Facultad de Ciecias Exactas, Igeiería y Agrimesura Departameto de Matemática - Escuela de Ciecias Exactas y Naturales ÁLGEBRA y GEOMETRÍA ANALÍTICA I Liceciatura e Física - 2015 Equipo docete: Viviaa del Barco, Lucía Caraballo y Aa Murigo UNIDAD 5: Números complejos 1. Defiicioes y propiedades básicas - C como extesió de R. Defiició 1. Se llama úmero complejo a todo par ordeado z = (a,b) de úmeros reales. Dado z C, z u úmero complejo, si z = (a,b) los úmeros a y b so respectivamete la parte real y parte impagiaria de z y esto lo otamos: a = Re(z), b = Im(z). Dados dos úmeros complejos z = (a,b) y w = (c,d) defiimos la igualdad de z y w como: a = c z = w b = d Observemos que el par (a,b) es ordeado, e el setido que el complejo (a,b) o es igual al complejo (b,a). Defiimos a cotiuació operacioes etre los úmeros complejos: la suma y el producto de la siguiete maera: Defiició 2. Sea z = (a,b) y w = (c,d) dos úmeros complejos (es decir a,x C). Etoces defiimos Suma: z +w = (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d) Producto: zw = (a,b)(c,d) = (ac bd,ad+bc). Es importate otar que la suma (producto) que se está defiiedo es la de los pares ordeados (a,b) y (c,d). Cuado decimos que esto equivale al par ordeado (a+c,b+d), la suma aquí es la usual etre los úmeros reales a y c, y b y d. Al cojuto de los úmeros complejos juto co las operacioes defiidas arriba lo idicamos co la letra C: C = (a,b) : a,b R}. Teorema 3. Los úmeros complejos satisface las siguietes propiedades: si z, u, w so úmeros complejos cualesquiera, etoces se verifica: 1. Propiedad comutativa: z +w = w +z, zw = wz. 2. Propiedad asociativa: z +(u+w) = (z +u)+w, z(uw) = (zu)w. 3. Propiedad distributiva: z(u+w) = zu+zw. 4. Existecia de eutro: Existe (0,0) C y (1,0) C tales que (0,0)+z = z y (1,0)z = z. 5. Existecia de opuesto: Si z = (a,b), existe z = ( a, b) ( C tal que z ) +( z) = (0,0). a 6. Exitecia de iverso: Si z = (a,b) 0, existe z 1 b = a 2 +b 2, a 2 +b 2 C tal que zz 1 = (1,0). Demostració. ejercicio El elemeto (0,0) del Teorema 3 se llama eutro de la suma e C y para cada z C, z se llama opuesto de z. El elemeto (1,0) se llama idetidad del producto e C y para cada z C, z (0,0), z 1 se llama iverso de z. A partir del teorema aterior, podemos defiir la resta y el cociete de úmeros complejos. 1
2 Defiició 4. Sea z y w dos úmeros complejos. Se defie la resta de w a z y se deota z w al úmero complejo z w = z +( w). Si w (0,0), se defie el cociete de z por w y se deota z w al úmero complejo z w = z w 1. Ejemplo 5. 1. (1,0) (2,1) = (1,0)+[ (2,1)] = (1,0)+[( 2, 1)] = (1+( 2),0+( 1)) = ( 1, 1). 2. (2,1) (1,0) = (2,1)+[ (1,0)] = (2,1)+[( 1,0)] = (2+( 1),1+0) = (1,1). Notar que este ejemplo muestra que la resta de úmeros complejos o es comutativa ya que (1,0) (2,1) (2,1) (1,0). (2,0) 3. (1,1) = (2,0)(1,1) 1 = (2,0)( 1 2, 1 2 ) = (2 1 2 0 1 2,2 1 2 +01 (1,1) 2 ) = (1, 1). Notar que (2,0) = (1 2, 1 2 ) (2,0) (1,1), por lo tato el cociete de úmeros complejos o es ua operació comutativa. Ua última operació que será iteresate estudiar es la de poteciació. Defiició 6. Sea z C u úmero complejo. Para cada N, se defie el úmero complejo z de la siguiete maera (recursiva): z 1 = z z = z 1 z, N,, 2 Si z 0, se defie z 0 = 1 y para todo Z, < 0, se defie z = (z 1 ) ( ). El úmero z se llama potecia -ésima de z. La potecia de complejos así defiida tiee las siguietes propiedades (aálogas a las de los úmeros reales) Teorema 7. Sea z,w C,,k Z. Etoces: 1. z k z = z k+ 2. ( z k) = z k 3. (zw) = z w. ( z z 4. = w. Ejemplo 8. (1,1) 2 = ( (1,1) 1) 2 = ( 1 2, 1 2 )2 = ( 1 2, 1 2 )(1 2, 1 2 ) = (0, 1 2 ). Sea C 0 el subcojuto de C costituidos por los complejos de la forma (a,0), esto es, los que tiee parte imagiaria ula.etoceslasoperacioesdesumayproductosocerradas ec 0,esdecir,lasumayelproductodedoselemetos de C 0 es uevamete u elemeto de C 0. E efecto, (a,0)+(c,0) = (a+c,0), (a,0)(c,0) = (ac,0). Además, si z C 0 y z = (a,0), etoces (a,0) = ( a,0), y si a 0 tambié resulta (a,0) 1 = (a 1,0). Esto implica, e particular, que la resta y la divisió tambié so cerradas e C 0 : restar (o dividir) dos úmeros complejos co parte imagiaria ula da como resultado u úmero complejo co parte imagiaria ula (ejercicio: demostrar esta afirmació). De igual maera, si z C 0 y z 0, z = (a,0) para todo Z. Vemos etoces que los úmeros complejos de C 0 se comporta de la misma maera que si fuera úmeros reales. Por este motivo, o haremos diferecia etre u úmero real x y el complejo (x,0). De hecho, a cada úmero complejo (x,0) C 0 lo otaremos directamete como x. Via la idetificació: x R (x,0) C. De esta maera, diremos que C es ua extesió de R, pues C cotiee a R, pesado cada úmero x R como (x,0) C 0. Co esta coveció: 0 = (0,0), 1 = (1,0), 1 = ( 1,0), etc. Observació 9. Decimos que u úmero complejo z es imagiario puro si z = (0,b) co b 0, es decir si z (0,0) y Re(z) = 0. Notar que el cojuto de úmeros complejos imagiarios puros o es u cojuto cerrado por el producto.
2. La uidad imagiaria i - Forma biómica de u úmero complejo. 3 Defiició 10. Llamamos uidad imagiaria al úmero complejo (0,1) y lo otamos co la letra i: i = (0,1). Notar que i es u úmero complejo imagiario puro. Además, i es solució de la ecuació cuadrática x 2 +1 = 0, que o tiee solució e el cuerpo de los úmero reales. E efecto: i 2 = i i = (0,1)(0,1) = (0 0 1 1,0 1+1 0) = ( 1,0) = 1 co las idetificacioes ateriores. Las potecias eteras de la uidad imagiaria tiee ua particularidad que es que se repite de 4 e 4: i 0 = 1, i 1 = i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1, i 5 = 1, i 6 = 1, i 7 = i, i 8 = 1, etc... Es posible demostrar que esta particularidad se repite co todas las potecias eteras de i. Teorema 11. Para todo Z, i = i r dode r es el resto de dividir a por 4. Demostració. Sea N y sea r el resto de dividir a por 4, es decir = 4p + r. Por las propiedades 1 y 2 del Teorema 7, resulta i = i 4p+r = (i 4 ) p i r = 1 p i r = i r. Ejemplo 12. Para calcular la potecia i 1329, dividimos 1329 por 4: 1329 = 332 4+1. Etoces i 1329 = i 1 = i. Por otro lado, i 257 = i 3 = i ya que 257 = ( 65) 4+3. Usado la idetificació x R (x,0) C 0 e i = (0,1), podemos escribir los úmeros complejos de ua maera más práctica que la de par ordeado. Teorema 13. Todo úmero complejo z puede expresarse e la forma z = a+bi coa,b R. Esta forma de escribirlo se llama forma biómica de z. Demostració. Sea z C u úmero complejo. Etoces z es u par ordeado z = (a,b) para ciertos a,b R. Segú la idetificació C 0 R ates hecha: a = (a,0), b = (b,0); y segú la defiició de la uidad imagiaria, i = (0,1). De esta maera a+b i = (a,0)+(b,0)(0,1) = (a,0)+(0,b) = (a,b) = z. Observació 14. Dado z C, su forma biómica es z = a+bi si y sólo si Re(z) = a e Im(z) = b. La vetaja de esta otació es que facilita los cálculos algebraicos. E efecto, aplicado las propiedades distributivas, asociativas y teiedo e cueta que i 2 = 1, podemos resolver de maera secilla u producto, si recurrir a la fórmula dada para el producto de úmeros complejos como pares ordeados: (a,b)(c,d) = (a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bdi 2 = (ac bd)+(ad+bc)i = (ac bd,ad+bc), como habíamos defiido iicialmete. Defiició 15. Sea z C u úmero complejo de forma biómica z = a+bi. Se deomia úmero cojugado de z y se ota z al úmero complejo z = a bi. Observemos que z y z tiee igual parte real y parte imagiaria opuestas: Re(z) = Re(z) e Im(z) = Im(z).
4 Teorema 16. Sea z,w C, etoces 1. z +w = z +w 2. z w = z w 3. z = z si y sólo si z R 4. z z = Re(z) 2 +Im(z) 2. Demostració. Ejercicio. Lapropiedad4delteoremaaterior esdegraimportaciaalahoradecalcular elrecíprocodeuúmerocomplejo o el cociete de dos úmeros complejos. Ejemplo 17. Sea z = 2+i y w = 1 i, calcular z w. Vamos a utilizar 4 para calcular el iverso de w: w 1 = 1 w = w ww = 1+i Re(w) 2 +Im(w) 2 = 1+i 2. Luego, z w = zw 1 = (2+i)( 1 2 + i 2 ) = 1 2 + 3 2 i Ejemplo 18. Si z = 1+2i, w = 2 i, etoces w = 2+i y resulta z w = z w w w = (1+2i)( 2+i) ( 2) 2 +( 1) 2 = 4 3i = 4 5 5 3 5 i. Para calcular el cociete de u úmero complejo z por u úmero complejo w, multiplicamos y dividimos por el cojugado de w. Gracias al teorema aterior obteemos: Corolario 19. Sea z = a+bi y w = c+di co w 0. Etoces Demostració. Ejercicio. w 1 = w Re(w) 2 +Im(w) 2 y z w = zw Re(w) 2 +Im(w) 2. 3. Represetació geométrica de los úmeros complejos - Forma polar y trigoométrica de u úmero complejo. Dado que todo úmero complejo es u par ordeado (a, b) de úmeros reales, existe ua correspodecia biuívoca etre los úmeros complejos y los putos del plao, que recibe etoces el ombre de plao complejo. Dado z = (a,b), a z asociamos el puto P cuyas coordeadas cartesiaas so (a,b) y el vector OP, dode O = (0,0) es el orige de coordeadas. Cuado trabajamos co úmeros complejos e geeral deomiamos como eje real al eje de las abscisas, dado que aquí yace los putos que represeta a úmeros reales, y por eje imagiario al eje de las ordeadas, dado que aquí está los putos que represeta a úmeros imagiarios puros, es decir, úmeros complejos co parte real ula. Ejemplo 20. E la gráfica siguiete se muestra los putos del plao correspodietes a los complejos z 1 = 2+3i, z 2 = z 1, z 3 = 4 i, z 4 = z 3, z 5 = z 1 +z 3.
Defiició 21. Dado u complejo z se deomia módulo de z, y se deota z a la logitud del segmeto OP, dode P es el puto del plao asociado a z. Observar que si z = a+bi, etoces z = OP = a 2 +b 2. Luego z = Re(z) 2 +Im(z) 2 que por la propiedad vista ateriormete resulta z = zz. Defiició 22. Sea z = a+bi u úmero complejo tal que z 0. Se defie el argumeto de z como el águlo que forma el vector OP= (a,b) co el eje positivo de las abscisas. El úmero complejo z = 0 o tiee argumeto. Notar que u úmero complejo tiee ifiitos argumetos, depediedo de cuatas vueltas demos alrededor del orige para medir el águlo. E cualquier caso, si φ y θ so dos argumetos del mismo complejo z debe valer θ = φ+2kπ, para algú k Z. Notar que si θ es u argumeto de z = a+bi, co a 0 etoces tgθ = b a. Si z es imagiario puro (a = 0), etoces su argumeto es π/2 o 3 2π, depediedo si su parte imagiaria es positiva o egativa, respectivamete. Por ejemplo, si z = 1+i, etoces π/4 y 9 4π so dos argumetos para z. Ejercicio 23. Calcular los argumetos de los úmeros complejos graficados arriba. Defiició 24. Para cada z C, z 0, se llama argumeto pricipal de zy lo deotamos por arg(z) al u úico argumeto φ de z que verifica 0 φ < 2π. Tomemos por ejemplo z = 2+2i. Etoces φ = π 4, θ = 9 4 π y γ = 17 4 π so argumetos de z, pero φ es el argumeto pricipal. Observemos la siguiete figura: 5 Para cualquier argumeto θ de z (e particular para φ = arg(z)), etoces por el teorema de pitágoras y las relacioes trigoométricas e u triágulo rectágulo obteemos (1) z 2 = a 2 +b 2 = Re(z) 2 +Im(z) 2 = z z, (2) tg(θ) = b a. (3) y por lo tato a = ρcosθ b = ρseθ, dode ρ = z (4) z = ρ(cosθ +iseθ). Esta última expresió de z se deomia forma trigoométrica de z.
6 Observació 25. Dado u úmero complejo z e forma biómica z = a+bi, las ecuacioes 1, 2, 3 y 4 permite hallar la forma trigoométrica de z. Notar que si z = r(u+vi) dode u 2 +v 2 = 1 etoces r(u+vi) es la forma trigoométrica de z y su argumeto es θ tal que cosθ = u y siθ = v. Ejemplo 26. Sea z = 27+9 3i y w = 3+3i. Para calcular la forma trigoométrica de z buscamos su módulo y argumeto (ya que z 0): z = 27 2 +(9 3) 2 = 18 3 y su argumeto θ es tal que tgθ = 9 3 27 = 3 3 θ = π/6 o θ = 7π/6. Como z tiee partes real e imagiaria positiva, podemos decir que z está e el primer cuadrate y por lo tato el águlo que forma co el eje x es π/6. Más aú arg(z) = π/6 y todo otro argumeto de z difiere e 2π de π/6. Escribimos la forma trigoométrica de z: z = 18 3(cosπ/6+isiπ/6) = 18 3 ( ) 3 2 + 1 2 i. Para calcular la forma trigoométrica de w, sólo observaremos que w puede escribirse como w = 3 2( 2 2 + 2 2 i), y se verifica ( 2 2 )2 +( 2 2 )2 = 1, luego la forma trigoométrica de w es w = 3 2 2 2( 2 + 2 i), y su argumeto pricipal es φ = 3 4 π. Es claro que si teemos u úmero complejo escrito de forma trigoométrica z = ρ(cosθ+isiθ), etoces su forma biómica se obtiee ta solo distribuyedo la expresió de arriba y resultado: z = a+bi dode a = Re(z) = ρcosθ, b = Im(z) = ρsiθ. Utlizado la forma trigoométrica, es fácil probar el siguiete resultado: Teorema 27. Sea z,w C. Etoces: 1. z w = z w ; 2. Si z y w so o ulos, arg(z)+arg(w) es u argumeto de z w. Demostració. Ejercicio (recordar las fórmulas para el coseo y el seo del águlo suma) Observado (4), vemos que para defiir u úmero complejo z o ulo sólo ecesitamos coocer su módulo ρ y su argumeto θ. Resumimos esa iformació escribiedo (5) z = ρ θ Esta última forma de expresar al úmero complejo z se deomia forma polar de z. Si z = ρ φ y w = δ θ etoces (6) z = w si y sólo si ρ = δ φ = θ +2kπ para algú k Z Ejercicio 28. Probar que si z 0 y θ es u argumeto de z, etoces θ + π es u argumeto de z y θ es u argumeto de z. Escribir las formas trigoométricas de z y z e fució de la de z. Ejemplo 29. Si z y w so los úmeros complejos del Ejemplo 26, sus formas polares so: Notar que tambié z = 18 3 13π/6 y w = 3 2 5 4 π. z = 18 3 π/6, w = 3 23 4 π. Como ya remarcamos ates, si z está dado e su forma biómica, obteemos la forma polar calculado su módulo y su argumeto por las fórmulas (1) y (2). Si z está dado e forma polar, podemos obteer la forma biómica a partir de la forma trigoométrica (4). La forma polar os da ua maera muy secilla de realizar productos, cocietes, y calcular potecias -ésimas de úmeros complejos. De hecho a partir del Teorema 27 teemos:
7 Teorema 30. Sea z = ρ φ y w = δ θ dos complejos dados e forma polar. Etoces: 1. z w = (ρδ) φ+θ z ( ρ ) 2. w = δ (φ θ) 3. z = ρ φ. Demostració. Ejercicio. Corolario 31. Si z 0 y z = ρ θ e forma polar, etoces z 1 = ρ 1 θ. Ejemplo 32. Nuevamete usamos los úmeros complejos z y w del Ejemplo 29 y calculamos: z w = (18 ) ( 3 π/6 3 ) 23 4 π = (18 3 3 2)π 6 +3 4 π = 54 611 12 π. Ya hemos visto que la uidad imagiaria i es la raiz cuadrada de 1 ya que i 2 = 1 y por lo tato i = 1. E realidad, la uidad imagiaria permite calcular la raiz cuadrada de cualquier úmero real egativo posee raiz cuadrada ya que si x R, etoces ( xi) 2 = ( x)i 2 = ( x)( 1) = x. Veremos a cotiuació que es posible calcular la raíz -ésima de cualquier úmero complejo (e particular de los reales egativos), para cualquier atural. Comezamos co la defiició. Defiició 33. Dado u úmero complejo w y u úmero atural N, decimos que z es ua raíz -ésima de w si z = w. Como es usual, las raíces 2-ésimas de u úmero se llama raíces cuadradas; las raíces 3-ésimas de u úmero se llama raíces cúbicas; las raíces 4-ésimas de u úmero se llama raíces cuartas; las raíces 5-ésimas de u úmero se llama raíces quitas, etc... La fórmula (3) del Teorema 30 os permitirá calcular de maera fácil raíces -ésimas de los úmeros complejos. Comecemos aalizado u ejemplo. Supogamos que teemos w = 16 π/4 y queremos calcular las raíces cuartas de w. Si z = ρ φ es ua de esas raíces, debe ser z 4 = ρ 4 4φ = w. De la igualdad de complejos dados e forma polar (6), obteemos y ρ 4 = 16 ρ = 2 4φ = π π 4 +2kπ φ = 4 +2kπ, k Z 4 Si bie e la última expresió k varía e todo Z, sólo para k = 0,1,2,3 obteemos complejos distitos. De hecho tomado para k = 4, obteemos el argumeto π 6 +2π que es el mismo argumeto que π 6, obteido tomado k = 0. Luego las cuatro raíces cuartas de w so Graficamos las cuatro raices cuartas de w: z 1 = 2 π 16, z 2 = 2 9 16 π, z 3 = 217 16 π, z 4 = 225 16 π
8 Se ve e la figura que las raíces cuartas so los vértices de u cuadrado iscripto e la circuferecia de radio 2. Siguiedo exactamete el mismo razoamieto es posible probar el siguiete teorema, deomiado Fórmula de Moivre: Teorema 34. Sea w = ρ φ u úmero complejo o ulo e forma polar. El úmero complejo z = δ θ es ua raíz -ésima de w si y sólamete si se verifica (7) δ = ρ, θ = φ + 2kπ, para algú k tal que k = 0,1,, 1. Demostració. Supogamos z = δ θ es ua raíz -ésima de w. Por defiició se tiee z = w y por otro lado, el Teorema 30 implica que z = δ θ. Luego z = δ θ = ρ φ = w y esto sucede siempre y cuado ρ = δ y al mismo tiempo los águlos θ y φ difiere e u múltiplo de 2π, es decir, δ z = ρ δ = ρ = w θ φ = 2lπ,para algú l Z θ = φ + 2lπ,para algú l Z. Resta probar que el valor l puede tomarse etre 0 y 1. Primero otemos que si l es mayor o igual que, podemos tomar la divisió l = c+k, siedo k el resto de la divisió y por lo tato k está etre 0 y 1. Además φ + 2lπ = φ + 2( c+k)π = φ + 2kπ +2cπ y por lo tato δ φ es el mismo úmero complejo que δ +2lπ φ, siedo k atural etre 0 y 1. De maera aáloga +2kπ se prueba que si l < 0 etoces δ φ = δ +2lπ φ. Luego, e la ecuació de arriba podemos escribir +2kπ z = w δ = ρ θ = φ + 2kπ,para algú k úmero atural etre 0 y 1. De la ecuació (7) las raíces -ésimas de w so los úmeros complejos que se obtiee de darle diferetes valores al k etre 0 y 1: z 0 = ρ φ, z 1 = ρ φ, z 2 = ρ +2π φ,... z k = ρ +4π φ +2kπ,... z 1 = ρ φ +2( 1)π Es importatísimo otar que estos úmeros complejos z 0,z 1,...,z 1 so todos diferetes. E efecto supogamos que dos de ellos so iguales, pogamos z s = z t co s y t dos úmeros aturales etre 0 y 1. Etoces z s = z t implica que sus argumetos difiere e u múltiplo de 2π, es decir, existe l Z tal que φ + 2sπ = φ + 2tπ +2lπ s = t+l pero como s y t so úmeros aturales meores que, la igualdad s = t+l sólo se da si l = 0 y por lo tato s = t. Hemos probado etoces el siguiete resultado: Corolario 35. Todo úmero complejo w 0 tiee exactamete raíces -ésimas que está dadas por la Fórmula de Moivre (7). Gráficamete, los úmeros complejos z 0,z 1,...,z 1 que so raíz -ésima de w = ρ φ tiee todos igual módulo ρ y dos cosecutivos de ellos difiere e u águlo de 2π/. Por lo tato, z 0,z 1,...,z 1 yace sobre ua circuferecia de radio ρ y forma u polígoo regular de lados (comparar co la figura del ejemplo aterior)..
Ejemplo 36. Vamos a calcular las raíces quitas de w = 243 5π/4. Sabemos que será 5 úmeros complejos diferetes z 0,...,z 4 co módulo 5 243 = 5 243 = 3 y águlo dado por (7) para los valores de k = 0,...,4: Graficamos las raíces quitas de w: z 0 = 3 π/4 z 1 = 3 π/4+2π/5 = 3 13π/20 z 2 = 3 π/4+4π/5 = 3 21π/20 z 3 = 3 π/4+6π/5 = 3 29π/20 z 4 = 3 π/4+8π/5 = 3 37π/20 9 Para fializar esta uidad, remarcamos lo siguiete: toda ecuació cuadrática co coeficietes e icógita compleja, tiee solució. E efecto, puede verse (co la misma demostració que para el caso real) que las raíces de la ecuació az z +bz +c = 0, co a,b,c C, so z 1,2 = b+ b 2 4ac 2a, dode ahora la raíz cuadrada siempre tiee dos solucioes, idepedietemete de si el discrimiate es positivo o egativo. Observemos que aquí o poemos el símbolo ± pues todo complejo tiee exactamete dos raíces cuadradas.