Capítlo CONCEPTOS TEÓRICOS SUCESIÓN Cojto de úmeros e correspodecia biyectiva co el cojto de los úmeros atrales. Cada úmero es térmio. PROPIEDADES Toda scesió tiee primer elemeto; todo térmio tiee sigiete (o hay último); existe a ley qe permite coocer térmio, sabiedo el lgar qe ocpa. ENTORNO DE UN PUNTO Se llama etoro del pto P (de abscisa a) de radio δ, al segmeto (a δ, a + δ) del qe se exclye los extremos (itervalo abierto). LÍMITE DE UNA SUCESIÓN (LÍMITE FINITO) La scesió a tiede al ite a, ( a a) cado para cada ε > 0 existe N, tal qe para todo > N: a a < ε. Detro de todo etoro del ite existe ifiitos térmios de la scesió y fera sólo úmero fiito. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN (LÍMITE INFINITO) Si fijado calqier úmero A, ta grade como se qiera, para todo > N, se cmple a > A se dice qe lim a.
CONVERGENCIA Ua scesió co ite fiito es covergete. Si s ite es, se dice qe es divergete. SUCESIONES MONÓTONAS Si e a scesió todo térmio es ( ) qe s sigiete, la scesió se llama moótoa creciete (decreciete). Toda scesió moótoa creciete (decreciete) acotada speriormete (iferiormete) tiee ite. LÍMITE DE LOS RESULTADOS OPERATIVOS (SUMA, PRODUCTO Y COCIENTE) Si a y b tiee ites fiitos a y b, (a + b ) a + b, esto es, el ite de la sma igal a la sma de los ites. Si a y b tiee ites fiitos a y b, (a b ) ab, o sea, el ite del prodcto igal al prodcto de los ites. Si a y b tiee ites fiitos a y b 0, a b a b A cotiació se iclye cadro co los valores de los ites, o sólo e los casos ormales, sio tambié e los siglares. Las igaldades simbólicas tiee setido covecioal, emotécico. Expresió a b simbólica Resltado a b a + b + b + + b + b + b (a + b ) b + b + + + + + + + idetermiado MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
Expresió a b simbólica Resltado 0 b 0 0 acotado 0 a b ab (a b ) b 0 b 0 0 idetermiado b b 0 b a b a b 0 a b a a 0 a 0 a 0 b b 0 0 0 0 idetermiado idetermiado E todos los casos a y b repreeta ite fiito, respectivamete de a y b. LÍMITES INDETERMINADOS DE LAS FORMAS SIMBÓLICAS 0,,, 0 0 El ite de la forma simbólica /, si procede de a p a p 0 + + L+ a q q b + b + L+ b 0 p q
reslta Si p > q ite Si p q ite a 0 /b 0 Si p < q ite 0 Los ites 0/0, 0 e, operado coveietemete, se sele redcir a ites de la forma simbólica /. Para los ites de la forma simbólica, cado aparece e forma de diferecias de raíces, coviee recordar las expresioes cojgadas: Diferecia de raíces dada A B A 4 4 A A B B B Cojgada A + B A + AB + B 4 4 4 4 A + A B + AB + B A + A B + A B + L+ + AB + B El prodcto de cada expresió por s cojgada siempre es A B. FÓRMULA DE STIRLING Ua aproximació de!, se obtiee co! π e E el cálclo de ites! (e prodcto o cociete) se pede sstitir por π e CRITERIO DE STOLZ Si B es divergete y A /B es idetermiado A B A B A B 4 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
LÍMITES DE LOS RESULTADOS OPERATIVOS (LOGARÍTMOS Y POTENCIAS) Si a a > 0 y si b > : Si a > 0 y c c (fiito): log b a log b a a c ac Se exclye los casos e qe a sea 0 ó + y c sea ±. A cotiació se iclye cadro similar al aterior (co las mismas observacioes) y qe iclye los casos siglares. Expresió a c simbólica Resltado 0 0 + 0 c < 0 0 c + 0 c 0 0 0 idetermiado 0 c > 0 0 +c 0 0 + 0 + 0 a > 0 c a c + (+) 0 + c < 0 (+) c 0 + c 0 (+) 0 idetermiado a c + c > 0 (+) c + + + (+) + + a 0 + 0 + 0 0 < a < + a + 0 a + + idetermiado a > + a + + a 0 0 + 0 < a < a + a idetermiado a > a 0 Los casos de idetermiació resltates so de las formas simbólicas 0 0, 0 y 5
LÍMITES INDETERMINADOS DE LAS FORMAS SIMBÓLICAS 0 0 E 0. Se toma logaritmos eperiaos y se redce a ites de la forma simbólica 0 Coviee recordar para las aplicacioes dode a >, p > 0, b >. p a ; ; p a log b LÍMITES DE LA FORMA SIMBÓLICA NÚMERO e El úmero e es el ite de la scesió Tambié se verifica S valor aproximado es e,788... a + e o sea + e + + + + L+ + L!!!! Si a b es ite idetermiado de la forma simbólica, se verifica a b b(a ) e resltado, e el expoete, ite de la forma simbólica 0. SERIES Dada la scesió,,,...,,..., se llama serie a la scesió U, U, U,..., U,..., tal qe U ; U + ; U + + ; U + + + + Si U U (fiito), la serie es covergete. Si U la serie es covergete. Si U o existe la serie es oscilate. 6 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
CONDICIÓN NECESARIA DE CONVERGENCIA La codició ecesaria, pero o sficiete, de covergecia de a serie es 0. La codició ecesaria y sficiete de covergecia es qe, fijado ε > 0 desde valor de e adelate. + + + + + +k + < ε SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS. CRITERIOS DE CONVERGENCIAS Criterio de D Alambert Si l < l l l > Covergete Ddoso Divergete Criterio de Cachy Si l < l l l > Covergete Ddoso Divergete Criterio de Raabe Si l > l l l < Covergete Ddoso Divergete Criterio logarítmico l Si l l > l l l < Covergete Ddoso Divergete SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS Y NEGATIVOS Ua serie de térmios positivos y egativos es icodicioalmete covergete, si alterado arbitrariamete el orde de ss térmios, s sma o varía. 7
Teorema de Dirichlet: La codició ecesaria y sficiete para qe a serie sea icodicioalmete covergete es qe la serie formada por los valores absoltos sea covergete. Si a serie de térmios positivos y egativos cmple esta codició, se dice qe es absoltamete covergete. SERIES ALTERNADAS Serie alterada es aqélla e la qe los térmios so alterativamete positivos y egativos. La codició ecesaria y sficiete para qe a serie alterada sea covergete es qe 0. Nótese qe aqí es codició ecesaria y sficiete, la qe sólo era ecesaria e las series de térmios positivos. SERIE GEOMÉTRICA La serie a, ar, ar...; ar... es covergete si r < ; diverge si r > y si r ; es oscilate si r. E el caso de covergecia S a r SERIES ARITMÉTICO-GEOMÉTRICAS So el prodcto, térmio a térmio, de a progresió aritmética de razó d y a progresió geométrica de razó r. So covergetes si r <. Siedo S la sma de a serie aritmético geométrica, se tiee qe S Sr es a serie geométrica. SERIES DE TIPO STIRLING So aqéllas e qe s térmio geeral es cociete de dos poliomios, teiedo el deomiador sólo raíces reales simples. Si so covergetes, basta para obteer s sma, descompoer el térmio geeral e fraccioes simples. 8 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
SERIES DE FACTORIALES So de la forma P ( ) ( + h)! dode P() es poliomio e de grado k. Para obteer s sma se descompoe e sma de k térmios de la forma Ai i k ( i)!, 0 +,,..., A i costates. Hay qe teer e ceta qe e + + + L+ + L!!! SERIES DEL TIPO DE LA ARMÓNICA La sma de térmios de la llamada serie armóica es: H + + + + L dode H represeta la sma de térmios de la serie armóica. Se tiee qe El valor de H es: H l H l + η + ε dode η es a costate, η 0,577... ε 0 si. La sma P + + + + + + H 4 L L es la sma de los primeros térmios pares de la armóica, e I + + + + L 5 9
es la sma de los primeros térmios impares I + + + + + + + + + L L 4 4 H P H H INTERÉS COMPUESTO Si capital c, se capitaliza a iterés compesto del r por (tato por cieto dividido por 00) el capital al cabo de t años es C t c( + r) t. INTERÉS CONTINUO Si la capitalizació e vez de aal fera istatáea, el capital al cabo de t años sería C t ce rt. 0 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
EJERCICIOS RESUELTOS Calclar + + Se trata de ite idetermiado de la forma simbólica. Dividiedo merador y deomiador por : + + + + pesto qe el merador tiede a, ya qe y tiede a cero; por la misma razó, el deomiador tiede a cero. E la práctica, basta observar qe el grado del merador () es mayor qe el grado del deomiador () para poder afirmar qe el ite es. Calclar + 4 Del mismo tipo del aterior. Dividiedo merador y deomiador por 4 se obtiee: + + 4 0 4 + pesto qe el merador tiede a cero y el deomiador a. De forma geeral: p p a0 + a + L+ a q q b + b + L+ b 0 p 0 q si p < q
Calclar 5 + 5 + Dividiedo merador y deomiador por se obtiee: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 De forma geeral: a p a p 0 + + L+ a p p b + b + L+ b 0 p p a b 0 0 esto es, si merador y deomiador tiee el mismo grado, el ite es el cociete de los coeficietes de los térmios de mayor grado. 4 Calclar 4 + + El merador reslta ser de grado lego 4 ; el deomiador es de primer grado; 4 + pesto qe 4 >. MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
5 Calclar 4 + + 7 + 6 El merador y el deomiador so del mismo grado:. ite será el cociete de los coeficietes de mayor grado, o sea: Por tato, el 4 + + 7 + 6 4 7 6 Calclar + + + + El ite de cada smado es ; por tato, se trata de ite de la forma idetermiada. Como: Se tiee + + ( + )( + ) ( + )( + ) + + ( + )( + ) 4 + 5 + 6 + + 4 0 + + + 5 + 6
7 Calclar + + + + Ejercicio aálogo al aterior. De reslta: 8 Calclar + + + + + + + 4 4 4 + 5 + + 4 El ite del primer factor es ; el del segdo es cero. Por tato, se trata de ite idetermiado de la forma simbólica 0. Para deshacer la idetermiació basta efectar el prodcto, covirtiédose etoces e ite idetermiado de la forma. 4 + 5 + 6 + + 5 + 0 6 4 + 4 4 + 4 4 9 Calclar ( + + + ) Se trata de ite idetermiado de la forma simbólica. Para desahacer este tipo de idetermiacioes, se mltiplica y divide por la expresió cojgada: 4 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
dode para llegar al resltado se ha dividido merador y deomiador por. Directamete se hbiese llegado al mismo resltado. 0 Obteer Como, mltiplicado y dividiedo por + 6 + se debe obteer: Calclar ( + 6 ) Procediedo como e el problema aterior se tedrá: ( + 6 ) ( + 6 ) ( + + + ) ( + + + )( + + + + ) ( + + + + ) + + ( + ) + + + + + + + + + + + + ( + 6 ) ( + 6 ) + 6 ( + 6 ) + ( + 6 ) + ( ) 6 6 6 ( + 6 ) + ( + 6 ) + ( ) + 6 + 6 6 valor qe reslta imediato despés de dividir merador y deomiador por. 5
Obteer Como todos los térmios del merador y deomiador tiede a cero, se trata de ite de la forma simbólica 0/0. Mltiplicado merador y deomiador por ( + ), se obtiee: ( + ) ( + ) + + ( + ) + + por ser los poliomios del merador y deomiador del mismo grado y tal qe los coeficietes de los térmios de mayor grado ( ) so igales e igales a o. Obteer + + +,, + + + + L+ Se trata de a idetermiació de la forma simbólica si coociéramos la ; sma de los cadrados de los primeros úmeros atrales, podríamos sstitir el merador por dicho valor, pero sele resltar vetajosa la aplicació del deomiado criterio de Soltz: A B A B A B dode A y B desiga las mismas expresioes qe A y B, pero escribiedo e lgar de y, además, B es divergete. 6 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
Así, e estro caso, como se tedrá A + + + + ( ) + A + + + + ( ) + ) y como B, B ( ). Por tato: + + + L+ [ + + L+ ( ) + ] [ + + L+ ( ) + ( ) ] ( ) + + + 4 Calclar + + 5 + L+ ( ) + 4 + 6 + L+ ( ) Aplicado el criterio de Stolz, como B es divergete y Se tedrá A + + 5 + + [( ) ] B + 4 + 6 + + [( )] ] + + 5 + L+ ( ) ( ) 4 4 + + 4 + 6 + L+ ( ) ( ) 4 7
5 Calclar dode l represeta logaritmo eperiao. Aplicado el criterio de Stolz: pesto qe y, por tato, l l l l( l ) 0 ( ) l 0 6 Calclar Por aplicació scesiva del criterio de Stolz: ( ) [ ( ) ] 0 8 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
7 Obteer Como se tiee: 0 pesto qe 0. NOTA: Los resltados de los ejercicios 5, 6 y 7 se pede escribir directamete, teiedo e ceta lo dicho e el resme teórico e ites idetermiados. 8 Calclar + Sabiedo qe si a y lim b, esto es, si a b es ite de la forma simbólica, se tiee, se obtiee a b b(a ) e + e + Calclemos: + + + ( ) 4 4 Por tato: + + e 4 9
9 Obteer y como Procediedo como e el ejercicio aterior, + + + e + + b+ + 4 4 + + 4 4 4 + 4 4 + 6 se tedrá: + e + 0 Calclar + + Es ite de la forma simbólica, ya qe + ( + ) + + + + 0 0 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
Por tato, + + e + + Calclado por separado el ite qe figra e el expoete + + + + + + 0 El ite pedido es e 0. Calclar dode a es úmero positivo calqiera. Formemos la scesió: a ( ) de dode: ( a ) a + Tomado ites e ambos miembros como el ite de a costate es ella misma se tedrá: y tomado logaritmos eperiaos: a e + e o sea: l a ( a ) l a
Obteer a + b Se trata de ite idetermiado de la forma, lego y como: Así pes, se tedrá qe dode se ha teido e ceta el resltado del problema aterior y qe Calclar a + b [ ( a ) + ( b )] l a+ l b l ab a + a + b a b ( + ) ( a + b ) ( a ) + ( b ) e e e ab a logaa A a + b + c Similar al aterior; se trata de ite de la forma simbólica, ya qe a b c Por tato, recordado qe si a y b b e a b b(a ) e a + b MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
Se tedrá a + b + c e a + b + c [I] Para mayor comodidad, calclamos el ite (del expoete, claro está) por separado a b c a b + + c + + Por tato, sstityedo e [I] [( a ) + ( b ) + ( c )] [ a ) + ( b ) + ( c )] l a + l b + l c l( abc) a + b + c pesto qe, como se ha visto e el ejercicio aterior a log a A A l abc e abc 4 Calclar, siedo h > 0; + + + L+ l( + h) Aplicado el criterio de Stolz A B A B A B
ya qe l ( + h) es divergete, + + + + + L + + L+ l ( + h) l ( + h ) + h l + h + h l + + l h l + h + h + h Calclado + + h + h e e y como l e I, reslta qe el ite bscado es la idad. 5 Calclar Como el ite bscado se pede escribir se aprecia imediatamete qe es de la forma simbólica 0. Tomado logaritmos eperiaos e se obtiee ( ) A o bie l A l( ) l l A l 4 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
Como se trata del ite de a fció logarítmica etre a fció potecial, se ha visto qe s ite es cero; lego qe es el ite bscado. l A 0 A e o 6 Obteer + reslta Se trata de ite de la forma simbólica 0 0 ; tomado logaritmos eperiaos e l A l l l + + ( + ) [ ( )] Como e el ejercicio aterior, se trata del cociete de a fció logarítmica dividida por a potecial, cyo ite es cero. Por tato, esto es, el ite pedido es la idad. A + l A 0 ; A e 0 7 Sea la scesió se pide demostrar qe es moótoa creciete. La scesió es moótoa creciete, pesto qe dado qe < +. ; + ; + +... < 5
Observemos qe +. Smado e los dos miembros de < y extrayedo raíz cadrada: o sea: Repitiedo el proceso + < + < o sea: Por tato la scesió es moótoa creciete. 8 < 4 < < < 4 < < < < Demostrar qe la scesió del ejercicio aterior está acotada speriormete. Veamos qe <. E efecto: Smado e los dos miembros: + < 4 y extrayedo raíz cadrada (véase problema aterior), Repitiedo el proceso E geeral, <, de dode + < + < + < + < 4; + < + < 4 Lego la scesió está acotada speriormete. 6 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
NOTA. Al haber probado qe la scesió es moótoa creciete y qe está acotada speriormete, qeda probada la existecia del ite de dicha scesió. Si se tratara de a scesió moótoa decreciete se debería probar qe está acotada iferiormete. 9 Obteer el ite de la scesió del ejercicio 7. Elevado al cadrado los dos miembros de se obtiee + + + L+ o sea: + Desigado por x a y como x (pesto qe el ite es úico), se tedrá: ecació qe proporcioa x Lego:. + + + L+ x + x; x x 0 x (solció extraña itrodcida al elevar al cadrado) 0 E a scesió cada térmio es la semisma de los dos ateriores. Si a y b, se pide. Del eciado se desprede: + + + 4 ; 4; 5; + + 4 ; ; + 7
qe podemos escribir: + + 4 + 4 5 4 + + + Smado miembro a miembro y simplificado: pero como a y b; + + a + b + Pasado al ite, si desigamos x, tambié x, lego a + b x + x a b x + qe es el ite pedido. Calclar! E los casos e qe aparece factoriales, sele ser my útil la aplicació de la fórmla de Stirlig π e! qe poe de maifiesto qe ambos ifiitos so eqivaletes y, por tato, qe! pede ser sstitido e prodctos o cocietes, por la expresió de Stirlig. E estro problema, se tedrá: 8 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
( Pero π! π e π e! e e Calclar Como ( )! se tedrá : (!), ( )! 4π( ) e (!) ( π e ) 4π e π e π π π Calclar + + + + L + + Para obteer este ite, observemos qe + + + + + + L + + > + + + + + + + L + ya qe y qe h h + >, >, + 9
( v + + + + + + L + + > + + ya qe Pero h h + >, <. + + + + + + L + + + + v + + Lego el ite de la scesió aterior qe costatemete está compredida etre dos scesioes qe tiee el mismo ite será, ite comú de ambas scesioes. 4 Calclar + + + L+ + + La scesió dada está costatemete compredida etre + + + + + + L + (( y v + + L+ + + + + y como el ite pedido será tambié. υ 40 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
5 Estdiar la covergecia de la serie: Apliqemos el criterio de D Alambert a estro problema; para ello, empezamos por formar, escribiedo e lgar de e ; Hallamos la razó y simplificamos:! ( )!! ( )! y calclaremos el ite: 0 Como el ite es 0 <, la serie es, co segridad, covergete, esto es, la sma de ss ifiitos térmios será úmero fiito. Comprébese qe se obtiee el mismo resltado mediate el criterio de Cachy, ya qe 0! 4
6 Carácter de la serie de térmio geeral Aplicado el criterio de Cachy: ( ) ( + + ) ( ( ) ) ( + + ) ( + + ) 0 pesto qe el grado del merador es iferior al del deomiador. Como 0, la serie es covergete. 7 Carácter de la serie de térmio geeral Aplicado el criterio de D Alambert: + (! + )( )! + ( ) + ( + )! ( + ) ( )! pesto qe ( )! L ( )! L ( ) Pero ya qe el grado del merador es iferior al del deomiador. Como aplicado el criterio de D Alambert, se ha obteido la serie es covergete. +! + + 0 ( + ) + 0 4 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
8 Estdiar la covergecia de 9 Aplicado el criterio de Cachy: ya qe. Lego la serie es covergete. Obtégase aálogo resltado por aplicació del criterio de D Alambert. Estdiar la covergecia de la serie de térmio geeral Apliqemos el criterio de D Alambert ( ) ( ) ( ) Nos ecotramos así, pes, e el caso ddoso. Para precisar, e estos casos, si la serie es o o covergete, se acostmbra aplicar el llamado criterio de Raabe- Dhamel, qe dice: E estro problema, la aplicació del criterio de Raabe proporcioa: + + + Lego la serie es covergete. < + L + + + + + + > 4
40 Estdiar si es covergete la serie ( + )( + )( + ) Apliqemos el criterio de D Alambert: ( + )( + )( + ) + + ( )( ) ( + )( + ) Caso ddoso, apliqemos el criterio de Raabe: lego la serie es covergete. + + + > 4 Carácter de la serie de térmio geeral: + La serie es covergete, como deberá comprobar el lector, por aplicació scesiva de los criterios de D Alambert y de Raabe; el último ite qe se debe obteer vale. 44 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
4 Carácter de la serie de térmio geeral: ( + )( + )( + ) Directamete se aprecia qe la serie es divergete, ya qe o verifica la codició ecesaria pero o sficiete de covergecia, qe era: 0, ya qe, e estro caso: ( + )( + )( + + + + 0 ) 6 6 4 Obteer el carácter de la serie de térmio geeral siedo h úmero atral. h! Aplicado el criterio de D Alambert resltado al qe se llega despés de simplificar, scesivamete, por ( )! y por. E el ite obteido, como h es úmero fiito, el grado del merador es iferior al del deomiador, lego: Por tato, la serie es covergete. h h! h ( ) ( ) ( )! + 0 h 45
44 Estdiar el carácter de Aplicado el criterio de D Alambert:!! ( ) ( ) ( )! ( ) e Como + <, la serie es covergete. e 45 Carácter de la serie dode a es úmero real. a! Aplicado el criterio de D Alambert: a! ( ) a ( ) a ( )! Si a > e, la serie es covergete; si a < e la serie es divergete, y si a e, estamos e el caso ddoso. Para resolver este caso de idetermiació se aplica el criterio logarítmico: l l dode l represeta logaritmo eperiao. L L > covergete L < divergete e a a 46 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
Por tato, hay qe calclar el ite: e! l l Recordado (fórmla de Stirlig) qe reslta:! π e e π e l l l π l ( π ) + l l l lego si a e, la serie es divergete. 46 Carácter de la serie, cyos primeros térmios so: 4 ; ; ; 4 ; L 4 5 Es imediato observar qe se trata de a serie alterada, cyo térmio geeral es: Como: + ( ) ( + ) + ( ) ( + ) + + 0 se trata de a serie covergete, pesto qe era moótoa decreciete. 47
47 Carácter de la serie, cyos primeros térmios so: Se trata de a serie alterada, qe será covergete si s térmio geeral tiede a cero. Se aprecia qe la scesió formada por los meradores (e valor absolto) es a progresió aritmética de primer térmio y razó ; lego a a + ( )d + ( ) + Los deomiadores forma a progresió aritmética de primer térmio 7 y razó 4; lego b b + ( )d 7 + ( ) 4 4 + Por tato, el térmio geeral de la serie es Como esto es, el ite del térmio geeral o es cero, la serie es divergete. 48 5 7 8 + 4 7 5 9 + 7 +L 0 4 Por comparació co a serie geométrica, verificar qe la serie 4 + es covergete.! E algas ocasioes es útil aplicar el llamado criterio de comparació: Si la serie de térmio geeral es tal qe υ ( υ ), siedo υ el térmio geeral de a serie covergete (divergete), la serie es covergete (divergete). NOTA. Las desigaldades idicadas basta qe se verifiqe a partir de cierto térmio. 48 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
Si comparamos! co, se tiee: Pero, a partir de aqí:! < ;! < ;! < 4! > 4 ; 5! > 5 ; y, e geeral,! > y, por tato, a partir del carto térmio: Pero como la serie de térmio geeral / es geométrica, de razó medio, es, por tato, covergete, y como la serie de térmio geeral /! (a partir del carto térmio) se matiee iferior a ella, será tambié covergete. 49 Por comparació co la serie armóica, comprobar qe la serie de térmio geeral es divergete. Se compreba fácilmete qe > l( + ); por tato, Lego los térmios de la serie propesta se matiee speriores a los de a serie (la armóica) qe es divergete; esto es, la serie propesta es divergete. 50 Smar la serie geométrica! < l ( + ) < l ( + ) S + + + + 4 6 64 L Como la razó es carto (cada térmio se obtiee mltiplicado el aterior por /4) se tedrá: a S r 4 4 4 49
5 Hallar la fracció geeratriz de la decimal periódica pra,45. Se tiee 45 45 45 45, 45454545... + + + + +L 4 00 00 00 00 Se trata, a partir del segdo smado, de a serie geométrica de razó /00. Por tato: 45, 45 + 00 00 45 5 + + 99 7 5 E cadrado de metro de lado se iscribe otro cadrado, segú se aprecia e la figra; e este segdo cadrado se repite la operació y se cotiúa así scesiva e idefiidamete. Hallar la sma de las áreas de los ifiitos cadrados. Observado la figra, se aprecia qe el área de cada cadrado es la mitad de la del cadrado precedete. Por tato, la sma de las áreas pedidas será: S + + + + L + 4 8 metros cadrados pesto qe forma a serie geométrica de razó /. 50 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
5 Hallar Formemos la sma de térmios Mltipliqemos ambos miembros por la razó de la geométrica, o sea / y restemos esta expresió de la precedete: S + + + + L+ + 4 8 6 E el ite: S S 4 + + + + + L + 4 8 6 4 + + + + L+ + + 4 8 6 S (pesto qe 0 + ) de dode S. NOTA: Para qe a serie aritmético-geométrica sea covergete basta qe la razó, e valor absolto, de la serie geométrica sea meor qe la idad. 54 Calclar + Es a serie aritmético-geométrica: S 4 7 0 + + + + + L+ 4 5
Mltiplicado ambos miembros por <. De dode, por diferecia, se ecetra: S S o bie, pasado al ite 4 7 0 + + + + + L+ 4 5 + 4 + + + + + L+ 4 + 4 S + 4 + 6 de dode: 55 Smar la serie (caso de ser covergete) cyos primeros térmios so Se observa qe es el prodcto térmio a térmio de la progresió aritmética por la progresió geométrica, 7,, 5, 9, cya razó es /. Por tato, como la razó de la geométrica es meor qe la idad, la serie propesta es covergete. Siedo S la sma bscada S 6 4 + 7 5 4 + 9 8 + 6 + +L, 4, 8, 6,, K 7 5 9 S + + + + + L 4 8 6 5 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
mltiplicado por la razó de la geométrica y restado miembro a miembro y, despés de simplificar: S + + + 4 + 8 +L Como la sma Se tiee de dode la sma bscada es 56 S 4 + 7 8 + 6 + 5 +L 7 7 5 9 5 S + 4 4 + 8 8 + 6 6 + +L + + + + L 4 8 7 S + S 7 Descomposició de cociete de poliomios e sma de fraccioes simples. Sea dos poliomios e, P() y Q(), tales qe el grado de P() sea meor qe el grado de Q(); si spoemos, además, qe todas las raíces de Q() so reales y distitas, la fracció algebraica dada se pede descompoer: P( ) A B C Q( ) a + b + c +L dode a, b, c, represeta las raíces de Q() 0, y A, B, C, so úmeros calclables a partir de la igaldad establecida. Sea descompoer e sma de fraccioes simples: 5 + 7 + + 5
Como el grado del merador es iferior al del deomiador y, además, las raíces de + + 0 so,, reales y distitas, se pede escribir Sprimiedo deomiadores: 5 + 7 A( + ) + B( + ) Para (primera raíz hallada) se tiee: 5 ( ) + 7 A( + ) + B( + ); A y para (la otra raíz hallada) 5 ( ) + 7 A( + ) + B( + ); B; B Lego, sstityedo A y B por ss valores, se tedrá: qe expresa la fracció dada e sma de fraccioes simples. NOTA: El estdio geeral de la descomposició e sma de fraccioes simples, se desarrola co detalle e la teoría de itegrales idefiidas. E esta lecció sólo os iteresa el caso señalado, pes es el úico qe aplicaremos e los scesivos ejercicios. 57 5 + 7 A B + ( + )( + ) + + 5 + 7 + ( + )( + ) + + Descompoer e sma de fraccioes simples la fracció: + 5 ( + )( + )( + ) Como el grado del merador es iferior al del deomiador y las raíces de éste so todas distitas:,,, la fracció dada se pede escribir y sprimiedo deomiadores: + 5 A B C + + ( + )( + )( + ) + + + + 5 A( + )( + ) + B( + )( + ) + C( + )( + ) 54 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
para ; 4 A; A para ; B; B para ; C; C 58 Lego: Calclar + 5 + ( + )( + )( + ) + + + + 5 ( + )( + )( + ) Comprobaremos previamete qe la serie de térmio geeral + 5 ( + )( + )( + ) es covergete, lo cal se cosige fácilmete aplicado scesivamete los criterios de D Alambert y de Raabe. Etoces, descompesto s térmio geeral e fraccioes simples, se tiee (véase ejercicio aterior): + + + + + + + 5 ( )( )( ) + Desarrollado cada o de estos smatorios y smado miembro a miembro: + + + 4 + 5 + 6 + 7 + L + + + + + + L 4 5 6 7 + 4 + 5 + 6 + 7 + L + 5 + ( + )( + )( + ) 55
ya qe los sigietes térmios de la sma se ala (pesto qe + ( ) + 0) 4 Lego la sma pedida es /. + 0; + 0, etc. 4 4 5 5 5 59 Calclar + ( + ) La serie reslta ser divergete, pesto qe Ss térmios spera a los de la serie armóica, qe sabemos es divergete; lego + ( + ) Se llega al mismo resltado aplicado scesivamete los criterios de D Alambert y Raabe. 60 Obteer la sma de la serie + + + + > ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 0 8 + 4 + 6 + + 6 Resolviedo la ecació + 6 + l + 6 0 se debe obteer, y ; descompoiedo e sma de fraccioes simples: 8 + 4 8 4 A B C + 6 + + 6 + + + ( + )( + )( + ) + + + Sprimiedo deomiadores 8 + 4 A( + )( + ) + B( + )( + ) + C( + )( + ) 56 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
Para : 8 + 4 A ; A Para : 6 + 4 B ( ) ; B Para : 4 + 4 C ( ) ( ) ; C 5 Obsérvese qe De aqí Smado: 0 0 0 qe es la sma pedida. A + B + C + + ( 5) 0 + + + + 4 + L + + + 4 + 5 + L 5 5 5 5 5 + + + + L 4 5 6 8 + 4 5 + 6 + + 6 + + + 6 Calclar Comprobada la covergecia de la serie, descompoiedo s térmio geeral e sma de fraccioes simples, se debe obteer: Lego: + + + 57
y, por tato, + + + 4 + 5 + L + + + + L 4 5 y smado: + + 4 4 6 P() Descomposició de e sma de fraccioes más secillas. (P() repre! seta poliomio e ). Veámoslo co varios ejemplos. Sea descompoer +! Se tedrá: + +!!! y como reslta, e defiitiva:! ( )!, Sea ahora descompoer + +! ( )!! + +! 58 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
Se tedrá: y la primera fracció se pede escribir: Se obtiee, e defiitiva: Sea ahora la fracció.! Se tiee: + ( )( + ) +! ( )! ( )! ( )! ( )! + + + + ( )! ( )! ( )! ( )! + + + + ( )! ( )! ( )! ( )! ( )! ( )! Aálogamete, se debe obteer: De forma geeral se procede como se idica e el ejemplo sigiete. Sea descompoer: + + ( + ) +!!! ( + ) + + 4 ( )! ( )! 4 4 + + ( )! ( )! ( )! ( )! + + 4 + +! ( )! ( )!! + 4 + 5 + + ( + )!! ( )! ( + )! + ( + )! ( )! ( )!! ( + )! 0 + 0 +! 59
qe se igala a tratas fraccioes como idica el grado del merador más o y cyos deomiadores so!, ( )!, ( )!... O sea Sprimiedo deomiadores y desarrollado 0 + 0 + a b c d + + +!! ( )! ( )! ( )! 0 + 0 + a + b + c ( ) + d ( )( ) 0 + 0 + a + b + c c + d d + d e idetificado los coeficietes del mismo grado: Lego : d ; d : 0 c d ; c 0 + 9 : 0 b c +d ; b 0 6 a 0 + 0 + + +!! ( )! ( )! ( )! 6 Series del úmero e. Es coocido el desarrollo del úmero e + + + + L+ + L!!!! El coocimieto de este desarrollo permite la obteció de las smas de diversas series. Sea, por ejemplo, Desarrollado: ( )! + + + + + + L L ( + )!! 4! 5!! 60 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
Nos basta completar el desarrollo, para lo cal + + + L+ + L! 4! 5!! + + + + + L+ + L!!! 4!!!! Por tato: e e 5 ( )! + 64 Calclar ( )! Desarrollado y completado: + + + L+ ( )!!!!! + + + + L+ e!!!! 65 Calclar Como (véase ejercicio 66) se tedrá: + + 4 + +! ( )! ( )!! + + 4 + +! ( )! ( )!! 6
Desarrollado cada a de las series: Lego: 4 4 + + + + 4 e 4e 8 ( )!!!! L L! 5 + + L+ + L e e!! 4!!!! + + L+ + L e ( )!!!! + + 5 ( e ) + ( 4e 8) + e 6e! 6 66 Obteer 5! Descompoiedo e sma de fraccioes 5 A B C + +!! ( )! ( )! Sprimiedo deomiadores, teiedo e ceta qe!! ( )! y ( )! reslta 5 A + B + C( ) C + (B C) + A de dode, idetificado coeficietes de los térmios de igal grado C ; B C 5 ; A o sea A ; B y C 6 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
Por tato 67 Desarrollado cada sma parcial Lego la sma será S ( e) + ( e) + e 4 La serie armóica. Recérdese qe la sma de térmios de la serie armóica es la sma de térmios pares es y la sma de térmios impares es I P + + + L e e!!!! + + L [ e ] e ( )!!! + + + + P + + + + H 4 6 L ; L + + + L + ; 5 Sabiedo esto, obteer: 5 + +!! ( )! ( )! + + + L e ( )!!! H + + + + L I + P H I H H + S + + + L + ( ) 4 5 6 La serie propesta es covergete, pesto qe es alterada y el ite de s térmio geeral es cero. 6
Formado las smas scesivas de dos, catro, seis... térmios, se tiee S I P S4 + + I P 4 + 4 S 6 I P y, e geeral, teiedo e ceta qe H l + η + ε S I P H H H H H ( l + η + ε ) ( l + η + ε ) l + l + η + ε ( l + η + ε ) l + ε ε Pasado al ite S S pesto qe ε y ε so ifiitésimos qe tiede a cero si. 68 Calclar S + + + + + + 5 7 4 9 6 L Formemos las smas scesivas: S + I P S + + + I4 P 5 7 4 S 9 I 6 P y, e geeral, S I P 64 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
reslta Como (véase ejercicio aterior) I H4 H ( 4 + η + ε4 ) ( l + η + ε ) l 4 + l + η + ε4 ( l + l + η + ε ) I P + + ( l η ε ) P l 4 l + ε ε ε 4 y pasado al ite S l l l 69 Calclar la sma S + + + + + + 4 5 6 7 8 9 Se forma las smas de tres, seis, eve... térmios S + H H + + + + S 6 + + + + + + + + + 4 5 6 4 5 6 6 H + H H S 6 6 9 + + + + + 4 5 6 7 8 9 + + + + + + + + + + 4 5 6 7 8 9 6 9 H + + H H 9 9 65
y e geeral S H H La sma pedida se hallará pasado al ite S S (H H ) [l + η + ε (l + η + ε )] (l + l + η + ε l η ε ) (l + ε ε ) l pesto qe ε y ε so cero. 66 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA