Uversdad Técca Federco Sata María Departameto de Iformátca ILI-80 Coceptos áscos Capítulo 5: Modelos de Probabldad Estadístca Computacoal º Semestre 00 Profesor :Héctor llede Pága : www.f.utfsm.cl/~hallede e-mal : hallede@f.utfsm.cl Dseño de las Dapostvas: H. llede, S. humada y R. Salas Expermeto aleatoro : ξ Espaco Muestral : Ω Espaco Muestral : Dscreto,, Cotuo Eveto o Suceso Sucesos elemetales, seguros e mposbles Probabldad : grado de de certdumbre Probabldad y Juegos de de zar Probabldad y Frecueca relatva Probabldad Subetva (Persoal Coceptos áscos Coutos y Evetos Expermeto Expermeto leatoro: leatoro: Proceso Proceso e e observacó observacó Eveto Eveto Elemetal: Elemetal: Resultado Resultado de de u u expermeto expermetodvsble dvsble Mutualmete MutualmeteExcluyetes : s s ocurre ocurre uo uo o o exste exste posbldad posbldad de de observar observar otro otro Equprobable Equprobable :: Cada Cada eveto eveto smple smple tee tee detca detca probabldad probabldad Espaco Espaco Muestral Muestral El El couto couto de de todas todas las las observacoes observacoes elemetales elemetales Eveto Eveto El El couto couto de de todos todos los los evetos evetos elemetales elemetales observacoes observacoes posbles posblesque que resulta resulta e e la la ocurreca ocurreca del del eveto eveto Ω (S s Ω Ω (S: Espaco Muestral: Todos los posbles resultados elemetales s S, resultado elemetal I :Famla de todos los evetos posbles de S I, luego es u Eveto E s, luego eveto mposble S I, luego S es el Eveto Seguro y I, luego so evetos I; I; c I, so evetos 4 Cocepto de σ-álgebra de sucesos Coutos vs. Evetos Sea Sea I ua ua clase clase o o vacía vacía formada por por certos subcoutos del del espaco muestral S. S. I es esua σ- σ- algebra de de sucesos s s los los sucesos complemetaros de de aquellos que que está e e I també está e e I, I, así así como como sus sus uoes umerables (sea ftas o ftas. Esto Esto se se puede eucar como: c I I es ua σ álgebra I I,..., U 5 Teoría Coutos Teoría Probabldades S Ω Uverso Espaco Muestral I Couto Poteca Famla Clases de Evetos I subcouto de S es u Eveto s s es elemeto de Ocurre el eveto Couto vacío Eveto Imposble S Uverso Eveto Seguro uó Eveto o Eveto terseccó Eveto y Eveto c Complemeto de Eveto o- es subcouto de mplca y so dsutos y mutuamete excluyetes 6
Eemplo Dado Se Se realza realza u u expermeto expermeto aleatoro aleatoro de de lazar lazar u u dado dado al al are: are: Sucesos Sucesos elemetales elemetales,,,,,, 4, 4, 5, 5, 6 Espaco Espaco Muestral Muestral S{,,,4,5,6} S{,,,4,5,6} Couto Couto Poteca Poteca I S{Ø,S,{},{},...,{,},...} S{Ø,S,{},{},...,{,},...} σ-álgebra Øsuceso Øsuceso mposble mposble S suceso suceso seguro seguro {, {,,, } } Sucesos Sucesos aleatoros aleatoros {4, {4, 5} 5} {, {, 4, 4, 6}{, 6}{,,, } } C...... Eemplo S S se se realza realza u u expermeto expermeto aleatoro aleatoro de de esperar esperar el el tempo tempo que que hace hace falta falta para para que que u u átomo átomo de de carboo carboo catorce, catorce, C 4 4,, se se destegre destegre de de modo modo atural, atural, se se tee tee que que + E R s s embargo, embargo, el el σ-álgebra σ-álgebra de de sucesos sucesos que que se se cosdera cosdera o o es es R, R, que que es es ua ua clase clase demasado demasado complea complea para para defr defr sobre sobre sus sus elemetos elemetos ua ua medda medda de de probabldad. probabldad. E E su su lugar lugar se se cosdera cosdera el el σ-álgebra σ-álgebra formada formada por por todos todos los los tervalos, tervalos, abertos abertos o cerrados, cerrados, y sus sus uoes uoes ftas ftas I {Ø, {Ø, R + +,,(,,...,(,],...} (,,...,(,],...} lo lo que que por por supuesto supuesto cluye cluye a los los putos putos de de R + +.. 7 8 Expermeto leatoro I Se toma al azar ua esfera de la ura I Se trasfere a la ura II, se mezcla be. Se elge, aleatoramete, ua esfera de la ura II. cuál es la probabldad a pror que sea verde? II 9 I Espaco Muestral Traspasar Roa # Traspasar Verde # Traspasar Verde # II II II 4 5 6 7 8 9 0 Dsttas formas como puede resultar el expermeto. Ya que las esferas has sdo sacadas al azar, cada uo de ellos tee la msma posbldad de ocurrr 0 ocoes de Probabldad Eemplo Probabldad Probabldad es es ua ua medda medda de de la la certdumbre certdumbre (Estmacó (Estmacó de de la la probabldad probabldad Teórca Teórca -- Pror Pror Pr Pr ( ( / úmero úmero de de posble posble formas formas e e que que puede puede ser ser observado observado úmero úmero total total de de resultados resultados posbles posbles Hstórca Hstórca (empírca-frecueca (empírca-frecueca-- Posteror Posteror Pr Pr ( ( / / úmero úmero de de veces veces que que ocurro ocurro úmero úmero total total de de observacoes observacoes Subetva Subetva La La Opó Opó de de u u Experto Experto E E la la fgura fgura se se preseta preseta la la evolucó evolucó de de la la frecueca frecueca relatva relatva del del úmero úmero de de caras caras obtedo obtedo e e el el lazameto lazameto de de ua ua moeda moeda e e 00 00 ocasoes ocasoes (smulado (smulado e e u u computador. computador.
Modelo Probablístco Sea ua Dstrbucó de de Probabldad P, P, fucó que asga a cada sub-couto razoable de de Ω u u valor etre 0 y.. Ω Sea I coleccó de de evetos razoables de de Ω (σ-álgebra P : I [0;] Modelo de Probabldad ( Ω, I, P Cálculo de Probabldades (Evetos Equprobables ocó tutva (regla de de Laplace: Resultados favorables al eveto Resultados posbles ocó frecuetsta: Sea : total de veces que se realza u expermet o : total de veces que ocurre lm 4 Eemplo Dado Cuál es es la la probabldad de de que al al lazar u u dado se se tega par? El El espaco espaco muestral muestrales es E{, E{,,,,, 4, 4, 5}. 5}. Vamos Vamos a llamar llamar,, al al suceso suceso cosstete cosstete e e que que el el resultado resultado es es mpar, mpar, {,,5}. {,,5}. Como Como o o supoemos supoemos que que gua gua de de las las caras caras ofrece ofrece ua ua probabldad probabldad de de ocurreca ocurreca dferete dferete a las las demás, demás, podemos podemos aplcar aplcar la la regla regla de de Laplace Laplacepara para obteer obteer que que úmero de casos favorables a P[ ] 6 úmero de casos posbles 5 Cálculo de Probabldades (Evetos Equprobables Observacó Observacó E E muchas muchas ocasoes ocasoes os os preocupamos preocupamos de de elegr elegr de de maera maera aleatora aleatora uo uo o más más obetos obetos desde desde ua ua coleccó coleccó de de obetos obetos Sea Sea el el úmero úmero de de obetos. obetos. Elegr Elegr obeto obeto al al azar, azar, sgfca sgfca que que cada cada obeto obeto tee tee la la msma msma probabldad probabldad de de ser ser elegdo. elegdo. elegr elegr a / / Elegr Elegr obetos obetos al al azar azar sgfca sgfca que que cada cada par parde de obetos obetos tee tee la la msma msma probabldad probabldad de de ser ser selecoado. selecoado. Supogamos Supogamos que que exste exste K de de tales tales pares, pares, etoces etoces la la probabldad probabldad de de elegr elegr u u par par cualesqueres cualesqueres es es / / K. K. Elegr Elegr r r obetos obetos aleatoramete, aleatoramete, r r <,, sgfva sgfva que que cada cada r-tupla r-tuplade de obetos obetos tee tee la la msma msma probabldad probabldad de de ser ser seleccoada seleccoada que que cualquer cualquer otra otra r-tupla. r-tupla. 6 xoma : : xoma : : Probabldad xomátca 0 Ω xoma : : Supoedo que que,,,... so so evetos mutuamete excluyetes P ( Propedades.. φ 0.... C - 4. 4. S S 5. 5. + - Σ S S - - 7 8
Espaco Muestral Fto Probabldad Codcoal Sea S { E { s } s, s,..., s } U E S,.., Espaco Muestral Fto Eveto Elemetal Mutuamete excluyete s de a pares plcado los los axomas se se tee E f > 0 U E Como E I E 0,,,..., f E I E E + E Sea,, dos sucesos tal tal que > 0. 0. La probabldad de de codcoada a la la ocurreca de de,, deotada como : I Propedades:.. 0.. Ω Ω.. Σ co co,,,, :: 9 0 Probabldad Codcoal Probabldad Codcoal Ω Cetra el foco de atecó e el hecho que se sabe que ha ocurrdo el eveto També se ha ecotrado que el 5% de la pezas que o tee fallas superfcales so fucoalmete defectuosas Se ha ecotrado que el 5% de las pezas co fallas superfcales so fucoalmete defectuosas Estamos dcado que el espaco muestral de terés se ha reducdo sólo a aquellos resultados que defe la ocurreca del eveto Por lo tato el 90% o tee fallas vsbles e la superfce. 00% pezas Maufacturadas Se sabe que el 0% de las pezas maufacturadas tee fallas vsbles e la superfce. Etoces, mde la probabldad relatva de co respecto al espaco reducdo Eveto { peza fucoalmete defectuosa} { peza tee ua falla vsble e la superfce} dado? Casos Probabldad Codcoal Probabldad Total S 0 S S S Sea,,,..., evetos mutuamete excluyetes : P ( Etoces U Cosecueca (Regla de deayes: 4
Equpo Fallado Sea,,..., Etoces Probabldad Total 5 4 4 evetos mutuamete excluyetes Equpo Maufacturado e Plata U Supogamos de de que se se elge aleatoramete u u Equpo y se se ecuetra que está fallado. cuál es es la la probabldad que sea maufacturado e e Plata? Se Se pde pde ; ; pero pero sólo sólo se se cooce,,,,,,,,....,, k Sabemos que que I φ ; Regla de ayes U S 5 6 Probabldad Multplcatva Regla de la Multplcacó Ley Multplcatva: I... I sempre que: I > 0 El El úmero úmero de de maeras maeras dferetes dferetes de de elegr elegr o sacar sacar u u elemeto elemeto de de del del couto couto que que tee tee elemetos, elemetos, luego luego u u elemeto elemeto de de u u couto couto que que tee tee elemetos, elemetos,......,, y falmete falmete u u elemto elemto del del k-ésmo k-ésmo couto couto que que tee tee k elemetos, k elemetos, e e dode dode el el orde orde como como se se seleccoa seleccoa es es mportate mportate * *...*...* k k 7 8 Eemplo Solucó Sea, sucesos de de u u msmo modelo de de probabldad (Ω, R, R, P P tales que: 0,4 0,7 0,75 Determar: C ; - ; C C ; C C - + - / 0,75 * 0,4 0, 0,7-0,4 + 0, 0,6 C 0,4 - C - 0,6-0, 0, C C C + C - C C C C C - C 0,6-0, 0, Luego C C 0,4 + 0,6-0, 0,7 / C C 0, 0,5 C 0,4 9 0
Eemplo U U procesador para para computadores puede prover de de cualquera de de tres tres fabrcates co co probabldades: p 0,5; 0,5; p 0,50; 0,50; p 0,5. 0,5. Las Las probabldades de de que que u u procesador fucoe correctamete durate 0.000 horas es es 0,; 0,; 0, 0, y 0,4 0,4 respectvamete para para los los fabrcates: Calcular la la probabldad de de que que u u procesador elegdo al al azar azar fucoe durate 0.000 horas. S S el el procesador fucoó correctamete durate el el período de de 0.000 horas cuál cuál es es la la probabldad de de que que haya haya provedo del del er er fabrcate? C C F 0.* 0.5 + 0.* 0.5 + 0.4* 0.5 0.5 Solucó F C F F F C C 0.4* 0.5 0.444 0.5 Idepedeca Probablístca Observacoes Sea Sea,, dos dos evetos del del modelo probablístco (Ω, (Ω, I, I, P. P.,, se se dce probablístcamete depedetes ss: ss: I Sea Sea { { : : I {,,,...,k}} ua ua coleccó de de evetos de de (Ω, (Ω, I, I, P. P. Se Se dce dce que que los los elemetos so so coutamete depedetes ss: ss: I φ J I {,,,..., k} J J Idepedeca Idepedeca probablístca probablístca Couta Couta Idepedeca Idepedeca de de a pares pares.. Idepedeca Idepedeca probablístca probablístca de de a pares pares Idepedeca Idepedeca probablístca probablístca Couta Couta.. S S,, so so evetos evetos depedetes depedetesprobablístcamete. probablístcamete. Etoces Etoces se se tee tee,, C C so so depedetes. depedetes. C C,, C C so so depedetes depedetes C C,, so so depedetes depedetes 4. 4. Sea Sea (Ω, (Ω, Ω Ω,, P P modelo modelo de de probabldad. probabldad. Estudar Estudar depedeca depedeca couta couta y y de de a a pares. pares. 4 Idepedeca Probablístca Eemplo : : Sea (Ω, Ω,, P P modelo de de probabldad. Ω { (,0,0 (0,,0 (0,0, (,, } {w } } /4,, 4 Sea,,,, evetos de de (Ω, Ω,, P P : : era era coord. es es : da da coord. es es : era era coord. es es Estudar depedeca couta y de de a pares. Eemplo.4 : Idepedeca Probablístca 4 Probabldad de cerrar los relés,, y 4 es p. S todos los relés fucoa depedetemete, cuál es la probabldad que pase correte de a 4 ( E P[( R I R U ( R I R4]; E P[ R I R ] + P[ R I R4 ] P[ IR ] p p P 5 4 5 6
Varacoes Def: Def: Sea Sea u u couto couto :: Card (,, se se llama llama varacó varacó smple smple o s s repetcó repetcó a todo todo subcouto subcouto de de elemetos elemetos dstguédose dstguédose estos estos etre etre s, s, e e los los elemetos elemetos que que lo lo compoe compoe y e e el el orde orde e e que que estos estos elemetos elemetos va va colocados colocados x, x,..., x }, (, ( (... {, k ( (...( k + Obs: Obs: S S las las varacoes varacoes so so co co repetcó repetcó k V (, k Permutaco oes úmero de maeras dsttas de sacar r elemetos de lote de CUDO EL ORDE IMPORT : ota: Estudar permutacoes co repetcó obetos P r! ( r! ----- 4 r 7 8 Combaco oes Costruccó Modelos de Probabldad Combacoes (s repetcó: úmero de de maeras dsttas de de sacar r elemetos de de lote lote de de CUDO EL EL ORDE O O IMPORT ota : Estudar combacoes co co repetcó C (,r (+r-!/ r!(-!! C(, r r!( r! Sea µ ua medda e e el el Espaco Muestral tal tal que µ (Ω < : Logtud ; Superfce Volume. etc. Etoces exste u u fucó defda e e IR IR P : R R µ ( µ ( Ω es es ua medda de de Probabldad 9 40 Eemplo.5: Varacoes Problema del ecuetro: Dos Dos estudates estudates acuerda acuerda [9; [9; 0] 0] ecotrarse ecotrarse e e la la bbloteca bbloteca de de la la UTFSM UTFSM etre etre las las 9.M..M. y las las 0 0.M..M. u u día día lues. lues. El El prmero prmero que que llega llega a la la bbloteca bbloteca,, espera espera al al otro otro 0 0 mutos mutos (detro (detro del del tervalo tervalo de de tempo tempo pactado. pactado. S S se se supoe supoe que que cada cada uo uo llega llega al al azar azar e e el el tervalo tervalo de de tempo tempo covedo covedo y que que los los tempos tempos de de llegada llegada so so depedetes. depedetes. Cuál Cuál es es la la probabldad probabldad que que estos estos estudates estudates se se ecuetre ecuetre? Solucó: Solucó: X(t X(t :: Llegada Llegada del del estudate estudate Y(t Y(t :: Llegada Llegada del del estudate estudate [X(t;Y(t] [X(t;Y(t] [9; [9; 0]x 0]x [9; [9; 0] 0] [0; [0; 60]X 60]X [0; [0; 60]Ω 60]Ω {[X(t;Y(t] {[X(t;Y(t] :: X(t;Y(t < X(t;Y(t < 0} 0} µ(α/µ(ω µ(α/µ(ω / / 6 6 4 Def: Def: Sea Sea u u couto couto :: Card (,, se se llama llama varacó varacó smple smple o s s repetcó repetcó a todo todo subcouto subcouto de de elemetos elemetos dstguédose dstguédose estos estos etre etre s, s, e e los los elemetos elemetos que que lo lo compoe compoe y e e el el orde orde e e que que estos estos elemetos elemetos va va colocados colocados x, x,..., x } {, (, ( (..., k ( (...( k + Obs: Obs: S S las las varacoes varacoes so so co co repetcó repetcó k V (, k 4
Permutaco oes Combaco oes úmero de maeras dsttas de sacar r elemetos de lote de CUDO EL ORDE IMPORT : ota: Estudar permutacoes co repetcó obetos P r! ( r! ----- 4 r Combacoes (s repetcó: úmero de de maeras dsttas de de sacar r elemetos de de lote lote de de CUDO EL EL ORDE O O IMPORT ota : Estudar combacoes co co repetcó C (,r (+r-!/ r!(-!! C(, r r!( r! 4 44 Costruccó Modelos de Probabldad Sea µ ua medda e e el el Espaco Muestral tal tal que µ (Ω < : Logtud ; Superfce Volume. etc. Etoces exste u u fucó defda e e IR IR P : R R µ ( µ ( Ω es es ua medda de de Probabldad Eemplo.5: Problema Problema del del ecuetro: ecuetro: Dos Dos estudates estudates acuerd acuerd [9; [9; 0] 0] a a ecotrarse ecotrarse e e la la bbloteca bbloteca de de la la UTFSM UTFSM etre etre las las 9.M..M. y las las 0 0.M..M. u u día día lues. lues. El El prmero prmero que que llega llega a la la bbloteca bbloteca,, espera espera al al otro otro 0 0 mutos mutos (detro (detro del del tervalo tervalo de de tempo tempo pactado. pactado. S S se se supoe supoe que que cada cada uo uo llega llega al al azar azar e e el el tervalo tervalo de de tempo tempo covedo covedo y que que los los tempos tempos de de llegada llegada so so depedetes. depedetes. Cuál Cuál es es la la probabldad probabldad que que estos estos estudates estudates se se ecuetre ecuetre? Solucó: Solucó: X(t X(t :: Llegada Llegada del del estudate estudate Y(t Y(t :: Llegada Llegada del del estudate estudate [X(t;Y(t] [X(t;Y(t] [9; [9; 0]x 0]x [9; [9; 0] 0] [0; [0; 60]X 60]X [0; [0; 60]Ω 60]Ω {[X(t;Y(t] {[X(t;Y(t] :: X(t;Y(t < X(t;Y(t < 0} 0} µ(α/µ(ω µ(α/µ(ω / / 6 6 45 46 Eemplo.5: Problema del ecuetro: Dos Dos estudates estudates acuerda acuerda [9; [9; 0] 0] ecotrarse ecotrarse e e la la bbloteca bbloteca de de la la UTFSM UTFSM etre etre las las 9.M..M. y las las 0 0.M..M. u u día día lues. lues. El El prmero prmero que que llega llega a la la bbloteca bbloteca,, espera espera al al otro otro 0 0 mutos mutos (detro (detro del del tervalo tervalo de de tempo tempo pactado. pactado. S S se se supoe supoe que que cada cada uo uo llega llega al al azar azar e e el el tervalo tervalo de de tempo tempo covedo covedo y que que los los tempos tempos de de llegada llegada so so depedetes. depedetes. Cuál Cuál es es la la probabldad probabldad que que estos estos estudates estudates se se ecuetre ecuetre? Solucó: Solucó: X(t X(t :: Llegada Llegada del del estudate estudate Y(t Y(t :: Llegada Llegada del del estudate estudate [X(t;Y(t] [X(t;Y(t] [9; [9; 0]x 0]x [9; [9; 0] 0] [0; [0; 60]X 60]X [0; [0; 60]Ω 60]Ω {[X(t;Y(t] {[X(t;Y(t] :: X(t;Y(t < X(t;Y(t < 0} 0} µ(α/µ(ω µ(α/µ(ω / / 6 6 47