A será derivble en x 0 y su derivd en x 0 vldrá A (x 0 ) = f(x 0 ). Como est cuent podemos hcerl pr todo x 0 [, b], obtenemos que A es derivble en [, b] y su derivd es f, o, en otrs plbrs, A es un primitiv de f. Además, se tiene que A() = 0, puesto que el áre bjo y = f(x) entre y es clrmente 0. Vmos obtener dos consecuencis del resultdo que cbmos de probr: En primer lugr, hemos visto que tod función continu y positiv, definid en un intervlo, dmite primitiv (l función áre). En el cso generl en el que se tiene un función no necesrimente positiv, f : [, b] R, recordemos que siempre podremos escribir f = f + f. Tomndo entonces primitivs de f + y f, sen F y F respectivmente, se tendrá que l función F = F F es un primitiv de f. Hemos probdo: Teorem 3 (Teorem Fundmentl del cálculo integrl). Tod función continu definid en un intervlo cerrdo y cotdo dmite primitiv. Pr clculr el áre bjo y = f(x) entre x = y x = b (que vle A(b)) tenemos que encontrr un primitiv de f que vlg 0 en (esto es, l función áre A); pero dos primitivs culesquier de f se diferencin en un constnte, luego conocid culquier primitiv de f, llámese F, podemos clculr el áre bjo y = f(x) entre x = y x = b como áre ( G( f,, b) ) = F(b) F() Qué ps si l función f no es positiv? Observemos que si F y F son primitivs de f + y f respectivmente, como f = f + f, l función F = F F es un primitiv de f. Entonces, por lo visto ntes, áre ( G( f +,, b) ) = F (b) F () áre ( G( f,, b) ) = F (b) F (). Por tnto: b f(x) = áre ( G( f +,, b) ) áre ( G( f,, b) ) = [ F (b) F () ] [ F (b) F () ] = [ F (b) F (b) ] [ F () F () ] = F(b) F(), y est últim fórmul no depende de l l primitiv de f que se use, luego hemos demostrdo:
Integrción en un vrible 6 Teorem 4 (Regl de Brrow). Se f : [, b] R un función continu y F un primitiv culquier de f. Entonces b f(x) = F(b) F() Áre entre dos curvs: Dds dos funciones continus f, g : [, b] R con f(x) g(x) x [, b], llmmos áre encerrd entre f y g en [, b] l áre de l región pln cotd por rrib por y = f(x), por bjo por y = g(x), y lterlmente por x = y x = b. En este cso, dicho áre vle 7 6 5 4 3 A = b [ f(x) g(x)] - - 3 - Áre entre dos curvs. En el cso generl en que ls funciones no estén ordends en todo el intervlo (hy trozos donde f es myor y trozos donde lo es g), dividiremos el intervlo [, b] en trozos disjuntos buscndo los puntos de corte de ls dos funciones, de form que en cd trozo un de ells se myor que l otr, y clculremos el áre entre ls curvs en cd trozo. El áre totl entre ls curvs será pues l sum de ests áres. Vemos un ejemplo: Ejemplo: Clculr el áre entre ls curvs y = x 3 x e y = x + x (áre de l región sombred en l figur de rrib). NOTA: En generl, cundo no se especific el intervlo donde tenemos que clculr el áre, se tom el intervlo comprendido entre el primer y el último punto de corte de ls gráfics. Lo primero que necesitmos son los puntos de corte de ls dos gráfics, que se obtienen resolviendo l ecución x 3 x = x + x. Dichos puntos son x =, x = 0 y x =, con lo que dividimos el áre en dos prtes: A, l prte en el intervlo [, 0] (donde y = x 3 x está encim de y = x + x), y A, l prte en el intervlo [0, ] (donde ps lo contrrio). Entonces A = 0 [x 3 x (x + x)] = 5 A = 0 [x + x (x 3 x)] = 8 3, con lo que el áre buscd será A = A + A = 5/ + 8/3 = 37/. 3 Longitudes de curvs. Áres y volúmenes de sólidos de revolución Longitudes de curvs: Se f un función derivble con derivd continu en el intervlo [, b]. L longitud del rco de l curv y = f(x) entre x = y x = b es l = b + [ f (x)]
Integrción en un vrible 7 Ejemplo: Clculr l longitud de un circunferenci de rdio. L ecución de un circunferenci de rdio es x + y =. Podemos despejr y en l prte positiv: Así, l longitud de medi circunferenci será: l = y = f(x) = x x [, ] + f (x) = = = [rc sen x x] = π + π = π. Áres de sólidos de revolución: Se f : [, b] R un función derivble con derivd continu en [, b]. Entonces el áre de l superficie generd hciendo girr lrededor del eje OX el rco de curv y = f(x) en [, b] es b A = π f(x) + [ f (x)] Ejemplo: Superficie de un esfer de rdio. Podemos generr un esfer girndo respecto del eje OX l curv del ejemplo nterior y = f(x) = x x [, ] De est form, l superficie será: x A = π f(x) + f (x) = = π = π = π = 4π. x Volúmenes de sólidos de revolución: Se f : [, b] R un función continu. El volumen del sólido generdo l girr el áre bjo l curv y = f(x) respecto del eje OX es b V OX = π f(x) y el volumen del sólido generdo l girr dich áre respecto l eje OY es b V OY = π x f(x) Ejemplo: Volumen de un esfer de rdio. Igul que ntes, podemos generr un esfer rotndo respecto del eje OX el áre bjo l curv Con ello, el volumen será V = π f(x) = π ( x ) = π y = f(x) = x x [, ] ] [x x3 ( ) = π ( /3) ( + /3) = 4π 3 3.
Integrción en un vrible 8 4 Cálculo de áres de regiones no cotds. Integrles impropis. Hst hor hemos visto cómo clculr integrles de funciones continus definids en intervlos cerrdos y cotdos. Sin embrgo, el método empledo pr clculr integrles medinte primitivs puede extenderse situciones más generles: funciones continus definids en intervlos no cotdos (es decir, intervlos de l form ], b] o [, + [), o funciones continus definids en intervlos biertos. A ests integrles se les suele dr el nombre de integrles impropis y, como se verá, nosotros ls trtremos de form muy precid ls que y conocemos. Estudiremos tres csos posibles. Integrción en intervlos no cotdos. Supongmos que tenemos un función definid en un intervlo no cotdo, f : [, + [ R, que es continu en todo [, + [. Podemos buscr un primitiv de f, llmémosl F, y estudir su comportmiento en + : si l función F tiene límite en +, diremos que existe l integrl impropi de f en [, + [, y dich integrl vldrá: + ( ) f(x) = lím F(x) F() x + es decir, l integrl vle F(+ ) F(), considerndo F(+ ) = lím primitiv es + o, diremos que l integrl vle + o. x + F(x). Si el límite de l Un vez que hemos definido un integrl pr este tipo de funciones, podemos generlizr el áre bjo un curv, l longitud de un rco de curv, l superficie y el volumen de un sólido de revolución... siendo ls fórmuls dds nteriormente perfectmente válids. NOTA: El cso de un función definid en un intervlo de l form ], b] es completmente nálogo. Además, si tenemos un función definid en todo R, podemos dividir l integrl como: + f(x) = c f(x) + + c f(x) pr culquier c R. Si l sum vle, NO PODEMOS CALCULAR LA INTEGRAL. Ejemplo: Clculr el áre comprendid bjo l curv y = /x en el intervlo [, + [. Viendo el áre bjo l curv como un integrl se tiene que A = + x = [ ] + ( = x lím x + ) ( ) =. x Integrción de funciones continus en intervlos biertos. Se trt de clculr integrles de funciones definids en un intervlo bierto en uno de sus extremos, y que tienen un síntot verticl en dicho extremo. Supongmos que el intervlo es de l form ], b]; el cso de un intervlo [, b[ es completmente nálogo. Se pues f :], b] R un función continu l que queremos clculr su integrl, y se F un primitiv suy. Estudimos entonces el límite por l derech de l primitiv en, y si existe podemos clculr l integrl de f : b ( ) f(x) = F(b) lím F(x) x +
Integrción en un vrible 9 NOTA: Si el límite de l primitiv es + o, diremos que l integrl vle + o. Si tenemos un función continu en un intervlo bierto f :], b[ R, su integrl vldrá b ( ) f(x) = lím F(x) x b ( ) lím F(x). x + Otr vez, si l sum vle, NO PODEMOS CALCULAR LA INTEGRAL. Al igul que ntes, podemos generlizr el cálculo de longitudes, áres y volúmenes. Ejemplo: Clculr el áre bjo l curv y = / x en ]0, ]. Aplicmos l fórmul dd, y tenemos A = = [ x ] ( ) x 0 = lím x =. x 0 + 0 Integrción de funciones continus en un intervlo slvo un punto interior. Supongmos que tenemos un función f : [, b] {c} R que es continu en [, b] {c} y que tiene un síntot verticl en x = c. Entonces, si queremos clculr l integrl de f entre y b, tenemos que dividir dich integrl en dos trozos: l integrl en [, c[ y l integrl en ]c, b]. Como estos dos csos quedn contempldos en los supuestos nteriores, podemos clculr l integrl de f entre y b como b c b f(x) = f(x) + f(x). c El único problem que se puede presentr es, de nuevo, que l sum vlg, en cuyo cso NO PODEMOS CALCULAR LA INTEGRAL. Ejemplo: Clculr l integrl de l función f(x) = log(x ) entre y. L función que nos dn es f : [, ] {0} R, f(x) = log(x ). Est función tiene un síntot verticl en x = 0, por lo que pr clculr su integrl dividimos el intervlo en dos prtes, [, 0[ y ]0, ]. Cd un de ls dos integrles vle: con lo que se tiene que 0 0 log(x ) = log(x ) = [ ] 0 x log(x ) x [ x log(x ) x ] log(x ) = = 4. = 0 = Ejemplo: Clculr. Si hcemos x x = [ ] = (+) =!!!!! x Pero l función que estmos integrndo es positiv, no tiene sentido que teng integrl negtiv! Qué h psdo? Como l función /x tiene un síntot verticl en x = 0, tenemos que descomponer l integrl como 0 x = x + 0 x,
Integrción en un vrible 0 pero y por tnto 0 0 x = x = [ x [ x ] 0 ] 0 = lím (+) = + x 0 ( /x) = lím = +, x 0 +( /x) = +. x
Integrción en un vrible 5 Métodos de cálculo de primitivs. En est sección prenderemos cómo clculr primitivs de funciones, lo que nos permitirá clculr integrles definids (y por tnto áres entre curvs) en ejemplos concretos. No trtremos todos los métodos de cálculo de primitivs (o métodos de integrción) conocidos, sino sólo lgunos de los más importntes. Al finl de estos puntes encontrrás un list de primitivs inmedits que debes conocer. Utilizremos l notción f(x) pr indicr que estmos clculndo un primitiv de l función f. CAMBIO DE VARIABLE. Hcemos se tiene y = φ(x), dy = φ (x), f(φ(x))φ (x) = f(y) dy y no tenemos más que deshcer el cmbio. e x + 3e x Ejemplo: Cálculo de + e x : e x + 3e x [ ] y = e x y + 3y + e x = dy = e x = + y ( + 3y y dy = + y dy = 3 5 ) dy + y = 3y 5 log y + = 3e x 5 log(e x + ) INTEGRACIÓN POR PARTES. Si u y v son dos funciones de x, teniendo en cuent que obtenemos Ejemplo: Cálculo de x e x : x e x = (u v) = u v + v u u(x)v (x) = u(x)v(x) [ ] u = x, du = dv = e x, v = e x = x e x v(x)u (x). e x = x e x e x = e x (x ) INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES. P(x) Sen P(x) y Q(x) dos polinomios, y queremos clculr. Si el grdo de P es myor o Q(x) igul que el de Q, podemos dividir los dos polinomios obteniendo P(x) G(x) = H(x) + Q(x) Q(x), donde H(x) y G(x) son polinomios y el grdo de G es menor que el grdo de Q. Por tnto, supondremos siempre que el grdo de P es menor que el grdo de Q. P(x) Integrles del tipo (x + b) n : Se resuelven medinte el cmbio de vrible y = x + b.
Integrción en un vrible Ejemplo: 3x + 5x + 3(y + ) (x ) 3 = [y = x, dy = ] = + 5(y + ) + y 3 dy 3y + y + 0 = dy y 3 dy dy dy = 3 y + y + 0 y 3 = 3log x x 5 (x ) Mx + N Integrles del tipo x donde el denomindor no tiene ríces reles: + bx + c Siempre se puede escribir x + bx + c = (x d) + k, con lo que descomponemos nuestr integrl en dos: Mx + N x + bx + c = = Mx + N M(x d) + N + Md (x d) + k = (x d) + k = M(x d) (x d) + k + N + Md (x d) + k = = M log (x d) + k + (N + Md) (x d) + k y l últim integrl es inmedit (del tipo rcotngente) si hcemos el cmbio de vrible Ejemplo: Cálculo de y = x + y = x d. k x + 3 x + x + : Como x + x + = (x + ) +, hcemos el cmbio x + 3 (y ) + 3 x + x + = y dy = + Ríces reles y/o complejs simples: En este cso y y + dy + dy y + =log(y + ) + rctg(y) = log(x + x + ) + rctg(x + ) Q(x) = (x )(x )... (x n )(x + b x + c )(x + b x + c )... (x + b m x + c m ) Lo que vmos hcer es descomponer de nuevo en frcciones más sencills de l siguiente mner: P(x) Q(x) = A + A + + A n + x x x n + B x + C x + B x + C B m x + C m + b x + c x + + b x + c x, + b m x + c m donde A, A,..., A n, B, B,..., C m son constntes determinr. Pr clculrls desrrollmos e igulmos los coeficientes del mismo grdo. Not: Si el polinomio Q(x) sólo tiene ríces reles se pueden clculr ls constntes A,..., A n dndo l vrible x los vlores,..., n.
Integrción en un vrible 3 Ejemplo: Cálculo de nos quedrí: x 4 : Como x4 = (x )(x + )(x + ), l descomposición x 4 = Si desrrollmos e igulmos coeficientes: A x + B x + + Cx + D x + x 4 = A(x + )(x + ) + B(x )(x + ) + (Cx + D)(x ) x 4 Por tnto, = (A + B + C)x 3 + (A B + D)x + (A + B C)x + (A B D) A + B + C = 0 A B + D = 0 A + B C = 0 A B D = x 4 + = 4 x 4 A = /4 B = /4 C = 0 D = / x + x + = 4 log x 4 log x + rctg(x) Ríces reles múltiples: En este cso el denomindor tiene l form Q(x) = (x ) r (x ) r... (x n ) r n, y podemos descomponer l frcción P(x) en frcciones simples Q(x) P(x) Q(x) = A x + A (x ) + + A r (x ) r + B x + Cd un de ests frcciones pertenecen lguno de los csos y estudidos. Ejemplo: Clculr (x )(x + ) 3 : (x )(x + ) 3 = A x + B x + + C (x + ) + D (x + ) 3 B (x ) + C rn (x n ) n = A(x + )3 + B(x )(x + ) + C(x )(x + ) + D(x ) (x )(x + ) 3 Entonces, A(x + ) 3 + B(x )(x + ) + C(x )(x + ) + D(x ) =, y si igulmos coeficientes: A + B = 0 A = /8 3A + B + C = 0 B = /8 3A B + D = 0 C = /4 A B C D = D = /
Integrción en un vrible 4 (x )(x + ) 3 = 8 x 8 x + 4 (x + ) = 8 log x 8 log x + + 4(x + ) + 4(x + ) (x + ) 3 Ríces reles y complejs múltiples. Método de Hermite: El último método que vmos estudir, conocido como Método de Hermite, consiste en descomponer P(x) como sum de frcciones más simples de un form muy prticulr. Puede usrse Q(x) siempre, pero es especilmente útil cundo se tienen ríces complejs múltiples. Psos seguir: Pso : Descomponemos el denomindor, Q(x), como producto de fctores de grdo y fctores de grdo irreducibles: Q(x) = (x ) α (x n ) α n (x + b x + c ) β (x + b m x + c m ) β m. Pso : Escribimos el cociente P(x) de l siguiente form: Q(x) P(x) Q(x) = A + + x ( + d A n x n + M x + N x + b x + c + + M mx + N m x + b m x + c m + F(x) (x ) α (x n ) α n (x + b x + c ) β (x + b m x + c m ) β m donde A,..., A n, M,..., M m, N,..., N m son coeficientes que tenemos que determinr, y en l frcción que prece con un derivd F(x) es un polinomio genérico de grdo uno menos que el denomindor. En resumen, se trt de escribir P(x) como sum de frcciones simples, un por Q(x) cd fctor, más l derivd de un cociente que tiene por denomindor lo que qued de Q(x). Cómo determinmos todos los coeficientes? Bst efectur l derivd, reducir tods ls frcciones común denomindor (que será Q(x)), e igulr P(x) l numerdor resultnte. Esto nos producirá un sistem de ecuciones cuy resolución nos drá el vlor de todos los coeficientes. Pso 3: Un vez escrit l función rcionl P(x) de l form nterior, es fácil clculr su integrl: Q(x) P(x) Q(x) = + A + + x M x + N x + b x + c + + F(x) (x ) α (x n ) α n (x + b x + c ) β (x + b m x + c m ) β m Pso 4: Sólo nos qued sber clculr ls integrles que hemos dejdo pendientes: A = A log x. x )
Integrción en un vrible 5 Mx + N x + bx + c : siempre se puede escribir x + bx + c = (x d) + k, con lo que descomponemos nuestr integrl en dos: Mx + N x + bx + c = = Mx + N M(x d) + N + Md (x d) + k = (x d) + k = M(x d) (x d) + k + N + Md (x d) + k = = M ((x log d) + k ) + (N + Md) (x d) + k y l últim integrl es inmedit (del tipo rcotngente) si hcemos el cmbio de vrible y = x d. k Ejemplo: Cálculo de x (x + 9). x Mx + N (x = + 9) x + 9 + d ( ) x + b x = (Mx + N)(x + 9) + 9 (x + 9) + (x + 9) x(x + b) (x + 9) = = Mx3 + (N )x + (9M b)x + (9 + 9N) (x + 9) Igulndo los numerdores coeficiente coeficiente, obtenemos el sistem de ecuciones: M = 0 + N = b + 9M = 0 9 + 9N = 0 { M = 0 b = 0 N = / = / De est form se tiene y l últim integrl vle x /x (x = + 9) x + 9 + x + 9 = x + 9, /9 ( x3 ) = ( x ) + 3 rc tg. 3 En resumen, x (x + 9) = x (x + 9) + ( x ) 6 rc tg. 3 Ejemplo: Clculr x x 3 (x + ). x x 3 (x + ) = A x + Mx + N x + + d ( x 3 + bx + cx + d x (x + ) ).
Integrción en un vrible 6 Relizndo l derivd y reduciendo común denomindor, obtenemos un sistem de ecuciones cuy solución es = 0, b = 5/, c = 0, d =, A = 5, M = 5, N = 0; por lo tnto x x 3 (x + ) = (5/)x + x (x + ) + 5 log x 5 log(x + ). INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Se trt de clculr primitivs de funciones rcionles en sen x y cos x, es decir, funciones que sen cociente de dos polinomios en sen x y cos x. En generl, se hce el cmbio de vrible t = tn x con lo que sen x = t t dt, cos x =, = + t + t + t. Con este cmbio convertimos l integrl en un rcionl, que y hemos estudido. Ejemplo: Clculr sen x tn x = sen x tn x. [ ] cos x t sen x cos x sen x = tn x/ = t = = t 3 dt = 4t + log t = 4 tn (x/) + log tn(x/). CASO PARTICULAR: Integrción de sen n x cos m x, con n y m números enteros (positivos o negtivos): ) Si n es impr, se hce el cmbio y = cos x, y se utiliz l identidd sen x + cos x =. b) Si m es impr, se hce el cmbio y = sen x, y se utiliz l mism identidd. c) Si n y m son pres, se puede simplificr l integrl usndo ls identiddes Ejemplo: Clculr cos + cos x x = cos cos 3 x x y sen x. + cos x cos x = = sen x = cos x. cos x + = x cos 3 x ( sen sen x = [ x) cos x y = sen x sen = x dy = cos x = y y = sen x. sen x sen x +. 4 ] y = dy y INTEGRACIÓN DE FUNCIONES CON RADICALES CUADRÁTICOS. Se trt de clculr primitivs de funciones en ls que prece l ríz de un polinomio de o grdo. L form de resolverls será siempre completndo cudrdos hst obtener en el rdicndo (ví un cmbio de vrible) un función del tipo ± ± y. Vemos un ejemplo:
Integrción en un vrible 7 Ejemplo: Clculr 8x x. Trnsformmos el integrndo: ( ( ) ) x 4 8x x = (x 8x + 6) + 6 = (x 4) + 6 = 6 4 y hcemos el cmbio de vrible y = (x 4)/4: = 8x x = 6( ( x 4 4 ) ) 4dy 4 y = = [ y = (x 4)/4 dy = /4 ] = ( ) dy x 4 = rc sen y = rc sen y 4 En generl, después de completr cudrdos tenemos los siguientes csos: (i ) y : se resuelve con el cmbio y = cos t o y = sen t, pues cos t = sen t. (ii ) + y : se resuelve con y = tn t, puesto que + tn t = / cos t. (iii ) y : usmos el cmbio y = cosh t, y que cosh t = senh t.
Integrción en un vrible 8 TABLA DE PRIMITIVAS INMEDIATAS Funciones potenciles y rcionles x n = n + xn+ (si n = ) = log x x x + = rctn x = rc sen x x x + = rcsenh x x = rccosh x e x = e x log x = x log x x Funciones exponenciles y logrítmics x = x log (si R + \ {}) cos x = sen x Funciones trigonométrics sen x = cos x ( + tn x) = tn x senh x = cosh x cos x = tn x Funciones hiperbólics cosh x = senh x ( tnh x) = tnh x cosh x = tnh x