Igeería Ecoómca.. Factores de terés y sus fórmulas UNIDD I. CONCETOS Y CRITERIOS ECONÓMICOS Y EL VLOR DEL DINERO TRVÉS DEL TIEMO.. Factores de terés y sus fórmulas La geería ecoómca se efoca co la evaluacó de alteratvas de geería, las cuales usualmete se caracterza por estmacoes de motos y tempos futuros. Desde que estas evaluacoes del valor del dero e el tempo camba bajo ua tasa de terés este efecto se le da ua cosderacó prmara e la geería ecoómca. Tal como vmos e el tema ateror exste terés smple y compuesto. Iterés smple. Se calcula de forma drectamete proporcoal al captal orgal que ha sdo tomado e cueta, al tempo trascurrdo, y a la tasa de terés smple; quedado la ecuacó de la sguete forma: IC lguos autores cosdera el captal como prcpal quedado la ecuacó como: I Iterés compuesto. E el terés compuesto la catdad de dero geerada por cocepto de tereses aumeta e cada perodo de captalzacó de la tasa, de forma tal que la formula queda: I M C M C(). I C() -C Falmete queda: IC[() -] Descrbedo los flujos de efectvo e el tempo. Los flujos de efectvo e el tempo se descrbe co dagramas de flujo de caja, dode se dca e ua escala horzotal los perodos de tempo trascurrdos (días, semaas, meses, años, etc) y co flechas haca arrba (beefcos o gresos de efectvo) y co flechas haca abajo (egresos o costos de efectvo) segú correspoda. or ejemplo s al pedr u préstamo de $600 pesos se debe realzar dos pagos de $40 detro de uo y dos meses respectvamete, podemos dcarlo e el sguete dagrama de flujo de caja desde el puto de vsta de la persoa que solctó el préstamo: $600 0 Meses trascurrdos $40 $40 Desde el puto de vsta de la persoa que otorgó el préstamo queda el dagrama de flujo de caja de la sguete forma: $600 $40 $40 0 Meses trascurrdos E ua trasaccó etre dos etdades sempre hay dos putos de vsta o dos dagramas de flujo de caja depededo de la refereca que estemos usado. Elaboró: MC. Marcel Ruz Martíez
Igeería Ecoómca.. Factores de terés y sus fórmulas E los dagramas se dca el Flujo eto de efectvo lo cual es la suma de los gresos meos los egresos de efectvo para el msmo puto e el tempo agos úcos aualzados. ara los pagos úcos podemos cosderar el sguete dagrama de flujo de caja: F 0 - erodos trascurrdos La smbología que se propoe por parte de alguos autores para ver los factores de terés so: Tasa de terés aual. Número de perodos trascurrdos rcpal o captal (valor presete) F ago o valor futuro Etoces la forma de dervar el factor de u solo pago se muestra e la sguete tabla: ño Catdad al Iterés gaado Moto compuesto al fal del co del durate el año año año () () () ()()() () () () () () () - () - () - () - () F El factor resultate () se cooce como factor de catdad compuesta de pago úco y se puede desgar como (F/,, ). Es decr: () (F/,, ) Es decr para la ecuacó: F() uede maejarse de la sguete forma: F(F/,, ) Esta es la desgacó para detfcar u pago úco; el prmer elemeto del factor F/ sgfca que se debe multplcar el factor por para obteer el valor de F. or ejemplo: $,000 so vertdos a ua tasa del 6% aual compuesto aualmete; determar el valor futuro detro de 4 años. F() $,000(0.6) 4 $,000*.8$,8 E caso de que tegamos como cógta el valor presete, debemos despejar la ecuacó de la sguete forma: F ( ) ( ) F ( ) F F ( ) éste factor se le cooce como: factor de valor presete de pago úco desgado como: (/F,,) /(). Elaboró: MC. Marcel Ruz Martíez
Igeería Ecoómca.. Factores de terés y sus fórmulas Tal expresó determa el valor presete de ua catdad futura dada F, después de años a ua tasa de terés. E resume teemos, para el sguete dagrama de flujo de caja: Observe que los dos factores dervados aquí so para pago úco; es decr, se utlza para ecotrar la catdad presete o futura cuado se tee sólo u pago o recbo. Se ha adoptado ua otacó estádar para todos los factores. La otacó cluye dos símbolos de flujo de efectvo, la tasa de terés y el úmero de perodos. Sempre está e la forma geeral (X/Y,,). La lteral X represeta lo que se busca; metras que la lteral Y represeta lo que está dado. or ejemplo, F/ sgfca ecuetre F cuado está dado. La es la tasa de terés e porcetaje, y represeta el úmero de perodos mplcados. El factor es: factor de catdad compuesta de pago úco y se puede desgar como (F/,, ). Es decr: (F/,, ) () F(F/,, ) Y para el sguete dagrama, teemos el factor de valor presete de pago úco desgado como: (/F,,) /(). E cosecueca, (F/,6%,0) represeta el factor que ecuetra la catdad futura F acumulada e 0 perodos s la tasa de terés es de 6% por perodo. La está dada. La otacó estádar, más smple de usar que las fórmulas y los ombres de los factores, se utlzará de aquí e adelate. Factor Notacó Nombre (F/,,) (/F,,) Catdad compuesta pago úco Valor presete pago úco Ecotrar / Dado F/ Ecuacó e Ecuacó otacó fórmula estádar factor F(F/,,) F() co de /F F(/F,,) F[/() ] Elaboró: MC. Marcel Ruz Martíez
Igeería Ecoómca.. Factores de terés y sus fórmulas Ejemplo. U geero dustral recbó u boo de $ 000 que desea vertr ahora. Quere calcular el valor equvalete después de 4 años, cuado plaea usar todo el dero resultate como egache o pago cal de ua casa de vacacoes e ua sla. Supoga ua tasa de retoro de 8% aual para cada uo de los 4 años. Determe la catdad que puede pagar calmete, usado tato la otacó estádar como la fórmula de factor. Los datos so: $ 000 F? 8% aual 4 años Notacó estádar: Determe F usado el factor F/ para 8% y 4 años. ara determar dcho factor hstórcamete se ha usado tablas de factores, mostradas al fal de este archvo. F(F/,,) 000(F/,8%,4) 000(6.4)$76 094.40 Fórmula de factor: F() 000(0.08) 4 000(6.48)$76,094.7 Ejemplo. Hewlett-ackard realzó u estudo que dca que $50 000 e la reduccó de matemeto este año (es decr, año cero), e ua líea de procesameto, fue el resultado del mejorameto de la tecología de fabrcacó de crcutos tegrados (CI), co base e dseños que camba rápdamete. a) S Hewlett-ackard cosdera que este tpo de ahorro vale u 0% aual, ecuetre el valor equvalete de este resultado después de 5 años. b) S el ahorro de $50 000 e matemeto ocurre ahora, calcule su valor equvalete años ates co u terés de 0% aual. c) Desarrolle ua hoja de cálculo para respoder los dos csos aterores a tasas compuestas de 0 y 5% auales. De maera adcoal, elabore ua gráfca de barras e Excel que dque los valores equvaletes, e los tres dferetes mometos, para ambos valores de la tasa de redmeto. Elaboró: MC. Marcel Ruz Martíez 4
Igeería Ecoómca.. Factores de terés y sus fórmulas Elaboró: MC. Marcel Ruz Martíez 5 FCTORES DE VLOR RESENTE Y DE RECUERCIÓN DE CITL EN SERIES UNIFORMES (/ Y /) El valor presete equvalete de ua sere uforme de flujo de efectvo al fal del perodo se muestra e la fgura sguete. uede determarse ua expresó para el valor presete cosderado cada valor de como u valor futuro F, calculado su valor presete co el factor /F para luego sumar los resultados: Es decr: Dagrama de flujo de caja para determar el valor presete. Dagrama de flujo de caja para determar cosderado u valor presete. ara comprmr esta formacó e ua sola ecuacó se sgue el sguete procedmeto, prmero se factorza : osterormete se multplca toda la ecuacó por el factor quedado: 4 osterormete se resta las ecuacoes, la ueva meos la orgal, de la sguete forma: 4
Igeería Ecoómca.. Factores de terés y sus fórmulas Elaboró: MC. Marcel Ruz Martíez 6 Quedado la ecuacó para calcular el valor presete coocedo u cojuto de pagos guales e el futuro bajo ua tasa de terés durate perodos como: E caso de buscar el valor de los pagos aualzados podemos despejar la ecuacó quedado de la sguete forma: Quedado falmete: Resumedo e la sguete tabla los factores / y /: otacó y ecuacoes. Factor Ecotrar / Dado Ecuacó e otacó estádar Ecuacó co fórmula de factor Notacó Nombre (/,,) Valor presete de sere uforme / (/,,) (/,,) Recuperacó de captal / (/,,)
Igeería Ecoómca.. Factores de terés y sus fórmulas DERIVCIÓN DEL FCTOR DE FONDO DE MORTIZCIÓN Y EL FCTOR DE CNTIDD COMUEST SERIE UNIFORME (/F Y F/) La forma más smple de dervar el factor /F cosste e sustturlo e aquellos ya desarrollados. Recordado que para u pago: F or lo tato e la ecuacó: ( ) ( ) odemos susttur quedado: ( ) F ( ) ( ) hora veremos como queda el despeje de F: F ( ) F ( ) Quedado falmete: ( ) F El térmo etre corchetes se deoma el factor de catdad compuesta, sere uforme (FCCSU), o factor F/. Cuado se multplca por la catdad aual uforme dada, produce el valor futuro de la sere uforme. Es mportate recordar que la catdad futura F ocurre durate el msmo perodo que la últma. El dagrama de flujo de caja que represeta la ecuacó ateror es: Los factores () se cacela, quedado la ecuacó: F ( ) La expresó etre corchetes es el factor de fodo de amortzacó o /F, el cual determa la sere de valor aual uforme que sería equvalete a u valor futuro determado F. El dagrama de flujo de caja que represeta esta stuacó es: Factor Notacó Nombre (F/,.) Catdad compuesta sere uforme (/F,,) Fodo de amortzacó Ecotrar / Dado Ecuacó e otacó estádar F/ ( ) ( ) Ecuacó co fórmula de factor F(F/,.) Elaboró: MC. Marcel Ruz Martíez 7 /F F(/F,,)
Igeería Ecoómca.. Factores de terés y sus fórmulas Ejemplo. Formasa lastcs tee grades platas de fabrcacó e Texas y Hog Kog. Su presdete quere saber el valor futuro equvalete de ua versó de captal de $ mlló cada año durate 8 años, empezado u año a partr de ahora. El captal de Formasa gaa a ua tasa del 4% aual. ctvdad.. Factores de terés y sus fórmulas. Realce de la sguete lsta de ejerccos los problemas:,, 7, 9,, 5 Etrega tus resultados e forma de RÁCTIC DE EJERCICIOS, sguedo las rúbrcas dcadas e la dreccó: http://marcelrzm.comxa.com/rubrcas/rubrcas.htm uede evar el documeto fal por correo electróco a las sguetes dreccoes: marcelrzm@hotmal.com; marcelrzm@hotmal.com; marcelrzm@yahoo.com.mx y marcelrz00@yahoo.com.mx Recuerde evar dcho correo co copa a usted msmo y e asuto colocar ctvdad.. Ejerccos terés smple. Ejerccos:. La U.S. Border atrol aalza la compra de u helcóptero uevo para la vglaca aérea de la frotera de Nuevo Méxco y Texas co la Repúblca mexcaa. Hace cuatro años se adquró u helcóptero smlar co u costo de $40 000. Co ua tasa de terés de 7% aual, cuál sería el valor equvalete actual de dcho moto?. ressure Systems, Ic. fabrca trasductores de vel líqudo de gra exacttud. Ivestga s debe actualzar certo equpo ahora o hacerlo después. S el costo hoy es de $00 000, cuál será la catdad equvalete detro de tres años co ua tasa de terés de 0% aual?. etroleum roducts, Ic. es ua compañía de ductos que proporcoa dervados del petróleo a mayorstas del orte de los Estados Udos y Caadá. La empresa estuda la compra de meddores de flujo de sercó de turba que permta vglar mejor la tegrdad de los ductos. S estos meddores mpdera ua terrupcó grave (gracas a la deteccó tempraa de pérdda de producto) valuada e $600 000 detro de cuatro años, cuáto podría actualmete desembolsar la compañía co ua tasa de terés de % aual? 4. Sesotech, Ic., fabrcate de sstemas de mcroelectróca, supoe que puede reducr e u 0% que sus productos sea retrados del mercado s compra software uevo para detectar las partes defectuosas. El costo de dcho software es de $5 000. a) Cuáto tedría que ahorrar la compañía aualmete durate cuatro años para recuperar su versó, s usa ua tasa míma aceptable de redmeto de 5% aual? b) Cuál fue el costo por año de los retros del mercado ates de que se hubera comprado el software s la compañía recuperó su versó exactamete e cuatro años debdo a la reduccó del 0%? 5. La empresa Thompso Mechacal roducts plaea reservar $50 000 hoy para tal vez reemplazar sus grades motores scrócos de puldo ua vez que sea ecesaro. S el reemplazo o fuera ecesaro durate sete años, cuáto tedría la compañía e la versó que reservó s logra ua tasa de redmeto de 8% aual? 6. La empresa fabrcate de carros Reault frmó u cotrato de $75 mlloes co BB de Zurch, Suza, para automatzar las líeas de motaje del chass, los talleres de esamblado de la carrocería y los sstemas de cotrol de líea. S BB recbrá el pago detro de dos años (cuado los sstemas quede lstos), cuál es el valor actual del cotrato co u terés de 8% aual? 7. tlas Log-Haul Trasportato aalza la stalacó de regstradores de temperatura Valutemp e todos sus camoes frgorífcos a f de vglar las temperaturas metras éstos crcula. S los sstemas dsmurá las reclamacoes por seguros e $00 000 detro de dos años, cuáto debe estar dspuesta a pagar ahora la compañía s usa ua tasa de terés de % aual? Elaboró: MC. Marcel Ruz Martíez 8
Igeería Ecoómca.. Factores de terés y sus fórmulas 8. GE Mare Systems plaea sumstrar a u armador japoés turbas de gas aerodervadoras para mpulsar los destructores de tpo DD, de la Fuerza Japoesa de uto-defesa. El comprador puede pagar ahora el mporte total de $ 700 000 estpulado e el cotrato, o ua catdad equvalete detro de u año (cuado se ecestará las turbas). Co ua tasa de terés de 8% aual, cuál es la catdad futura equvalete? 9. ara Corg, Ic., cuál es hoy el valor de u costo futuro de $6 000 detro de ses años co ua tasa de terés de % aual? 0. Cuáto podría gastar hoy e equpo uevo Cryogecs, Ic., fabrcate de sstemas de almaceameto de eergía basados e supercoductores magétcos, e lugar de dedcar $5 000 detro de cco años s la tasa de redmeto de la compañía es de 4% aual?. V-Tek Systems es u fabrcate de compactadores vertcales, y aalza sus requermetos de flujo de efectvo para los próxmos cco años. La compañía espera reemplazar máquas de ofca y equpo de computacó e varos mometos durate los cco años del perodo de plaeacó. Específcamete, la empresa espera gastar $900 000 detro de dos años, $8 000 detro de tres, y $5 000 detro de cco. Cuál es el valor presete de los gastos plaeado co ua tasa de terés de 0% aual? ultrasóca co caletameto por láser para detfcar agretametos debdos al debltameto. La deteccó a tempo de éstos podría reducr los costos de reparacó hasta e $00 000 por año. Cuál es el valor presete de estos ahorros e u perodo de cco años, co ua tasa de terés de 0% aual? 4. Ua recé egresada de geería aprobó el exame de FI y recbó u aumeto (al comezo del prmer año) de $ 000. Co ua tasa de terés de 8% aual, cuál es el valor presete de los $ 000 cada año, s espera ejercer su carrera profesoal durate 5 años? 5. Southwester Movg ad Storage quere teer dero sufcete para comprar u tractocamó uevo detro de tres años. S la udad costará $50 000, cuáto debe reservar cada año la compañía s la cueta rde 9% al año? 6. Vso Techologes, Ic. es ua compañía pequeña que usa tecología de bada acha para desarrollar dspostvos capaces de detectar objetos (clusve persoas) detro de los edfcos, tras las paredes o bajo el pso. La empresa espera gastar $00 000 al año e mao de obra y $5 000 auales e sumstros, ates de que pueda comercalzarse u producto. Co ua tasa de terés de 5% aual, cuál es la catdad futura equvalete total de los gastos de la compañía al fal de tres años?. or medo de u acuerdo co Iteret Servce rovders (ISs) ssocato, la empresa SBC Commucatos redujo el preco que ISs cobra por reveder su servco de líea suscrptora dgtal de alta velocdad (DSL), de $458 a $60 aual por líea cosumdora. U IS partcular, que tee 0 000 cletes, plaea trasladar 90% de los ahorros a su cletela. Cuál es el valor total futuro de estos ahorros durate u horzote de cco años co ua tasa de terés de 8% aual?. f de mejorar la deteccó de gretas e sus avoes, la Fuerza érea de los Estados Udos combó procedmetos de speccó Elaboró: MC. Marcel Ruz Martíez 9