Universidd Ncionl de L Plt Fcultd de Ciencis Nturles Museo Cátedr de Mtemátic Elementos de Mtemátic Asigntur: Mtemátic Contenidos de l Unidd Temátic nº Rect Cónics. Rect: Ecución vectoril demás forms de l ecución de l rect. Ángulo entre rects. Condiciones de prlelismo de perpendiculridd. Intersección de rects en el plno. Cónics: Geometrí nlític de l circunferenci, l práol, l elipse l hipérol. Ing. Crlos Alfredo López Profesor Titulr
Cátedr de Mtemátic Elementos de Mtemátic Asigntur: Mtemátic Unidd Temátic nº Ing. Crlos Alfredo López LA RECTA. ECUACION VECTORIAL DE LA RECTA. P (, ) P(,) r r ( j ( j O ( i r r( i A Un rect qued determind si se conocen ls coordends (, ) de un punto P (, ) que le pertenece ( P r ) l dirección determind por un vector. Si P(, ) es un punto de l rect r (P r) podemos escriir los siguientes vectores referidos l sistem coordendo crtesino ortogonl. ( ( OP i j ( ( OP i j r ( ( i j Como el vector P P es prlelo l vector r podemos epresrlo de l siguiente mner: r ( ( PP λ λ( i j ) siendo λ un esclr, denomindo PARAMETRO. Por lo tnto, teniendo en cuent l figur nterior otenemos LA ECUACION VECTORIAL DE LA RECTA. OP OP λ r ( ) ( )
reemplzndo vlores, teniendo en cuent ls epresiones (), result: ( ( ( ( i j ) ( i j ) λ ( i j ) ( ( eliminndo préntesis grupndo se otiene: ( ( ( ( ( ( i j i j λi λ j ( ( ( ( i j ( λ ) i ( λ ) j de donde resultn ls siguientes igulddes: ( ( ) λ λ que se denominn ECUACIONES PARAMETRICAS DE LA RECTA. Despejndo el vlor del prámetro en ls epresiones nteriores se otiene: ( ) λ que se denomin ECUACION CARTESIANA SIMETRICA DE LA RECTA Ejemplo: Hllr l ecución vectoril, ecuciones prmétrics crtesin simétric de l rect, que ps por el punto P (,-) es prlel l vector r ( ( i j L ecución vectoril de l rect será: reemplzndo vlores result: ( ( i j ( ( i j OP OP λ r ( ( ( i j ) λ( i j ) ( ( ( ( ( λ) i ( λ) j oteniéndose, de l iguldd nterior, ls ecuciones prmétrics de l rect:
λ λ despejndo el vlor del prámetro se otiene l ecución crtesin simétric de l rect uscd: λ FORMA IMPLÍCITA O ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA. Consideremos l ecución crtesin simétric de l rect dd por l epresión () λ ( ) operndo, result: ( ) ( ) psndo todos los términos l primer miemro se otiene: si llmmos: 0 A B C ( 5) otenemos l epresión: A B C 0 (6) que se denomin: form implícit o ecución generl de l rect. Podemos oservr que se trt de un ecución de dos vriles e que se encuentrn elevds l potenci uno.
Anlicemos l form implícit: ) Ecución de un rect prlel l eje de ls ordends. Si en l epresión (6) hcemos result: A A C 0 0 B 0 de l cul se otiene: C A ( 7) Podemos interpretr est últim ecución como (, ) S / C A cu representción gráfic en el plno es l siguiente C A Como se puede ver, hemos otenido el conjunto de puntos del plno, tles que culquier se el vlor de l ordend, l scis es igul un constnte ( -C/A). Este conjunto de puntos result linedo prlelmente l eje de ls ordends O, de donde se deduce que l epresión (7) es l ECUACION DE UNA RECTA PARALELA AL EJE DE LAS ORDENADAS. ( -C/A ; es un función?..) ) Form eplícit de l Ecución de l rect. Si en l ecución A B C 0 es B 0 result
si llmmos: otenemos: B A C A B C B A B m C B m n (8) n que se llm FORMA EXPLÍCITA DE LA ECUACION DE LA RECTA Su representción gráfic es: r ϕ ( j n ( i r Si en l epresión (8) hcemos 0 result: n donde n se llm ordend en el origen. Si n 0, l rect ps por el origen O(0,0) del sistem crtesino ortogonl XY. En este cso, teniendo en cuent ls epresiones (8) (5) result pr m m A B Si denominmos con φ l ángulo que el eje de ls sciss form con l rect r tomndo como sentido positivo el sentido trigonométrico o ntihorrio result:
tg φ m donde m se denomin PENDIENTE DE LA RECTA. Cundo l rect es prlel l eje de sciss, considermos que tg φ 0. Deemos reclcr que l inclinción de un rect es un ángulo ( φ ) l pendiente de l mism es l tngente trigonométric de dicho ángulo ( m tg φ ). L inclinción de un rect vrí entre 0º 80º; pero deemos tener presente que si l rect es prlel l eje result φ ½ π 90º, l tg ½ π NO EXISTE ; en consecuenci, en este cso prticulr, no eiste vlor pr l pendiente. Ejemplo: Dd l ecución de l rect 0 hllr su ecución eplícit, su pendiente, su inclinción su ordend en el origen. Representr gráficmente. r 0 despejndo el vlor de l vrile se otiene l ecución eplícit de l rect: siendo: m tgφ φ rc tg 60º n ordend en el origen A (0,). φ 60º - - -
) Ecución de l rect prlel l eje de ls sciss. Si en l ecución eplícit hcemos m 0 result: n o se, que culquier se el vlor signdo l vrile, es siempre igul un constnte n ; es l llmd FUNCION CONSTANTE su gráfic es un rect prlel l eje. n O CONDICION DE PARALELISMO ENTRE RECTAS. r r φ φ Dds dos rects prlels r r de ecuciones eplícits m n m n por ser prlels, tienen igul inclinción, es decir: φ φ
de donde result: tgφ tgφ m m que nos d l condición de prlelismo entre dos rects. Ejercicio: Dds ls rects: demostrr que son prlels. r 0 r 8 CONDICION DE PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS. r φ r φ φ eplícits son: Sen r r dos rects perpendiculres, cus ecuciones r m n r m n Sen φ φ ls inclinciones de dichs rects; de cuerdo l figur result: π φ φ φ φ
por lo tnto siendo: m m π sen φ π tgφ tg φ π cos φ π π senφ cos cosφ sen π π cosφ cos senφ sen teniendo en cuent que sen π cos π 0 l epresión nterior se reduce : cosφ m cot gφ senφ tgφ m que es l condición de perpendiculridd uscd. Ejemplo: Dds ls rects: 5 r r 5 verificr si son perpendiculres. Siendo m 5 m 5 5 result: m m 5 de donde se deduce que: m m
en consecuenci ls rects r r son perpendiculres. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS. r φ φ r φ Trtremos de encontrr un epresión que nos permit clculr el ángulo que formn dos rects l cortrse en un punto. Sen r r dos rects que se cortn en el punto A cus pendientes sen respectivmente m m. rects r r es: de l cul result: De cuerdo l figur, result que el ángulo que formn ls φ φ φ tgφ tg ( φ φ ) tgφ tgφ tgφ tgφ siendo tgφ m tgφ m m m tgφ m m En relidd, dos rects se cortn según dos ángulos que son suplementrios. En ests condiciones, l tngente de φ puede ser positiv o negtiv, según se trte de un ángulo del primer o del segundo cudrnte, que como hemos dicho es suplementrio del nterior.
Podemos convenir en considerr únicmente los vlores positivos trnsformmos l epresión nterior en: tgφ m m m m Ejemplo: Hllr el ángulo que formn l cortrse ls rects r de ecución 8 0 r de ecución 0 Deemos hllr ls pendientes m m de ls rects r r respectivmente, pr lo cul deemos escriir sus ecuciones en form eplícit. r 8 0 8 r 0 siendo: m m reemplzndo vlores en l epresión tgφ m m m m ( / ) / ( / ) 7 / 7 tgφ, 75 φ rc tg, 75 60º 5' ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO. Nos proponemos encontrr l ecución de l rect que ps por el punto P (, ) tiene pendiente m. rect: Pr logrrlo podemos utilizr l epresión eplícit de l m n () Teniendo en cuent que l rect dee psr por el punto P (, ), ls coordends de este punto, deen stisfcer l ecución de l rect, es decir, se cumple que:
m n ( ) si restmos miemro miemro ls epresiones () () eliminmos n, oteniendo: que es l ecución uscd. Ejemplo: m n m n m ( ) ( c) Hllr l ecución de l rect que ps por el punto P (, ) es prlel l isectriz del primer cudrnte. Como l rect dee psr por el punto P (, ) su epresión será: ( ) m pero, como est rect dee ser prlel l isectriz del primer cudrnte, su pendiente m que: m tgφ tg5º Por lo tnto, l ecución uscd será: ( ) ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS. En este tipo de prolems tenemos como dtos ls coordends de dos puntos P (, ) P (, ) tenemos que hllr l ecución de l rect que ps por mos puntos. Si l rect ps por el punto P (, ) dee verificr l ecución: m ( ) ( ) Si dich rect ps tmién por el punto P (, ) ls coordends de dicho punto, deen stisfcer l ecución de l rect, es decir m ( ) ( )
de l cul se otiene el vlor de l pendiente m, cundo conocemos dos puntos que le pertenecen, es decir: m ( c) Si reemplzmos el vlor ddo por l epresión (c) pr m en l epresión () se otiene: ( ) psndo - l primer miemro otenemos l ecución de l rect que ps por dos puntos ( P (, ) P (, ) ) Ejemplo: Hllr l ecución de l rect que ps por los puntos P (, ) P ( -,-). Siendo: reemplzndo vlores en l epresión nterior se otiene: 7 5 5 ( ) 7 ( ) 5 5 7 5 7 5 5 7 7 5 7 5 5 que es l ecución uscd.
FORMA SEGMENTARIA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA. Q ( 0, q ) P ( p, 0 ) O Se l rect r, que no ps por el origen O (0,0) del sistem coordendo crtesino ortogonl, e intercept los ejes en los puntos P(p,0) Q(0,q). Pr hllr l ecución de l rect, podemos utilizr l ecución de l rect que ps por dos puntos: siendo, en este cso prticulr: p 0 0 q con lo que result: q 0 0 0 p p efectundo operciones se otiene: q p p psndo p l primer miemro de l ecución result:
I p q que se denomin ECUACIÓN SEGMENTARIA DE LA RECTA. Ejemplo: Dd l ecución de l rect en l form implícit 8 0 psr l form segmentri. Psndo el término independiente l segundo miemro de l ecución, se otiene: 8 dividiendo mos miemros por -8, nos qued: 8 8 8 / 8 comprndo con l epresión I result: p 8 / q 8 En ests condiciones, los puntos de intersección con los ejes coordendos e son respectivmente: P(-8/, 0) Q( 0, 8) DISTANCIA ENTRE PUNTO Y RECTA. Un form sencill de otener l distnci entre un punto un rect es l siguiente: ) por el punto Po hcemos psr un rect perpendiculr l rect dto del prolem. ) hllmos ls coordends del punto de intersección entre ms rects c) clculmos l distnci entre el punto el punto de intersección de ms rects. ACTIVIDAD: clculr siguiente este procedimiento l distnci entre l rect - 0 el punto de coordends (,5)
INTERSECCIÓN ENTRE RECTAS. Se el prolem de resolver l intersección entre ls rects que conformn, desde el punto de vist lgerico el SISTEMA DE DOS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS (), (): A B C 0 ( ) A B C 0 ( ) Geométricmente equivle determinr el punto de intersección de ls dos rects cus ecuciones nlítics están dds por ls epresiones () (). Ejemplo: Resolver grfic nlíticmente el sistem r 0 ( ) r 0 ( ) r r P ( -/, 5/ ) - - / Pr resolver este sistem nlíticmente procedemos de l siguiente mner: despejmos de l epresión () oteniendo 5 reemplzmos su vlor en l epresión () oteniendo ( ) 0 0 / De est mner, hemos hlldo el vlor de que reemplzdo en l epresión (5) nos permite hllr el vlor de :. 0 ( ) ( 6)
( /) 5 / Por lo tnto, el punto de intersección de ls dos rects, o se, LA SOLUCIÓN ANALÍTICA DEL SISTEMA PROPUESTO es el punto: 5 P, Siendo este punto, el ÚNICO PUNTO DEL PLANO que pertenece ms rects, lo cul implic que dicho punto es LA ÚNICA SOLUCIÓN DEL SISTEMA DADO. Pr verificr que el resultdo otenido es correcto, podemos reemplzr ls coordends del punto en ls ecuciones dds () (), comprondo si otenemos un iguldd numéric. En efecto, reemplzndo vlores en l epresión () se otiene: 5 0 5 0 5 0 5 5 0 0 0 Pr l segund ecución () result: 5 0 6 0 0 0 0 dds. Luego, ls coordends del punto 5 P, stisfcen ls ecuciones
Se hor el sistem: ( ) ( ) 8 0 6 7 0 r r En este cso, oservemos que l ecución (8) se h otenido multiplicndo todos los términos de l ecución (7) por el esclr, resultndo pr ms ecuciones, l mism representción gráfic, es decir l mism rect. Como se puede ver, ls soluciones del sistem son los infinitos puntos de l rect. Pr resolver nlíticmente el sistem ddo procedemos de l siguiente mner: despejmos de l epresión (7) el vlor de l vrile oteniendo: ( ) 9 reemplzndo este vlor en l epresión (8) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 6 6 0 6 6 0 6 culquier punto de l rect es solución del sistem ddo. Por lo tnto eisten infinits soluciones. Se por último el sistem: ( ) ( ) 0 0 0 r r cu representción gráfic es l siguiente: - -
r r Como puede precirse, ls dos rects r r son prlels (tienen l mism pendiente distint ordend l origen) en consecuenci NO EXISTE NINGÚN PUNTO DEL PLANO QUE SATISFAGA AL SISTEMA DADO. MÉTODOS ANALÍTICOS PARA LA RESOLUCIÓN DE LA INTERSECCIÓN ENTRE DOS RECTAS DEL PLANO. Hremos referenci cutro métodos nlíticos pr l resolución de l intersección entre dos rects del plno ( desrrolldos en l unidd SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES). MÉTODO DE SUSTITUCIÓN. Se por ejemplo el sistem: - - ( ) ( ) 7 L resolución del sistem puede efecturse indistintmente por o por.despejmos l vrile en l ecución (), psndo - l segundo miemro dividiendo por el coeficiente de otenemos: ( ) Si hor sustituimos este vlor de en l epresión () result: 7 que es un ecución de primer grdo con un sol incógnit cu resolución nos d:
8 7 8 7 8 ( ) Sustituendo este vlor de en l epresión () nos permite clculr el vlor de l otr incógnit. 6 ( 5) Reemplzndo los vlores de e en ls epresiones () () permiten l verificción del ejemplo: 6 7 7 7 7 L plicción del método de sustitución puede resumirse en l siguiente regl: ) Se despej un incógnit en un de ls ecuciones del sistem ddo. ) Se sustitue en l otr ecución l mism incógnit por l epresión hlld, oteniéndose un ecución linel con un incógnit. c) Se resuelve l ecución, determinándose el vlor de l incógnit. d) Se reemplz este vlor hlldo, en l epresión de l incógnit despejd en el pso ) pr otener el vlor de dich incógnit. e) Se verific si el pr de vlores hlldos stisfce el sistem ddo. Actividd: Resolver plicndo el método de sustitución el siguiente sistem:
MÉTODO DE IGUALACIÓN. Se nuevmente el sistem: 7 Se despej en ms ecuciones: ( 6) ( 7) 7 7 ( 8) ( 9) Como los primeros miemros de ls ecuciones (8) (9) son igules, los segundos tmién lo serán, oteniéndose: 7 resolviendo est iguldd result: 7 ( ) ( ) 8 8 ( 0) Despejndo en ls ecuciones (6) (7) se otiene: 7 7 ( ) ( ) Nuevmente, como los primeros miemros de ls ecuciones () () son igules, los segundos tmién lo serán, resultndo: 7 resolviendo: 7 ( ) 8 8
vlores que concuerdn con los hlldos nteriormente; relizándose l verificción como en el método de sustitución. L plicción del MÉTODO DE IGUALACIÓN puede resumirse en l siguiente regl: ) Se despej l mism incógnit en ms ecuciones del sistem. ) Se iguln los segundos miemros de ls igulddes otenids pr otener un ecución linel con un sol incógnit. c) Se resuelve l ecución nterior pr determinr el vlor de su incógnit. d) Se procede de l mism mner con respecto l otr incógnit. e) Se verific en ls ecuciones del sistem ddo si los vlores hlldos ls stisfcen. MÉTODO DE REDUCCIÓN POR SUMAS Y RESTAS. Se nuevmente el sistem: ( ) 7 ( ) Multiplicndo l ecución () por l ecución () por se otiene el sistem equivlente: 8 5 ( ) ( 6) Siendo los coeficientes de igules se puede restr l ecución (6) de l (5) oteniéndose un ecución de primer grdo con un sol incógnit. 8 ( 7) Si multiplicmos l ecución () por l () por se otiene el sistem equivlente: 8 ( ) ( 9) 8 Siendo los coeficientes de opuestos, se pueden sumr ms ecuciones resultndo: ( 0) Los vlores de e hlldos por este método coinciden con los hlldos nteriormente por plicción de los métodos de sustitución e igulción, por lo tnto, no es necesrio efectur l verificción.
Por lo tnto, l plicción del METODO DE REDUCCIÓN POR SUMAS Y RESTAS se puede resumir en l siguiente regl: ) Se iguln, en vlor soluto, los coeficientes de un mism incógnit, multiplicndo cd ecución por el vlor soluto del coeficiente de dich incógnit perteneciente l otr ecución. ) Si los coeficientes de l incógnit elegid tienen DISTINTO o IGUAL SIGNO, se SUMAN o RESTAN ls ecuciones equivlentes otenids, respectivmente, pr eliminr dich incógnit. c) Se resuelve l ecución otenid pr determinr el vlor de su incógnit. d) Se procede nlogmente con respecto l incógnit elimind. e) Se verific si los vlores de ls incógnits hlldos stisfcen l sistem. Actividd: Aplicndo el método de reducción por sums rests el de igulción; resolver el siguiente sistem: 0 MÉTODO POR DETERMINANTES. (Regl de Crmer) Se el sistem: ( ) 7 ( ) Volviendo plicr el método de reducción por sums rests: ) CÁLCULO DE LA INCÓGNITA X. Pr hllr deemos eliminr. Pr ello multiplicmos l epresión () por l epresión () por oteniendo el sistem equivlente: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) Si efectumos l sum de ls epresiones () () eliminmos l incógnit, oteniendo: ( ) 7 7 ( 5) de l cul result, l efectur operciones:
8 Teniendo en cuent l definición de determinnte, el segundo miemro de l epresión (5) puede escriirse: ( ) 6 7 7 ) CÁLCULO DE LA INCÓGNITA. Pr hllr l incógnit deemos eliminr. Pr ello multiplicmos l epresión () por l epresión () por oteniendo el sistem equivlente: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 7 7 Si efectumos l rest de ls epresiones (7) (8), eliminmos l incógnit, oteniendo: ( ) ( ) 7 scndo fctor común en el primer miemro despejndo su vlor result: ( ) ( ) ( ) 9 8 7 7 L epresión (9) ( ) ( ) 7 puede epresrse, multiplicndo numerdor denomindor por (-) de l siguiente mner: ( ) 0 7 7 L plicción del método de determinntes se puede resumir en l siguiente regl práctic: Ddo un sistem de dos ecuciones lineles con dos incógnits igulmente ordends, el vlor de cd incógnit es el de un frcción que tiene por
denomindor el determinnte formdo por los coeficientes de ls incógnits por numerdor, el determinnte que se otiene reemplzndo en el nterior, los coeficientes de l incógnit cuo vlor se quiere hllr por los términos independientes respectivos que figurn en los segundos miemros de ls ecuciones dds. Ejercicio: Aplicndo el método de determinntes (Regl de Crmer), resolver el sistem: 5 0 Aplicndo l regl nterior result: ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 8 5 0 5 0 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 0 5 0 0 5
SUPERFICIE CÓNICA: SU GENERACIÓN. LAS CÓNICAS. Se denominn cónics ls línes plns que se otienen intersecndo jo distintos ángulos, un superficie cónic con un plno. L superficie cónic se otiene hciendo rotr un rect denomind genertriz lrededor de un punto fijo llmdo vértice mnteniendo otro punto constntemente sore un circunferenci llmd directriz situd en un plno perpendiculr l eje condiciond que su centro esté sore el eje. Los diferentes tipos de cónic se genern cortndo l superficie cónic jo distintos ángulos. Se presentn tres csos según que el ángulo de corte se menor, igul o mor que el ángulo de ertur de l superficie cónic. Definimos como tl l ángulo (α) entre el eje de l superficie cónic un culquier de sus genertrices. eje α V G enertriz
Si se cort un superficie cónic con un plno jo un ángulo mor que el de ertur, el plno cort un sol de ls rms de l superficie cónic se otiene un curv cerrd denomind elipse. Se presentn dos csos prticulres: ) cundo el plno de corte es perpendiculr l eje de l superficie cónic l intersección degener en un circunferenci, eje V Circunferenci - Elipse ) si se trsld el plno de corte prlelmente sí mismo hst que conteng el vértice, l elipse o l circunferenci, según se el cso, degener en un punto: el vértice de l superficie cónic. Si el plno de corte tiene con respecto l eje un ángulo menor que el de ertur, cortrá ls dos rms de l superficie cónic, oteniéndose un curv que recie el nomre de hipérol. Como cso prticulr, cundo el plno se mueve prlelmente sí mismo hst contener l vértice, l hipérol degener en un pr de rects (oservr el corte de l superficie cónic con el plno del diujo).
eje V Hipérol Si por último, el plno de corte es prlelo l genertriz, cortrá un sol de ls rms de l superficie cónic se otendrá como curv interesección un práol. En este cso, cundo el plno de corte se desplz prlelmente sí mismo hst contener l vértice, l práol degener en un rect coincidente con un culquier de ls genertrices de l superficie cónic. eje m V Práol Los nomres elipse, hipérol práol de deen l geómetr Apolonio, de l escuel de Alejndrí, que hci el ño 5 AC., escriió un trtdo sore l secciones cónics en ocho liros, siete de los cules hn llegdo nosotros.
ESTUDIO DE LAS CÓNICAS A PARTIR DE SU DEFINICIÓN COMO LUGAR GEOMÉTRICO CIRCUNFERENCIA. Es el lugr geométrico de los puntos del plno que equidistn de un punto fijo llmdo centro. Ddo un punto C ( α; β ) que llmmos centro un vlor r > 0 que designmos con el nomre de rdio podemos definir: Ecución crtesin de l circunferenci Consideremos un circunferenci de centro C (, ) rdio r, referid un sistem de coordends crtesins ortogonles se P (, ) un punto de l circunferenci. Centro C ( α,β ) ; Rdio r ; P (, ) ε C ( C, r) Y r P β C M α X
Considerndo l fórmul de distnci entre dos puntos, clculmos el vlor del rdio: ( ) ( β ) r C P [( α ) ( β ) ] r α Ecución cnónic de l circunferenci Desrrollndo los cudrdos ordenndo: de centro ( α, β ) rdio r. hciendo: α β α β r 0 otenemos: D E F 0 que es l ecución Generl de l circunferenci De l igulddes dds en ( ) otenemos: D E Coordends del centro: α ; β rdio: r ( α β F ) Anlicemos el vlor del rdio: Si: α β F > 0 α β F 0 L α β F < 0 Circunferenci de rdio rel circunferenci se reduce un punto Circunferenci de rdio imginrio L ecución generl de l circunferenci es un cso prticulr de l ecución generl de segundo grdo en dos vriles, cu form es: A B C D E F 0
Comprndo est ecución con l ecución generl de l circunferenci, oservmos que en ést últim los coeficientes de e son igules demás flt el término en. Result entonces que un ecución tendrá como lugr geométrico un circunferenci si responde l ecución generl de segundo grdo en dos vriles, con los coeficientes A C igules, con el término B (llmdo término rectngulr) fltnte que verifique: α β F f 0 Ejemplos: determinr:.- Dd l ecución: 6 8 6 0 ; ) Ls coordends del centro. ) El vlor del rdio. c) L ecución crtesin. d) Efectur l representción gráfic. C D α E β 6 α 8 β ( α ; β ) C( ;) r r ( α β r ) r ( 6)
Ecución crtesin: ( ) ( ) Representción: r C Siendo que el centro de un circunferenci es ( ;5) escriir su ecución generl: Ecución cnónic: C su rdio r, ( α ) ( β ) ( ) ( 5) Posiciones prticulres. r 0 0 0 Ecución generl L ecución: ( α ) ( β ) r de l circunferenci se simplific pr posiciones prticulres.. Si el centro está en el origen de coordends: ( 0;0) r C r - ( 0, 0 )
Si el centro está sore el eje de ls sciss, β 0: ( α ; 0) ( α ) r C C ( α;0). Si el centro está sore el eje de ls ordends, α 0 : ( 0; β ) ( β ) r C INTERSECCIONES. Intersección de un circunferenci un rect. Si dos línes coplnres tienen un punto en común, ls coordends de este punto deen stisfcer simultánemente ls ecuciones de ms línes. En consecuenci el prolem de hllr ls coordends de los puntos de intersección de dos línes se resuelve, encontrndo l solución del sistem determindo por sus ecuciones.
Escriimos el sistem formdo por ms ecuciones, luego sustituimos en l ecución de l circunferenci el vlor de un de ls vriles que despejmos en l ecución de l rect, oteniendo un ecución de º grdo en un sol vrile que resolvemos. L solución de est ecución d dos vlores. Pueden presentrse los siguientes csos: ) : R R rect secnte l circunferenci; puntos de intersección. ) : R rect tngente l circunferenci; punto de intersección. c) C C rect eterior l circunferenci; no h puntos de intersección. (C conjunto de los números complejos) r I r r I I ) I I:rect secnte ) I I: rect tngente c) rect eterior Ejemplo: Determinr los puntos de intersección de l circunferenci 5 0 l rect 0 5 0 0 En l rect 0 sustituimos en l ecución de l circunferenci por.
( ) 0 5 5 0 0 pr: ( ) ( ) ;0 0 ; P P Coordends del centro rdio de l circunferenci: ( ) 5 0 0 r r E D β β α α - ( ) ;0 C ( ) ;0 P
Intersección de dos circunferencis. Dds ls ecuciones de dos circunferencis: A A A A D E F D E F 0 0 ( ) ( ) ls coordends de los puntos de intersección son los vlores de e que stisfcen el sistem formdo por ms ecuciones. Si los coeficientes de los términos cudráticos no son igules en ms ecuciones, los igulmos multiplicndo ( ) por A ( ) por A : A A A A A A A A A D A E A F A D A E A F 0 0 ( ) ( ) restndo miemro miemro otenemos: ( A D A D ) ( A E A E ) ( A F A F ) 0 que es un ecución linel, cuo lugr geométrico ps por los puntos de intersección de ls circunferencis, recie el nomre de eje rdicl, como puede demostrrse fácilmente result perpendiculr l rect que une los centros. reltivs: Dos circunferencis pueden tener ls siguientes posiciones r P C r C P r r C C P Eje rdicl C r P Eje rdicl Eje rdicl r C Secntes: P P Tngentes: P P Eteriores
Ejemplo: Determinr los puntos de l intersección de : ( ) ( ) 0 8 0 9 6 restndo ls ecuciones: 0 0 Reemplzmos en ( ) el vlor de ; ( ) ( ) 0 6 0 9 6 6 0 9 6 Puntos de intersección : ( ) ( ) ; ; ; P P Representción: Determinmos ls coordends del centro el vlor del rdio de ls circunferencis ( ) ( ): ( ) ( ) ( ) ; 6 r F r C E D β α β β α α ( ) ( ) ( ) ; 8 r F r C E D β α β β α α --0 P C C P
PARÁBOLA. Es el lugr geométrico de los puntos del plno que equidistn de un punto fijo llmdo foco de un rect fij que recie el nomre de directriz. Q P D O F H d m P L definición precedente permite construir l práol por puntos cundo se conoce el foco F l directriz d. Trzndo por F un rect perpendiculr l directriz determinmos el punto D. El punto medio de FD es punto de l curv, llmémoslo O, que DO O F. Pr encontrr otros puntos, considermos un punto culquier H sore l rect que contiene DF se trz por H l rect m / / d, hciendo centro en F con rdio DH se cort l rect m en los puntos P P que pertenecen l práol; QP P F. Si queremos determinr otros puntos repetimos el procedimiento.
Ecución: Hllremos l ecución pr l práol con vértice en el origen de coordends foco en el eje positivo. Llmndo p l distnci de l directriz l foco ;0 p F l ecución de l directriz será: p De cuerdo l definición: FP QP p FP p P F resultndo: p p elevndo l cudrdo: p p O p d ;0 p F Y P (, ) X
desrrollndo simplificndo otenemos: p p p p p ecución cnónic de l práol con vértice en el horizontl. origen eje focl p: recie el nomre de prámetro es l distnci del foco l directriz. ± p Form eplícit de l ecución. Pr cd vlor de mor que cero se otienen dos vlores igules contrrios de, por est rzón l curv result simétric con respecto l eje que se denomin eje de l curv. Dicho de otr form: en l ecución cnónic de l práol se oserv que l vrile está elevd l cudrdo no prece l potenci uno. Ello signific que pr dos vlores opuestos de se otiene el mismo vlor de, lo que en términos geométricos se trduce diciendo que l curv es simétric con respecto l eje. Ldo recto: Es el segmento perpendiculr l eje focl, que psndo por el foco une dos puntos de l curv. Ldo recto MM p como: Ldo recto MM p p p p p d M Ldo recto F M
Posiciones: d d p Ecución: p p Ecución ² Ejemplo: ² Ejemplo: ² - p p Foco: ;0 Foco: ; 0 Directriz: p p Directriz: d - d Ecución: p Ecución: p Ejemplo: ² Ejemplo: ² - Foco: 0; p p Foco: 0;
p p Directriz: Directriz: Ecución de l práol referid un sistem de ejes prlelos. De l ecución : p p si ; : p L ecución de l práol de vértice V ( α;β ) eje prlelo l eje es : V (α,β) Con respecto l sistem ; l ecución de l práol será: como; α β sustituendo en ( ) : β ( α ) α α β si: α α β c c
Si el eje de l práol es prlelo l eje el vértice es ( α; β ) ecución es : V su Y respecto l sistem ; : α ( β ) β β α si: β β α c c Ejemplo: Encontrr l ecución de l práol cuo foco está en ( ; ) su directriz es 5. De cuerdo l esquem vemos que el vértice V tiene por coordends ( ; ).
Su ecución es de l form: ( β ) p( α ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 F V X5 - -
ELIPSE. Es el conjunto de puntos del plno tles que l sum de ls distncis dos puntos fijos llmdos focos, es un constnte. Siendo F F focos de l elipse P un punto genérico perteneciente l elipse Elementos: PF PF Eje mor: A A ;(si suponemos que l line punted F PF es un hilo inetensile, cundo el punto P tom l posición de A result sencillo verificr por l iguldd de los segmentos A F A F que l longitud de dicho hilo es A A A 0 ) Semieje mor: A O O A ; Eje menor: B B ; Semieje menor: B O O B ; Vértices: A ( 0) ; A ( ;0) ; B ( 0; ) ; B ( 0; ); Eje focl: F F ; c; Semieje focl: F O O F c; Focos: F ( c 0) ; F ( ;0); ; c B l elipse stisfce l condición: F B BF como F B B F c c.
Ecución: P ( ; ) l elipse PF PF ( ) plicndo el Teorem de Pitágors en PRF PRF respectivmente: ( c) PF ( c) P F reemplzndo en ( ) : ( c) ( c) islndo l primer de ls ríces cudrds elevndo mos miemros l cudrdo: ( ( c) ) ( ( c) ) ( c) c c c grupndo, simplificndo elevndo l cudrdo: grupndo vriles: ( c) ( c) ( c) c c c c c c c ( c ) ( c ) como: c dividiendo por otenemos:
Ecución cnónic de l elipse de centro en el origen de coordends eje focl. L ecución puede ser escrit como : 0 que es un cso prticulr de l ecución de º grdo en e. Form eplícit de l ecución de l elipse. De l ecución despejmos ± ; donde oservmos que tendremos vlores reles de si 0: Si 0 De donde rects que limitn l elipse. Entonces es rel solo pr. Si de l ecución despejmos : ± Pr vlores reles de : 0 de donde rects que limitn l elipse.
Entonces es rel solo pr - L F F L - Del estudio de l figur precedente deducimos: : L elipse es simétric respecto l origen los ejes coordendos por estr ls vriles de su ecución cnónic elevds l cudrdo no precer l potenci uno. : L elipse es interior l rectángulo limitdo por ls rects : ± ± Ldo recto: Es el segmento perpendiculr l eje focl que une dos puntos de l elipse. L F F L Lr L F Lr L L ; como L L L F F L LF ; considerndo l ecución eplícit de l elipse reemplzndo por c : c Lr Ecentricidd. Es el cociente c c e ; como c < e <
Si c 0 e 0 los focos coinciden l curv es un circunferenci. Posiciones. Dd un elipse medinte su ecución cnónic, el eje mor (eje focl) corresponde l eje coordendo de l vrile que tiene mor denomindor. I. eje mor sore el eje : Ejemplo: 6 9 A ( ;0) F B ( 0;) F -,6,6 A ( ;0) B ( 0; ) II. eje mor sore el eje : B ( 0;) Ejemplo: 9, F A ( ;0) A ( ;0) -, F B ( 0; )
Construcción de l elipse: Aplicndo l definición. Ddos F ; F construiremos por puntos l elipse. Mrcmos sore un rect F F su punto medio O ; equidistntes O los puntos A A tles que AO O A. Los puntos A A son puntos de l elipse que: A F A F A F A F Pr hllr otros puntosque pertenezcn l elipse mrcmos un punto culquier H interior l segmento F F. El segmento A A qued dividido en dos prtes : A H HA. Hciendo centro en F con rdio HA trzmos un circunferenci; hciendo centro en F con rdio A H trzmos otr circunferenci. Los puntos de intersección P P son puntos de l elipse que sus rdios vectores sumn A H HA P A F O H A F P Al vrir l posición del punto H, en el segmento F F podemos otener otros puntos de l elipse. I. Relción de finidd. e c ± ± L ecución de l elipse es: ( ) L ecución de l circunferenci es: ( )
e ordend de l elipse. c ordend de l circunferenci. Comprndo ( ) ( ): e c Est es l relción de finidd, en l que se s un método de construcción de l elipse. Construcción: Trzmos dos circunferencis concéntrics de centro O rdios respectivmente. Luego un semirect de origen O que cort ls circunferencis en los puntos P P respectivmente, trzndo por P un prlel l eje por P un prlel l eje ; el punto P de intersección pertenece l elipse. Como OQ P OQ P Pero Q P O P Q P OP Q P QP QP c OP OP e O P P S P (, ) Q Q Luego: e c e c Trzndo otrs semirects de origen O, encontrmos otros puntos de l elipse.
L justificción de que los puntos sí hlldos pertenecen un elipse es reltivmente sencill: Los segmentos OP OP de l figur precedente son respectivmente los rdios de ls dos circunferencis trzds tomndo como diámentros de ls misms. Si llmmos α l ángulo que el sentido positivo del eje form con dichos rdios, quedn formdos los triángulos rectángulos OP Q OP Q pr los cules vlen ls siguientes relciones: OQ OP QP cosα senα OP elevndo l cudrdo ls epresiones nteriores sumndo miemro miemro: cos α ; sen α cos α sen α es l ecución de un elipse.
Ecución de l elipse referid un sistem de ejes prlelos. Los ejes e son ejes prlelos los eje ;. P es un punto de l elipse que tiene coordends ( ; ) respecto l sistem de origen O (α, β ) coordends (, ) respecto l sistem de origen O. β O P O α L ecución de l elipse es: O ( ; ). cundo se refiere l sistem Como ( α) ( β ) α β ecución de l elipse de centro en (α;β) eje focl prlelo l eje. ecución result: Si el eje focl es prlelo l eje l corrrespondiente ( β ) ( α )
HIPÉRBOLA. Es el conjunto de puntos del plno tles que l diferenci de ls distncis dos puntos fijos llmdos focos, es un constnte. Si F F son los focos de l hipérol, pr todo punto P perteneciente l hipérol se verific: PF PF Elementos: Eje focl o trnsverso: A A ; Eje conjugdo, idel o imginrio: B B ; Vértices: A ( 0) ; A ( ;0) ; B ( 0; ) ; B ( 0; ) Distnci focl: F F ; c ; Focos: F ( c 0) ; F ( ;0); ; c F F c c > c > PF PF
c ( c ) Ecución. Como P (, ) l hipérol PF PF ( c) PF ( c) P F reemplzndo: ( c) ( c) islndo l primer de ls ríces del primer miemro elevndo luego mos miemros l cudrdo: ( c) ( c) desrrollndo los cudrdos grupndo: Simplificndo elevndo l cudrdo: ( c ) ( c) c c c c grupndo vriles: c c ( c ) ( c ) En B OA ; c B c A O
dividiendo por otenemos: que es l ecución cnónic de l hipérol de eje focl centro en el origen de coordends. L ecución puede ser escrit como : 0 ; que es un cso prticulr de l ecución de º grdo en e. Si de l ecución despejmos : ± l últim epresión nos permite oservr que l curv es simétric respecto l eje. Con respecto podemos decir que tom vlores reles pr vrindo de menos más infinito, con ecepción de intervlo <, en el qlue tom vlores imginrios; vrí: < < resultndo un curv etern l fj limitd por ls rects: Despejndo : ± se verific que l curv es simétric respecto l eje :
Si: 0 ± Entonces l curv cort l eje en los puntos : A ( ) ( ) determinn A A ;0 ; que es l longitud del eje focl. A ;0 vértices El rectángulo HIJK de centro O ldos perpendiculres los ejes, se denomin: rectángulo fundmentl de l hipérol. Ldo recto: Es el segmento perpendiculr l eje coordendo, que psndo por el foco, une dos puntos de l hipérol: L L L L ± : en L ( c; ) c Ecentricidd: L L Es el cociente c c e, como c > e >.
Asíntots de l hipérol. Son ls rects que están sore ls digonles del rectángulo fundmentl: tienen como ecuciones: ; Se muestr que: ( ) 0 RSTV: rectángulo fundmentl. cundo En efecto: ( síntot ) ( hipérol ) d d d ( ) lim ( ) lim 0 si d 0
Posiciones. El eje focl de l hipérol, corresponde siempre l vrile de coeficiente positivo, no importndo que < o >. Ejemplo: Dd l ecución 9 6, otener ls coordends de los vértices focos; ecentricidd, longitud del ldo recto, ecución de ls síntots. Solución: 9 6 Ecución cnónic 9 Vértices: A ;0 ; A ;0 ; B 0; ; B 0; ( ) ( ) ( ) ( ); Focos: c,6 F (,6; 0) ; F (,6; 0) Ecentricidd: c, 6 e e 8,
Ldo recto: L L L L 9 Ecución de ls síntots: ± Gráfico: Hipérol Equiláter. Cundo un hipérol tiene recie el nomre de hipérol equiláter; el rectángulo fundmentl es un cudrdo ls síntots son perpendiculres entre sí. Si l ecución es: ; es decir: ; con síntots:
Ecución de l hipérol equiláter referid sus síntots. Cundo se trt de l hipérol equiláter, result de utilidd referir l ecución sus síntots, tomds como nuevo sistem de referenci. Pr ello, result imprescindile hcer uso de ls: Fórmuls de rotción: Los dos sistems de referenci tienen origen común O; l rotción de vlor ϕ es rígid, es decir, se conserv el ángulo entre los ejes. Ls coordends del punto P son ( ; )con respecto l sistem rotdo (; ) con respecto l sistem de ejes horizontl verticl. ϕ R Q ϕ O ϕ T S Vlen entonces: OT OS - TS TP TR RP NP OQ PQ OS OQ cos ϕ cos ϕ TS RQ PQ sen ϕ sen ϕ resultndo: cos ϕ - sen ϕ TR QS OQ sen ϕ sen ϕ
RP PQ cos ϕ cos ϕ resultndo: sen ϕ cos ϕ Fórmuls de rotción: cosϕ senϕ cosϕ senϕ Teniendo en cuent l ecución de l hipérol equiláter: ( ); ls fórmuls de trnsformción por rotción el ángulo ϕ 5º. cos 5º sen5º cos 5º sen5º
o se: o tmién ) ( ) ( reemplzndo en ( ): ( ) ( ) ( ) ( ) hciendo K K
síntots. Ecución de l hipérol equiláter referid sus Reemplzndo e por e l ecución de l hipérol equiláter es k k k Si: k > 0 e ; son de igul signo Si: k < 0 e ; son de igul signo
Ecución de l hipérol referid un sistem de ejes prlelos desplzdos (sin rotr). L ecución de l hipérol referid l sistem es : Utilizndo ls fórmuls de trslción de ejes: : α β α result: : ( ) ( ) cuo centro es el punto ( ) β que corresponde l ecución de l hipérol C α;β cuo eje focl es prlelo l eje. Si el eje focl es prlelo l eje, su ecución es: ( β ) ( α )
Ejemplos:. Representr gráficmente l cónic de ecución: ( ) ( ) 9 Coordends del centro: ( α ; β ) ( ; ) Eje focl: F F A 9 ( ; ); A ( 5; ) focos son ( ;0). Hllr l ecución de l hipérol cuos ;. ( ; 6) ; con un etremo del eje conjugdo en ( ) De cuerdo con los dtos: F F β Responde l ecución: ( ) ( ) α
El centro es punto medio del segmento que une los focos ( ) ( ) ;, β α 8 8 c c Ecución: ( ) ( ) 8