TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES ÍNDICE

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES ÍNDICE. CONCEPTO DE RENTA FINANCIERA... 2 2. ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA... 2 3. CLASES DE RENTAS... 3 3.. SEGÚN LA CUANTÍA DE LOS TÉRMINOS... 3 3.2. SEGÚN EL NÚMERO DE TÉRMINOS... 3 3.3. SEGÚN EL ENCIMIENTO DEL TÉRMINO... 4 3.4. SEGÚN EL MOMENTO DE ALORACIÓN... 4 3.5. SEGÚN LA PERIODICIDAD DEL ENCIMIENTO... 4 3.6. SEGÚN LA LEY FINANCIERA... 4 4. ALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA... 5 5. RENTAS CONSTANTES... 7 5.. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA... 7 5... CÁLCULO DEL ALOR INICIAL... 7 5..2. CÁLCULO DEL ALOR FINAL... 5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA... 6 5.2.. CÁLCULO DEL ALOR INICIAL... 6 5.2.2. CÁLCULO DEL ALOR FINAL... 9 5.3. RENTAS PERPETUAS, INMEDIATAS Y ENTERAS... 2 5.3.. RENTAS POSPAGABLES... 22 5.3.2. RENTAS PREPAGABLES... 23 5.4. RENTAS DIFERIDAS... 24 5.4.. RENTAS TEMPORALES, POSPAGABLES Y ENTERAS... 24 5.4.2. RENTAS TEMPORALES, PREPAGABLES Y ENTERAS... 27 5.4.3. RENTAS PERPETUAS, POSPAGABLES Y ENTERAS... 28 5.4.4. RENTAS PERPETUAS, PREPAGABLES Y ENTERAS... 29 5.5. RENTAS ANTICIPADAS... 3 5.5.. RENTAS TEMPORALES, POSPAGABLES Y ENTERAS... 3 5.5.2. RENTAS TEMPORALES, PREPAGABLES Y ENTERAS... 34 Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr. CONCEPTO DE RENTA FINANCIERA Hst or ls operoes fers que vemos relzo se ompoí e u ptl úo (o poos) tto e l prestó omo e l otrprestó. S embrgo, y u gr úmero e operoes que se ompoe e u elevo úmero e ptles: l osttuó e u ptl, los ples e jubló, los préstmos,... E tos ells tervee muos ptles y serí fíl y poo práto moverlos e uo e uo, omo lo emos eo st or. Surge l ees e busr u métoo mtemáto que os flte l tre e esplzr u elevo úmero e ptles o reltv fl: ls rets. Se trt e us «fórmuls» que e etermos sos permtrá esplzr e el tempo u grupo e ptles l vez. L ret se efe omo u ojuto e ptles o vemetos equsttes e tempo. Pr que exst ret se tee que r los os sguetes requstos: Exste e vros ptles, l meos os. Pero ostte etre los ptles, es er, etre os ptles oseutvos ebe exstr sempre el msmo espo e tempo (ulquer que se). 2. ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA Los elemetos que ompoe u ret fer so: Fuete e l ret: feómeo eoómo que orge l meto e l ret. Por ejemplo, ls suesvs portoes u pl e pesoes o el greso peróo e u óm lo lrgo el tempo. Orge: mometo e el que omez evegrse 2 el prmer ptl. Fl: mometo e el que term e evegrse el últmo ptl. Aquí l prestó y otrprestó se refere tto l ero que se etreg pr ptlzrlo omo el que se rebe tulzo respetvmete. 2 Reoremos que evegrse lo poemos oserr equvlete prourse. Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -2- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr Duró: tempo que trsurre ese el orge st el fl e l ret. Térmo: uo e los ptles que ompoe l ret. Períoo: tervlo e tempo etre os ptles oseutvos. Tto e terés: ts emple pr mover los ptles e l ret. Gráfmete: C C2 C3 C t0 t t2 t3 t- t Orge Durót-t0 Fl 3. CLASES DE RENTAS Ls rets se puee lsfr segú feretes rteros, etre los que vmos estr los que pree e los prtos sguetes. 3.. SEGÚN LA CUANTÍA DE LOS TÉRMINOS Costte: uo toos los ptles so gules. rble: uo l meos uo e los ptles es ferete l resto, puéose stgur: o rbles s segur u ley mtemát, uo vrí letormete. o rbles sgueo u ley mtemát, uo lo e o u ore. E progresó geométr E progresó rtmét 3.2. SEGÚN EL NÚMERO DE TÉRMINOS Temporl: tee u úmero fto y ooo e ptles. Perpetu: tee u úmero fto o emso gre e ptles. Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -3- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr 3.3. SEGÚN EL ENCIMIENTO DEL TÉRMINO Pospgble: los ptles se euetr l fl e peroo e tempo. Prepgble: los ptles se stú prpo e peroo. 3.4. SEGÚN EL MOMENTO DE ALORACIÓN Imet: vlormos l ret e su orge o e su fl. Dfer: uo se vlor l ret e u mometo teror su orge, es er, el prmer térmo se euetr e lgú mometo posteror l que le orrespoerí u ret met. 3 Atp: el vlor e l ret se lul o posteror l fl, es er, es quell e l que el últmo térmo e l ret se euetr e lgú mometo teror l que le orrespoerí u ret met 4. 3.5. SEGÚN LA PERIODICIDAD DEL ENCIMIENTO Eter: el térmo e l ret vee expreso e l msm u e tempo que el tto e vloró, ulquer que se l u tom, es er, l freue e los térmos e l ret oe o l freue o pero o l que se ptlz los tereses. No eter o Peró: el térmo e l ret vee expreso e u u e tempo myor l el tto e vloró. Fro: el térmo e l ret se expres e u u e tempo meor que quell e l que vee expres el tpo e vloró e l ret. 3.6. SEGÚN LA LEY FINANCIERA Smple: emple u ley fer terés smple pr esplzr los ptles. 3 Por ejemplo, serí el so e u ret ul e l que el prmer térmo se euetr e el quto ño. 4 Por ejemplo, serí el so e u ret ul uyo prmer térmo se euetr e el mometo 0. Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -4- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr Compuest: l ley fer emple es l e l ptlzó ompuest. 4. ALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA El vlor fero o ptl e u ret e u mometo t es el resulto e llevr fermete (ptlzo o esoto) toos los térmos e l ret o mometo e tempo t. Exste os sos espelmete relevtes: S t0 (seo 0 el orge e l ret) os eotrmos o el vlor tul, esto es, resulto e vlorr toos los térmos e l ret e el mometo ero. S t (seo el fl e l ret) se efe omo el vlor fl, resulto e esplzr toos los térmos e l ret l mometo. Pr el orreto empleo e ls fórmuls fers e ls rets, será eesro lsfr ls rets teeo uo e los rteros que emos vsto y, e fuó e l ombó que presete brá que plr u u otr, segú proe. A ls feretes rets que estuemos otuó se les v llr el vlor tul y fl y pr ello bstrá o reorr ls fórmuls mtemáts que permte sumr u sere e térmos que vrí e progresó rtmét o e progresó geométr reete o ereete. Ests expresoes so ls sguetes: Fórmul e l sum e térmos e progresó rtmét: S 2 Fórmul e l sum e térmos e progresó geométr ereete: S r r Fórmul e l sum e térmos e progresó geométr reete: r S r Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -5- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr Reoremos tmbé que ls fórmuls pr lulr u térmo -ésmo so: Fórmul el álulo el térmo -ésmo e u progresó rtmét: ( ) Fórmul el álulo el térmo -ésmo e u progresó geométr: oe: r Prmer térmo e l progresó Últmo térmo e l progresó Número e térmos e l progresó r Rzó e l progresó Dfere e l progresó EJEMPLO Se ese sber uáto see l sum e los 30 térmos e u progresó rtmét uyo prmer térmo es gul 5 y uo e los térmos se le sum 2 ues pr obteer el sguete. Cuál serí su sum s e lugr e ser u progresó rtmét fuer u progresó geométr e 8 térmos, uyo prmer térmo fuese.000 y su rzó fuese 0,5? 2 3 4 5 6 29 30 L fórmul pr lulr los térmos e u progresó rtmét es: S 2 Pr ello y que lulr el vlor e 30: ( ) ( 30 ) 2 63 30 5 Y poemos lulr l sum e los 30 térmos e l progresó: 5 63 S 30.020 2 S l progresó fuer geométr, gráfmete se represetrí sí: / Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -6- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr / 2 3 4 5 6 7 8 Pr lulr l sum terímos que tur e form álog omo lo emos eo terormete, es er, empezo por lulr el vlor el últmo térmo: r ( 8) 30.000 0,5 7,825 Y poemos lulr l sum e los 8 térmos e l progresó, teeo e uet que omo l rzó es meor que, se trt e u progresó geométr ereete, por lo que se tee que plr est fórmul: r S r.000 7,825 0,5 S.992,9 0,5 5. RENTAS CONSTANTES 5.. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA mos estur u ret ostte (térmos e gul utí), temporl (tee u úmero etermo e ptles), pospgble (los térmos vee l fl el períoo), met (vlorremos l ret e su orge y su fl) y eter (térmos y tto está e l msm u e tempo). Auque o se g expresmete se lulrá e régme e ompuest (ret ompuest). 5... CÁLCULO DEL ALOR INICIAL Comezremos por l ret ostte más fál, l que tee omo térmo l u (ret utr), uy represetó gráf es l sguete: 0? 0 2 3 - Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -7- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr Reoremos que l fórmul pr tulzr u ptl e régme e ptlzó ompuest y esueto rol es: C 0 C ( ) Aplo l efó e vlor tul y llevo los térmos uo uo, esoto e régme e esueto ompuesto l tto e l ret, ese oe está uo e los ptles st el orge se obtee el vlor tul, que se eot o l sguete termologí: oe: úmero e ptles tto e vloró llegmos l sguete fórmul: 0 K ( ) 2 ( ) 3 ( ) ( ) Pr smplfr l expresó teror, emos e er otr que se trt e u progresó geométr e rzó: r Como l rzó es meor que l u 5, l progresó es ereete, por lo que, tl y omo reormos e el tem teror, l sum e los térmos e u progresó geométr ereete es l sguete: S r r Aplo fórmul los térmos tulzos e l ret y smplfo posterormete: 5 El umeror es meor que el eomor. Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -8- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -9- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om / / / / / / Est es l expresó que permte lulr el vlor e u ret ostte, temporl, pospgble, met, eter y utr. S embrgo, el mporte e los ptles o suele ser utro. E el supuesto e eotrros o u ret ostte uyos térmos fuer e utí, el vlor tul se represet por: A y se obterí e l sguete form: 3 2 0 A K so ftor omú el térmo : 3 2 0 A K Se puee observr que el orete es el vlor tul e l ret utr, temporl, pospgble, met y eter e térmos,, es er: A 0 L expresó A,, pues, que l ret es ostte, temporl, pospgble, met, eter y e utí.

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr EJEMPLO 2 Clulr el vlor tul e u ret e tres térmos ules veos 6 e 00 euros u u tto e terés el 0% efetvo ul. 0? 00 00 00 0 2 3 ños 0% Moveo los ptles uo uo: 0 A K ( ) 2 ( ) 3 ( ) ( ) 00 00 00 A3 0, 3 0, 2 ( 0,) ( 0,) 0 0 248,69 248,69 Utlzo l fórmul e l ret ostte, temporl, pospgble, met y eter: 0 A ( ) ( 0,) 0 A3 0, 00 3 0, 00 248,69 0, 0 248,69 3 EJEMPLO 3 Clulr el vlor e l mposó que teremos que relzr e u bo que ptlz l 2% e terés efetvo ul ompuesto, s queremos spoer e 20.000 euros l fl e uo e los próxmos 5 ños. / 6 eos sgf que los ptles se eveg l fl el ño, es er, se v trtr e u ret pospgble. Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -0- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr / Ls tes rebr e el futuro osttuye u ret ostte, temporl, pospgble, met y eter. Por tto, pr que exst equvle etre l mposó y los retegros, quéll ebe or o el vlor tulzo e estos últmos. Así, l mposó l será el vlor tul e l ret form por los retegros l tto que geer l operó. 0? 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 0 2 3 4 5 ños 2% Clulmos el vlor l e u ret temporl, pospgble, met y eter: 0 A ( ) ( 0,2) 0 A5 0,2 20.000 5 0,2 20.000 72.095,52 0,2 0 72.095,52 5 5..2. CÁLCULO DEL ALOR FINAL Segumos trbjo o l msm ret ostte, utr, temporl ptles, pospgble, met y eter; pero or vmos lulr su vlor fl, es er, vlorremos toos los térmos e l ret e su fl (mometo ), queo gráfmete sí:? 0 2-2 - Reoremos que l fórmul pr ptlzr u ptl e régme Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr e ptlzó ompuest es: ( ) C C0 Aplo l efó e vlor fl y llevo los térmos uo uo, ptlzo e régme e ptlzó ompuest l tto e l ret, ese oe se euetr uo st el fl, se obtee el vlor fl, que se eot o l sguete termologí: s oe: úmero e ptles tto e vloró llegmos l sguete fórmul: 2 s K Pr smplfr l expresó teror, emos e er otr que se trt e u progresó geométr e rzó: r Como l rzó es myor que l u, l progresó es reete, por lo que, tl y omo reormos e el tem teror, l sum e los térmos e u progresó geométr reete es l sguete: S r r Aplo fórmul los térmos ptlzos e l ret y smplfo posterormete: s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s ( ) Al msmo resulto ubésemos llego s se ptlz el vlor tul e l ret st su fl empleo el msmo tto e Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -2- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -3- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om vloró: Por tto, el vlor fl e l ret será l ptlzó e su vlor tul, omo se emuestr otuó: s s Est es l expresó que permte mover ptles e u u moetr equsttes etre sí ese su orge st el mometo l tto e terés. S embrgo, el mporte e los ptles o suele ser utro. E el supuesto e eotrros o u ret ostte uyos térmos fuer e utí, el vlor fl se represet por: S y se obterí e l sguete form: 2 S K so ftor omú el térmo : [ ] 2 S K Se puee observr que el orete es el vlor fl e l ret utr, temporl, pospgble, met y eter e térmos, s, es er: s S? 0 2-2 - 0

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr Del msmo moo, se puee llegr es expresó ptlzo el vlor tul: S s ( ) A L expresó S,, pues, que l ret es ostte, temporl, pospgble, met, eter y e utí. EJEMPLO 4 Clulr el vlor fl e u ret e tres térmos ules veos e 00 euros u u tto e terés el 0% efetvo ul. 3? 00 00 00 Desplzo los ptles uo uo: 2 S K 2 ( 0,) 00 ( 0,) 33 3 S3 0, 00 00 3 33 Utlzo l fórmul e l ret ostte, temporl, pospgble, met y eter: 0 2 3 ños 0% S s ( ) ( 0,) 3 S3 0, 00 s3 0, 00 33 0, 3 33 Cptlzo el vlor tul, lulo e el ejemplo : S A 0, 3 s 248,69 ( ) A 3 3 ( 0,) A3 0,, 248,69 33 3 S3 0, 00 s3 0, 3 33 3 Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -4- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr EJEMPLO 5 Clulr el mporte umulo e u bo l bo e 5 ños, s mpoemos l fl e uo e ellos 20.000 euros seo el tpo e terés e l uet el 2% efetvo ul. El mporte umulo espués e 5 ños será el vlor fl e l ret form por ls mposoes que se relzo, utlzo omo tto e vloró el tpo e terés e l prop uet. 5Slo? 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 0 2 3 4 5 ños Clulmos el vlor fl e u ret temporl, pospgble, met y eter: S s ( ) ( 0,2) 5 S5 0,2 20.000 s5 0,2 20.000 27.056,95 0,2 5 27.056,95 2% 5 EJEMPLO 6 Clulr el úmero e gresos e 25.000 euros que teemos que relzr l fl e ño pr reur 209.845,94 euros e u bo que ptlz l 6% efetvo ul. E este so se ooe l utí mpoer perómete, que osttuye u ret ostte, y el slo que queremos teer osttuo (el vlor fl e l ret); lo que se ese ooer es el úmero e mposoes relzr, esto es, el úmero e térmos e l ret () que osttuye ls mposoes. 209.845,94 25.000 25.000 25.000 0 2? ños 6% / Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -5- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr / Utlzmos l fórmul el vlor fl e l ret ret temporl, pospgble, met y eter, teeo omo ógt el úmero e térmos, e este so ños, : S s ( ) ( 0,06) S 0,06 25.000 s 0,06 25.000 209.845,94 0,06 ( 0,06) 0,06,06,06 209.845,94,06 8,3938376 25.000 0,06 8,3938376 0,06,06 0,503630256,06 0,503630256,503630256 Aplmos logrtmos pr poer espejr : log,06 log,503630256 log,06 log,503630256 log,503630256 7 ños log,06 7 ños 5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA mos estur u ret ostte (térmos e gul utí), temporl (tee u úmero etermo e ptles), prepgble (los térmos vee l prpo el períoo), met (vlorremos l ret e su orge y su fl) y eter (térmos y tpo e terés está e l msm u e tempo). Auque o se g expresmete se lulrá e régme e ompuest (ret ompuest). 5.2.. CÁLCULO DEL ALOR INICIAL Comezremos por l ret ostte que tee omo térmo l u (ret utr), uy represetó gráf es l sguete: Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -6- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr 0? 0 2 3 - Aplo l efó e vlor tul y llevo los térmos uo uo, esoto e régme e esueto ompuesto l tto e l ret, ese oe está ptl st el orge se obtee el vlor tul, que se eot o l sguete termologí: ä llegmos l sguete fórmul: 0 K 2 3 Pr smplfr l expresó teror, emos e er otr que se trt e u progresó geométr e rzó: r Como l rzó es meor que l u, l progresó es ereete, por lo que, tl y omo reormos e el tem teror, l sum e los térmos e u progresó geométr ereete es l sguete: S r r Aplo fórmul los térmos tulzos e l ret y smplfo posterormete: Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -7- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -8- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om ä S reormos, l fórmul e u ret ostte, temporl, pospgble, met y eter er: Por lo que l fórmul teror l poemos expresr tmbé e fuó e e l sguete form: [ ] Est es l expresó que permte mover ptles e u u moetr equsttes etre sí st su orge, l tto e terés. Otr posbl osste e lulr el vlor tul e l ret prepgble vloro por sepro el prmer ptl, que y está e el orge, y el resto e ptles ( ) omo ret pospgble met: Es er: - 0 0 2-2 - 0

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr Pr rets osttes uyos térmos fuer e utí, el vlor tul se represet por: Ä y se obterí e l sguete form: A 0 K 2 3 so ftor omú el térmo : 0 A K 2 3 ( ) ( ) ( ) Se puee observr que el orete es el vlor tul e l ret utr, temporl, prepgble, met y eter e térmos, ä, es er: 0 A ( ) ( ) L expresó Ä,, pues, que l ret es ostte, temporl, pospgble, met, eter y e utí. ( ) 0 A NOTA: los vlores tules y fles e ls rets prepgbles se obtee prtr e ls rets pospgbles multplo por ( ), es er, ls rets prepgbles so el resulto e ptlzr u períoo ls rets pospgbles. 5.2.2. CÁLCULO DEL ALOR FINAL Do que los vlores fles e ls rets prepgbles se obtee prtr e ls rets pospgbles multplo por (), poemos estbleer ls sguetes fórmuls: lor fl e u ret ostte, temporl, prepgble, met, eter y utr: Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -9- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr ( ) s ( ) lor fl e u ret ostte, temporl, prepgble, met, eter y e utí : ( ) S ( ) EJEMPLO 7 Clulr el vlor tul y fl e u ret e tres térmos ules stuos prpos el ño e 00 euros uo u tto e terés el 0% efetvo ul. lor tul: 0? 00 00 00 Moveo los ptles uo uo: 0 A K 00 00 A 3 0, 00 2 0, 2 3 ( 0,) 0 0 273,55 273,55 Utlzo l fórmul e l ret ostte, temporl, prepgble, met y eter: 0 2 3 ños 0% 0 ( ) ( ) ( 0,) 3 0 00 ( 0,) 273,55 0, 0 273,55 Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -20- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr / lor fl: 0 3? 00 00 00 0 2 3 ños 0% Moveo los ptles uo uo: 2 [ ( ) ( ) K ( ) ] ( ) S 2 [ 00 00 ( 0,) 00 ( 0,) ] ( 0,) 33, 364,0 3 S 3 0, Utlzo l ret: 3 ( ) 364,0 ( 0,) ( ) 3 00 0, 3 3 364,0 Cptlzo el vlor tul: ( ) 0 3 ( 0,) 364,0 3 273,55 3 364,0 ( 0,) 364,0 5.3. RENTAS PERPETUAS, INMEDIATAS Y ENTERAS Este tpo e rets sólo se le porá lulr vlor tul pero u el vlor fl, y too ello o epee e que se pospgble o prepgble, ostte o vrble, et. El vlor tul e ests rets se obterá veo qué ourre s plmos ls fórmuls emples pr rets temporles y e lugr e Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -2- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -22- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om utlzr u úmero fto e ptles () trbjmos o ftos térmos ( ). E eftv, se trt e trbjr o el oepto mtemáto e los límtes, uo l uró e l ret (y por tto, el úmero e ptles) tee fto. 5.3.. RENTAS POSPAGABLES E el so e ret ostte, perpetu, pospgble, met y eter, veremos los sos pr rets utrs y o utrs: RENTA UNITARIA ( ): Reoremos que : Cuo tee fto: 0 Lm Lm 0 RENTA NO UNITARIA (A ): Reoremos que A : A Cuo tee fto: 0 Lm Lm A A 0

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr 5.3.2. RENTAS PREPAGABLES E el so e ret ostte, perpetu, prepgble, met y eter, se puee er uso e l regl btul pr lulr l ret prepgble que osste e multplr su orrespoete ret pospgble por (): RENTA UNITARIA (ä ): Reoremos que : Multplo por (): 0 ( ) ( ) RENTA NO UNITARIA (Ä ): Reoremos que A : A Multplo por (): A A 0 A ( ) ( ) EJEMPLO 8 Hllr el vlor tul e u ret perpetu semestrl o u térmo e 25.000 euros s el tto e vloró es el 2% oml ptlzble por semestres, e los sguetes sos:. S los ptles so pospgbles b. S los ptles so prepgbles / Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -23- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr / Prevo resolver los vlores e ls rets, y que lulr el tto efetvo semestrl equvlete l tto oml. Reoremos que: k Jk k 2 2 0,06 6% 2 Aor y poemos lulr el vlor l e ls rets pltes:. Cptles pospgbles A 0, 06 0 A 25.000 0,06 0 0 b. Cptles prepgbles A 0, 06 0 A 46.666,67 46.666,67 0,06 25.000 0,06 0 0 44.666,67 44.666,67 5.4. RENTAS DIFERIDAS So quells que se vlor o teror su orge. El tempo que trsurre etre el orge e l ret y el mometo e vloró se eom períoo e fermeto e l ret. 5.4.. RENTAS TEMPORALES, POSPAGABLES Y ENTERAS S prtmos e u ret utr, temporl (e térmos) y pospgble se trt e vlorr los ptles retmete, uo uo, e el mometo e vloró elego. Gráfmete querí: Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -24- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr 0 t? t 0 2 - Mometo e vloró Peroo e fermeto () Orge Al plr l efó e vlor fero e el mometo t: t K 2 3 ( ) So ftor omú: querí: ( ) t K 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) El orete e est expresó represet el vlor tul e l ret utr, temporl ( térmos), pospgble, met y eter ( ) que posterormete se esuet omo u ptl úo, l msmo tpo (), urte el períoo e fermeto (). t ( ) Por tto, se obterí el msmo resulto s vlormos l ret e su orge (se oser omo met y se lul su vlor tul) y posterormete se esuet o vlor tul (omo u solo ptl) st el mometo t elego, e régme e esueto Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -25- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr ompuesto l tto e terés vgete urte el períoo e fermeto. Gráfmete serí: 0 t? t 0 2 - Mometo e vloró Peroo e fermeto Aplo l efó e vlor tul y llevo los térmos uo uo, esoto e régme e esueto ompuesto l tto e l ret, ese oe está uo e los ptles st el orge se obtee el vlor tul, que se eot o l sguete termologí: oe: () Orge úmero e térmos e l ret tto e vloró peroo e fermeto Alítmete querí sí: t 0 ( ) ( ) ( ) ( ) S l ret fuer ostte, pero e utí ferete e l u (o utr), es er, los térmos fuer e utí, el vlor tul se represet por: A Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -26- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr E este so, too lo o segurí seo válo y bstrí o multplr el vlor e l ret utr por l utí el térmo. Es er: A A ( ) ( ) ( ) ( ) El fermeto solmete fet l vlor tul, por tto, s lo que se quere lulr es el vlor fl e l ret, plo l efó e vlor fl se trtrá omo u ret met, uque tmbé se porí obteer o vlor fl prtr el vlor tul fero: 0 t? t 0 2 - Peroo e fermeto () Alítmete: 0 ( ) t ( ) 5.4.2. RENTAS TEMPORALES, PREPAGABLES Y ENTERAS S l ret fuese ostte, temporl, prepgble, fer, utr y eter terímos que lulr: Reoro que los vlores tules y fles e ls rets prepgbles se obtee prtr e ls rets pospgbles multplo por ( ), es er, ls rets prepgbles so el resulto e ptlzr u períoo ls rets pospgbles. Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -27- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -28- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om t t De gul form, s l ret fuese ostte, temporl, prepgble, fer, e utí, y eter terímos que lulr: A Multplo por ( ): A A t A t 5.4.3. RENTAS PERPETUAS, POSPAGABLES Y ENTERAS S l ret fuese ostte, perpetu, pospgble, fer, utr y eter terímos que lulr: Reoro que: y que: etoes: t S l ret fuese ostte, perpetu, pospgble, fer, e utí y eter terímos que lulr:

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr A Reoro que: y que: etoes: A A t A ( ) A A ( ) ( ) 5.4.4. RENTAS PERPETUAS, PREPAGABLES Y ENTERAS S l ret fuese ostte, perpetu, prepgble, fer, utr y eter terímos que lulr: Reoro que: y que: etoes: t ( ) ( ) ( ) S l ret fuese ostte, perpetu, prepgble, fer, e utí y eter terímos que lulr: Reoro que: A A Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -29- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr y que: etoes: A t A ( ) A A ( ) ( ) EJEMPLO 9 Clulr el vlor tul y fl e u ret uy uró es e 5 ños, o térmos ules prepgbles e 2.700 euros sbeo que se empez evegr etro e 3 ños. Tto e vloró % efetvo ul. Se trt e u ret fer 3 ños, o térmos prepgbles y 5 térmos. lor tul: 0 t 2.700 2.700 2.700 2.700 2.700 t % 0 2 3 4 5 Peroo e fermeto 3 ños ños Reoremos que: Por lo que: t A A t t A A ( ) ( ) A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( 0,) 2.700 ( 0,) ( 0,) 0, 5 t 8.099,2 / Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -30- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr / t 8.099,2 lor fl: El fermeto o fet l vlor fl, que se poí ber lulo omo el e u ret met e 5 térmos prepgbles: ( ) S ( 0,) ( ) 5 S 5 0, 2.700 0, 5 8.664,72 5 ( 0,) 8.664,72 5.5. RENTAS ANTICIPADAS So quells que se vlor o posteror su fl. El tempo que trsurre etre el fl e l ret y el mometo e vloró se eom períoo e tpó e l ret. 5.5.. RENTAS TEMPORALES, POSPAGABLES Y ENTERAS S prtmos e u ret utr, temporl (e térmos) y pospgble se trt e vlorr los ptles retmete, uo uo, e el mometo e vloró elego. Gráfmete querí: 0? 0 2 - Orge F Peroo e tpó () Mometo e vloró Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -3- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr Al plr l efó e vlor fero e el mometo t: 2 ( ) ( ) ( ) ( ) K So ftor omú: querá: ( ) [ ] 2 ( ) ( ) ( ) ( ) K El orete represet el vlor fl e l ret utr, temporl ( térmos), pospgble, met y eter (s ), que posterormete se ptlz omo u ptl úo, l msmo tpo (), urte el períoo e tpó (). Por tto, s prmero se vlor l ret e su fl y posterormete ptlzmos el vlor fl, omo u solo ptl, se obterí el msmo resulto. Gráfmete serí: 0? 0 2 - Orge Alítmete querí sí: ( ) ( ) Est expresó puee otrse e form brev e l sguete form: s s F Peroo e tpó () Mometo e vloró oe: Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -32- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr úmero e térmos e l ret tto e vloró peroo e tpó Alítmete querí sí: s ( ) ( ) s ( ) ( ) S l ret fuer ostte, pero e utí ferete e l u (o utr), es er, los térmos fuer e utí, el vlor fl se represet por: S E este so, too lo o segurí seo válo y bstrí o multplr el vlor e l ret utr por l utí el térmo. Es er: S s ( ) s ( ) ( ) L tpó solmete fet l vlor fl pero o l vlor tul, que se relzrá omo s e u ret met se trtr, umpléose l sguete reló etre feretes vlores e l ret: 0? 0 2 - Orge F Peroo e tpó () Mometo e vloró Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -33- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -34- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om Alítmete: 0 Como veremos otuó, too lo teror se umple, e gul form, pr rets osttes prepgbles y perpetus. 5.5.2. RENTAS TEMPORALES, PREPAGABLES Y ENTERAS S l ret fuese ostte, temporl, prepgble, tp, utr y eter terímos que lulr: s Reoro que los vlores tules y fles e ls rets prepgbles se obtee prtr e ls rets pospgbles multplo por ( ), es er, ls rets prepgbles so el resulto e ptlzr u períoo ls rets pospgbles. s s s s De gul form, s l ret fuese ostte, temporl, prepgble, tp, e utí, y eter terímos que lulr: S Multplo l ret utr por : s S S

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr EJEMPLO 0 Clulr el vlor tul y fl e u ret e 3 térmos ules e.000 euros pgeros por veo s l vloró l 7% ul se efetú los 8 ños e omez l ret. Se trt e u ret tp, puesto que l vloró se relz 5 ños espués e berse eo efetvo el últmo ptl. No obstte, l tpó o fet l vlor tul que se resolverá omo u ret met. 0?.000.000.000 3 8? lor tul: Reoremos que el vlor tul e u ret ostte, temporl, pospgble, met, eter y e utí es: lor fl: 0 2 3 4 5 6 7 8 ños 0 A ( ) Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -35- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om ( 0,07) 0 A3 0,07.000 3 0,07.000 2.624,32 0,07 0 2.624,32 Pr lulr el vlor fl e u ret ostte, temporl, pospgble, tp, e utí y eter se utlz l sguete fórmul: 7% Orge F loró S ( ) ( ) ( 0,07) 5 5 8.000 ( 0,07) 4.509,06 S3 0,07 0,07 8 4.509,06 3 3 /

Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr / Tmbé se puee lulr ptlzo 8 ños el vlor tul e l ret. Es er: 0 8 ( 0,07) 4.509,06 8 2.624,32 8 4.509,06 Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -36- L formó e este tem está extrí s e su totl e www.mtemts-fers.om