Estadstca Descrptva Marques de Catú, María José (990). Probabldad y Estdístca para Cecas Químco-Bológcas, Méxco, D. F.: Mc. Graw Hll. pp. 74-7.
ORGANIZACIÓN Y REPORTE DE DATOS: TABLAS Y GRÁFICAS Los datos tal como se obtee de ua vestgacó está e forma desordeada por lo que es dfícl su terpretacó y aálss. Debdo a esto se debe orgazar e forma de tablas y gráfcas para permtr ua vsualzacó clara y rápda de todo el cojuto. E la tabulacó y descrpcó de los datos se debe segur certos prcpos geerales. PRINCIPIOS GENERALES SOBRE LA CONSTRUCCIÓN DE TABLAS: - Las tablas se explcará por s msmas eteramete, se ha de dar sufcete formacó e el título y e los ecabezados de las columas para permtr que el lector detfque fáclmete su cotedo. - Cada varable umérca debe coteer sus udades. 3- La fucó del rayado debe ser de dar clardad de terpretacó, debe evtarse el rayado excesvo e ecesaro. 4- No se debe clur demasada formacó e ua sola tabla. 5- Las aotacoes umércas de cero se debe escrbr explíctamete e vez de usar u guó; ya que éste se usará para dcar datos que falta o que o se ha observado. 6- Ua aotacó umérca o debe comezar co puto decmal. 7- Los úmeros que dca valores de ua msma característca se ha de dar co el msmo úmero de cfras decmales.
PRINCIPIOS GENERALES SOBRE LA CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS - Las gráfcas se ha de explcar eteramete por s msmas. - Las escaleras vertcal (ordeadas) y horzotal (abscsas) estará rotuladas co clardad dado las udades y co los msmo tervalos para las ordeadas y abscsas respectvamete. 3- No se debe abarcar demasada formacó e u solo gráfco. Es mejor hacer varos gráfcos que comprmr demasada formacó e uo solo. 4- La faldad de las gráfcas es dar ua vsó geeral y o ua mage detallada de u cojuto de datos. 5- Debe evtarse la clusó de úmeros detro del cuerpo de la gráfca. GRÁFICAS ENGAÑOSAS La fgura muestra la varacó de la tasa de mortaldad por efermedad del corazó para el estado de Mchga de 900 a 960. la gráfca lustra el aumeto de la tasa. Fgura Por s el objeto es presetacoes. Pero la mpresó que se da al lector es dferete e los dos casos. Sería dfícl decr s hay algo abertamete correcto al presetar la fgura e vez de la fgura. Por cosguete que prepara ua
gráfca tee ua oblgacó que va más aya de la mera presetacó de los hechos y ha de hacer u esfuerzo coscete para captar la mpresó que va a dar su gráfca y para evtar que sus propos prejucos s fudameto vaya a flur e esta expresó. Fgura Como otro caso teemos el dagrama de barras trucadas, supógamos que se estuda dos drogas A y B, e ua expereca clíca cotra ua efermedad partcular. Supógase que de 00 pacetes tratados co la droga A, 5 se cure, e tato que la droga B cura 56 pacetes de 00 tratados co dcha droga. La fgura 3 muestra los resultados e forma de dagrama de barras. 3
Fgura 3 Número total de curacoes co dos drogas dsttas. Pero supógase que se quere presetar los resultados de maera lgeramete dferete, posblemete algo más favorable para la droga B. la fgura 8.4 muestra ua maera de hacer esto. Aquí, la escala vertcal se ha trucado o terrumpdo de modo que comece e 50 e vez de 0 y, aturalmete, la vsta os dce que la droga B es superor a la droga A. otra vez se tee que ambas fguras preseta los msmos datos. Se deja al lector el cudado de sacar sus propas coclusoes. Claro, que el artfco cosste aquí e romper la escala vertcal, co lo que o hay maera drecta de comparar las logtudes vertcales de las dos barras. Fgura 4 Número total de curacoes co dos drogas dsttas 4
Acaso, el aspecto más egañoso de la Fgura 4, es el o advertr drectamete al lector que se ha utlzado ua terrupcó de escala. Tales terrupcoes o deberá utlzarse so e casos de ecesdad, como cuado las barras fuera excesvamete altas s o se cortara. De todos modos, ua ruptura debe ser claramete perceptble para el lector, lo que probablemete se logra terrumpedo tato la escala vertcal como las barras msmas, segú se ve e la fgura 5. Fgura 5 Número total de curacoes co dos drogas dsttas. El pctograma es u medo de presetacó gráfca que usa frecuetemete los ecoomstas, pero que també tee certa aplcacó e otros campos de estudo. Ua presetacó pctográfca compara magtudes utlzado objetos que tee relacó co la matera tratada. Por ejemplo, ua udad pctográfca para presetar la produccó de torllos podría ser u torllo; para presetar la produccó de trgo podría ser u saco de trgo; o para represetar tasas de ataldad, u bebé. Desafortuadamete, como ocurre co otras muchas téccas gráfcas, la presetacó pctórca puede ser egañosa. Supógase que se quere represetar 5
el hecho de que la tasa de ataldad e Mchga e 950 es el doble de lo que fue e 90, lo cual puede lustrar muy adecuadamete dbujado la mage de u bebé para dcar la tasa de ataldad e 90 y dos bebés para dcar la tasa de ataldad e 950, segú se ve e la fgura 6. Fgura 6 Número total de acdos vvos, Mchga, 90 y 950 Fgura 7 Número total de acdos vvos, Mchga, 90 y 950 Pero s lo que queremos es mpresoar realmete a los lectores co la magtud de este aumeto, se podría utlzar el artfco de la fgura 7, dode el msmo bebé se emplea para lustrar la tasa de ataldad e 90, pero co el objeto de señalar que la tasa es el doble e 950, se ha dbujado u bebé dos veces más largo y dos veces más acho. Naturalmete, esta presetacó es mas llamatva puesto que resalta el aumeto de la tasa de ataldad co más fuerza. La dfcultad resde e que al observar u pctograma somos propesos a ser fludos por el área o acaso hasta el volume. El bebé de 950 e la fgura 7, o tee ya dos veces el área del bebé de 90, so 4 veces. E suma, los pctogramas deberá comparar magtudes relatvas por u aumeto o dsmucó del úmero de objetos y o por el aumeto de tamaño del objeto básco. 6
DATOS ESTADISTICOS. TIPOS DE DATOS. Los datos estadístcos se obtee medate la observacó o medcó de las característcas de las udades elemetales de ua muestra. Como ya vmos ua varable es ua fucó que asga valores a los resultados obtedos de u expermeto. Para seleccoar u procedmeto estadístco a utlzar es ecesaro coocer que tpo de datos teemos, estos puede ser: cotuos, dscretos, ordales o jerarquzados y omales o categórcos. Los que provee de varables cotuas tales como: altura, peso, logtud, velocdad, vscosdad, temperatura, etc. está detro de la categoría. E geeral los datos cotuos so los que se obtee co algú strumeto. Ua varable dscreta es la que puede asumr solo certos valores por lo geeral eteros. Los datos dscretos surge al cotar el úmero de coceptos que posee certa característca, como por ejemplo la catdad de alumos e u saló de clase, los defectos de u lote de autos, los accdetes de trabajo e ua fábrca, el úmero de huevos e u do, etc. Tato los datos cotuos como los dscretos se cooce como datos cuattatvos. Por otra parte los dos tpos de datos restates, los ordales y los omales so datos cualtatvos y se les coverte a úmeros ates de trabajar co ellos. Los datos omales comprede categorías, como sexo, color de ojos o de pel de los amales, amales co o s el sítoma de determada efermedad, moscas de fruta co alas o s alas, etc. Por últmo los datos ordales o jerarquzados se refere a stuacoes subjetvas segú prefereca o logro. Por ejemplo s u vestgador desea aalzar el efecto de certa lesó cerebral sobre la coducta matera e los ratoes, uo de los crteros para medr la coducta matera es la caldad del do que costruye la hembra. El expermetador puede establecer etoces, certos crteros que haga posble evaluar u do como excelete, bueo, regular o malo. Estos térmos 7
so reducdos luego a los úmeros,,3 y 4, calfcádose así los dos e orde crecete de caldad. Ngua de las característcas aterores es umérca por aturaleza, s embargo, es posble asgar u dvduo o amal a ua de las categorías o jerarquías y luego cotar cuatos hay e cada ua. Es teresate observar que alguas poblacoes puede proporcoar los cuatro tpos de datos. Por ejemplo: POBLACIÓN CONTINUOS DISCRETOS NOMINALES ORDINALES Ratas de Peso edad Números de Color: egro, Caldad del laboratoro crías por rata blaco, grs do: excelete, bueo, malo, regular Automóvles Peso logtud Número de defectos por auto Colores Tamaño. TRATAMIENTO DE DATOS: El tratameto de datos suele realzarse de dversas maeras, depededo del tpo y de la catdad de datos. 8
DATOS CUALITATIVOS: S los datos so cualtatvos smplemete se agrupa segú la frecueca y la proporcó o porcetaje de cada categoría y se represeta gráfcamete medate dagramas crculares (gráfcas de pastel) y dagramas de barras. Por ejemplo: de 80 cuyos observados 48 so blacos, so egros, 6 so machados de blaco, egro y pardo y, 4 so pardos Resumedo esto e ua tabla teemos: Color Frecueca % Blacos 48 60 Machados 6 0 Negros 5 Pardos 4 5 Para costrur el dagrama crcular procedemos a dvdr u círculo de acuerdo a las proporcoes dadas, así 360 equvale al 00%, 60% equvale a 0% a 7%, 5% a 54% y 5% a 8%. Para dstgur las dsttas regoes se utlza dferetes colores o putos, rayas, cruces, etc. como se muestra a cotuacó 9
egros 5% pardos 5% machados 0% blacos 60% Fgura 8 Dagrama Crcular 70 60 50 40 30 0 0 0 blacos machados egros pardos Fgura 9 Dagrama de Barras 0
DATOS CUANTITATIVOS-MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE VARIABILIDAD O DE DISPERSIÓN. S los datos so cuattatvos, depededo del tamaño de la muestra se tratará e forma agrupada o o. S se tee muchos datos dferetes es coveete agruparlos e clases o tervalos, ya que su dstrbucó de frecueca y gráfcas resulta muy complcadas y hasta cofusas. S embargo, deber tomarse e cueta que el agrupameto sempre sgfca pérdda de formacó y e cosecueca pérdda de exacttud e las meddas obtedas de las dstrbucoes o gráfcas. Dos mportates característcas de los datos so: ) el valor cetral o típco del cojuto e el setdo que es el más represetatvo de u cojuto de datos. També se le llama promedo. Hay muchos promedos cada uo de los cuales posee propedades partculares y cada uo es típco e algua forma úca. A los promedos se les llama MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL y los más frecuetemete ecotrados so la Meda Artmétca la Medaa y la Moda o Modo. Otros meos usados so: El Cetro de Ampltud, la Meda Armóca, la Meda Geométrca y la Meda Artmétca Poderada. ) Además de la tedeca de los valores a agruparse e las cercaías de u valor promedo, es ecesaro saber cuato se dspersa o varía, es decr s está uo cerca del otro o alejados; las meddas de este acercameto o alejameto se cooce como MEDIDAD DE VARIABILIDAD O DE DISPERSIÓN y las más usadas so: la Ampltud total o Rago, la Varaza, la Desvacó Estádar, la Desvacó Meda y el Coefcete de Varacó.
A cotuacó estudaremos las Medaas de Tedeca Cetral y las de Varabldad o Dspersó, prmero para datos o agrupados y luego para datos agrupados. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS NO AGRUPADOS. MEDIA ARITMÉTICA Es la medda de tedeca cetral más utlzada e estadístca y la que se cooce como el promedo de las observacoes, s embargo, dado a la cofusó que hay e el térmo promedo, los estadístcos ha decddo de maera uáme llamarla Meda artmétca o smplemete Meda. La meda artmétca de u cojuto de observacoes,,.. es gual a la suma de las observacoes dvdda etre. e forma smbólca, la meda muestral es: Ejemplo: 8. Las sguetes observacoes so el cotedo de sóldos e el agua e partes por mlló (ppm): 450, 4570, 450, 4490, 4570, 4500, 450, 4540 y 4590. la meda artmétca para estas observacoes 49840 4530.9ppm Obsérvese que 4530.9 o es gua de las observacoes so se refere al cojuto de datos como u todo.
Cuado la frecueca de algua de las observacoes es mayor que los cálculos se puede smplfcar ordeado los datos e forma tabular, como se muestra a cotuacó y luego se calcula por medo de la formula: f f Cotedo de sóldos frecueca (ppm) f f 4490 4490 4500 9000 450 4 8080 4540 4540 4570 940 4590 4590 Total f f 49840 f f 49840 4530.9 MEDIANA: La medaa represetada por Md o P 50, es el valor cetral de ua sere cuado los valores se dspoe segú su magtud, y es aquel que dvde a ua sere de tal forma que 50% de los valores so meores o guales que él, y 50% de los valores so mayores o guales que él. Dado que la medaa es u valor poscoal (e comparacó co la aturaleza artmétca de la meda), se ve meos afectada por valores extremos detro del 3
grupo, que la meda. Esta propedad de la medaa la coverte e alguos casos, e ua útl medda de tedeca cetral. La medaa de,3,6,8,9,9 y es 8. s los valores extremos camba de maera que la sere resulte:,3,6,8,9,9 y 6, la medaa segurá sedo 8, pero la meda habrá aumetado de 7 a 9. Ejemplo : Para determar la medaa de los datos acerca del cotedo de sóldos e el agua de los que se habló e el ejemplo 8. se dspoe los datos e orde ascedete o descedete: 4490, 4500, 4500, 450, 450, 450, 450, 4540, 4570, 4570, 4590 y el valor que tee 50% de los valores por ecma y 50% por debajo de él es 450 ppm, ésta es etoces medaa. Ejemplo 3: Determar la medaa de cada uo de los sguetes cojutos de datos: a), 3, 3, 4-----------Md 3 b) 7, 8, 9, 0 -------Md 8.5 c) 5., 6.5, 8.3, 9., 0., 5.5 --------------Md 8.75 d), 5, 5, 5, 9, 5 e) 9, 40, 80, 8, 00 -----------Md 80 LA MODA O MODO: La moda se deota por M o Mo y es el valor que co más frecueca se preseta e u cojuto de datos. Es muy fácl de determar, basta co observar detedamete al cojuto de datos y ver cual es el que más se repte; s embargo, o es muy útl porque puede ocurrr que ua dstrbucó tega dos o más valores que se repta co la msma frecueca, e tal caso se tee dos o más modas. També puede ocurrr que o exsta gú valor que se repta y 4
etoces o habrá moda. Por otra parte puede ser u valor extremo el de mayor frecueca y dfíclmete podría ser cosderado ua medda de tedeca cetral. Ejemplo 4: Determar la moda para cada uo de los sguetes cojutos de datos: a) 0, 0, 0, 8, 6 ---------------M0 b), 5, 5, 6, 6, 8 -----------------M5.5 c) 4.5, 4.5, 5, 5 ------------------Mo hay moda d), 5, 8, 8, 5, 0 -------------M8 e), 5, 8.5, 8.5, 0,.3,.3, 4 --------------------M 8.5 y M.3 COMPARACIÓN ENTRE LA MEDIA, LA MEDIANA Y LA MODA Nombre Símbolo Defcó Vetajas Desvetajas Meda ) Refleja cada valor ) Propedades algebracas. 3) Es la más usada e ) Puede ser excesvamete fluecada por valores extremos aálss estadístcos. Medaa Md 50% de los valores so mayores y 50% so meores que ella. Moda M Valor co la frecueca más alta ) Meos sesble a valores extremos que la meda. ) Fácl de calcular ) Valor típco más valores reudos e este puto que e cualquer otro ) Dfícl de calcular s hay muchos datos. ) No tee propedades algebracas. ) No se presta para el aálss estadístco. ) Puede haber más de ua moda o gua. 5
La relacó etre la meda, la medaa y la moda se lustra e las sguetes fguras. S la dstrbucó es smétrca los valores de la meda ( ), la medaa (Md) y la moda (M) cocde. Fg. 0 Md M Fgura Dstrbucoes Asmétrcas Md M Fgura (b) 6
M Md Fgura (c) S la dstrbucó es egatvamete asmétrca (de color zquerda prologada) la meda, la medaa y la moda está e este orde como se muestra e la fgura (b) o e orde verso (moda, medaa y meda) s es postvamete asmétrca (de cola derecha prologada) como se muestra e la fg. (c) CENTRO DE AMPLITUD Es el valor que queda e medo de los valores mímo y máxmo, es decr la meda de dchos valores. S es la observacó más pequeña y es la más grade, etoces: C. A. + Ejemplo 5 El cetro de ampltud para los datos del cotedo de sóldos e el agua es: 4490 + 4590 C. A. 4540 Obvamete, el C.A. está fludo por los valores extremos y o toma e cueta los otros datos. MEDIA GEOMETRICA: La meda geométrca (G) de u cojuto de observacoes,,., es la raíz -ésma del producto de las observacoes. 7
G... La meda geométrca se emplea e mcrobología para calcular títulos de dsolucó promedo y para promedar catdades e forma de proporcoes y tasas de crecmeto y e geeral cuado covega hacer ua trasformacó logarítmca, ya que logg log CARACTERISITICAS DE LA MEDIA GEOMETRICA.- El cálculo de la meda geométrca está basado e todos los elemetos de u cojuto de datos. El valor de cada elemeto de dcho cojuto afecta así el valor de la meda geométrca..- S uo de los valores es cero, el valor de G es cero. 3 G 3 ( )(4)(0) 0 0 3.- S uo de los valores es egatvo v y el úmero de datos es par, el valor de G es magaro y o tee terpretacó, tal como G ( )(3) 6 S uo de los valores e egatvo y el úmero de datos es mpar, auque G exste, su valor o es represetatvo, como se observa a cotuacó 3 G 3 ( )(4)(6) 64 4 4.- La meda geométrca es afectada por valores extremos e ua meor catdad que lo es la meda artmétca. Por ejemplo, la meda geométrca de los valores,4 y 6 es 4 ( G 3 ()(4)(6) 4 ), metras que la meda artmétca de los msmos + 4 + 6 valores es 7 ( 7 ). El valor 7 es más cercao al valor alto 6 que el 3 8
valor 4 lo es de 6. El valor de G es sempre meor que el valor de de los msmos datos, excepto cuado todos los valores e ua sere so guales, tal como G y para los valores 4, 4 y 4 que so ambas 4. G 5.- La meda geométrca da gual poderacó a las tasas de cambo guales. E otras palabras, al promedar tasas de cambo geométrcamete, la tasa que muestra el doble de su base es compesada por la otra que muestra la mtad de su base; la tasa que muestra cco veces su base, es compesada por otra que muestra u quto de su base; y así sucesvamete. Las tasas de cambo so ordaramete expresadas e porcetajes. Puesto que la base de cada proporcó expresada e porceto es sempre gual a 00%, el promedo de dos proporcoes las cuales se compesa deberá ser 00% també. La tabla 8. os da ua lustracó de que la meda geométrca proporcoa ua mejor respuesta que la que proporcoa la meda artmétca. Tabla COMPARACIÓN DE LAS UNIDADES VENDIDAS POR LA COMPAÑÍA H EN 984 Y 985 Elemeto Udades veddas Tasas de cambo 984 985 984(base) 985 A 5 yd 5 yd 00% 500% B 50 lb 0lb 00% 0% 0 % + 500% Meda artmétca 00% 60% Meda geométrca 00% 00% 0 500 9
6.- La meda geométrca de las proporcoes de los valores dvduales co respecto a cada valor precedete e ua secueca de valores es la úca medda de tedeca cetral apropada para las proporcoes. La meda artmétca de las proporcoes o dará u resultado cosstete. El ejemplo 6 es usado para lustrar los dos dferetes tpos de medas al promedar proporcoes. Ejemplo 6: Las vetas mesuales de ua teda por departametos y las proporcoes de las vetas mesuales a las vetas e cada mes prevo de Eero a Mayo, está dadas e la tabla sguete: CALCULOS PARA EL EJEMPLO 6 Mes Vetas mesuales Tasa co respecto al (e mlloes) mes prevo Eero $ 5,000 Febrero $ 3,600 0.7 (3600/5000) Marzo $ 5,760.60 (5760/3600) Abrl $ 5,84 0.90 (584/5760) Mayo $0,368.00 (0368/584) Total $9,9 5. La meda geométrca de las tasas es.0 ó 0% y la meda artmétca es.305 ó 30.5% Las vetas basadas e las dos dferetes meddas de tedeca cetral de las tasas co respecto al mes prevo (G y ) so comparadas e la sguete tabla. 0
Solamete la meda geométrca da el resultado satsfactoro, puesto que la catdad de vetas calculada medate la meda geométrca para el mes de Mayo es cosstete co las vetas reales del mes. COMPARACIÓN DE LAS VENTAS CALCULADAS MEDIANTE LA MEDIA ARITMÉTICA Y LA MEDIA GEOMÉTRICA PARA EL EJEMPLO 6 Mes Vetas reales Vetas basadas e G Vetas basadas e Eero $ 5,000 ------------- ------------ Febrero $ 3,600 6,000(5000 x 0%) 6,55 (5000 x 30.5%) Marzo $5,760 7,00(6000 x 0%) 8,55 (655 x 30.5%) Abrl $5,84 8,640(700 x 0%),(855 x 30.5%) Mayo $0,368 0,368(8640 x 0%) 4,50( x 30.5%) Total $9,9 MEDIA ARMÓNICA: La meda armóca (H) de observacoes,, es el verso (multplcatvo) de la meda artmétca de los versos de las observacoes. H x Ejemplo 7: La meda armóca suele emplearse para promedar velocdades así por ejemplo, s u automóvl recorre las prmeras 0 mllas a 30 mph y las segudas a 60 mph, a prmera vsta parecera que la velocdad promedo de 30 y 60 es de 45 mph. Pero este tpo de meda se suele defr e Físca como la dstaca total recorrda
dvdda etre el tempo total empleado e recorrerla, y como la dstaca total es de 0 mllas y el tempo total es /3 + /6 de hora, se tee que la velocdad meda es: 0 0 0 V 40 mph 3 3 + 3 6 6 es teresate observar que esta meda se puede calcular como ua meda armóca de 30 y 60, esto es: 0 H 40mph 3 3 + 30 60 60 CARACTERISTICAS DE LA MEDIA ARMÓNICA:.- La meda armóca como la meda artmétca y la geométrca, se calcula usado todos los elemetos e u cojuto de valores. El valor de cada elemeto e todos los datos afecta, por lo tato, al valor de la meda armóca. S embargo, la meda armóca es aú meos afectada por valores extremos que la meda geométrca. La magtud relatva de las tres dferetes medas para los msmos datos puede ser expresada como sgue: H G.- la meda armóca o es ta frecuetemete usada como ua medda de tedeca cetral de u cojuto de datos como lo es la meda artmétca. S embargo, es útl e casos especales para promedar velocdades. La razó de cambo usualmete dca la relacó etre dos tpos dferetes de udades de medda que puede ser expresadas recíprocamete. Por ejemplo, s ua persoa camó 0 mllas e dos horas, la razó de su velocdad de camar puede ser expresada:
0mllas horas 5 mllas por hora ó recíprocamete, horas 0mllas 5 hora por mlla 3.- la meda armóca deberá usarse cuado u valor costate, el cual tee la msma udad que el umerador (mllas) de cada razó dada, es gualmete aplcable a cada elemeto e los datos; es decr, e el ejemplo 7, el msmo úmero de mllas fue recorrdo por el automóvl e ambos recorrdos. MEDIA PONDERADA: E certas crcustacas o todas las observacoes tee el msmo peso, etoces sería u error calcular la meda artmétca. Por ejemplo, tres laboratoros está vestgado cultvos de gargatas para averguar la preseca de estreptococos hemolítcos beta. El laboratoro A exama 50 cultvos de los cuales 5 da postvos (50%), el laboratoro B exama 80 cultvos y ecuetra que hay 60 postvos (75%), el laboratoro C exama 0 cultvos de los cuales solo 30 da postvo (5%). Para hallar la tasa meda postva para los tres laboratoros se debe calcular ua meda que tome e cueta los pesos, puesto que los tres laboratoros o examaro el msmo úmero de cultvos. w 50(50%) + 80(75%) + 0(5%) 50 + 80 + 0 500% 50 46% E geeral, s se tee observacoes,,, co pesos respectvos W, W,..W, la meda poderada de las observacoes se defe como: 3
w W W Al cosderar la meda artmétca para datos agrupados, como se verá más adelate, las frecuecas de clase puede ser cosderadas como los pesos para los dsttos cetros de clase. MEDIDAS DE DISPERSIÓN O VARIABILIDAD PARA DATOS NO AGRUPADOS AMPLITUD RANGO O RECORRIDO: El rago es la medda de la dstaca total e la escala umérca a lo largo de la cual varía las observacoes y se defe como la dfereca etre la observacó máxma y la míma. R Co el rago o se obtee ua dea clara de la dspersó, puesto que varas dstrbucoes dferetes puede teer la msma ampltud o rago. La sguete fgura muestra tres cojutos dferetes co la msma ampltud o rago. ampltud 4
LA DESVIACIÓN MEDIA: S es la meda de u cojuto de observacoes, la desvacó de la meda de cada observacó es ( ), la suma de todas estas desvacoes es cero, porque uas desvacoes so postvas y otras so egatvas, por lo tato la suma de estas desvacoes o os srve como ua medda de dspersó o varabldad del cojuto de datos. Pero, s se omte el sgo de estas desvacoes; es decr, se cosdera su valor absoluto, se suma y se dvde etre, teemos la meda de los valores absolutos de las desvacoes, que es el promedo de las dsttas a la meda. A esta medda se le llama desvacó meda, esto es: Ejemplo 8: D. M. Calcular la desvacó meda para las observacoes: 85, 70, 60, 90 y 80. 60-7 7 70-7 7 385 77 5 80 3 3 85 8 8 48 D. M. 9. 60 5 90 3 3 385 0 48 Como vmos e el captulo 6, ua terpretacó de la desvacó estádar es que s la dstrbucó es aproxmadamete ormal, el tervalo: a) ± s, cotee aproxmadamete 68% de las observacoes. 5
b) ± s, c) ± 3 s, cotee aproxmadamete 95% de las observacoes. cotee aproxmadamete cas todas las observacoes (99.7%) uo teorema u poco coservador a este respecto es el teorema de Chevyshev que se aplca a cualquer cojuto de datos (o ecesaramete ormales) TEOREMA DE CHEVYSHEV Dado u úmero K meos - de las observacoes se ecuetra e el tervalo k Esto es: K y u cojuto de observacoes,,, por lo ± ks k ± ks 0 Por lo meos hay 0 observacoes e el tervalo ± s. 3 3 4 8 9 Por lo meos hay 75% de las observacoes e el tervalo ± s. Por lo meos hay 89% de las observacoes e el tervalo ± 3s. Ejemplo 9: ejemplo 8 so: la varaza y la desvacó estádar para las 5 observacoes del 305 5(77) s 4 s.04 305 9645 4 580 4 45 6
obsérvese que la relacó que hay etre s y es: s ó s COEFICIENTE DE VARIACIÓN: Es ua medda de dspersó relatva, pues está exeta de udades y se expresa e porcetaje. Se usa para comparar dstrbucoes co dferetes udades o para comparar las dspersoes de dos dstrbucoes dferetes. Su fórmula es: s C. V. (00) Ejemplo 0 Cosderemos las sguetes muestras de los pesos de hombres de 5 años y de ños de años. M U E S T R A edad 5 años años 66 Kg. 36 kg. s 4.5 kg 4.5 kg. Aparetemete las dos muestras tee la msma varabldad, s embargo. C. V. C. V. 4.5 (00) 6.8% 66 4.5 (00).5% 36 Los pesos de los ños so relatvamete más varables que los de los adultos. 7
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS NO AGRUPADOS Las gráfcas para datos o agrupados so al gual que las empleadas para represetar ua dstrbucó de probabldad de ua varable aleatora dscreta, la gráfca de líeas, el hstograma, el polígoo de frecueca y la gráfca escaloada o polígoos de frecuecas acumuladas. Así para el ejemplo de los cotedos sóldos e el agua, la gráfca de líeas, el hstograma, el polígoo de frecueca y la gráfca escaloada se muestra a cotuacó: Fgura 3 Gráfca de líeas para las observacoes de los cotedos sóldos e el agua. Fgura 4 Hstograma y Polígoo de frecueca para las observacoes de los cotedos sóldos e el agua. 8
Fgura 5 Gráfca escaloada para las observacoes de los cotedos sóldos e el agua. 9
DATOS AGRUPADOS- TABLAS DE FRECUENCIA: Para costrur tablas de frecueca además de los prcpos geerales expuestos aterormete debemos segur las sguetes reglas: ) el prmer tervalo o clase debe coteer la observacó míma y el últmo de máxma. ) Los tervalos debe ser mutuamete exclusvos; es decr, cada observacó debe quedar exactamete e ua sola clase, o e dos al msmo tempo. 3) Los tervalos deberá ser exhaustvos e cuato a los datos; es decr, cada observacó deberá quedar e algua clase (o debe quedar datos por fuera) 4) Todos los tervalos deberá teer la msma logtud o ampltud, de ser posble. 5) Los tervalos se escogerá de maera que los cetros de clase o marcas de clase correspoda a úmeros co pocos dígtos decmales dferetes de cero. 6) Metras meos clases escojamos será más fácl el trabajo, pero se perderá más formacó. E la práctca se escogerá etre 0 y 5 clases; pero para uestros fes, de ejemplos escogeremos etre 7 y 5. 7) Báscamete hay dos formas dferetes de deotar las clases como se muestra a cotuacó. Límtes de clase Froteras o límtes reales de clase Límtes de clase Froteras o límtes reales de clase < - 8] <8-4] <4-0] <0-6] [ - 8] [8-4] [4-0] [0-6] 3-8 9-4 5-0 - 6.5-8.5 8.5-4.5 4.5-0.5 0.5-6.5 30
Sguedo las reglas expuestas, probablemete se pueda agrupar el msmo cojuto de datos e dversas tablas de frecueca gualmete aceptables, por lo que ecesaramete o ha de haber ua úca tabla de frecueca mejor que otras. Por otra parte, puede ser ecesaro volar ua o más de estas reglas por algua buea razó se cooce y es buea, adelate. Las reglas so ua ayuda y o ua restrccó. Vemos ahora u ejemplo detallado de costruccó de ua tabla de frecueca. Ejemplo : Los sguetes datos represeta la catdad de hemogloba (hb) e g/dl ecotrados e 30 pacetes etre y años que acudero al laboratoro cetral de la E.N.E.P. Zaragoza:.8 0.8 4.0 4.0. 3.7 4.0.7 4.0.8 6.3 4.0 3. 3.7 3.6 4.3 3.7 4. 0.0 3.7..5 3.4 3.9.4 0..0.0.9 4. Costrur ua tabla de frecueca co 8 clases que cotega: límtes, froteras y cetros de clase, frecuecas, frecuecas acumuladas y % de frecuecas acumuladas o porcetajes acumulados. Prmero buscamos la ampltud o rago, restado la observacó máxma meos la míma: R 6.3 0. 6. Como os pde 8 clases, dvdmos el rago 6. etre 8 para coocer la ampltud de cada clase: C C 6. 8 0.8 Como la prmera clase debe coteer la meor de las observacoes, comezamos co <0.0, 0.8] y además como todas debe teer la msma ampltud y ser mutuamete exclusvas, la seguda clase será <0.8,.6], para garatzar que 0.8 estará e la prmera clase pero o e la seguda. Así 3
cotuamos costruyedo las clases hasta que la últma (octava) cotega la mayor de las observacoes, 6.3. Así teemos que: vv Límte de clase Froteras o límtes reales de clase Cetros de clase Frecueca f Frecueca acumulada % acumulado <0.0,0.8] <0.8,.6] <.6,.4] <.4,3.] <3.,4.0] <4.0,4.8] <4.8,5.6] <5.6,6.4] [0.0,0.8] [0.8,.6] [.6,.4] [.4,3.] [3.,4.0] [4.0,4.8] [4.8,5.6] [5.6,6.4] 0.4..0.8 3.6 4.4 5. 6.0 3 4 3 4 4 0 3 7 0 4 5 9 9 30 0.00 3.33 33.33 46.67 83.33 96.67 96.67 00.00 c 0.8 30 Tabla o. S quséramos usar la otra otacó, etoces la tabla quedaría como sgue: Límte de clase Froteras de clase Cetros de clase f F % acumulado 0.-0.8 0.9-.6.7-.4.5-3. 3.3-4.0 4.-4.8 4.9-5.6 5.7-6.4 0.05-0.85 0.85-.65.65-.45.45-3.5 3.5-4.05 4.05-4.85 4.85-5.65 4.65-6.45 0.44.5.05.85 3.65 4.45 5.5 6.05 4 4 3 3 4 0 4 8 4 5 9 9 30 3.33 6.67 36.67 46.67 83.33 96.67 96.67 00.00 C 0.8 30 Tabla o. E adelate, para todos uestros cálculos os referremos a la prmera tabla (), de la tervalos sem abertos. 3
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS AGRUPADOS. Las gráfcas más empleadas para represetar datos agrupados so: el Hstograma, el Polígoo de frecueca y la Ojva. Fgura 6 Froteras de clase Fgura7 Cetros de clase 33
Fgura 8 Froteras superores de clases PERCENILES, CUANTILES Y RANGOS PERCENTILES Los percetles de u cojuto de observacoes dvde e cetésmos la frecueca total. Esto es, el p-percetl o el percetl-p (p p ) es el valor por debajo del cual cae el p% de las observacoes. Así por ejemplo, el percetl 30 (P 30 ) es el valor por debajo del cual cae el 30% de las observacoes. A veces se ecesta valores que dvde el porcetaje total e partes guales como, cuartos, décmos, qutos o tercos. Los putos de dvsó para estas dsttas partcoes se llama cuartles, decles, qutles y tercles, respectvamete. Así el prmer cuartl (0 ) es el percetl 5 (P 5 ), el séptmo decl (D 7 ) es el percetl 70 (P 70 ). El segudo cuatl (Q ) o el quto decl (D 5 ) so otras formas de llamar a la medaa (Md ó P 50 ). 34
El térmo Cuatl es el ombre geérco para u puto de dvsó relacoado co cualquer partcó: es decr, los percetles, decles, cuatles qutles, so todos cuatles. El rago percetl de u valor es el porcetaje de todas las observacoes que so meores o guales a ese valor. Tégase e cueta que u percetl es u valor de la varable observada, e tato que el rago percetl es u porcetaje. Esto lo vemos más claro e la Ojva (determacó gráfca de percetles y rago percetles) y e la tabla de frecueca (determacó algebraca) Fgura 9 35
Para calcular percetles y rago percetles aalítcamete, extraemos de la tabla la parte que os es útl para el caso, las froteras superores y los porcetajes acumulados. Ejemplo : Para calcular el P 5, sabemos que es u valor etre.6 y.4 porque 5% está etre 3.33 y 33.33%; etoces terpolado, teemos: 33.33%.4 5% 3.33%.6 33.33 5.4 5 3.33.6 despejado :.733 de dode P 5.733 Ejemplo3: El rago percetl de 3.5 será u % etre 46.68 y 83.33%. Así: 4.0 83.33% 3.5 Y 3. 46.67% 0.5 83.33 y 0.3 y 46.67 despejado y: y60.4 Esto es: rago perceptl de 3.5 es 60.4% 36
El rago tercuartl cotee el 50% cetral, co u 5% por debajo y otro 5% por arrba de dcho tervalo y a meudo se emplea como medda de dspersó cuado la medaa es usada como medda de tedeca cetral. Q Q Q P P 3 75 5 A Q se le llama rago sem-tercuartílco y s la dstrbucó es smétrca sgfca la dstaca etre la medaa y P 5 y etre la medaa y P 75. Los percetles també se puede calcular medate la fórmula: p F P p L + ( 00 ) c f dode: Lfrotera de la clase perecedete a la clase que cotee el percetl p. tamaño de la muestra. F frecueca acumulada de la clase precedete a la que cotee a p. ffrecueca de la clase que cotee a p. clogtud de clase. (5)(30) 7 Así: P 00 5.6 + ( )(0.8).6 + 0.33. 733 3 37
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS: MEDIA ARITMETICA: Debdo a que los valores dvduales de la muestra se perde al agruparse, para calcular las meddas de tedeca cetral y las de dspersó se usa los putos medos o cetros de clase como represetates de clase. E cosecueca, s m es el cetro de clase y f la frecueca de clase para la clase -ésma, la meda artmétca puede defrse como: K f m dode k es el úmero de clases, esto es, para uestro ejemplo k 8. Ejemplo 4: la meda artmétca para el cotedo de Hb para los 30 ños de a años (usado la tabla ) es: M f f m 0.4 3 3.0. 4 44.80.0 3 36.00.8 4 5.0 3.6 49.60 4.4 4 57.60 5. 0 0.00 6.0 6.00 30 386.40 38
386.40 30 MEDIANA:.88 Como la medaa es el percetl 50 (P 50 ) para determar usamos los métodos descrtos e la seccó ateror para cálculo de percetles: gráfcamete,por terpolacó o por la fórmula. Ejemplo 5: La medaa para uestro ejemplo de le hemogloba es: 83.33 4.0 50 46.67 3. 33.33 4.0 3.33 3. despejado, teemos: P 50 3.7 usado la fórmula: P P 50 50 50x30 4 3. + ( 00 )(0.8) 3. + 0.07 3.7 LA MODA: La moda de ua dstrbucó de frecueca puede ser aproxmada a meudo por el cetro de clase de la clase modal, la clase co mayor frecueca absoluta. Así para uestro ejemplo, la moda sería M3.6, el puto medo de la clase 39
<3.,4.0] cuya frecueca de es la más alta. Esta forma de localzar la moda es satsfactora cuado las frecuecas de las clases aterores y posteror (pre-y postmodal, respectvamete) a la modal, so aproxmadamete guales. Cuado o se cumple esta codcó, puede obteerse resultados más satsfactoros por terpolacó algebraca co la sguete ecuacó, sempre y cuado todas las clases tega la msma ampltud. M L + ( ) c + Dode: L : : es el límte real feror (frotera feror) de la clase modal. es la dfereca etre la frecueca de la clase modal y la premodal. es la dfereca etre la frecueca de la clase modal y la postmodal. C: es la ampltud de clase. Ejemplo 8.6: Para uestro ejemplo M M 7 3. + ( )(0.8) 7 + 7 3. + 0.40 3.60 Demostracó de la fórmula de la moda: Los trágulos RPQ y PST so semejates (cogruetes), por lo tato: 40
4 c L M c L M c L M M c L L M dode de C L L pero M L L M M L L M M L L M ST RQ PF EP ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + + + + + + + + + + + MEDIA ARMONICA: La meda armóca para datos agrupados se calcula usado la fórmula: ) ( k m f H Ejemplo 8.7: Para uestro ejemplo de la hemogloba:... ). 4( ) 0.4 3( 30 + + H.769.357 30 H MEDIA GEOMÉTRICA: La meda geométrca para datos agrupados se calcula por la fómula: f k f k f f k m m m m G ) ( )...( ) ( ) ( Ejemplo 8: Para uestro ejemplo:
G (0.4) G.8045 (.) 30 3 4... MEDIDAS DE DISPERSIÓN PARA DATOS AGRUPADOS: LA VARIANZA Y LA DESVIACIÓN ESTANDAR: La varaza muestral para datos agrupados se defe medate la fórmula: s k f ( m ) ó bé por la fórmula equvalete: s k f m Ejemplo 9: Para uestro ejemplo: m f f m 0.4 3 34.48. 4 50.76.0 3 43.00.8 4 655.36 3.6 034.56 4.4 4 89.44 5. 0 0 6.0 56.00 30 5033.60 s 5033.60 30(.88) 9.96 4
la desvacó estádar s.96. 40 LA DESVIACIÓN MEDIA: La desvacó medda APRA datos agrupados se calcula medate la fórmula: 34.4 D. M..43 30 PROPIEDADES DE LA MEDIA, VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTANDAR: ) S Y ± c (c costate ), etoces: a) Y ± c b) s y s x c) s y sx ) S Y c (c costate), etoces: a) b) Y c s c y s x c) s y cs x Demostracó: a) Y c Y ( ± ) ± c ± c Y ± c b) s s y y ( Y Y ) s x ( ± c ( ± c)) ( ) 43
a) Y Y s y ( x ( Y Y ) ) c ( c x ) c c ( ) c s x Ejemplo : S las calfcacoes de u exame se camba a) agregado 0 putos a cada ua, b) agregado 0% a todas las calfcacoes. Qué efecto tedrá estos cambos sobre la meda, la desvacó estádar y la varaza? Solucó: a) Y + 0 Y +0 s y s x s y s x b) Y + 0.0. 0 Y. 0 s y. 0s x s y (.0) s x. sx 44