Uidd : DERIVADAS Si u ctidd o egtiv uer t pequeñ que resultr meor que culquier otr dd, ciertmete o podrí ser sio cero. A quiees pregut qué es u ctidd iiitmete pequeñ e mtemátics, osotros respodemos que es, de eco, cero. Así pues, o ttos misterios ocultos e este cocepto como se suele creer. Esos supuestos misterios covertido el cálculo de lo iiitmete pequeño e lgo sospecoso pr muc gete. Ls duds que pued quedr ls resolveremos por completo e ls págis siguietes, dode eplicremos este cálculo. Leord Euler. TASA DE VARIACIÓN L rzó de cmbio promedio (o ts de vrició medi) de itervlo, es: co respecto e el Co recueci iteres cosiderr l rzó de cmbio e itervlos cd vez más pequeños. Esto llev deiir lo que podemos llmr rzó de cmbio putul (o isttáe) de co respecto e el puto como: lim Tvi Rzó de cmbio promedio = Tvm,. CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Y DE FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS LATERALES E todo el tem slvo que epresmete se dig otr cos, de úmeros reles. D (, ) es u itervlo bierto Se : D u ució rel de vrible rel D. Se llm derivd de l ució e el puto l límite siguiete, si eiste es iito: lim [] Dico límite, cso de eistir, se represet d por: '. d se lee prim e ' d d L otció ue itroducid por Leibiz (646-76), e ell se etiede que es u operdor, mietrs d d que l otció ' ue itroducid por Lgrge (76-8) l otció sólo se suele usr e ísic, igeierí Cipri Dpto. de Mtemátics
d d se lee derivd de respecto de e Si e l deiició terior cemos el cmbio de vrible sigue: lim [], el límite [] se escribe como Los límites [] [] so simplemete dos ormulcioes distits del cocepto de derivd de u ució e u puto. Cuál usr etoces? L respuest es que podemos usr u u otr idistitmete porque co mbs vmos llegr l mismo resultdo. Ejercicios:. Clcul l derivd de ls siguietes ucioes e los putos que se idic: ) e b) e c) e d) e Si B D, diremos que es derivble e B cudo se derivble e todos los putos de B. Se C D: es derivble e. Deiimos l ució derivd de por: Ejercicios:. Clcul l ució derivd de. Clcul l ució derivd de ', ' '. 4. Clcul l ució derivd de ls ucioes siguietes: ) b) ': C C ' como plicció clcul U ució : D es derivble por l izquierd e = derivble por l derec e = ' lim ' lim Crcterizció: So equivletes: ) es derivble e = Derivds
Ejercicios: ) ', ' ' ' E cuo cso, ' ' ' 5. Idic e qué putos es derivble l siguiete ució ll si si si 6. Hll el vlor de pr que 7. Dd l ució si si ' : se derivble e, siedo Estudir l cotiuidd, l derivbilidd represetrl gráicmete. 8. Cosideremos l ució b b 4 Se pide: ) Determir el vlor de b pr que se cotiu. b) Es derivble e el vlor de b clculdo e el prtdo terior? Auque lo más bitul es que los itervlos dode se estudie l derivbilidd se biertos de eco es e itervlos biertos dode se obtiee ls mejores propieddes de ls ucioes derivbles, dremos l deiició de ució derivble e u itervlo cerrdo,, que es similr l que dimos pr ucioes cotius e u tl itervlo. U ució es derivble e, cudo: se derivble e, se derivble por l derec e se derivble por l izquierd e.. Derivbilidd de ls ucioes elemetles Ls ucioes poliómics, so derivbles e todos los putos.... Cipri Dpto. de Mtemátics
Lss ucioes rcioles, se derivble. P Q, so derivbles e su domiio. Lss ucioes trigoométrics, se e cos, so siempre derivbles. L ució tg es derivble e su s domiio: k co k Lss ucioes deiids trozos será derivbles si lo so e sus itervlos respectivos e los putos de uió. E estos putos brá que ver que l ució esté deiid que ls derivds lterles eist se igules. L ució epoecil, e, es derivble siempre que lo se. L ució logrítmic, log, es derivble e todo puto, tl que. CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD: RELACIÓN Propieddd : Si u ució : D es derivble e u puto, etoces es cotiu e. Cotrejemplo: L ució es cotiu e peroo o es derivble e dico puto. Cotiuidd e : lim lim lim lim lim lim lim, luego. Derivbilidd e : ' lim lim o eiste ' por tto, ' lim lim e. es cotiu e o es derivblee Resumiedo: - es cotiu e - o es derivble e - L gráic de o tiee rect r tgete e Otro cot puto. rjemplo más: L ució es cotiu e pero oo es derivble e dico Cotiuidd e : Derivds 4
lim lim, luego es cotiu e. ' lim Derivbilidd derivble e. e : lim limm ' Resumiedo: - es cotiu e - o es derivble e - L gráic de tiee u rect tgete verticl e, por tto, o es Este resultdo tmbié se puede utilizr e setido egtivo: Propieddd : Si o es cotiu e, etoces o puede ser derivble d e dico puto. Como cosecueci, siempre que os comezremos por estudir su cotiuidd. pid estudir l derivbilidd de u ució, Resume: derivble e cotiu e NO cotiu e NO derivblee e 4. OPERACIONES CON FUNCIONES DERIVA ABLES 4.. Sum L ució derivd de u sum de ucioes derivbles es l sum de ls ucioes derivds: 4.. Producto de u úmero rel porr u ució L ució derivd del productoo de u costte por u ució derivblee es l costte por l ució derivd de l ució: 4.. Producto de ucioes L ució derivd de u producto de ucioes derivbles es igul l derivd del primer ctor por el segudo si derivr más el primer ctor si derivr por l derivd del segudo ctor: g ' ' g g' 4.4. Fució recíproc de u ució g ' ' ' L derivd de l ució recíproc de u ució derivble vieee dd por: ' ' g ' Cipri Dpto. de Mtemátics 5
' ' 4.5. Cociete de ucioes L ució derivd de u cociete de ucioes derivbles es igul l cociete de l derivd del umerdor por el deomidor si derivr meos el umerdor si derivr por l derivd del deomidor, etre el deomidor l cudrdo: ' g ' g ' g g 4.6. Composició de ucioes: regl de l cde Se : A g: B ucioes reles de vrible rel co A B. Supogmos que es derivble e que g es derivble e b. Etoces: g ' g' ' 5. TABLAS DE DERIVADAS A modo de ejemplo clculremos ls ucioes derivds de lgus ucioes elemetles. A l vez que prcticmos el cálculo de derivds plicdo l deiició, tmbié os sirve pr costruir l coocid tbl de derivds que est o prezc como por rte de mgi. ) L ució :, dd por: c es derivble e culquier puto. Su derivd viee ) L ució :, c c ' lim lim es derivble e culquier puto su derivd es: ) L ució :, ' lim lim es derivble e culquier puto. Pr clculr su ució derivd utilizremos l órmul del biomio de Newto: ' lim lim... lim... lim Derivds 6
... lim 4) L ució :,,, es derivble e culquier, es: ' lim lim lim lim lim 8) L ució tg : : k k es derivble e culquier puto de su domiio tg su derivd viee dd por: Cipri Dpto. de Mtemátics 7 lim 5) L ució epoecil :, e, es derivble e culquier. e e e e ' lim lim lim e teiedo e cuet que e lim 6) L ució :, se, ' lim lim es derivble e culquier. se se cos se lim cos dode emos teido e cuet que se se cos se que se lim 7) L ució. Su derivd :, cos, es derivble e culquier. Su ució derivd se puede obteer teiedo e cuet que cos se plicdo l regl de l cde: ' se
se cos cos se se tg ' ' cos cos cos tg sec log :, 9) L ució es derivble e culquier,. Su ució derivd log viee dd por: log log ' lim lim log log lim lim lim log lim log log lim log lim log log e :, E prticulr l ució log l su derivd viee dd por: l' Tbl de derivds (de ucioes simples) e e es derivble e culquier,, Fució Derivd c ' ' ' ' co l Derivds 8
e log l e log e ' se cos cos se tg tg rcse rccos rctg Ejercicio: 9. Clcul l derivd de ls siguietes ucioes: 5 7 tg se ) 4 7) 4 ) 5 7 8) cos tg ) 5 9) e tg 4) ) l 4 7 5) ) e 6) Cipri Dpto. de Mtemátics 9 log ) log 5 cos 7) ) 7 5 5 5 8) 4) se tg l l 5 9) 5) ) 6) se cos 5 ) 7) se e se ) 8) 5 ) se cos se cos se e 9)
4) ) log 5 log7 tg 5) ) e se se tg 6) 5 ) Aplicdo l regl de l cde, obteemos l siguiete tbl de derivds pr ucioes compuests: Tbl de derivds, pr ucioes compuests: Fució Derivd ' Ejercicios:. Clcul l derivd de ls siguietes ucioes: ' ' ' ' co e log l ' ' l ' ' e ' ' ' log e se ' cos cos ' se tg ' tg rcse rccos rctg ' ' ' Derivds
) se ) 5 ) l 4) se e 5) se tg se cos se 5 7) 5 cos 5 ) 4) 6) 5) 7 se 6) e se 8) e cos se cos 7) 9) log 5 8) log 7 4 se ) ltg 9) se ) se cos ) tg ) 5 ) ) se ) se 5 4) 4. Hll l ució derivd de ls siguietes ucioes: 6 log ) log ) 5 ) ) ) 5 4) 4) 5 5) se 5 7 5) se cos 6) 5 6) tg se 7) 7) e 8) 8) 9) 9) log log log se cos ) ) ) e ) se cos ) 6. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA Si es cotiu e, l rect tgete l gráic de e el puto P, es: i) l rect que ps por P tiee pediete Cipri Dpto. de Mtemátics
si este límite eiste. ii) l rect si lim m lim Aclrció: Est deiició proviee del eco de que l rect tgete u ució e u puto es el límite de l rect secte l ució, cudo el otro puto de corte de l rect secte l ució tiede. P Tgete putos P Q l curv. Q Sectes Q A Se : D u ució cotiu P,, Q, dos putos de su gráic. Geométricmete se tiee que tg m sectes que es el vlor que mide l pediete de l rect secte e los Tomdo límites e l iguldd terior result: lim lim tg lim msectes ' tg m es decir, l derivd de u ució e u puto es igul l pediete de l rect tgete l ució e ese puto. ' sectes P Como cosecueci: Ecució de l rect tgete l curv e, : ' Ecució de l rect orml l curv e, : ' Derivds
Ejercicios:. Hll l ecució de l rect tgete e el puto de bscis.. Clcul ls ecucioes de ls rects tgete orml l ució de bscis. 4. Hll l ecució de l rect tgete 5. Dd 9 prlel l eje de bsciss. 4 e el puto e el puto de bscis., ll el puto e el que l rect tgete l gráic de es Gráicmete ls situcioes e ls que u ució o es derivble e u puto so: c, c o es cotiu e c o es derivble e c c c, c es cotiu e c, pero l gráic de tiee u rect tgete verticl e c o es derivble e c c c, c es cotiu e c, pero l gráic de o tiee rect tgete e c ( que tiee u pico) o es derivble e el puto c c Los putos e los que l gráic de l ució tiee picos se deomi putos gulosos, e ellos se veriic: ' ' Ejercicios: 6. Señl e qué putos o so derivbles ls siguietes ucioes: Cipri Dpto. de Mtemátics
4 7. Idic los putos e los que ls siguietes ucioes o so derivbles: si ) si b) se c) d) si si si si 7. DERIVADAS SUCESIVAS Se I u itervlo u ució derivble e I. Si ' es derivble e I, l derivd '' se le llm derivd segud de e se desig por ''. Si I eiste '', l ució '' se llm ució derivd segud de e I. ) k) k) E geerl, deiids ls ucioes ',..., : I, de tl modo que ', pr k ) k,...,, diremos que es l ució derivd k-ésim (o derivd de orde k) de e I. Derivds 4