TEMA VI: INTEGALE MÚLTIPLE VI. INTEGALE DOBLE. De igul modo, omo hemos proedido en otros tems, reordemos ómo deinimos en álulo de un vrile l integrl deinid ( )d ; se deine omo el límite de sums de iemnn, que pueden eeturse de l siguiente mner: dividimos el intervlo en n sudivisiones igules, d un de nho. Entones,. upong que n,,n son los puntos inles de ls sudivisiones, omo se muestr en ls igurs. Hemos dos sums espeiles de iemnn: um por l izquierd ( ) + ( ) + + ( n ) um por l dereh ( ) + ( ) + + ( n ) Pr deinir l integrl deinid, tommos límite de ess sums onorme n tiende ininito. ( ) Áre ( ) ( ) Áre ( ) n n n n Figur um por l izquierd Figur um por l dereh L integrl deinid de entre : ( )d es el límite de ls sums por izquierd o por dereh on n sudivisiones, medid que n se he ritrrimente grnde. Esto es, n ( ) d lím (sum por l izquierd) lím ( ) i n n i n ( ) d lím (sum por l dereh) lím ( ) i n n i Cd un de ests sums se llm sum de iemnn, se llm integrndo se llmn límites de integrión. Cálulo II - Fultd de Ingenierí - Universidd Nionl de ío Curto VI.
Antes de deinir l integrl deinid de un unión de dos vriles, nos introduiremos en el tem medinte un ejemplo. Ejemplo introdutorio (m) L distriuión de temperturs en un los rdinte está dd por ls urvs de nivel que se muestrn en l igur. L superiie leiond es udrd tiene 7 metros de ldo. Pr promoionr ls rterístis del sistem de leión, se neesit 6 5 4 9 8 4 5 6 7 onoer l tempertur promedio de l 4 5 6 (m) los leiond. Figur i pr elorr l respuest disponemos de l inormión mostrd en l igur. Un lterntiv es dividir l región de interés (l hitión de 7 m 7 m) en un número de suregiones de m m eetur en d suregión un estimión de tempertur máim otr de tempertur mínim, omo se muestrn en ls siguientes tls. Estimiones ineriores de l tempertur en d suregión Estimiones superiores de l tempertur en d suregión.9.9. 9.8..6 4.5.5.9..9..4.5..4..5.. 5.9 4..8.6.7.8.9 4.5.9.7.6.7.7.8 6. 5.9 5. 4.6 4.5 4.4 4. 5.8 5. 4.8 4.6 4.5 4.4 4. 7. 6.7 6. 5.9 5. 5. 4.8 6.8 6. 6 5.4 5. 4.9 4.7 8. 7.5 7. 6.8 6. 5.8 5.5 7.6 7. 6.8 6. 5.9 5.5 5. 9. 8.5 7.8 7. 6.7 6. 6. 8.6 7.8 7.4 6.8 6.4 6. 5.8. 9. 8. 7.5 7. 6.7 6.4 Luego utilizndo ls estimiones otenids pr d suregión es posile lulr un vlor promedio de temperturs máims mínims, esto es: VI. Cálulo II - Fultd de Ingenierí - Universidd Nionl de ío Curto
Promedio de ls estim. ineriores 49 ( áre de d suregión) Temp. mín n.º C ( m ) 4. 55 º C áre totl 49 m 49 ( áre de d suregión) Promedio de ls Temp. má ( ) n 6.9º C m estim. superiores 5. 76 º áre totl 49 m C Podemos deir que l tempertur promedio según nuestros álulos orresponde 4. 55ºC + 576. ºC 5485. ºC. i tomármos suregiones más pequeñs podrímos mejorr nuestr estimión de l tempertur promedio. VI.. Deiniión de integrl dole. Ls sums empleds pr estimr l tempertur promedio en l hitión son semejntes ls sums de iemnn que se utilizn pr deinir l integrl deinid de un unión de un vrile. Pr un unión de dos vriles, deimos: Dd un unión ontinu (, ) deinid en un región retngulr d, onstruimos un sum de iemnn l sudividir l región en retángulos más pequeños. Esto se he sudividiendo d uno de los intervlos d, en n m suintervlos igules respetivmente, se otienen d m n m suretángulos (igur 4). n Figur 4 udivisión de un región retngulr en n m suretángulos Cd suretángulo tiene un áre A, siendo ( ) n ( d ) m. Pr lulr l sum de iemnn, multiplimos el áre de d suretángulo por el vlor de l unión en un punto del retángulo summos todos los números resultntes. Cálulo II - Fultd de Ingenierí - Universidd Nionl de ío Curto VI.
i elegimos el vlor máimo de l unión en d retángulo superior: retángulo i, j M donde (, ) i j ij M ij, otenemos l sum. L sum inerior se otiene l tomr el vlor mínimo de d L ij. Luego ulquier otr sum de iemnn stise l siguiente relión: i, j L ij i, j ( i, j ) M ij es ulquier punto del ij ésimo suretángulo. Luego, deinimos l integrl deinid omo el límite pr el número de sudivisiones n m i, j que tienden ininito o lo que es equivlente, l longitud de ests sudivisiones tienden ero. Tenemos entones l siguiente deiniión: upongmos que l unión es ontinu en D, el retángulo, d. Deinimos l integrl deinid de sore D, omo: D i,j ( ) da lím i,j Est integrl reie el nomre de integrl dole. Muhs vees onsidermos da omo un retángulo ininitesiml de longitud d ltur d, de modo que da d d, entones da D D (, ) d d Ejemplo : e el retángulo. Utilizr sums de iemnn pr lulr e ( + ) da. oluión Iniimos los álulos prtiendo el retángulo en 6 suretángulos, esto es. 5. 5, luego si z ( ) ( +, e ) oservmos l orm que tiene l grái de (, ), est disminue medid que nos lejmos del origen. Figur 5 VI.4 Cálulo II - Fultd de Ingenierí - Universidd Nionl de ío Curto
Entones pr otener un sum superior evlumos en l esquin del suretángulo más ern l origen: [ + um superior ( +. 994 +. 7788 +. 5698) + (. 994 +. 885 +. 76 +. 55) ( ) ( ) 7788. + 76. + 665. +. 447 +. 5698 +. 55 +. 447 +. 47 6 68. Pr otener un sum inerior, evlumos (, ) en l esquin opuest del retángulo que l superiie desiende tnto en l direión de omo de, lo ul d un sum inerior de.44. Luego:. 44 ( + e ) da. 68 i queremos otener un mejor proimión, umentmos el número de sudivisiones luego lulmos ls sums superior e inerior. En l siguiente tl se muestrn los resultdos otenidos pr dierentes números de sudivisiones. Nº sudivisiones 8 6 64 um uperior.668.587.575.565 um Inerior.4989.58.54.554 i ien los vlores de l sum superior e inerior se proimn medid que umentmos el número de sudivisiones, pr llegr hst el verddero vlor de l integrl dole, el número de sudivisiones dee tender hst ininito. VI.. Propieddes de l integrl dole Linelidd: i son onstntes: [ (, ) + g(, ) ] da (, ) da g(, )da + Aditividd respeto l región de integrión: i l región de integrión se puede dividir en dos suregiones onstntes, entones: (, ) da (, ) da (, )da + Oservión: i (, ) g( ) h( ), entones ( ) ( ) d, dd g d h( ) d onstntes., on,,,d Cálulo II - Fultd de Ingenierí - Universidd Nionl de ío Curto VI.5
VI.. Interpretión geométri de l integrl dole - Teorem de Fuini e (, ) un unión ontinu no negtiv sore, entones l integrl dole ( ), da, puede interpretrse omo el volumen del sólido ilíndrio W, on se limitdo superiormente por l superiie Σ de euión (, ) z. L seión de W dd por el plno, on, d, es l igur pln ABB A, mostrd en l igur 6, limitd superiormente por l urv z, g e ineriormente por z. El áre de l zon rd es: (, ) d l tomr omo vrile en [,d] de tl seión pln será un unión de : ( ) (, ), el áre A d () Entones si se onoe el áre A ( ) de un seión ulquier perpendiulres l plno z, result pr el volumen V ( W ) de W : ( W ) d A( ) eemplzndo en () l epresión otenid en (), result: V d () d ( ) ( ) ( ) () V W, d d, d d z A z (, ) B B W Figur 6 A Σ z (, ) d De mner nálog, se podrí her tudo onsiderndo áres de seiones de W prlels l eje, esto es plnos ddos por. e otendrí entones: d (, ) dd (, ) d d (4) Oservión: Ls epresiones otenids en () (4) se llmn integrles repetids o iterds Teorem de Fuini (orm déil): i (, ) es ontinu en, se verii que: (, d ) (, d d d ) d d (, ) d d (5) VI.6 Cálulo II - Fultd de Ingenierí - Universidd Nionl de ío Curto
VI..4 Integrles doles sore retángulos. i l región es retngulr el teorem de Fuini nos die que podemos lulr ls integrles doles omo integrles iterds sin importr el orden. Esto signii que podemos lulr un integrl dole integrndo respeto un vrile l vez en ulquier orden. Ejemplo : Clulr: ( 4) d d, siendo (, ) { /, } oluión: mino ( ) [ ] 4 d d 4 d 9 d 9 6 mino ( ) [ ] 4 d d d 4 6 d 6 VI..5 Integrles doles sore regiones más generles. { } egiones tipo I: (, ) /, ϕ ( ) ϕ ( ) omo l mostrd en l igur 7. d ϕ ( ). e trt de un región ϕ( ) e supone por tnto que l región es tl, que ulquier ret te, on, ort l ronter de únimente en dos puntos, o en un segmento. Entones, si (, ) es ontinu en, se verii: ( ) (, ) da ϕ (, ) dd (6) ϕ ( ) Figur 7 {, d} egiones tipo II: (, ) / ψ ( ) ψ ( ) L región es hor omo l mostrd en l igur 8. Culquier ret te, on d, ort l ronter de únimente en dos puntos, o en un segmento. Entones, si (, ) es ontinu en, se verii: ( ) (, d ) da ψ (, ) dd (7) ψ ( ). d ψ ( ) Figur 8 ψ( ) Cálulo II - Fultd de Ingenierí - Universidd Nionl de ío Curto VI.7
egiones tipo III: on quells que son simultánemente de los dos tipos nteriores, omo se muestr en l igur 9, entones pueden utilizrse indistintmente ls integrles (6) (7). Otrs regiones i l región no es de uno de los tipos itdos nteriormente, se intent desomponerl en suregiones ( i,,m) i sin elementos interiores omunes, que sen de los modelos nteriormente itdos. Por l propiedd de ditividd respeto l región de integrión, nos qued: ( ) ( ) m, da, d d i i Teorem de Fuini (orm uerte): i (, ) i está deinid por un región tipo I, entones es ontinu en, se verii que: ( ) ϕ ( ) ( ), da, dd ϕ ( ) i está deinid por un región tipo II, entones ( ) ψ ( ) ( ), da, dd ψ ( ) Ejemplo : Clulr: ( 4 ) d d, siendo l región otd limitd por ls urvs de euiones e. oluión Figur 9 e trt de l región mostrd en l igur 9. L ret intersen en los puntos (, ) (, ) l práol se Es evidente que es simultánemente de los tipos I II. Luego pueden utilizrse indistintmente ls epresiones (4) (5). 4 Cmino : I ( 4) d d [ 4] d [ 4 + 4 ] d 5 Cmino : I ( 4) dd [ ] d [ ] + d 5 VI.8 Cálulo II - Fultd de Ingenierí - Universidd Nionl de ío Curto
Ejemplo 4: Clulr : ( 4 ) d d, siendo l región limitd en el semiplno superior por ls rets de euiones:,,,. oluión e trt de l región mostrd en l igur 8. Al igul que en el ejemplo nterior, es indistintmente de los tipos I II. - Figur Cmino : ( ) 4 d d d + + d Cmino : ( ) ( ) 4 d d + 4 d d 4 d + 4 d ( 4 ) d + ( 4 + 4 ) d + Ejemplo 5: Clulr ee dd, donde D es l región limitd por el udrdo D +. oluión Desrrollndo l epresión + pr los + utro udrntes (esto es, reemplzndo los vlores solutos de por,, o - (según orrespond) llegmos que l región de integrión es el udrdo de l igur. Por lo tnto podemos epresr l integrl de l siguiente mner: + - Figur D + e e dd e e dd + + + + e e e e dd e d + e d + + e e e d+ e e e d + + + e + e e e d e e d e e + + + e e e e + + + + e e e e e e e e e 6 Cálulo II - Fultd de Ingenierí - Universidd Nionl de ío Curto VI.9
VI..6 Cmio en el orden de integrión. Muhs vees suele ser útil invertir el orden de integrión en un integrl iterd. Los siguientes ejemplos nos introduen en est téni. Ejemplo 6: Dd l integrl I (, ) d d (, ) d d, se pide diujr l región de integrión esriir l integrl que se otiene si se invierte el orden de integrión. oluión L región es l que se muestr en l igur : l integrl que se otiene l invertir el orden de integrión es: I 4 (, ) dd 4 Ejemplo 7: Figur Clulr l siguiente integrl dole: I 8 + 4 d d, invirtiendo previmente el orden de integrión. oluión L región de integrión es l que se muestr en l igur : L integrl on el orden de integrión invertido, qued: 8 7 4 ln I 4 4 ( ) dd d ln + + + 4 4 Figur Ejemplo 8: Clulr 4 / e dd / 4 oluión El integrndo no reonoe un primitiv de senill ormulión, sino que l mism dee epresrse medinte series. Figur 4 Pr evitr esto, podemos intentr mir el orden de integrión. Proponemos sí: 4 4 e dd e dd e d d e d e e / VI. Cálulo II - Fultd de Ingenierí - Universidd Nionl de ío Curto