TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria)

TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposcoes de Secudr) TEMA 3 POLINOMIOS. OPERACIONES. FÓRMULAS DE NEWTON. DIVISIILIDAD DE POLINOMIOS. FRACCIONES ALGERAICAS.. El Allo de los Poloos de u vrle... Su de Poloos... Producto de Poloos..3. El llo de los poloos..4. Otrs Estructurs de A[]..5. Notcó Clásc de los Poloos.. Fóruls de Newto... Núeros Cotoros... Fórul de Newto..3. Fórul de Lez. 3. Dvsldd de Poloos. 3.. Dvsó Eclde. 3.. Relcoes de []. 3.3. Máo Coú Dvsor y Mío Coú Múltplo de Poloos. 3.4. Descoposcó fctorl e []. 4. Rzoes Algercs. 4.. El cuerpo de ls rzoes lgercs. 4... Su de Rzoes Algercs. 4... Producto de Rzoes Algercs. 4..3. El cuerpo ce ls Rzoes lgercs. 4.. Descoposcó e Frccoes Sples. logrfí Recoedd. /8

TEMA 3 POLINOMIOS. OPERACIONES. FÓRMULAS DE NEWTON. DIVISIILIDAD DE POLINOMIOS. FRACCIONES ALGERAICAS.. EL ANILLO DE LOS POLINOMIOS DE UNA VARIALE. Vos cosderr por l letr A u llo couttvo co eleeto udd, (A,, ). Represetreos por l eleeto eutro de (A, ) y por l eutro de (A, ). Es evdete que todo lo que dgos sore A, será válds pr u cuerpo (sedo htulete ó ). DEF Llreos Poloo de u deterd co coefcetes e A tod sucesó ( ) de eleetos de A verfcdo que este u certo tl que >. NOTACIÓN El cojuto de los poloos de u deterd co coef. e A se deot por A[]. Ejeplos. (, 3, -,,,.) y (, -,,,,,, ) so dos poloos co coefcetes e el llo de los úeros eteros,. DEF Los eleetos A de u poloo rece el ore de coefcetes. El eleeto o se ll téro depedete y el eleeto tl que > rece el ore de coefcete prcpl. DEF Llreos grdo de u poloo l º, sepre que se el coefcete prcpl del so... Su de Poloos. DEF Ddos P, Q A[] poloos co P ( ) y Q ( ) defos l su : A[] A[] A[] coo P Q ( o o,,,..) ( ) L su está e defd y que / > / > Etoces > (, ) P Q A[] PROP L su de poloos de A[] verfc ls sguetes propeddes, sedo P, Q y R eleetos de A[]: /8

) Couttv: P Q Q P ) Asoctv: (P Q) R P (Q R) 3) Estec de Eleeto eutro: P P 4) Estec de Eleeto Sétrco: P (-P) Se P ( ), Q ( ) y R (c ) ) P Q ( ) ( ) Q P ) Aálogo 3) Se (,,,.) el poloo co todos sus coefcetes ulos. Así defdo, el poloo verfc que es el poloo eutro pr l su. 4) Se - P (- ) el poloo co todos sus coefcetes co sgo cotrro los de P. Trvlete verfc que P (- P) El cojuto A[] co l ley de coposcó ter sí defd (A[], ) tee estructur de grupo couttvo... Producto de poloos. DEF Ddos P, Q A[] poloos co P ( ) y Q ( ) defos el producto : A[] A[] A[] coo P Q ( o o, o o,., p El producto está e defdo y que P / > / >,...) ( ) P Etoces p p > A[] PROP El producto de poloos defdo e A[] verfc ls sguetes propeddes, co P, Q, R A[]. 3/8

) Couttv P Q Q P ) Asoctv (PQ)R P(QR) 3) Estec de eleeto eutro P P E l deostrcó tedreos e cuet que j j ) P Q j j j j j P Q j PQ R j c p j p ) ( ) c P ( QR) j q j q p j p 3) Se [] defdo coo (,,,,.) jc j jc Etoces verfc que P P P A[]. El cojuto A[] co l ley de coposcó ter sí defd (A[], ) tee estructur de segrupo couttvo..3. El Allo de Poloos. PROP Ddo A[] co l su y el producto defdos, se verfc l propedd dstrutv del producto respecto de l su. P, Q, R A[], heos de copror P (Q R) PQ PR y (P Q)R PR QR. Al verfcrse l propedd couttv tto pr l su coo pr el producto, solo es ecesro copror u de ells. P( Q R) ( ) j c j c j Ν j N k Ν j ( j c ) j 4/8

c j j j j PQ PR Coo coclusó podeos frr que (A[],, ) tee estructur del Allo couttvo co eleeto udd. A[] rece el ore del llo de los poloos e u deterd. PROP S A es u doo de Itegrdd A[] es u doo de Itegrdd. Se P, Q A[] dos poloos o ulos. P ( ) ( o,,.,,, ) co > y Q ( ) ( o,,.., p,, ) co > p y p P Q j j (.., p,.) y p PQ OS S A[] es u doo de tegrdd, podeos frr que grd (P Q) grd (P) grd (Q) P, Q A[] o ulos..3. Otrs Estructurs de A[]. Coproeos que el llo A se puede detfcr co u sucojuto de A[]. PROP Se f: A A[] edte f() (,,,.). Etoces f es u ooorfso. f( ) (,,,.) (,,,,.) (,,, ) f() f() f( ) (,,,.) (,,,.) (,,, ) f() f() f() sedo (,,,.., ) f es yectv. f() f() (,,,.) (,,, ) OS S detfcos el eleeto co el poloo (,,,.) podeos cosderr que A A[]. Los llreos poloos costtes. Segú lo teror, los eleetos de A so poloos de grdo cero, ecepto el (,,,.) que o tee grdo. 5/8

DEF Defos l opercó eter A : AA[] A[] coo A ( ) A[] (,, 3,.) (,,,, ) (,, 3,.) (,, 3, ). PROP L opercó eter defd terorete verfc ls sguetes propeddes; ddos λ, µ A y P, Q A[]. ) Dstrutv respecto de ls Esclres: ( λ µ ) P λp µ P ) Dstrutv respecto de los poloos: λ ( P Q) λp λq 3) PseudoAsoctv: λ ( µ P) ( λµ ) P 4) Eleeto Udd: P P Iedt. Coo A es u llo y (A[], ) es u grupo couttvo, etoces (A[],, A ) tee estructur de A-ódulo. S A tuvese estructur de cuerpo (htulete utlzreos coo doo de operdores el cuerpo o el cuerpo ) lo deotreos por, y etoces (A[],, ) es u espco vectorl sore. Y u podeos defr otr uev estructur lgerc sore A[]. Coo es u llo couttvo y utro que verfc λ ( PQ) ( λp ) Q P( λq ) λ A y P, Q A[ ] etoces A[] es u A-álger, o álger de los poloos co u deterd sore el llo A..4. Notcó Clásc de los Poloos. DEF Se X el poloo de A[] que tee todos sus coefcetes ulos eos el segudo, cuyo vlor es (Neutro del producto e A). Es decr, X (,,,,.). PROP X ( (,,,,,, ) Iedt. Ddo P A[] co P ( ) podeos escrrlo coo P (,,, ) (,,, ) (,,, ) (,,, ). (,,, ) (,,, )... 6/8

. sedo que > PROP Se verfc: ) ( ) k ) ( ) ( p p ) p p k, p Iedt. S toos X por coveo, juto co l proposcó teror, oteeos u for cóod de relzr l su y el producto de poloos. DEF U poloo P A[] rece el ore de Mooo s todos sus coefcetes so ulos eos uo. DEF Llreos Poloo u su ft de ooos. Ejeplo. ) es u ooo y. u poloo.. FORMULA DE NEWTON. Ates de llegr oteer l fórul de Newto pr el desrrollo, l potec de u oo, o su geerlzcó l potec de u poloo edte l fórul de Lez, veos uos resultdos prevos... Núeros Cotoros. Dedo que e l fórul de Newto prece los úeros cotoros, coezreos el repso por éstos, retedo l lector l te 3 del tero específco s dese ecotrr ls deostrcoes de ls propeddes que euereos. Seos que los úeros cotoros se defe coo!!( )! sedo sus propeddes ás porttes: ) y 7/8

8/8 ) 3) Lld fórul de Stefel. 4)... S escros los úeros cotoros e for de trágulo 3 3 3 3 3 4 4 3 4 4 4 4. Y plcdo l fórul de Steffel, oteeos que cd úero cotoro es su de los dos que tee ec, queddo 3 3 4 6 4.. que se cooce coo trágulo de Trtgl (Ncol de Fot) o trágulo de Pscl... Fórul de Newto. Vos hor oteer el desrrollo del oo de Newto, pr lo cul utlzreos ls propeddes de los úeros cotoros. PROP Se verfc ( )

9/8 Relzreos l deostrcó por duccó e el epoete,. Pr ( ) Pr ( ) Supogos que ( )... Veos pr ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k Aplcdo l fórul de Stefel. Y teedo e cuet que y qued.

/8 El resultdo teror lo podeos prtculrzr los oos de A[]. ( ) ( )... ( ) ( )... ( ) ( )... Y e geerl: ( ) ( ) ( ) j j j j j j....3. Fórul de Lez. L fórul de Newto se puede geerlzr u poloo culquer. Vos eplcr coo se otee el desrrollo de l potec -és de u poloo fordo por téros, s etrr e deostrcoes frrgoss. Se el poloo (. ) que lo epresreos por. Quereos clculr su potec -és. ( ) ( ) ( )............ sedo u producto de fctores. S plcos de for reterd l propedd dstrutv oteeos que culquer sudo del desrrollo es de l for: α α α α... Π () verfcádose que l su de epoetes es α Pr ver el coefcete que tecede cd sudo, heos de cotr ls veces que prece repetdo. Pr ello, tegos e cuet que el téro () provee de u

perutcó de los ( ),..., de perutcoes es : e los que cd prece repetdo α veces. Ese úero P α, α,..., α! α! α!... α! 3. DIVISIILIDAD DE POLINOMIOS. A lo lrgo de este puto, trjreos co el cuerpo e lugr del llo couttvo A. Por tto, llreos [] l llo de los poloos e u deterd (sore el cuerpo ). 3.. Dvsó Eclíde. PROP Se A y poloos de [] co. Este y so úcos dos poloos C y R de [] verfcdo Estec. A C R y grd (R) < grd () s R Cosdereos el cojuto de los poloos de l for A Q dode Q recorre k[]. Se puede dr dos csos: ) Este C [] tl que A - C Etoces A C y teeos deostrd l estec. E este cso R. ) Q [] A Q [] /grd (A C) grd (A Q) Q [] Escros A C R. Coproeos que grd (R) < grd (). Supogos que grd (R) grd (). S grd () grd (R) co. Etoces R o... co ro ( ) r... r co r S ultplcos el poloo por el ooo r ( ) (llreos c r ), oteeos que R R c es u poloo tl que grd (R ) < grd (R), de dode A C R C R C (C C ) R C R /8

que puede escrrse coo A C R Sedo, por hpótess, R Pero grd (R ) < grd (R) co lo que Grd (A C ) < grd (A C) lo que es u cotrdccó co l eleccó que heos de C. Por tto C [] / A C R co grd (R) < grd () Ucdd. Supogos que C R [] /A C R co grd (R ) < grd () Etoces R R (C C) S C C grd (R R ) grd () Y llegos u cotrdccó. Etoces C C y por tto R R, sedo úcos. S relzos l dvsó euclde de A etre, llos cocete l poloo C y Resto l poloo R, tl que A C R. 3.. Relcoes e []. DEF Dreos que dos poloos P, Q [] so Asocdos cudo sólo se dferec e el producto de costtes. Es decr, P Q co. Podeos defr e [] l relcó sguete: DEF Ddos P, Q [], P Q s y solo s / P Q. L relcó rece el ore de ser socdo. PROP L relcó defd terorete es u relcó de equvlec. Iedt. DEF Se P y Q dos poloos de []. Dreos que Q dvde P s este C [] tl que P QC. Lo deotreos por Q/P. /8

PROP L relcó dvde es u relcó de orde e []. Iedt. 3.3. Máo Coú Dvsor y Mío Coú Múltplo de Poloos. Coo [] es u llo, defreos los téros de MCD y c e fucó de los deles de []. PROP Se I u del de []. Etoces este u poloo P [] tl que I es el cojuto de todos los últplos de P. S I {} P S I {} Se P I u poloo tl que grd (P) grd (Q) Q I. Etoces P es u poloo de grdo ío e I. Q P, l relzr l dvsó euclde. C, R [] tl que Q P C R co grd (R) < grd (P) S R se R Q P C P I, Q I, C [] Coo I es del P C I R I Cotrdccó: Heos llegdo l coclusó de que R I co grdo eor que el de P. Etoces R y Q P C Q (P) I (P) Coo trvlete P I (P) I. Oteeos que I (P). El poloo P es úco, slvo socdos. DEF Llos se de del I (co I {}) l poloo orlzdo P tl que I (P). (Poloo Norlzdo es el poloo de coefcete prcpl ). E cso de que I {}, el poloo se de I será P. DEF Se P y Q poloos de []. Llos áo coú dvsor de P y Q y se represet por MCD (P, Q), l poloo se del del (P) (Q). 3/8

PROP Se D MCD (P, Q) sedo P, Q [] dos poloos. El poloo D verfc: ) A, [] dos poloos tles que D PA Q ) D/P y D/Q. 3) S D [] / D /P y D /Q D /D (D es el yor de los dvsores coues). ) Seos que (P) (Q) es u del de [], por lo que estrá D [] tl que (P) (Q) (D). Coo D (D) y que D D D (P) (Q) S D (P) (Q) A, [] / D P A Q D se epres coo u poloo de (P) ás otro de (Q). ) P (P) (Q) P (D) D/P Q (P) (Q) Q (D) D/Q 3) Se D [] tl que D /P y D /Q. Etoces G, H [] tles que P D G y Q D H Sedo D P A Q (D G)A (D H) D (GA H) Y coo GA H [] D /D DEF Dreos que dos poloos P, Q [] so pros etre s MCD (P, Q). PROP Se P y Q dos poloos de [] y D MCD (P, Q). S D y escros P P D y Q Q D etoces P y Q so pros etres s. Ddos P y Q A, [] / D P A Q D P DA Q D P A Q MCD (P, Q ) PROP Se A, P, Q [] A/PQ y MCD (A, P) A/Q 4/8

Coo MCD (A, P) G, H [] / A G PH Al ultplcr por Q result Q AQG PQH Coo A/PQ C [] / PQ AC Luego Q AQG ACH A A (QG CH) Y coo (QG CH) [] A/Q COROLARIO S A [] es pro co P, Q [] etoces A es pro co PQ. DEF Se P y Q dos poloos de []. Llos ío coú últplo de P y Q, y se re preset por c (P, Q), l poloo se del del (P) (Q). PROP Se P y Q dos poloos de [] y M c (P, Q). El poloo M verfc: ) P/M y Q/M (M es últplo de P y Q). ) S M [] / P/M y Q/M M/M ) Por defcó de M se tee (P) (Q) (M) M (M) M (P) (Q) M M ( P) ( Q) P / M Q / M ) S M [] / P/M y Q/M M (P) y M (Q) Etoces M (P) (Q) M (M) M/M Ddos dos poloos de [], vos ver u étodo pr clculr su áo coú dvsor. PROP Se P y Q dos poloos de []. S este C, R [] tles que P QC R, etoces cd (P, Q). Se D cd (P, Q) y D cd (Q, R) Es clro que D/P y D/Q D/P y D/QC D/P-QC D/R Etoces D/Q y D/R D/D. () De for Aálog; coo D /Q y D /R D /P 5/8

Etoces D /Q y D /P D /D () Coo D y D so dos poloos orlzdos, de () y () se deduce que D D. U vez que seos clculr el áo coú dvsor, podeos clculr el ío coú últplo de l sguete for. PROP Se P, Q [] co P y Q j D MCD (P, Q) y M c (P, Q) etoces se verfc l guldd MD PQ Se M PQ P Q y que P P D y Q Q D Es clro que el coefcete prcpl de M es y que PQ M D j j sedo y. S Por defcó de M se verfc que M es últplo de P (P/M ) y de Q (Q/M ), por tto M es últplo de M (M/M ) (). Coo M es últplo de P y Q A, [] / M PA Q PA Q P DA Q D P A Q Pero coo P y Q so pros etre s F G, H [] / P G y A Q H Etoces M PA Q M PQ H QP G M M H M G Luego M es últplo de M (M /M) () De () y () se otee que M M Coo PQ M D PQ MD 3.4. Descoposcó Fctorl de [ ]. DEF Dreos que u Poloo P [] es Irreducle o Pro s grd (P) y o es posle escrrlo coo producto de dos poloos P, P [] tles que grd (P) < grd (P) :,. E cso cotrro dreos que el poloo es reducle o descopole e []. PROP Los poloos de prer grdo, X, co so pros o rreducles e [] (culquer que se ). 6/8

Se P X co grd (P). Supogos que P es reducle: P P [] / P P P y Grd (P) < grd (P) :,. S P P P grd (P) grd (P ) grd (P ) Etoces grd (P ) grd (P ). Ce dos poslddes: S grd (P ) y grd (P ) Cotrdccó: grd (P) grd (P ) S grd (P ) y grd (P ) Cotrdccó: grd (P) grd (P ) Luego P es rreducle. DEF Dreos que [] es Algercete Cerrdo s sus úcos poloos rreducles so de grdo. El que [] se lgercete cerrdo depede del cuerpo. Es decr, el cocepto de rreducldd de u poloo depede de. Por ejeplo, 5 es rreducle e Q[] pero o e [] 5 5 5 ( ( )( )) Y té 5 es rreducle e [] pero o e [] ( 5 ( 5)( 5 )). [] es lgercete cerrdo. PROP Pr todo poloo P [] tl que grd (P) >, este λ, P,,P [] poloos pros orlzdos y α, α,., α eteros yores de úcos tles que α P λ P... α P Estec. Vos relzr l deostrcó por duccó e el grdo de P. S grd (P) l proposcó es trvlete cert. Supogos cert l proposcó pr todos los poloos de grdo. S grd (P) E cso de que P se rreducle, l descoposcó es edt. Supogos pues, que P es descopole o reducle. 7/8

Etoces Q [] co < grd (Q) < grd (P) y verfcdo que el grdo de Q es el eor de etre todos los dvsores de P que cupl l codcó teror pr los grdos. Co ess codcoes podeos decr que Q es rreducle pudedo escrr P Q P Pero grd (P ) < grd (P) y plcdo l hpótess de duccó teeos P β β λ P... P dode Q puede cocdr co lgú P o o. α α Etoces P Q P λp... P sedo P poloos rreducles orlzdos y < α eteros :,.,. Ucdd. Igulete relzreos l deostrcó por duccó e el grdo de P. S grd (P) l proposcó se cuple de for evdete. Supogos que es certo pr grd (P). S grd (P) α α β β Supogos P λp... P µ Q... Q Coo los poloos P :,., y Q j j:,, está orlzdos, dee de ocurrr que λ µ. Ddos dos poloos A y que so rreducles y orlzdos, s A etoces A y so pros etre s. Teedo e cuet esto, β β P es pro, orlzdo y P / Q... Q Etoces, plcdo u proposcó teror, P dee cocdr co lgú Q j j. Se P Q (Reordeos s es ecesro). α α α β β Etoces qued P P... P Q... Q Coo hor os poloos tee u grdo eos, plcos l hpótess de duccó. 8/8

P Q :,.,, y α β :,.,. Sedo l descoposcó úc. COROLARIO Se A y dos poloos de [] co A λp... α α β β P y µ P... P sedo P poloos rreducles orlzdos, y α, β - {} pr todo :,,. Etoces: Q/P β α :,., Hst hor heos estdo hldo de poloos e u deterd. Pr cd poloo podeos defr u fucó coo sgue: P [] defos P * : plccó tl que s P o X. X etoces P * () o. DEF L plccó P * rece el ore de fucó polóc socd l poloo P []. L su y producto de fucoes polócs se relz coo sgue: (P * Q * ) () P * () Q * () (P * Q * ) () P * () Q * () Htulete, se escre P() e lugr de P * (). Au sí, deeos ser coscetes de l dferec, P() es u fucó y P(X) es u fucó del llo []. Por uso de otcó llreos poloo os, y los deotreos gul. DEF Llreos vlor uérco de u poloo e u deterd, l vlor que se otee l susttur l vrle por su vlor correspodete. TEOREMA. Teore del Resto. El resto de l dvsó de u poloo es X por el oo X cocde co el vlor uérco del poloo e. Se P []. Al dvdr P etre (X ) teeos P (X ) Q R co grd(r) Todo hor P() ( ) Q() `R R P() 9/8

DEF Ddo u poloo P(), llreos ríces o ceros del poloo los vlores de l deterd, pr los que el vlor uérco de P() es cero. TEOREMA. Teore del Fctor. Se P []. es ríz de P() ( ) / P. S es ríz de P P() Coo P ( ) Q R y P() R Luego P (X ) Q X / P S (X ) / P P (X ) Q Etoces P() ( ) Q() P() es ríz de P. PROP Se P [] co P o X.. X co :,,. S P dte ríces dstts,,., co, etoces co H X -. P (X ) (X ) (X )H Coo es u ríz de P X / P P (X ) H sedo H X -. Coo es otr ríz de P X / P X / (X )H Y coo X o dvde X X /H H (X ) H co H X -. P (X ) (X ) H Reterdo el proceso veces oteeos que P (X ). (X ) H co H X -. PROP Todo poloo de grdo de [] dte lo suo ríces. /8

S grd (P) P X. X o S P dte ríces,.,, por l proposcó teror Veos que o puede teer ás ríces. P (X ). (X ) Se r otr ríz de P. Etoces r :,,. P(R) por ser r ríz de P P(r) (r ) (r ) (r ) o Cotrdccó, r o es ríz de P, y por tto P tee lo suo ríces. 4. FRACCIONES ALGERÁICAS. DEF Llreos frccó lgerc u pr de poloos N, D [] co D. El prero, N, rece el Nore de Nuerdor y el segudo, D, de deodor. Se N represet por. D DEF Defos e el cojuto [] [] * l relcó de equvlec R dd por (sedo [] * [] - {}): N D N R N D DN D PROP L relcó R defd e [] [] * es u relcó de equvlec. Iedt. DEF Cd clse de [] [] * /R rece el ore de rzó lgerc, sedo [] [] * /R el cojuto de rzoes lgercs. 4.. El Cuerpo de ls Rzoes Algercs. 4... Su de rzoes lgercs. DEF Defos e [] [] * / R l ley de coposcó ter que llreos su coo A C, D * [ ] [ ] / R A C A D C D D /8

L opercó está e defd. AD C [] y, D D D [] * No depede del represette elegdo. S A A R y C C A C AD C A C A D C R y D D D D D D Coo A A y CD DC Multplcdo l ª guldd por DD Multplcdo l ª guldd por AD D DA D C D D C Sudo y scdo fctor coú qued D (AD C) D (A D C ) Y equvle AD C A D C R D D Luego l su o depede del represette elegdo. PROP L su defd e [] [] * / R verfc ls propeddes ) Asoctv ) Couttv 3) Estec de Eleeto Neutro 4) Estec de Eleeto Sétrco. Iedt. El cojuto ([] [] * / R, ) tee estructur de grupo couttvo. 4... Producto de Rzoes Algercs. DEF Defos e [] [] * / R l ley de coposcó ter que llreos producto coo A C, D L opercó está e defd A C D A C D * [ ] [ ] / R /8

A, C [] A C [], D [] *, D D D [] * No depede del represette elegdo. A A R C C y R A A D D y CD C D Multplcdo s gulddes AC D A C D AC D A C D AC A C R D D PROP El producto defdo e [] [] * / R verfc ls sguetes propeddes: ) Asoctv. ) Couttv. 3) Estec de Eleeto Neutro. 4) Estec de Eleeto Neutro (s l rzó es o ul). Iedt. El cojuto ([] [] *, ) tee estructur de grupo couttvo. 4..3. El Cuerpo de ls Rzoes Algercs. PROP E el cojuto [] [] * / R se verfc l propedd dstrutv del producto respecto de l su (por os ldos). Iedt. El cojuto ([] [] * /R,, ) tee estructur de cuerpo couttvo. Rece el ore de Cuerpo de ls Rzoes Algercs, y se represet por (). 4.. Descoposcó e frccoes sples. PROP Ddo ( ) Iedt. A A AP y P [] co P, se verfc que. P 3/8

A COROLARIO Pr cd ( ) tles que:, este dos úcos poloos A, [] A A co cd (A, ) y orlzdo Estec. Se D cd (A, ) A A D y D co cd (A, ) Trvlete A A Ucdd. S A A co cd (A, ) y orlzdo A A A A y DEF Se A ( ) co cd (A, ). Dch rzó lgerc rece el ore de frccó sple, o for reducd. PROP Todo eleeto A (frccó sple) de () se puede escrr de for úc coo A P R dode P [] y R es u frccó sple A, co grd (A ) < grd () s R. Estec. Se A u frccó sple. Por l dvsó eclde P, A [] / A P A co grd (A ) < grd () Etoces A A P 4/8

Y coo cd (A, ) cd (, A ) A es u frccó sple. Ucdd. A Se P R Q S co Q [] y S [] sedo rreducle y grd (C) < grd (D). S S. C S frccó D Etoces A P Q C D Y P Q C D A C A D P Q D E cso de que P Q grd (C A D) grd ((P Q) D) Y grd ((P Q) D) grd (P Q) grd (D) grd () grd (D) grd () Sedo grd (C A D) grd (D) grd () () C A D Por otro ldo verfc grd (C A D) < grd (D) lo que es lo so D que grd (C A D) < grd (D) grd () () De () y () se deduce u cotrdccó, que vee de supoer P Q. Etoces P Q y R S. DEF El poloo P que os d l proposcó teror se ll prte eter de A. LEMA Se ( ) A co grd (A) < grd () sí A. Se co y pros etre sí. Etoces A se descopoe de for úc coo A N N co grd (N ) < grd ( ) s N :,. Estec. 5/8

Coo y so copros, P, Q [] tles que P Q Y etoces A A P A Q () S dvdos AP etre (por ser ) teeos C, N [] / AP C N co grd (N ) < grd ( ) () Al susttur () e () A ( C N ) A Q A C N A Q A ( C AQ) N Lldo N C AQ qued A N N (3) S grd (N ) grd ( ) grd (A) grd ( ) grd ( ), pues grd(n ) < grd ( ) s N, lo que cotrdce l hpótess. Por tto s N grd (N ) grd ( ) De l epresó (3) se deduce que A N N Ucdd. :,. Supogos que A N N N N co grd (N ) < grd ( ) s N Etoces N N N N verfcádose (N N (N - N ) Y coo y so copros, l guldd sólo puede ser cert s N N y N N. LEMA Se ( ) A co grd (A) < grd () s A. Se. p A se descopoe de odo úco coo co y j copros j. Etoces 6/8

A N N... p p co grd (N ) < grd ( ) s N :,., p. Iedt plcdo duccó. A LEMA Se ( ) co grd (A) < grd A ( ) sí A. Etoces descopoe de for úc coo se A N N N... sedo grd (N ) < grd () s N :,,. Vos deostrr el le edte duccó e. Pr sedo N A.. Es evdete, Supogos certo el le cert pr. Pr. Estec. S relzos l dvsó eclde de A etre C, R [] / A C R co grd (R) < grd () s R. Etoces A C R () C A R Despejdo etoces grd (C) < grd ( - ) s C o. C Aplcos descoposcó pedd. Ucdd. y coo grd (A) < grd ( ) y grd (R) < grd ( ), l hpótess e duccó y susttuyedo e () oteeos l 7/8

Supogos que s N :,., A N N N N...... co grd (N ) < grd () S ultplcos por l epresó teror co P, Q [], verfcádose N P N Q N N (Q P) Y teedo e cuet ls relcoes etre los grdos, l guldd teror solo es cert s N - N N N y P Q P Q Aplcdo hor l hpótess de duccó :,,. oteeos N N TEOREMA. Teore de Descoposcó. A A Se [] frccó sple. Supogos que E es l prte eter de y que α αs λ... s es su descoposcó e fctores pros co λ. Etoces, l descoposcó A N N N α α S E............ α α S N N N SαS α S S es úc dode grd (N j ) < grd ( ) s N j j:,., α :,., s. Este resultdo es u cosecuec edt de l últ proposcó y de los dos últos les. logrfí Recoedd. Álger. Aut. Serge Lg. Ed. Agulr. Algère. Aut. S. McLe, G. rkhoff. Ed. Guther Vllrs. Curso de Álger Moder. Aut. Peter Hlto. Ed.Reverté. Álger. Aut. Thos W. Hugerford. Ed. Sprger-Verlg. 8/8