. SUCESIONES Se puede cosiderar que ua sucesió es ua lista de úmeros escritos e u orde defiido: a, a 2, a 3, a 4,..., a,... El úmero a recibe el ombre de primer térmio, a 2 es el segudo térmio y, e geeral, a es el -ésimo térmio. Aquí se trata exclusivamete co sucesioes ifiitas, por lo que cada térmio a tiee u sucesor a. Observe que para todo etero positivo hay u úmero correspodiete a, por lo que ua sucesió se puede defiir como ua fució cuyo domiio es el cojuto de eteros positivos. Por lo regular, se escribe a e lugar de la otació de fució f() para el valor de la fució e el úmero. NOTACIÓN La sucesió {a, a 2, a 3,...}tambié se deota mediate a o a (a) (b) EJEMPLO Alguas sucesioes se puede defiir dado ua fórmula para el térmio -ésimo. E los ejemplos siguietes se ofrece tres descripcioes de la sucesió: Ua e la que se aplica la otació aterior, e otra se aplica ua fórmula defiida y e la tercera se escribe los térmios de la sucesió. Observe que la o tiee que empezar e. 3 a a 3, 2, 3, 4,..., 2 3 4 5,... 2, 3, 4, 5,...,,... 3 9 27 8 3 (c) (d) {s 3} 3 cos 6 0 a s 3, 3 a cos 6, 0 {0,, s2, s3,..., s 3,...}, s3 2, 2, 0,..., cos 6,... V EJEMPLO 2 Ecuetre ua fórmula para el térmio geeral a de la sucesió 3, 4 5 25, 5 25, 6 625, 7 325,... y supoga que el patró de los primeros térmios cotiúa. SOLUCIÓN Se sabe que a 3 5 a 2 4 25 a 3 5 25 a 4 6 625 a 5 7 325 Observe que los umeradores de estas fraccioes empieza co 3 y se icremeta ua uidad al pasar al siguiete térmio. El segudo térmio tiee umerador 4, el siguiete umerador es 5; e geeral, el -ésimo térmio tedrá como umerador 2. Los deomiadores so las potecias de 5, de modo que a tiee por deomiador 5. El sigo de los térmios es alteradamete positivo y egativo, por lo que es ecesario 675
676 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS multiplicar por ua potecia de. E el ejemplo (b) el factor sigifica que empieza co u térmio egativo. Como aquí se busca iiciar co u térmio positivo, se usa, o bie,. Por lo tato, 2 a 5 EJEMPLO 3 E este caso hay alguas sucesioes que o tiee ua ecuació que las defia e forma simple. (a) La sucesió p, dode p es la població mudial el uo de eero del año. (b) Si a es el -ésimo dígito e la expasió decimal del úmero e, etoces a es ua sucesió bie defiida cuyos primeros térmios so 7,, 8, 2, 8,, 8, 2, 8, 4, 5,... (c) Las codicioes siguietes defie e forma recursiva la sucesió de Fiboacci f f f 2 f f f 2 3 Cada uo de los térmios es la suma de los dos ateriores. Los primeros térmios so,, 2, 3, 5, 8, 3, 2,... Esta sucesió surgió cuado el matemático italiao del siglo XIII, a quie se cooce como Fiboacci, resolvió u problema que se relacioaba co la cría de coejos (véase ejercicio 7). 0 2 FIGURA a a a a Ua sucesió como la del ejemplo (a), a, se puede represetar dibujado sus térmios e ua recta umérica como e la figura, o trazado la gráfica como e la figura 2. Observe que, como ua sucesió es ua fució cuyo domiio es el cojuto de los eteros positivos, su gráfica costa de putos aislados co coordeadas, a 2, a 2 3, a 3..., a... a 7 a = 8 De acuerdo co la figura o la 2, parece que los térmios de la sucesió a se aproxima a cuado se icremeta. E efecto, la diferecia 0 2 3 4 5 6 7 FIGURA 2 se puede hacer ta pequeña como se quiera al icremetar a. Se idica lo aterior escribiedo lím l E geeral, la otació lím a L l quiere decir que los térmios de la sucesió a se aproxima a L cuado se icremeta suficietemete. Observe que la defiició siguiete del límite de ua sucesió es muy parecida a la defiició de límite de ua fució e el ifiito dada e la secció 2.6.
SECCIÓN. SUCESIONES 677 DEFINICIÓN Ua sucesió a tiee como límite L, y se escribe lím a L l o a l L cuado l si podemos aproximar los térmios a tato como se quiera cuado es suficietemete grade. Si existe lím l a, se dice que la sucesió coverge (o que es covergete). De lo cotrario se dice que la sucesió diverge (o es divergete). E la figura 3 se ilustra la defiició mostrado las gráficas de las dos sucesioes que tiee como límite a L. a a FIGURA 3 Gráficas de las dos sucesioes lím a =L ` L 0 L 0 Ua versió más exacta de la defiició es como se idica a cotiuació. 2 DEFINICIÓN Ua sucesió a tiee por límite a L y se escribe & Compare esta defiició co la defiició 2.6.7. lím a L l o bie a l L cuado l si para todo 0 hay u etero correspodiete N tal que si N etoces a L La defiició 2 se ilustra mediate la figura 4, e la cual los térmios a, a 2, a 3,... se localiza e la recta umérica. No importa qué ta pequeño se escoja al itervalo L, L, existe ua N tal que todos los térmios de la sucesió desde a N e adelate debe estar e el itervalo. a a a aˆ a N+ a N+2 a aß a a a FIGURA 4 0 L- L L+ Otra ilustració de la defiició 2 es la figura 5. Los putos sobre la gráfica de a debe estar etre las rectas horizotales y L y y L si N. Esta image debe ser válida, o importa qué ta pequeño se haya escogido, pero por lo regular u más pequeño requiere ua N más grade. y L y=l+ y=l- FIGURA 5 0 2 3 4 N
678 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS La comparació de la defiició 2 y la defiició 2.6.7 señala que la úica diferecia etre lím l a L y lím xl fx L es que se requiere que sea etero. E estos térmios está el siguiete teorema, el cual se ilustra e la figura 6. 3 TEOREMA Si lím xl fx L y f a, cuado es u etero, etoces lím l a L. y y=ƒ L FIGURA 6 0 2 3 4 x E particular, puesto que ya se sabe que lím x l x r 0, cuado r 0 (teorema 2.6.5), se tiee 4 lím l r 0 si r 0 Si a tiede a ser muy grade cuado lo es, se usa la otació lím l a. La siguiete defiició exacta es parecida a la defiició 2.6.9. 5 DEFINICIÓN etero N tal que lím l a sigifica que para todo úmero positivo M hay u a M siempre que N Si lím l a, etoces la sucesió a es divergete pero de ua maera especial. Se dice que a diverge a. Las leyes de los límites que se estudia e la secció 2.3 tambié se cumple para los límites de sucesioes y sus demostracioes so similares. LEYES DE LOS LÍMITES PARA LAS SUCESIONES. Si a y b so sucesioes covergetes y c es ua costate, etoces lím a b lím a lím b l l l lím a b lím a lím b l l l lím ca c lím a l l lím c c l lím a b lím a lím b l l l a lím l b lím a l lím b l si lím l b 0 lím a p [lím a l l ] p si p 0 y a 0
SECCIÓN. SUCESIONES 679 El teorema de la compresió tambié se puede adaptar a las sucesioes como sigue (véase figura 7). TEOREMA DE LA COMPRESIÓN PARA LAS SUCESIONES. c Si a b c para 0 y lím a lím c, etoces lím b L L. l l l Otro hecho útil co respecto a los límites de sucesioes se proporcioa e el teorema siguiete cuya demostració se deja como ejercicio (ejercicio 75). b a 6 TEOREMA Si lím a 0, etoces lím a 0. l l 0 FIGURA 7 La sucesió hbj es comprimida etre las sucesioes haj y hcj EJEMPLO 4 Determie lím. l SOLUCIÓN El método es similar al que se preseta e la secció 2.6: Se divide tato el umerador como el deomiador etre la potecia más alta de y luego se aplica las leyes de los límites. & Esto demuestra que la cojetura que se hizo ates a partir de las figuras y 2 era correcta. lím l lím l 0 E este caso se aplica la ecuació 4 co r. lím l lím lím l l l EJEMPLO 5 Calcule lím. l SOLUCIÓN Observe que tato el umerador como el deomiador tiede al ifiito cuado l. No se puede aplicar directamete la regla de l Hospital porque o se aplica a sucesioes, sio a fucioes de ua variable real. No obstate, se puede aplicar la regla de l Hospital a la fució relacioada fx l xx y obteer l x lím x l x Por lo tato, de acuerdo co el teorema 3 x lím x l 0 l lím l 0 a 0 2 3 4 _ FIGURA 8 EJEMPLO 6 Determie si la sucesió a es covergete o divergete. SOLUCIÓN Si escribe los térmios de la sucesió obtiee,,,,,,,... La gráfica de esta sucesió se muestra e la figura 8. Como los térmios oscila etre y e forma ifiita, a o se aproxima a igú úmero. Por lo tato, lím l o existe; es decir, la sucesió es divergete.
680 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS & La gráfica de la sucesió del ejemplo 7 se muestra e la figura 9 y apoya la respuesta. EJEMPLO 7 Evaluar lím si es que existe. l a SOLUCIÓN lím l lím l 0 0 _ FIGURA 9 Por lo tato, de acuerdo co el teorema 6, lím 0 l El siguiete teorema dice que al aplicar ua fució cotiua a los térmios de ua sucesió covergete, el resultado tambié es covergete. La prueba se deja como ejercicio 76. 7 TEOREMA Si lím a L y la fució f es cotiua e L, etoces l lím l f a f L EJEMPLO 8 Ecuetre lím sep. l SOLUCIÓN Como la fució seo es cotiua e 0, el teorema 7 hace posible escribir lím sep se lím l l p se 0 0 V EJEMPLO 9 Aalice la covergecia de la sucesió a!, dode! 2 3. & GRAFICACIÓN DE SUCESIONES Alguos sistemas algebraicos computacioales cotiee comados especiales que permite crear sucesioes y dibujarlas directamete. Si embargo, co la mayoría de las calculadoras para trazar gráficas se puede dibujar sucesioes usado ecuacioes paramétricas. Por ejemplo, la sucesió del ejemplo 9 se puede dibujar itroduciedo las ecuacioes paramétricas y dibujado e el modo puto (dot mode) iiciado co t ; se establece el paso t-ésimo igual a. El resultado se muestra e la figura 0. x t y t!t t SOLUCIÓN Tato el umerador como el deomiador tiede al ifiito cuado l, pero e este caso o hay fució correspodiete para usar la regla de l Hospital (x! o está defiida cuado x o es u etero). Se escribe alguos de los térmios para ver qué pasa co a cuado es grade: 8 a a a 2 2 2 2 a 3 2 3 2 3 3 3 3 Al parecer, por estas expresioes y la gráfica de la figura 0, los térmios so decrecietes y quizá se aproxime a 0. Para cofirmarlo, observe que segú la ecuació 8 a 2 3 Observe que la expresió etre parétesis es cuado mucho porque el umerador es meor que (o igual) al deomiador. De este modo 0 FIGURA 0 0 0 a Sabe que l 0 cuado l. Por lo tato, a l 0 cuado l por el teorema de la compresió.
SECCIÓN. SUCESIONES 68 V EJEMPLO 0 Para qué valores de r es covergete la sucesió r? SOLUCIÓN Sabe por la secció 2.6 y las gráficas de las fucioes expoeciales de la secció.5 que lím para a y lím x l a x x l a x 0 para 0 a. Por lo tato, si hace a r y aplica el teorema 3 llega a Es obvio que lím r l lím l 0 y si r si 0 r lím 0 0 l Si r 0, por lo tato 0 r, de modo que lím r lím r 0 l l y, debido a eso, lím de acuerdo co el teorema 6. Si r, etoces r l r 0 diverge como e el ejemplo 6. E la figura se ilustra las gráficas de varios valores de r. (El caso de r se muestra e la figura 8.) a a r> r= _<r<0 0 FIGURA La sucesió a =r 0 0<r< r<_ Los resultados del ejemplo 0 se resume para uso futuro como sigue. 9 La sucesió r es covergete si r y divergete para todos los otros valores de r. lím r 0 l si r si r & El lado derecho es meor porque tiee u deomiador mayor. 0 DEFINICIÓN Ua sucesió a se llama creciete si a a para toda, es decir, a a 2 a 3. Se deomia decreciete si a a para toda. Recibe el ombre de moótoa si es creciete o decreciete. EJEMPLO La sucesió 3 5 es decreciete porque 3 5 3 5 3 6 y por lo tato a a para toda.
682 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS EJEMPLO 2 Demuestre que la sucesió a SOLUCIÓN Es ecesario demostrar que a a, es decir, 2 2 2 es decreciete. Esta desigualdad equivale a la obteida por multiplicació cruzada: 2 2 &? &? &? 2 2 3 2 3 2 2 2 2 Puesto que, ya sabe que la desigualdad 2 es verdadera. Por lo tato, a a y tambié a es decreciete. x SOLUCIÓN 2 Cosidere la fució f x : x 2 f x x 2 2x 2 x 2 2 x 2 x 2 2 0 cuado x 2 E estos térmios, f es decreciete e, y por eso a es decreciete. f f. Por lo tato DEFINICIÓN M tal que Ua sucesió a está acotada por arriba si hay u úmero a M para toda Se dice que está acotada por abajo si hay u úmero m tal que m a para toda Si está acotada por arriba y por abajo, e tal caso a es ua sucesió acotada. a M L 0 23 FIGURA 2 Por ejemplo, la sucesió a está acotada por abajo a 0, pero o por arriba. La sucesió a está acotada porque 0 a para toda. Ya sabe que o toda sucesió acotada es covergete [por ejemplo, la sucesió a cumple co a, pero es divergete del ejemplo 6] y o toda sucesió moótoa es covergete a l. Pero si ua sucesió es tato acotada como moótoa, etoces tiee que ser covergete. Este hecho se demuestra e la forma del teorema 2, pero ituitivamete se etiede por qué es cierto viedo la figura 2. Si a es creciete y a M para toda, después los térmios está forzados a aglomerarse y a aproximarse a u úmero L. La demostració del teorema 2 se apoya e el axioma de completitud para el cojuto de los úmeros reales, que dice que si S es u cojuto o vacío de úmeros reales que tiee ua cota superior M (x M para toda x e S), luego S tiee ua cota superior míima b. [Esto quiere decir que b es ua cota superior para S, pero si M es cualquier otra cota superior, por lo tato b M]. El axioma de completitud expresa el hecho de que o hay brecha o agujero e la recta de los úmeros reales.
SECCIÓN. SUCESIONES 683 2 TEOREMA DE LA SUCESIÓN MONÓTONA covergete. Toda sucesió acotada y moótoa es DEMOSTRACIÓN Supoga que a es ua sucesió creciete. Puesto que a está acotada, el cojuto S a posee ua cota superior. De acuerdo co el axioma de completitud, tiee ua cota míima superior L. Dado 0, L o es ua cota superior para S (puesto que L es la cota superior míima). Por lo tato, a N L para u etero N Pero la sucesió es creciete de modo que a a N para toda N. E estos térmios, si N a L de tal maera puesto que a L. Así que, 0 L a L a cuado N así lím l a L. Ua demostració similar (aplicado la cota iferior más grade) fucioa si a es decreciete. La demostració del teorema 2 demuestra que ua sucesió que es creciete y acotada por arriba es covergete. (De igual maera, ua sucesió decreciete que está acotada por abajo es covergete.) Este hecho se aplica muchas veces al trabajar co series ifiitas. EJEMPLO 3 Ivestigue la sucesió a defiida por la relació de recurrecia a 2 a 2a 6 para, 2, 3, SOLUCIÓN Para empezar se calcula los primeros térmios: a 2 a 2 22 6 4 a 3 24 6 5 a 4 25 6 5.5 a 5 5.75 a 6 5.875 a 7 5.9375 a 8 5.96875 a 9 5.984375 & Co frecuecia, la iducció matemática se aplica cuado se trabaja co sucesioes recursivas. Véase págia 77 dode se ecuetra u aálisis del pricipio de iducció matemática. Estos térmios iiciales hace pesar que la sucesió es creciete y que los térmios se aproxima a 6. Para cofirmar que la sucesió es creciete, aplique la iducció matemática para demostrar que a a para toda. Esto es válido para porque a 2 4 a. Si supoe que se cumple para k, después tiee a k a k de modo que a k 6 a k 6 y Por esto, 2a k 6 2a k 6 a k2 a k
684 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Ya se dedujo que a a es válida para k. Por lo tato, la desigualdad se cumple para toda por iducció. Luego de verificar que a está acotada demostrado que a 6 para toda. (Puesto que la sucesió es creciete, se sabe que tiee ua cota iferior: a a 2 para toda.) Se tiee que a 6, de modo que la aseveració es válida para. Supoga que se cumple para k. E tal caso a k 6 de este modo a k 6 2 2a k 6 22 6 Por eso, a k 6 Esto demuestra por iducció matemática que a 6 para toda. Como la sucesió a es creciete y acotada, el teorema 2 garatiza que tiee u límite. El teorema o dice cuál es el valor del límite, pero ahora que sabe que L lím l a existe, puede aplicar la relació de recurrecia para escribir lím a lím l l 2a 6 2( lím a 6 l ) 2 L 6 & Ua demostració de este hecho se pide e el ejercicio 58. Como a l L, se ifiere que a l L, tambié (cuado l, l, tambié). De este modo L 2L 6 Al resolver esta ecuació, determia que L 6, tal como había predicho.. EJERCICIOS. (a) Qué es ua sucesió? (b) Qué sigifica decir que lím l a 8? (c) Qué sigifica decir que lím l a? 2. (a) Qué es ua sucesió covergete? Proporcioe dos ejemplos. (b) Qué es ua sucesió divergete? Dé dos ejemplos. 3 8 Proporcioe los primeros cico térmios de la sucesió. 3. a 0.2 4. a 3 5. a 3 6. 2 4 6 2! 7. a 3, a 2a 8. a 4, a a 9 4 Ecuetre ua fórmula para el térmio geeral a de la sucesió, supoiedo que se matega el patró de los primeros térmios. 9. {, 3, 5, 7, 9,...} 0. {, 3, 9, 27, 8,...} a. 2, 7, 2, 7,... 2. 3. 5. {, 2 3, 4 9, 8 27,...} { 4, 2 9, 3 6, 4 25,...} 4. 5,, 5,, 5,,... Haga ua lista de los seis primeros térmios de la sucesió defiida por a 2 Parece que la sucesió tiee u límite? Si es así, hállelo. 6. Haga ua lista de los ueve primeros térmios de la sucesió cosp3. Parece que esta sucesió tiee u límite? Si es así, hállelo; si o es así, explique por qué. 7 46 Determie si la sucesió coverge o diverge. Si coverge, calcule el límite. 7. a 0.2 8. a 3 3
SECCIÓN. SUCESIONES 685 9. a 3 5 2 2 20. 2. a e 22. 23. a ta 2p 24. 8 25. a 26. 2 3 a a 32 5 a 9 a 3 3 2 2 54. (a) Determie si la sucesió defiida como sigue es covergete o divergete: a a 4 a para (b) Qué ocurre si el primer térmio es a 2? 55. Si se ivierte 000 dólares a 6% de iterés, compuesto aualmete, por lo tato años después la iversió tiee u valor de a 000.06 dólares. (a) Determie los primeros cico térmios de la sucesió a. (b) La sucesió es covergete o divergete? Explique 27. a cos2 28. a cos2 2 29. 30. arcta 2 2! e l 3. 32. l 2 e e 2 33. 2 e 34. cos p 35. 37. a se 38. a 4. a l2 2 l 2 42. 43. 0,, 0, 0,, 0, 0, 0,,... 44. 45. a! 46. a l l ; 47 53 Co la ayuda de ua gráfica de la sucesió, establezca si ésta es covergete o divergete. Si la sucesió es covergete, deduzca el valor del límite a partir de la gráfica, y luego demuestre su cojetura. (Véase ua advertecia sobre las gráficas de sucesioes e la ota al marge de la págia 680). 47. a 2e 48. 3 22 49. a 50. a s 3 5 8 2 5. 52. a cos2 2 a 2 cos 2 a 53. a 2 3 5 2! 3 5 2! 36. 39. a 2 40. a a s2 3 se 2 s l 2 {, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 6,...} a 3! a s se(ps) 56. Determie los primeros 40 térmios de la sucesió defiida por y a. Haga lo mismo para a 25. Cojeture co respecto al tipo de sucesió. 57. Para qué valores de r es covergete la sucesió r? 58. (a) Si a es covergete, demuestre que 59. (b) Ua sucesió a se defie co a y a a para. Si supoe que a es covergete, calcule el límite. Supoga que sabe que a es ua sucesió decreciete y que todos sus térmios está etre los úmeros 5 y 8. Explique por qué la sucesió tiee u límite. Qué puede decir co respecto al valor del límite? 60 66 Determie si la sucesió es creciete, decreciete, o o es moótoa. Está acotada la sucesió? 60. a 2 6. a a 2 a 3a 2 3 lím a lím l l a 62. 63. a 64. a e 65. a 66. a 2 67. Determie el límite de la sucesió si a es u úmero par si a es u úmero impar a {s2, s2s2, s2s2s2,...} 2 3 3 4 68. Ua sucesió a está dada por a s2, a s2 a. (a) Mediate iducció u otro método, demuestre que a es creciete y que su cota superior es 3. Aplique el teorema de sucesió moótoa para demostrar que sí existe lím l a. (b) Determie lím l a.
686 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 69. Demuestre que la sucesió defiida por a es creciete y que a 3 para toda. Deduzca que a es covergete y determie su límite. 70. Demuestre que la sucesió defiida por a 2 cumple co 0 a 2 y es decreciete. Deduzca que la sucesió es covergete y ecuetre el límite. 7. (a) Fiboacci plateó el problema siguiete: Supoga que los coejos vive toda la vida, que cada mes todas las parejas tiee u uevo par de coejitos, los cuales empieza a ser productivos a la edad de dos meses. Si empieza co ua pareja de recié acidos, cuátas parejas de coejos tedrá e el -ésimo mes? Demuestre que la respuesta es f, dode f es la sucesió de Fiboacci que se defie e el ejemplo 3(c). (b) Sea a f f y demuestre que a a 2. Supoiedo que a es covergete, determie el límite. 72. (a) Sea a a, a 2 f a, a 3 f a 2 f f a,..., a f a, dode f es ua fució cotiua. Si lím l a L, demuestre que fl L. (b) Ilustre el iciso (a) haciedo f x cos x, a, y calculado el valor de L co cico cifras decimales. ; 73. (a) Mediate ua gráfica, deduzca el valor del límite (b) Co ua gráfica de la sucesió del iciso (a) calcule los valores más pequeños de N que correspode a 0. y 0.00 e la defiició 2. 74. Aplique directamete la defiició 2 para demostrar que lím l r 0 cuado r. 75. Demuestre el teorema 6. [Sugerecia: Aplique la defiició 2 o el teorema de la compresió]. 76. Demuestre el teorema 7 77. Demuestre que si lím l 0 y b es acotada, etoces lím l a b 0 78. Sea a. a 3 a a 3 a 5 lím l! (a) Demuestre que si 0 a b, e tal caso b a b b a (b) Deduzca que b a b a. (c) Aplique a y b e el iciso (b) para demostrar que a es creciete. (d) Use a y b 2 e el iciso b) para demostrar que a 2 4. (e) Mediate los icisos (c) y (d) demuestre que a 4para toda. (f) Aplique el teorema 2 para demostrar que existe lím l. (El límite es e. Vea la ecuació 3.6.6) 79. Sea a y b úmeros positivos co a b. Sea a la media aritmética y b la media geométrica: Repita el proceso de modo que, e geeral, a a a b 2 a b 2 (a) Mediate la iducció matemática demuestre que a a b b (b) Deduzca que tato a como b so covergetes. (c) Demuestre que lím l a lím l b. Gauss llamó al valor comú de estos límites media aritmética-geométrica de los úmeros a y b. 80. (a) Demuestre que si lím l a 2 L y lím l a 2 L, etoces a es covergete y lím l a L. (b) Si a y a a calcule los primeros ocho térmios de la sucesió a. Luego use el iciso (a) para demostrar que lím l a s2. Esto da el desarrollo e fracció cotiua s2 2 8. El tamaño de ua població de peces ialterada está modelado mediate la fórmula p bp a p b sab b sa b dode p es la població de peces después de años y a y b so costates positivas que depede de las especies y su medio. Supoga que la població e el año 0 es p 0 0. (a) Demuestre que si p es covergete, después los úicos valores posibles de este límite so 0 y b a. (b) Demuestre que p bap. (c) Mediate el iciso (b) demuestre que si a b, e seguida lím l p 0, e otras palabras, la població muere. (d) Ahora supoga que a b. Demuestre que si p 0 b a, por lo tato p es creciete y 0 p b a. Asimismo, demuestre que si p 0 b a, e tal caso p es decreciete y p b a. Deduzca que si a b, por lo tato lím l p b a. 2
SECCIÓN.2 SERIES 687 PROYECTO DE LABORATORIO CAS SUCESIONES LOGÍSTICAS Ua sucesió que surge e ecología como u modelo para el crecimieto poblacioal se defie por medio de la ecuació logística e diferecias p kp p dode p es el tamaño de la població de la -ésima geeració de ua sola especie. Para poder trabajar co los úmeros, p es ua fracció del tamaño máximo de la població, de modo que 0 p. Observe que la forma de la ecuació es similar a la ecuació logística e diferecias de la secció 9.4. El modelo discreto, co sucesioes e lugar de fucioes cotiuas, es preferible para modelar las poblacioes de isectos, dode el apareamieto y la muerte ocurre de u modo periódico. U ecologista se iteresa e predecir el tamaño de la població a medida que el tiempo avaza, y platea estas pregutas: Se estabilizará e u valor límite? Cambiará de maera cíclica? O bie, mostrará u comportamieto aleatorio? Escriba u programa para calcular los primeros térmios de esta sucesió co ua població iicial p 0, dode 0 p 0. Co este programa efectúe lo siguiete.. Calcule 20 o 30 térmios de la sucesió para p 0 2 y para dos valores de k tales que k 3. Dibuje las sucesioes. Coverge? Repita para u valor distito de p 0 etre 0 y. El límite depede del valor de p 0 escogido? Depede del valor elegido de k? 2. Calcule térmios de la sucesió para u valor de k etre 3 y 3.4 y dibújelos. Qué observa co respecto al comportamieto de los térmios? 3. Experimete co valores de k etre 3.4 y 3.5. Qué sucede co los térmios? 4. Para valores de k etre 3.6 y 4, calcule y dibuje por lo meos 00 térmios y comete el comportamieto de la sucesió. Qué sucede si cambia p 0 por 0.00? Este tipo de comportamieto se llama caótico y lo muestra poblacioes de isectos e ciertas codicioes..2 SERIES Si trata de sumar los térmios de ua sucesió ifiita a, obtiee ua expresió de la forma a a 2 a 3 a que se deomia serie ifiita, o sólo serie, y se deota co el símbolo a o a Pero, tiee setido hablar de suma de ua catidad ifiita de térmios? Sería imposible ecotrar la suma fiita de la serie 2 3 4 5 porque si empieza a sumar los térmios, obtiee sumas acumulativas, 3, 6, 0, 5, 2,... y después del -ésimo térmio, llega a 2, lo cual se vuelve muy grade cuado se icremeta. Si embargo, si empieza por sumar los térmios de la serie 2 4 8 6 32 64 2
688 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Suma de los primeros térmios 0.50000000 2 0.75000000 3 0.87500000 4 0.93750000 5 0.96875000 6 0.98437500 7 0.9928750 0 0.99902344 5 0.99996948 20 0.99999905 25 0.99999997 3 7 5 3 obtiee 2, 4, 8, 6, 32, 64,..., 2,... E la tabla se puede ver que cuado suma más y más térmios, estas sumas parciales se vuelve más y más cercaas a. (Véase tambié la figura e Presetació prelimiar del cálculo e la págia 7). De hecho, al sumar suficietes térmios de la serie es posible hacer que las sumas parciales sea ta cercaas a como se quiera. Por eso es razoable decir que la suma de esta serie ifiita es igual a y escribir 63 2 2 4 8 6 2 Se aplica ua idea similar para determiar si ua serie geeral () tiee o o tiee ua suma. Cosidere las sumas parciales s a s 2 a a 2 s 3 a a 2 a 3 s 4 a a 2 a 3 a 4 y, e geeral, s a a 2 a 3 a a i i Estas sumas parciales forma ua ueva sucesió s, la cual puede teer o o teer u límite. Si existe lím l s s (como u úmero fiito), después, como e el ejemplo aterior, se llama suma de la serie ifiita a. 2 DEFINICIÓN Dada ua serie a a a 2 a 3, deote co s la -ésima suma parcial: s i a i a a 2 a Si la sucesió s es covergete y lím l s s existe como u úmero real, etoces la serie a se dice covergete y se escribe a a 2 a s o a s El úmero s se llama suma de la serie. Si o es así, la serie se dice divergete. & Compare co la itegral impropia y f x dx lím t l y t f x dx Para determiar esta itegral itegre desde hasta t y hacemos que t l. E el caso de series, sume desde hasta y hacemos que l. Así, la suma de ua serie es el límite de la sucesió de sumas parciales. Cuado escribe a s quiere decir que al sumar suficietes térmios de la serie puede llegar ta cerca como quiera al úmero s. Observe que a lím l a i i EJEMPLO U ejemplo importate de ua serie ifiita es la serie geométrica a ar ar 2 ar 3 ar ar a 0
SECCIÓN.2 SERIES 689 & La figura proporcioa ua demostració geométrica del resultado del ejemplo. Si los triágulos se costruye como se idica y s es la suma de la serie, después, por triágulos semejates s a a a ar por lo que s a r ar# ar@ Cada térmio se obtiee a partir del térmio precedete y se multiplica por la razó comú r. (Ya se cosideró el caso especial cuado a y r 2 2 de la págia 687). Si r, e cosecuecia s a a a a l. Puesto que lím l s o existe, la serie geométrica diverge e este caso. Si r, y Al restar estas ecuacioes obtiee s a ar ar 2 ar rs ar ar 2 ar ar a-ar ar ar@ ar s 3 s rs a ar s a r r a a Si r, sabe por (..9) que r l 0 cuado l, de modo que FIGURA a lím s a r lím l l r a r a r lím r l a r Por esto, cuado r, la serie geométrica es covergete y su suma es a r. Si r o bie, r, la sucesió r es divergete de acuerdo co (..9) y de ese modo, segú la ecuació 3, lím l s o existe. Por lo tato, la serie geométrica diverge e esos casos. El resume de los resultados del ejemplo es como se señala a cotiuació. 4 La serie geométrica ar a ar ar 2 & E palabras: la suma de la serie geométrica covergete es primer térmio razó comú es covergete si r y su suma es ar a r Si r, la serie geométrica es divergete. r V EJEMPLO 2 Calcule la suma de la serie geométrica 5 0 3 20 9 40 27 r 2 3 SOLUCIÓN El primer térmio es a 5 y la razó comú es r 2 3. Como, la serie es covergete segú (4) y su suma es 5 0 3 20 9 40 27 5 ( 2 3) 5 5 3 3
690 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS & Qué se quiere dar a eteder e realidad cuado se dice que la suma de la serie del ejemplo 2 es 3? Naturalmete, o puede sumar uo más uo ua catidad ifiita de térmios. Pero, de acuerdo co la defiició 2, la suma total es el límite de la sucesió de sumas parciales. De este modo, al efectuar la suma de suficietes térmios, se acerca tato como quiera al úmero 3. La tabla muestra las primeras diez sumas parciales s, y e la gráfica de la figura 2 se ilustra cómo la sucesió de las sumas parciales se aproxima a 3. s 5.000000 2.666667 3 3.888889 4 2.407407 5 3.395062 6 2.736626 7 3.75583 8 2.882945 9 3.078037 0 2.947975 s 3 0 20 FIGURA 2 EJEMPLO 3 Es covergete o divergete la serie 2 2 3? SOLUCIÓN Escriba el -ésimo térmio de la serie e la forma ar : & Otra maera de idetificar a y r es escribir los primeros térmios: 4 6 3 64 9 2 2 3 2 2 3 4 3 Idetifique esta serie como ua serie geométrica co a 4 y r 4 3. Como r, la serie diverge, de acuerdo co (4). 4( 4 3) V EJEMPLO 4 Escriba el úmero 2.37 2.3777... como ua razó de eteros. SOLUCIÓN 2.3777... 2.3 7 7 7 3 5 0 0 0 7 Después del primer térmio tiee ua serie geométrica co a 70 3 y r 0 2. Debido a eso, 2.37 2.3 7 0 3 0 2 23 7 47 0 990 495 2.3 7 000 99 00 0 EJEMPLO 5 Ecuetre la suma de la serie x dode x. TEC E Module.2 se estudia ua serie que depede del águlo u e u triágulo y permite ver qué ta rápido coverge la serie cuado varía u. SOLUCIÓN Observe que esta serie iicia co 0 y por eso el primer térmio es x 0. (E las series, se adopta la coveció de que x 0 au cuado x 0). De este modo, x x x 2 x 3 x 4 0 Ésta es ua serie geométrica co a y r x. Puesto que acuerdo co (4) se tiee r x, coverge, y de 5 x 0 x
SECCIÓN.2 SERIES 69 EJEMPLO 6 Demuestre que la serie es covergete, y determie su suma. SOLUCIÓN No es ua serie geométrica, de modo que regrese a la defiició de ua serie covergete y calcule las sumas parciales. s i ii 2 2 3 3 4 Puede simplificar esta expresió si la descompoe e fraccioes parciales ii i i & Observe que los térmios se cacela por pares. Éste es u ejemplo de ua suma telescópica. Debido a las cacelacioes, la suma se colapsa, al igual que u telescopio de pirata que se colapsa, e dos térmios. & E la figura 3 se ilustra el ejemplo 6 y se muestra la gráfica de la sucesió de térmios a y la sucesió s de sumas parciales. Observe que a l 0 y s l. Refiérase a los ejercicios 62 y 63, e dode se trata dos iterpretacioes geométricas del ejemplo 6. (véase secció 7.4). Así que, y de este modo Por lo tato, la serie dada es covergete y V s i ii i i 2 2 3 3 4 lím s lím 0 l l i EJEMPLO 7 Demuestre que la serie armóica s a 0 FIGURA 3 es divergete. SOLUCIÓN Para esta serie particular, es coveiete cosiderar las sumas parciales s 2, s 4, s 8, s 6, s 32,... y demostrar que se hace grades. s s 2 2 2 3 4 s 4 2 ( 3 4) 2 ( 4 4) 2 2 s 8 2 ( 3 4) ( 5 6 7 8) 2 ( 4 4) ( 8 8 8 8) 2 2 2 3 2 s 6 2 ( 3 4) ( 5 8) ( 9 6) 2 ( 4 4) ( 8 8) ( 6 6 ) 2 2 2 2 4 2
692 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS E forma similar, s, s 64 6 32 5 2 2, y, e geeral, s 2 2 & El método usado e el ejemplo 7 para demostrar que la serie armóica diverge es origial del fracés Nicole Oresme (323-382). Esto demuestra que s 2 l cuado l y por eso s es divergete. Debido a eso, la serie armóica es divergete. 6 TEOREMA Si la serie a es covergete, etoces lím a 0. l DEMOSTRACIÓN Sea s a a 2 a. E tal caso, a s s. Puesto que a es covergete, la sucesió s es covergete. Sea lím l s s. Como l cuado l, tambié se tiee lím l s s. Por lo tato, lím a lím s s lím s lím s l l l l s s 0 NOTA Co cualquier serie a se asocia dos sucesioes: la sucesió s de sus sumas parciales y la sucesió a de sus térmios. Si a es covergete, etoces el límite de la sucesió s es s, (la suma de la serie) y, como establece el teorema 6, el límite de la sucesió a es 0. NOTA 2 E geeral, el iverso del teorema 6 o se cumple. Si lím l a 0, o puede cocluir que a es covergete. Observe que para la serie armóica tiee a l 0 cuado l, pero ya demostró e el ejemplo 7 que es divergete. 7 LA PRUEBA DE LA DIVERGENCIA Si lím a o existe o si lím a 0, etoces la serie l l a es divergete. La prueba de la divergecia se ifiere del teorema 6 porque si la serie o es divergete, etoces es covergete y por lo tato lím l a 0. EJEMPLO 8 Demuestre que la serie 2 5 2 4 es divergete. SOLUCIÓN lím a 2 lím lím l l 5 2 4 l 5 4 2 5 0 De modo que la serie diverge de acuerdo co la prueba de la divergecia. NOTA 3 Si ecuetra que lím l a 0, sabe que a es divergete. Si tiee que lím l a 0, o sabe ada co respecto a la covergecia o la divergecia de a. Recuerde la advertecia de la ota 2: si lím l a 0, la serie a podría ser covergete o divergete
SECCIÓN.2 SERIES 693 8 TEOREMA Si a y b so series covergetes, etoces tambié lo so las series ca (dode c es ua costate), a b y a b,y (i) (iii) ca c a a b a b (ii) a b a b Estas propiedades de las series covergetes se ifiere de las leyes de los límites correspodietes a las sucesioes de la secció.. Por ejemplo, aquí se demuestra la parte (ii) del teorema 8: Sea s a i i s La -ésima suma parcial de la serie a b es y, a través de la ecuació 5.2.0, tiee a u Por lo tato, a b es covergete y su suma es i lím l a i lím i l b i i t a i b i b i i t lím u lím l l a i b i lím i l a i b i i i b lím l s lím l t s t a b s t a b 3 EJEMPLO 9 Determie la suma de la serie. 2 SOLUCIÓN La serie 2 es ua serie geométrica co a y r 2 2, de modo que E el ejemplo 6 ecuetra que Así, por el teorema 8, la serie dada es covergete y 3 3 2 3 4 NOTA 4 Ua catidad fiita de térmios o afecta la covergecia o divergecia de ua serie. Por ejemplo, supoga que es capaz de demostrar que la serie 4 2 2 2 3 2
694 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS es covergete. Puesto que se ifiere que la serie completa 3 es covergete. Asimismo, si sabe que la serie N a es covergete, etoces la serie completa es tambié covergete. 3 2 2 9 3 28 a N a 4 a N 3.2 EJERCICIOS. (a) Cuál es la diferecia etre ua sucesió y ua serie? (b) Qué es ua serie covergete? Qué es ua serie divergete? 2. Explique qué sigifica decir que a 5. ; 3 8 Calcule por lo meos 0 sumas parciales de las series. Dibuje tato la sucesió de los térmios como la sucesió de las sumas parciales e la misma patalla. Cómo parece ser la serie? Covergete o divergete? Si es covergete, determie la suma. Si es divergete, explique la razó. 3. 5. ta 6. 7. 8. s 0. (a) Explique la diferecia etre a i y i (b) Explique la diferecia etre a i y i 20 Determie si la serie geométrica es covergete o divergete. Si es covergete, calcule la suma.. 3 2 4 2. 8 4 3 8 9 2 3. 3 4 6 3 64 9 4. 0.4 0.6 0.064 5. 6. 0 6(0.9) (9) 2 5 9. Sea a 2. 3 (a) Determie si a es covergete. (b) Diga si a es covergete. 4. 2 2 2 0.6 2 a j j a j i 7. 8. 9. 20. 2 34 Determie si la serie es covergete o divergete. Si es covergete, ecuetre su suma. 2. 22. 2 23. 24. 2 25. 26. 27. s 2 28. 29. l 2 30. 3. arcta 32. 33. 34. e ( 35 40 Determie si la serie es covergete o divergete al expresar s como suma extesible (como e el ejemplo 6). Si es covergete, ecuetre su suma. 35. 3 4 0 3 k2 k 2 36. 37. 3 38. l ( 3) k 2 k 2 3 2 2 2 2 2 0 kk 2 k 3 2 3 2 0.8 0.3 cos k k 3 5 2 e 2 (s2) e 3 2 3 2 2 4 3
SECCIÓN.2 SERIES 695 CAS 39. 40. 4 46 Exprese el úmero como ua razó de eteros. 4. 42. 0.73 0.73737373... 43. 3.47 3.474747... 44. 6.254 6.2545454... 47 5 Calcule los valores de x para los cuales la serie coverge. Determie la suma de la serie para dichos valores de x. 47. 48. 49. 4 x 50. 5. (e / e /() ) cos cos 2 0,2 0.2222... x 3 0 cos x 0 2 52. Puesto que la serie armóica es ua serie divergete cuyos térmios se aproxima a 0. Demuestre que l es otra serie co esta propiedad. 53 54 Aplique el comado de las fraccioes parciales e su sistema algebraico computacioal para determiar la suma parcial, y luego aplique esta expresió para determiar la suma de la serie. Compruebe su respuesta usado directamete el sistema algebraico a la suma de la serie. 53. 3 2 3 54. 2 3 55. Si la -ésima suma parcial de ua serie a es determie a y a. ( ) 2 45..5342 46. 7.2345 s 2 x 4 x 3 0 2 3 56. Si la -ésima suma parcial de ua serie a es s, determie a y 3 2 a. 57. Cuado el diero se gasta e biees y servicios, los que recibe el diero tambié gasta u poco de él. Las persoas que recibe algo del diero gastado dos veces, gastará algo de dicho diero, y así sucesivamete. Los ecoomistas llama a esta reacció e cadea efecto multiplicador. E u hipotético pueblo aislado, el gobiero local iicia el proceso gastado D dólares. Supoga que cada persoa que recibe diero gasta 00c% y ahorra 00s% del diero. Los valores c y s se deomia propesió margial al cosumo y propesió margial al ahorro y, aturalmete, c s. (a) Sea S el total de lo gastado que ha sido geerado después de trasaccioes. Determie ua ecuació para S. (b) Demuestre que lím l S kd, dode k s. La catidad k se llama multiplicador. Cuál es el multiplicador si la propesió margial al cosumo es 80%? Nota: El gobiero federal de Estados Uidos usa este pricipio para justificar el gasto que muestra déficit. Los bacos utiliza el pricipio para justificar los préstamos de u gra porcetaje del diero que recibe como depósito. 58. Ua cierta pelota tiee la característica de que cada vez que cae desde ua altura h sobre ua superficie ivelada y dura, rebota hasta ua altura rh, dode 0 r. Supoga que la pelota cae desde ua altura iicial de H metros. (a) Supoga que la pelota cotiúa rebotado de maera idefiida y calcule la distacia total que recorre. (Use el hecho de que la pelota cae 2 tt 2 metros e t segudos). (b) Calcule el tiempo total que la pelota viaja. (c) Supoga que cada vez que la pelota golpea la superficie co velocidad v rebota co velocidad kv, dode 0 k. Cuáto tiempo le tomará a la pelota llegar al reposo? 59. Cuál es el valor de c si 2 c 2? 60. Ecuetre el valor de c tal que e c 0 0 6. E el ejemplo 7 se demostró que la serie armóica es divergete. Aquí se resume otro método, haciedo uso del hecho de que e x x para cualquier x 0. (Vea el ejercicio 4.3.76.) Si s es la -ésima suma parcial de la serie armóica, demuestre que e s. Por qué esto implica que la serie armóica es divergete? ; 62. Dibuje las curvas y x, 0 x, para 0,, 2, 3, 4,... sobre ua misma patalla. Determie las áreas etre las curvas sucesivas y mediate geometría demuestre el hecho siguiete, demostrado e el ejemplo 6,
696 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 63. E la figura se ilustra dos círculos C y D de radio que se toca e P. T es ua tagete comú; C es el círculo que toca C, D y T; C 2 es el círculo que toca C, D y C ; C 3 es el círculo que toca C, D y C 2. Este procedimieto puede cotiuar e forma idefiida y produce ua sucesió ifiita de círculos C. Determie ua expresió para el diámetro de C y, de ese modo, proporcioe otra demostració geométrica del ejemplo 6. 64. U triágulo rectágulo ABC está defiido co A y AC b. CD se traza perpedicular a AB, DE se traza e forma perpedicular a BC, EF AB, y este procedimieto cotiúa e forma idefiida como se ilustra e la figura. Determie la logitud total de todas las perpediculares 65. C CD DE EF FG e térmios de b y. B Qué es lo que está mal e el cálculo siguiete? 0 0 0 0 H 0 0 0 F G (Guido Ubaldus pesaba que esto demostraba la existecia de Dios, porque se había creado algo de la ada ). P C C C D E C A b T D 69. Si a es covergete y b es divergete, demuestre que la serie a b es divergete. [Sugerecia: aplique el razoamieto de cotradicció.] 70. Si a y b so divergetes, ecesariamete a b es divergete? 7. Supoga que ua serie a costa de térmios positivos y sus sumas parciales s cumple co la desigualdad s 000 para toda. Explique por qué a debe ser covergete. 72. La sucesió de Fiboacci se defie e la secció. mediate las ecuacioes Demuestre que cada uo de los siguietes euciados es válido. (a) (b) (c) f f f f f f 2 2 f, f 2, f f f f f 2 f f f 2 3 73. El cojuto de Cator, ombrado así e hoor al matemático alemá Georg Cator (845-98), se costruye como se señala a cotiuació. Empiece co el itervalo cerrado [0, ] y retire el itervalo abierto ( 3, 2. Esto deja los dos itervalos [0, y [ 2 3 ) 3 ] 3, ] y luego elimie el itervalo abierto costituido por el tercio medio de cada uo. De este modo queda cuatro itervalos y de uevo elimie el tercio medio de cada uo de ellos. Cotiúe este procedimieto de maera idefiida elimiado e cada paso el tercio medio de cada itervalo que queda del paso aterior. El cojuto de Cator cosiste e los úmeros que queda e [0, ] después de que todos esos itervalos se ha elimiado. (a) Demuestre que la logitud total de todos los itervalos que se elimia es. A pesar de eso, el cojuto de Cator cotiee ua catidad ifiita de úmeros. Proporcioe ejemplos de alguos úmeros del cojuto de Cator. (b) El tapete de Sierpiski es u equivalete e dos dimesioes del cojuto de Cator. Se costruye elimiado el oveo cetral de u cuadrado de lado, y luego se elimia el cetro de cada uo de los ocho cuadrados restates, y así sucesivamete. (E la figura se ilustra los primeros tres pasos de la costrucció). Demuestre que la suma de las áreas de los cuadrados elimiados es. Esto sigifica que el área del tapete de Sierpiski es cero. 66. Supoga que se sabe que a a 0 es ua serie covergete. Demuestre que a es ua serie divergete. 67. Demuestre la parte (i) del teorema 8. 68. Si a es divergete y c 0, demuestre que ca es divergete.
SECCIÓN.3 LA PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACIONES DE LAS SUMAS 697 74. (a) Ua sucesió a se defie recursivamete mediate la ecuació a 2 a a 2 para 3, dode a y a 2 so úmeros reales. Experimete co varios valores de a y a 2 y co la ayuda de su calculadora adivie el límite de la sucesió. (b) Ecuetre lím l a e térmios de a y a 2 escribiedo a a e fució de a 2 a y sume la serie. 75. Cosidere la serie! (a) Calcule las sumas parciales s, s 2, s 3 y s 4. Recooce los deomiadores? Mediate el patró cojeture ua fórmula para s. (b) Aplique la iducció matemática para demostrar su cojetura. (c) Demuestre que la serie ifiita dada es covergete y calcule la suma 76. E la figura hay ua catidad ifiita de círculos que se aproxima a los vértices de u triágulo equilátero. Cada círculo toca a otros círculos y a los lados del triágulo. Si el triágulo tiee lados que mide ua uidad de logitud, calcule el área total que ocupa los círculos..3 LA PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACIONES DE LAS SUMAS s i 5.4636 0.5498 50.625 00.6350 500.6429 000.6439 5000.6447 i 2 E geeral, es difícil determiar la suma exacta de ua serie. Se es capaz de lograrlo e el caso de series geométricas y las series porque e cada uo de estos casos es posible ecotrar ua fórmula simple para la -ésima suma parcial s. Pero por lo regular o es fácil calcular lím l s. Por lo tato, e las siguietes seccioes se trata varias pruebas que permite determiar si ua serie es covergete o divergete si que se tega que ecotrar e forma explícita su suma. (E alguos casos, los métodos permite determiar uas bueas estimacioes de la suma.) El primer método utiliza itegrales impropias. Empiece por ivestigar las series cuyos térmios so los recíprocos de los cuadrados de los eteros positivos: No hay ua fórmula secilla para la suma de los primeros térmios, pero la tabla geerada mediate ua computadora de los valores, dados e el marge sugiere que las sumas parciales se aproxima a u úmero cercao a.64 cuado l y de este modo parece como si la serie fuera covergete. Se cofirma esta impresió co u razoamieto geométrico. E la figura se ilustra la curva y x 2 y alguos rectágulos que se ecuetra abajo de la curva. La base de cada uo de los rectágulos es u itervalo de logitud igual a ; la altura es igual al valor de la fució y x 2 e el extremo derecho del itervalo de este modo, la suma de las áreas de los rectágulos es y 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 y= s 2 área= @ 0 2 4 5 x FIGURA área= 2@ área= 3@ área= 4@ área= 5@
698 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Si excluye el primer rectágulo, el área total de los rectágulos restates es meor que el área bajo la curva y x 2 para x, que es el valor de la itegral x x 2 dx. E la secció 7.8 descubrió que esta itegral impropia es covergete y que tiee u valor de. De modo que la figura muestra que todas las sumas parciales so meores que E estos térmios, las sumas parciales está acotadas. Tambié sabe que las sumas parciales so crecietes porque todos los térmios so positivos. Por lo tato, las sumas parciales coverge, de acuerdo co el teorema de la sucesió moótoa, y de esa maera la serie es covergete. La suma de la serie (el límite de las sumas parciales) es tambié meor que 2: y 2 2 dx 2 x 2 2 2 2 3 2 4 2 2 s i si 5 3.237 0 5.020 50 2.7524 00 8.5896 500 43.2834 000 6.800 5000 39.968 [El matemático suizo Leohard Euler (707-783) calculó que la suma exacta de esta serie es, pero la demostració de esto es muy difícil. Véase el problema 6 e los Problemas adicioales después del capítulo 5]. Ahora estudie la serie 2 6 La tabla de valores de s hace pesar e que las sumas parciales o se aproxima a u úmero fiito, de modo que se sospecha que la serie dada podría ser divergete. Ua vez más use ua image para cofirmarlo. E la figura 2 se ilustra la curva y sx, pero esta vez se usa rectágulos cuya parte superior queda por ecima de la curva. y y= œx s s s2 s3 s4 s5 FIGURA 2 0 2 3 4 5 área= œ área= œ2 área= œ3 área= œ4 x La base de cada uo de los rectágulos es u itervalo de logitud. La altura es igual al valor de la fució y sx e el extremo izquierdo del itervalo. Así, la suma de las áreas de todos los rectágulos es s s2 s3 s4 s5 Esta área total es mayor que el área bajo la curva para, que es igual a la itegral x (sx) y sx x dx. Pero segú la secció 7.8, esta itegral impropia es divergete. E otras palabras, el área bajo la curva es ifiita. Por eso, la suma de la serie debe ser ifiita; es decir, la serie es divergete. El mismo tipo de razoamieto geométrico aplicado para estas dos series, se puede hacer para demostrar la prueba siguiete. (La demostració se ecuetra al fial de esta secció.) s
SECCIÓN.3 LA PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACIONES DE LAS SUMAS 699 PRUEBA DE LA INTEGRAL Supoga que f es ua fució cotiua, positiva y decreciete e, y sea a. E tal caso la serie f a es covergete si y sólo si la itegral impropia f x dx es covergete. E otras palabras: y (i) Si f x dx es covergete, etoces es covergete. y x a a (ii) Si f x dx es divergete, etoces es divergete. NOTA Cuado use la prueba de la itegral o es ecesario iiciar la serie o la itegral e. Por ejemplo, al probar la serie use Asimismo, o es ecesario que f sea siempre decreciete. Lo importate es que f sea decreciete por último, es decir, decreciete para x más grade que algú úmero N. E cosecuecia N a es covergete, de modo que a es covergete de acuerdo co la ota 4 de la secció.2. es cover- EJEMPLO Aplique la prueba de la itegral para saber si la serie gete o divergete. SOLUCIÓN La fució f x x 2 es cotiua, positiva y decreciete e, de modo que aplique la prueba de la itegral: y 4 3 2 dx lím x 2 t l yt lím t l ta t t dx lím x] x 2 t l ta 4 Por lo tato, x x 2 dx es ua itegral covergete y si es así, de acuerdo co la prueba de la itegral, la serie 2 es covergete. y 4 x 3 2 dx 2 4 2 4 & Para usar la prueba itegral ecesita evaluar x fx dx y, por lo tato, tiee que hallar ua atiderivada de f. Es frecuete que esto sea difícil o imposible, de modo que tambié ecesita otras pruebas para covergecia. V EJEMPLO 2 Para qué valores de p es la serie covergete? SOLUCIÓN Si p 0, etoces lím. Si p 0, etoces lím l p l p. E cualquier caso lím l p 0, por lo que la serie dada es divergete de acuerdo co la prueba de la divergecia (.2.7). Si p 0, etoces la fució f x x p evidetemete es cotiua, positiva y decreciete e,. Segú el capítulo 7 [véase (7.8.2)], p y p dx coverge si p y diverge si p x Se ifiere de la prueba de la itegral que la serie p coverge si p y diverge si 0 p. (E el caso de p, esta serie es la serie armóica estudiada e el ejemplo 7 de la secció.2). La serie del ejemplo 2 se llama serie p. Es importate e el resto de este capítulo, de modo que se resume los resultados del ejemplo 2 para referecia futura como se idica a cotiuació.
700 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS La serie p, es covergete si p y divergete si p. p EJEMPLO 3 (a) La serie 3 3 2 3 3 3 4 3 es covergete porque es ua serie p co p 3. (b) La serie 3 s 3 s 3 2 s 3 3 s 3 4 es divergete porque es ua serie p co p 3. NOTA No debe iferir que, de acuerdo co la prueba de la itegral, la suma de la serie es igual al valor de la itegral. E efecto, Por lo tato, 2 2 6 e tato que a y f x dx y 2 dx x V EJEMPLO 4 Determie si la serie l es covergete o divergete. SOLUCIÓN La fució f x l xx es positiva y cotiua para x porque la fució logaritmo es cotiua. Pero o es obvio si f es decreciete o o lo es, de modo que al calcular su derivada: f x xx l x x 2 Por lo tato, f x 0 cuado l x, es decir, x e. Se ifiere que f es decreciete cuado x e y así aplicar la prueba de la itegral: l x x 2 y l x x dx lím t l y t l x l x 2 t dx lím x t l 2 l t 2 lím t l 2 Puesto que esta itegral impropia es divergete, la serie l tambié es divergete de acuerdo co la prueba de la itegral. ESTIMACIÓN DE LA SUMA DE UNA SERIE Supoga que pudo aplicar la prueba de la itegral para demostrar que ua serie a es covergete y que quiere ecotrar ua aproximació a la suma s de la serie. Claro, cualquier suma parcial s es ua aproximació a s porque lím l s s. Pero, qué ta buea es esa aproximació? Para saberlo, ecesita estimar el tamaño del residuo. R s s a a 2 a 3
SECCIÓN.4 PRUEBAS POR COMPARACIÓN 705.4 PRUEBAS POR COMPARACIÓN E las pruebas por comparació, la idea es comparar ua serie dada co ua serie que ya se sabe que es covergete o divergete. Por ejemplo, la serie 2 recuerde la serie, la cual es ua serie geométrica co a y r 2 2 2 por lo tato, es covergete. Como la serie () es similar a la serie covergete, se presiete que tambié debe ser covergete. De hecho, así es. La desigualdad 2 2 demuestra que la serie dada () tiee térmios meores que los de la serie geométrica y, por lo tato, todas las sumas parciales so tambié más pequeñas que (la suma de la serie geométrica). Esto quiere decir que las sumas parciales forma ua sucesió creciete acotada, la cual es covergete. Asimismo, se ifiere que la suma de la serie es meor que la suma de la serie geométrica: 2 U razoamieto similar se puede hacer para demostrar la prueba siguiete, la cual se aplica sólo a series cuyos térmios so positivos. La primera parte dice que si tiee ua serie cuyos térmios so meores que los de ua serie coocida covergete, por lo tato la serie tambié es covergete. La seguda parte establece que si empieza co ua serie cuyos térmios so mayores que los de ua serie divergete coocida, e tal caso tambié es divergete. PRUEBA POR COMPARACIÓN Supoga que a y b so series co térmios positivos. (i) Si b es covergete y a b para toda, etoces a es covergete. (ii) Si b es divergete y a b para toda, etoces a es divergete. & Es importate estar ateto a la distició etre sucesió y serie. Ua sucesió es u listado de úmeros, y ua serie es ua suma. Co toda serie a hay dos sucesioes asociadas: la sucesió a de térmios y la sucesió s de sumas parciales. La serie estádar se usa co la prueba por comparació DEMOSTRACIÓN (i) Sea s a i i t b i i t b Puesto que ambas series tiee térmios positivos, las sucesioes s y t so crecietes s s a s. Asimismo, t l t, así que t t para toda. Como a i b i, s t. De este modo, s t para toda. Esto quiere decir que s es creciete y está acotada superiormete, por el teorema de sucesioes moótoas la serie a es covergete. (ii) Si b es divergete, después t l (puesto que t es creciete). Pero a i b i de modo que s t. Así que s l. Por lo tato a diverge. Naturalmete, al usar la prueba por comparació es ecesario teer algua serie coocida b para los fies de la comparació. La mayor parte de las veces se usa las series: & p [ p que coverge si p y diverge si p ; véase (.3.)] o bie, & series geométricas [ ar es covergete si r y es divergete si r ; véase (.2.4)].