7Soluciones ls ctividdes de cd epígrfe PÁGIN 146 Pág. 1 Los cicos del dibujo deben medir los 35 árboles de un prcel orizontl. Pr ello, proceden sí: lvn en el suelo un estc verticl que sobresle 160 cm. continución, corren señlr los etremos de ls sombrs de los 35 árboles y de l estc. Un vez señldos, proceden, y sin priss, medirls y notr ls medids. Estos son lgunos resultdos: L SOMR DE EST EREZO IPRÉS HOPO MIDIÓ 8 cm 1,3 m,61 m 4,3 m 1 Rzon que l estc y su sombr formn un triángulo rectángulo. Ocurre lo mismo con cd árbol y su sombr? EST L estc es verticl y el suelo es orizontl. L sombr se proyect sobre el suelo. Por tnto, l estc y su sombr son los ctetos de un triángulo rectángulo. Lo mismo ocurre con cd árbol y su sombr (los árboles y que idelizrlos pr considerrlos como segmentos verticles). SOMR DE L EST Por qué se n de dr pris en señlr los etremos de ls sombrs? Rzon que todos los triángulos descritos son semejntes. Hy que señlr ls sombrs muy depris pr que no les fecte el movimiento del Sol. Pr que los triángulos sen semejntes, y que medir tods ls sombrs en el mismo instnte. 3 lcul ls lturs del cerezo, el ciprés y el copo, proimándols st los decímetros. En l estc, 160 : 8 1,951 t. Este es el número por el que y que multiplicr l sombr pr obtener l longitud de l estc. Por ser los triángulos semejntes, si en los demás se multiplic l sombr por ese número, se obtiene l longitud del árbol correspondiente: EREZO 8 SOMR t 1,3 t,4 m (ltur del cerezo) IPRÉS 8 SOMR t,61 t 5,09 m (ltur del ciprés) HOPO 8 SOMR t 4,3 t 8,39 m (ltur del copo)
7Soluciones ls ctividdes de cd epígrfe PÁGIN 147 Pág. NTES DE OMENZR, REUERD 1 Dibuj un triángulo de ldos 3 cm, 4 cm y 5 cm. Es rectángulo porque sus ldos verificn el teorem de Pitágors (3 + 4 5 ). Trz l ltur sobre l ipotenus. Demuestr que los dos pequeños triángulos en que se divide el grnde son semejntes entre sí. es semejnte H por comprtir el ángulo ^. es semejnte H por tener en común el ángulo ^. Se concluye, pues, que H es semejnte H. Observ cómo clcul Letici l ltur de un morer que proyect un sombr de 5,7 m l luz de un frol de ltur desconocid: 3 cm H 5 cm 4 cm d ) ltur de Letici 1,68 m Sombr de Letici 1,5 m d,9 m on esto se clcul l ltur de l frol. b)onociendo l ltur de l frol y l sombr de l morer, 5,7 m, y midiendo l distnci de l frol l morer, m, se clcul l ltur de l morer. Resuelve los prtdos ) y b) descritos en l situción nterior. ) Si es l ltur de l frol, por l semejnz de triángulos: 1,68 8 1,68 8 3,48 m mide l frol. d 1,5,9 1,5 b) m 8 ltur de l morer: m 3,48 m 5,7 m m 5,7 m 5,7 + 8 m,40 m mide l morer. 3,48
7Soluciones ls ctividdes de cd epígrfe PÁGIN 148 Pág. 3 1 Dibuj sobre un ángulo como el nterior, 34, un triánguo rectángulo muco más grnde. Hll sus rzones trigonométrics y observ que obtienes, proimdmente, los mismos vlores. sen 34 35 0,56 6 cos 34 51 0,8 6 tg 34 35 0,68 51 6 mm 35 mm 51 mm PÁGIN 149 Utilizndo el nterior prto y un trnsportdor de ángulos, clcul el seno y el coseno de 10, 0, 30, 40, 50, 60, 70 y 80, y l tngente de quellos que pueds. 0,5 O 0,5 U sen 10 0,18, cos 10 0,98, tg 10 0,18 sen 0 0,34, cos 0 0,94, tg 0 0,37 sen 30 0,5, cos 30 0,86, tg 30 0,58
7Soluciones ls ctividdes de cd epígrfe sen 40 0,64, cos 40 0,76, tg 40 0,84 sen 50 0,76, cos 50 0,64 sen 60 0,86, cos 60 0,5 sen 70 0,94, cos 70 0,34 sen 80 0,98, cos 80 0,18 Pág. 4 PÁGIN 150 1 sen 37 0,6. lcul cos 37 y tg 37. sen 37 0,6 (cos 37 ) + (0,6) 1 8 cos 37 ± 1 0,36 ±0,8 Solo tommos el resultdo positivo: cos 37 0,8 tg 37 0,6 0,75 0,8 tg 8 0,53. lcul sen 8 y cos 8. sen 8 0,53 cos 8 (sen 8 ) +(cos 8 ) 1 sen 8 0,53 cos 8 (0,53 cos 8 ) +(cos 8 ) 1 8 0,8(cos 8 ) +(cos 8 ) 1 8 8 1,8(cos 8 ) 1 8 1 8 cos 8 ± 8 cos 8 ±0,88 1,8 Solo tommos el resultdo positivo: cos 8 0,88 sen 8 0,53 0,88 8 sen 8 0,46 PÁGIN 151 3 Teniendo en cuent que tg 45 1, deduce el vlor de sen 45 y de cos 45 medinte ls relciones fundmentles. sen 45 1; sen 45 cos 45 cos 45 (sen 45 ) +(cos 45 ) 1 (cos 45 ) +(cos 45 ) 1 1 8 cos 45 ± ± Solo tommos el resultdo positivo: cos 45 8 sen 45
7Soluciones ls ctividdes de cd epígrfe 4 Teniendo en cuent que sen 30 1/, ll el vlor de cos 30 y de tg 30 medinte ls relciones fundmentles. sen 30 1 (sen 30 ) + (cos 30 ) 1 8 1 + (cos 30 ) 1 8 cos 30 ± 4 Tommos el resultdo positivo: cos 30 1/ 1 tg 30 3/ 3 3 3 3 3 Pág. 5 5 omplet en tu cuderno l siguiente tbl: sen 0,94 4/5 cos 0,8 3/ tg 3,5 1 En ls operciones donde prezcn rdicles, trbj con ellos; no utilices su epresión deciml. sen 0,94 0,57 4/5 0,96 1/ / cos 0,34 0,8 3/5 0,7 3/ / tg,76 0,69 4/3 3,5 3/3 1 En todos los csos solo tomremos los resultdos positivos. sen 0,94 (cos ) + (0,94) 1 8 cos 0,34 tg 0,94,76 0,34 cos 0,8 (sen ) + (0,8) 1 8 sen 0,57 tg 0,57 0,69 0,8 sen 4 5 +(cos ) 1 8 (cos ) 1 16 ( 4 ) 8 cos 5 5 tg 4/5 4 3/5 3 3 5
7Soluciones ls ctividdes de cd epígrfe tg 3,5 sen 3,5; sen 3,5 cos cos (sen ) + (cos ) 1 (3,5 cos ) +(cos ) 1 8 13,5(cos ) 1 8 cos 0,7 sen 3,5 0,7 8 sen 0,96 cos 3 (sen ) + ( 3 ) 1/ 1 tg 3/ 3 1 8 (sen ) 1 3 8 sen 4 3 3 1 Pág. 6 tg 1 sen 1; sen cos cos (sen ) +(cos ) 1 (cos ) +(cos ) 1 8 (cos ) 1 1 8 cos sen 6 Un crpintero quiere construir un escler de tijer, cuyos brzos, un vez biertos, formen un ángulo de 60. Pr que l ltur de l escler, estndo biert, se de metros, qué longitud deberá tener cd brzo? cos 30 3 8 4 8 L,3 m L L 3 d brzo deberá medir, proimdmente,,3 m de longitud. 7 lcul el seno y l tngente de un ángulo cuyo coseno vle 0,8. cos 0,8 (sen ) +(cos ) 1 8 (0,8) +(sen ) 1 8 sen ±0,6 Tommos solo el vlor positivo: sen 0,6 tg 0,6 0,75 0,8
7Soluciones ls ctividdes de cd epígrfe 8 lcul el seno y el coseno de un ángulo cuy tngente vle 0,7. tg 0,7 sen 0,7; sen 0,7 cos cos (sen ) +(cos ) 1 (0,7 cos ) +(cos ) 1 8 1,49(cos ) 1 8 cos ±0,8 Solo tommos el vlor positivo: cos 0,8 sen 0,7 0,8 8 sen 0,57 Pág. 7 PÁGIN 15 1 Obtén ls siguientes rzones trigonométrics y escribe en tu cuderno los resultdos redondendo ls milésims. ) sen 86 b)cos 59 c) tg d)sen 15 5' 43'' e) cos 59 7' f) tg 86 5' g) sen 10 30'' (tención, 10 0' 30'') ) sen 86 0,998 b) cos 59 0,515 c) tg 0,404 d) sen 15 5' 43'' 0,66 e) cos 59 7' 0,508 f) tg 86 5' 18,68 g) sen 10 30'' 0,174 PÁGIN 153 D el vlor del ángulo en form segesiml, en cd cso: ) sen 0,91 b)tg 5,83 c) cos 0,4 d)tg 0,34 e) sen 0,08 f) cos 0,88 ) 65 30' 19'' b) 80 16' 1'' c) 65 9' 55'' d) 18 46' 41'' e) 4 35' 19'' f) 8 1' 7'' 3 lcul sen sbiendo que cos 0,91 lcul cos sbiendo que tg 6,41 lcul tg sbiendo que cos 0,06 lcul tg sbiendo que cos 0,96 lcul sen sbiendo que tg 0,1 cos 0,91 8 sen 0,415 tg 6,41 8 cos 0,154 cos 0,06 8 tg 16,637 cos 0,96 8 tg 0,9 tg 0,1 8 sen 0,0995
7Soluciones ls ctividdes de cd epígrfe PÁGIN 155 Pág. 8 1 Los dos ctetos de un triángulo rectángulo miden 48 cm y 71 cm. lcul, en grdos y minutos, los dos ángulos gudos. 48 cm b 71 cm tg 48 0,676 8 34 3' 39,7'' 71 b 90 34 3' 39,7'' 55 86' 51,73'' En un triángulo rectángulo un ángulo gudo mide 37, y el cteto opuesto, 87 m. Hll el otro cteto y l ipotenus. 87 m c 37 sen 37 87 8 87 144,56 m sen 37 tg 37 87 8 c 87 115,45 m c tg 37 3 Hll el rdio de un octógno regulr de 0 cm de ldo. uánto mide su potem? r,5 0 sen,5 10 8 r 10 6,13 cm r sen,5 cos,5 potem r 8 potem 4,14 cm 4 Desde un coete espcil se ve l Tierr bjo un ángulo de 100. ) qué distnci de l Tierr se encuentr en ese instnte? b) uál es el áre de l porción de tierr visible desde el coete? ) d R R 6 366 6 366 1 944, km cos 40 cos 40 (R es el rdio de l Tierr) b) R R cos 40 1 489,36 km Áre del csquete πr 59 57 59,7 km 40 R 50 d
7Soluciones ls ctividdes de cd epígrfe 5 qué ltur sobre l superficie de l Tierr emos de subir pr ver un lugr situdo 400 km de distnci? un rco de 400 km le corresponde un ángulo de 3,6. d R R 1,587 km cos 3,6 (R es el rdio de l Tierr). Pág. 9 PÁGIN 157 1 En un triángulo, clcul conociendo 37 cm, 50 cm y ì 3. cos 3 8 31,38 cm 37 sen 3 8 19,61 cm 37 3 y y 50 50 31,38 18,6 cm 50 cm 37 cm + y 7,04 cm Pr llr l ltur l que se encuentr un globo, procedemos sí: Ros se coloc en un punto, y yo en, 5 metros de ell, de form que los puntos, y (observ l figur) quedn linedos. Si los ángulos y b miden 40 y 50, respectivmente, qué ltur se encuentr el globo? 8 ltur l que se encuentr el globo. tg b tg tg 50 tg 40 +5 1,19 8 1,19 b 0,84 8 0,84 1,19 8 0,84 + 4, 1,19 8 0,35 4, 8 +5 +5 8 1 8 1,19 1 14,8 m El globo se encuentr 14,8 m de ltur.
7Soluciones ls ctividdes de cd epígrfe 3 Un nten de rdio está sujet l suelo con dos tirntes de cble de cero, como indic l figur. Pág. 10 60 45 16 m lcul: ) L ltur de l nten. b)l longitud de los cbles. ì. c) El vlor del ángulo 60 16 m 45 ) 8 ltur de l nten. tg 60 tg 45 16 3 8 3 1 8 16 16 16 8 ( 16 3 3 +1) 16 8 46,1 8 3 + 1 8 16 46,1 8 79,88 m L ltur de l nten es de 79,88 m b) cos 60 8 1 46,1 8 9,4 m sen 45 8 79,88 8 11,97 m ì c) 180 60 45 75
7Soluciones ls ctividdes de cd epígrfe PÁGIN 159 Pág. 11 1 Sitú sobre l circunferenci goniométric los ángulos: 6, 154, 43 y 300 Represent sus rzones trigonométrics y d su vlor proimdo. sen 6 0,88 cos 6 0,47 tg 6 1,88 sen 154 0,44 cos 154 0,9 tg 154 0,49 sen 43 0,89 cos 43 0,45 tg 43 1,96 sen 300 0,87 cos 300 0,5 tg 300 1,73 En l págin nterior, en l circunferenci goniométric sobre l que se n representdo el seno y el coseno, y un triángulo coloredo, O'. ) Rzonndo sobre él y teniendo en cuent que O 1, justific que: cos O' y sen ' b)plicndo el teorem de Pitágors en este triángulo justific que: (sen ) +(cos ) 1 c) Justific que (sen b) +(cos b) 1, rzonndo sobre el correspondiente triángulo. ) cos O' O' O' O 1 b) (sen ) +(cos ) ( ' ) +( O' ) ( O ) 1 c) (sen b) +(cos b) O 1 3 Di el vlor de sen y cos cundo vle 0, 90, 180, 70 y 360. 0 90 180 70 360 sen 0 1 0 1 0 cos 1 0 1 0 1 4 En este círculo se d el signo de sen f según el cudrnte en el que se lle situdo el ángulo f. omprueb que es correcto y z lgo similr pr cos f. + + + + El coseno se corresponde con l longitud en el eje X, por lo que será positivo en el primer y curto cudrnte y negtivo en el segundo y tercer cudrnte.
7Soluciones ls ctividdes de cd epígrfe 5 Teniendo en cuent l semejnz de los triángulos O' y OUT, y que OU 1, demuestr que: sen cos tg sen T tg Pág. 1 Por l semejnz de triángulos: O' OU 8 ' OU UT ' 8 tg ' ' UT O' O' O' cos O ' U sen cos PÁGIN 160 6 Epres con vlores entre 180 y 180 estos ángulos: 1 837, 3 358, 1 381 y 3 805. omprueb con l clculdor que, en cd cso, coinciden ls rzones trigonométrics de uno y otro ángulo. 1 837 5 360 + 37 8 37 3 358 9 360 + 118 8 118 1 381 4 360 59 8 59 3 805 11 360 155 8 155 1 837 3 358 1 381 3 805 37 118 59 155 sen 0,60 0,88 0,86 0,4 cos 0,80 0,47 0,5 0,91 tg 0,75 1,88 1,66 0,47
7Soluciones los ejercicios y problems PÁGIN 161 Pág. 1 P RTI Rzones trigonométrics de un ángulo gudo 1 Hll ls rzones trigonométrics del ángulo en cd uno de estos triángulos: ) b) c) 7 m 5 m 11,6 cm 8 m 3 m 60 m ) sen 7 5 0,8; cos 7 4 0,96; tg 7 0,9 5 5 5 4 11,6 b) sen 8 8,4 0,74 11,6 11,6 cos 8 0,69; tg 8,4 1,05 11,6 8 3 c) sen 3 8 0,47 3 + 60 68 17 cos 60 15 0,88; tg 3 8 0,53 68 17 60 15 Midiendo los ldos, ll ls rzones trigonométrics de ^ en cd cso: ) b) ) sen ^,8 0,8; cos ^ 0,59; tg ^,8 1,4 3,4 3,4 b) sen ^ 1,3 0,34; cos ^ 3,6 0,95; tg ^ 1,3 0,36 3,8 3,8 3,6
7Soluciones los ejercicios y problems 3 Hll ls rzones trigonométrics de los ángulos gudos de los siguientes triángulos rectángulos (^ 90 ): ) b 56 cm; 6,3 cm b)b 33,6 cm; c 4,5 cm c) c 16 cm; 36 cm ) sen ^ 56 0,90 6,3 6,3 cm 6,3 cos ^ 56 7,3 0,438 6,3 6,3 tg ^ 56,051 56 cm 7,3 sen ^ 7,3 0,438; cos ^ 56 0,90; tg ^ 7,3 0,4875 6,3 6,3 56 7,3 cm Pág. 33,6 b) sen ^ 33,6 0,991 33,9 cm 4,5 + 33,6 33,9 4,5 cm cos ^ 4,5 33,6 cm 0,133 33,9 tg ^ 33,6 7,467 4,5 sen ^ 4,5 0,133; cos ^ 33,6 0,991; tg ^ 4,5 9,955 33,9 33,9 33,6 c) 36 sen ^ 16 3,5 0,896 36 36 36 cm cos ^ 16 0, 4 ) 36 tg ^ 3,5 3,5 cm,016 16 sen ^ 16 0, 4; ) cos ^ 3,5 0,896; tg ^ 16 0,496 36 36 3,5 4 omprueb, con el teorem de Pitágors, que los triángulos y H son rectángulos. 7 cm 16 cm 6,7 cm H 1,96 cm 4 cm 3,04 cm Hll en cd uno ls rzones trigonométrics del ángulo y compr los resultdos. Qué observs? El triángulo es rectángulo en : 4 +7 65 (3,04 + 1,96) 5 65 El triángulo H es rectángulo en H: 3,04 + 6,7 576 4
7Soluciones los ejercicios y problems Pág. 3 sen ^ cos ^ tg ^ en 7 0,8 5 4 0,96 5 7 0,9 4 en H 6,7 0,8 4 3,04 0,96 4 6,7 0,9 3,04 ì ì 5 lcul ls rzones trigonométrics de los ángulos ^ y ^, D y D. 15 cm 1 cm D 16 cm D 15 1 9; 1 + 16 0 ^ ^ ^ D ^ D sen 1 0,8 15 1 0,6 0 9 0,6 15 16 0,8 0 cos 9 0,6 15 16 0,8 0 1 0,8 15 1 0,6 0 tg 1 1, ) 3 9 1 0,75 16 9 0,75 1 16 1, ) 3 1 Relciones fundmentles 6 Si sen 0,8, clcul cos y tg utilizndo ls relciones fundmentles ( < 90 ). cos 1 0,8 0,96; tg 0,8 0,9 0,96 7 Hll el vlor ecto (con rdicles) de sen y tg sbiendo que cos /3 ( < 90 ). 4 sen 1 5 5/3 ( ) 1 ; tg 5 3 9 3 /3
7Soluciones los ejercicios y problems 8 Si tg 5, clcul sen y cos ( < 90 ). Pág. 4 sen 5 cos sen + cos 1 6 sen 5 6 s 5c 1 6 ( 5c) + c 1 8 6c 1 8 cos 6 6 30 6 9 lcul y complet est tbl con vlores proimdos: sen 0,9 cos 0,1 tg 0,75 sen 0,9 0,6 0,99 cos 0,39 0,8 0,1 tg,35 0,75 8,7 En todos los csos solo tomremos vlores positivos. sen 0,9 8 cos 1 (0,9) 0,39 tg 0,9,35 0,39 tg 0,75 sen 0,75 8 sen 0,75 cos cos (sen ) +(cos ) 1 8 (0,75 cos ) +(cos ) 1 8 8 (cos ) 0,64 8 cos 0,8 sen 0,75 0,8 0,6 cos 0,1 8 sen 1 (0,1) 0,99 tg 0,99 8,7 0,1 10 lcul el vlor ecto (utilizndo rdicles) de ls rzones trigonométrics que fltn en l tbl siguiente ( < 90 ): sen /3 cos /3 tg sen /3 7/3 5/5 cos 5/3 /3 5/5 tg 5/5 7/
7Soluciones los ejercicios y problems omo <90 8 sen >0 cos >0 5 sen 8 cos 1 ( ) 3 3 9 5 3 Pág. 5 /3 tg 5/3 5 5 5 7 cos 8 sen 1 ( ) 3 3 9 7/3 7 tg /3 7 3 tg 8 sen 8 sen cos cos (sen ) +(cos ) 1 8 4(cos ) +(cos ) 1 1 8 cos 5 sen 5 5 5 5 lculdor 11 omplet l tbl siguiente, utilizndo l clculdor: 15 55 0' 7 5' 40'' 85,5 sen cos tg 15 55 0' 7 5' 40'' 85,5 sen 0,6 0,8 0,95 0,997 cos 0,97 0,57 0,30 0,078 tg 0,7 1,45 3,16 1,71 1 Hll el ángulo en cd cso. Epréslo en grdos, minutos y segundos. ) sen 0,58 b)cos 0,75 c) tg,5 5 1 d)sen e) cos 3 3 f) tg 3 ) 35 7' '' b) 41 4' 35'' c) 68 11' 55'' d) 48 11' 3'' e) 54 44' 8'' f) 76 44' 14''
7Soluciones los ejercicios y problems 13 Hll, con l clculdor, ls otrs rzones trigonométrics del ángulo en cd uno de los csos siguientes: ) sen 0,3 b)cos 0,74 c) tg 1,75 1 3 d)sen e) tg 3 f) cos ) cos 0,97; tg 0,4 b) sen 0,67; tg 0,91 c) sen 0,87; cos 0,5 d) cos 0,71; tg 1 e) sen 0,87; cos 0,5 f) sen 0,5; tg 0,58 Pág. 6 PÁGIN 16 Resolución de triángulos rectángulos 14 Hll l medid de los ldos y ángulos desconocidos en los siguientes triángulos rectángulos (^ 90 ): ) b 7 cm c 18 cm b) 5 cm b 7 cm c) b 18 cm ^ 40 d)c 1,7 cm ^ 65 e) 35 cm ^ 36 ) b + c 7 +18 19,31 cm tg ^ b 7 0,38 ) 8 ^ 1 15' '' c 18 ^ 90 1 15' '' 68 44' 58'' b) c b 5 7 4 cm sen ^ b 7 0,8 8 ^ 16 15' 37'' 5 ^ 90 16 15' 37'' 73 44' 3'' c) ^ 90 40 50 sen ^ b 8 sen 40 18 8 8 cm tg ^ b 8 tg 40 18 8 c 1,45 cm c c d) ^ 90 65 5 tg ^ b 8 tg 65 b c 1,7 8 b 7,3 cm cos ^ c 8 cos 65 1,7 8 30,05 cm
7Soluciones los ejercicios y problems e) ^ 90 36 54 sen ^ c 8 sen 36 c 35 8 c 0,57 cm cos ^ b 8 cos 36 b 35 8 b 8,3 cm Pág. 7 15 undo los ryos del sol formn 40 con el suelo, l sombr de un árbol mide 18 m. uál es su ltur? 40 18 m tg 40 18 8 15,1 m mide el árbol. 16 Un escler de 3 m está poyd en un pred. Qué ángulo form l escler con el suelo si su bse está 1, m de l pred? cos 1, 3 0,4 8 66 5' 19'' 3 m 1, m 17 De un triángulo isósceles conocemos su ldo desigul, 18 m, y su ltur, 10 m. uánto miden sus ángulos? 10 m b tg 10 1, 1 ) 8 48 46'' 9 18 m b 180 83 58' 8'' 18 lcul l ltur,, de los siguientes triángulos: ) b) 18 cm 8 cm 65 35 D D ) sen 65 8 16,3 cm b) sen 35 8 16,1 cm 18 8
7Soluciones los ejercicios y problems 19 lcul l ltur sobre el ldo en los siguientes triángulos: ) b) Pág. 8 70 40 15 cm 3 cm ) 70 15 cm b) sen 70 15 8 14,1 cm 40 3 cm sen 40 3 8 14,8 cm 0 Hll: ) L longitud. b)el áre del triángulo. Ten en cuent que D + D. 3 cm 53 D 35 cm 34 ) En D, cos 53 D 8 D 13,84 cm 3 En D, cos 34 D 8 D 9 cm 35 13,84 + 9 4,84 cm b) Hllmos l ltur en el triángulo D: sen 53 3 8 18,37 cm 4,84 18,37 393,49 cm
7Soluciones los ejercicios y problems Rzones trigonométrics de ángulos culesquier Pág. 9 1 Sitú en l circunferenci goniométric los siguientes ángulos e indic el signo de sus rzones trigonométrics. ) 18 b) 198 c) 87 d)98 e) 85 f) 305 ompruéblo con l clculdor. ) 18 b) 18 sen + cos tg 198 198 sen cos tg + c) 87 d) 87 sen + cos + tg + 98 98 sen + cos tg e) 85 f) 85 sen cos + tg 305 305 sen cos + tg omplet est tbl sin usr l clculdor: 0 90 180 70 360 sen 1 cos 0 tg No tiene 0 90 180 70 360 sen 0 1 0 1 0 cos 1 0 1 0 1 tg 0 No tiene 0 No tiene 0
7Soluciones los ejercicios y problems 3 En cd uno de estos círculos está indicdo el signo de ls rzones trigonométrics de, según el cudrnte en el que esté. uál corresponde sen. uál cos? Y cuál tg? ) b) c) + + + + + + Pág. 10 ) cos b) sen c) tg 4 Resuelto en el libro de teto. PÁGIN 163 5 Dibuj dos ángulos cuyo seno se /5 y ll su coseno. Q b O P sen 4 1 8 cos ± 1 ± ± 5 5 5 ì 1 ì cos OP ; cos OQ 5 1 5 6 Dibuj un ángulo menor que 180 cuyo coseno se /3 y ll su seno y su tngente. P 1 5 O ì El ángulo OP cumple ls condiciones. cos 4 ì 8 sen ± 1 5 ± 8 sen OP 3 9 3 ì 5/3 tg OP 5 /3 5 3
7Soluciones los ejercicios y problems 7 Sbiendo que tg y < 180, ll sen y cos. sen s c cos 1 5 4c + c 1 8 5c 1 8 c ± ± (sen ) +(cos ) 1 5 5 Pág. 11 1 5 cos ; sen 5 5 5 5 5 P IENS Y RESUELVE 8 Dos ntens de rdio están sujets l suelo por cbles tl como indic l figur. lcul l longitud de cd uno de los trmos de cble y l distnci E. 100 m D 45 30 60 30 P Q E 75 m sen 60 100 8 115,47 m tg 60 100 P 8 P 57,74 m sen 30 100 8 00 m tg 30 100 P 8P 173,1 m cos 45 75 8 D 106,07 m tg 45 Q D 75 8 Q 75 m cos 30 75 8 DE 86,6 m tg 30 QE DE 75 8 QE 43,3 m E 57,74 + 173,1 + 75 + 43,3 349,5 m 9 Un escler pr cceder un túnel tiene l form y ls dimensiones de l figur. lcul l profundidd del punto. 5 m 30 10 m 30 m 50 5 m 30 10 m y 30 m 50 sen 30 5 8 1,5 m sen 50 y 30 8 y,98 m Profundidd: 1,5 +,98 35,48 m
7Soluciones los ejercicios y problems 30 Un señl de peligro en un crreter nos dvierte que l pendiente es del 1%. Qué ángulo form ese trmo de crreter con l orizontl? uántos metros emos descendido después de recorrer 7 km por es crreter? Pág. 1 100 sen 1 1 0,1 8 6 53' 3'' 100 7 km 6 58' 34'' sen 7 8 0,1 7 0,84 km 840 m 31 En un rut de montñ, un señl indic un ltitud de 785 m. Tres kilómetros más delnte, l ltitud es de 1 65 m. Hll l pendiente medi de es rut y el ángulo que form con l orizontl. 165 m 3 km 785 m 1 65 785 480 m sen 480 0,16 8 9 1' 5'' 3 000 Pendiente tg 0,16 8 16,% 3 Los brzos de un compás, que miden 1 cm, formn un ángulo de 50. uál es el rdio de l circunferenci que puede trzrse con es bertur? sen 5 1 8 5,07 cm Rdio de l circunferenci 10,14 cm 50 1 cm
7Soluciones los ejercicios y problems 33 lcul el áre de cd uno de estos triángulos: Pág. 13 ) 1 m 50 3 m b) Q 0 m P 35 35 R ) lculmos l ltur,, sobre : sen 50 8 9,19 m 1 Áre 3 9,19 105,685 m b) lculmos l ltur,, sobre PR: sen 35 8 11,47 m 0 lculmos l bse, PR : cos 35 PR/ 8 PR 40 cos 35 3,77 m 0 Áre 3,77 11,47 188 m 34 En el triángulo clcul y. En el triángulo P: sen 65 8 16,31 cm 18 cos 65 P 8 P 7,61 18 P P 3 7,61 15,39 + P 16,31 + 15,39,4 cm 18 cm 65 P 3
7Soluciones los ejercicios y problems 35 En el triángulo ll, e y. En el triángulo P: cos 50 8 10,93 cm 17 17 cm 9 cm sen 50 8 13,0 cm 50 17 P y En el triángulo P: y 9 9 13,0 5,91 cm Pág. 14 36 lcul, y b. En el triángulo P, P + 17. sen 3 8 30,74 cm 58 b 58 cm cos 3 +17 8 3,19 cm 3 58 P 17 cm b + 44,51 cm 37 onocemos l distnci de nuestr cs l iglesi, 137 m; l distnci de nuestr cs l depósito de gu, 11 m, y el ángulo, 43, bjo el cul se ve desde nuestr cs el segmento cuyos etremos son l iglesi y el depósito. uál es l distnci que y de l iglesi l depósito de gu? I 137 m 43 P 11 m D En el triángulo IP: cos 43 P 137 8 P 100, m sen 43 IP 137 8 IP 93,43 m PD 11 100, 110,8 m Distnci de l iglesi l depósito: ID PD + IP 110,8 + 93,43 144,93 m
7Soluciones los ejercicios y problems PÁGIN 164 Pág. 15 38 Desde l torre de control de un eropuerto se estblece comunicción con un vión que v terrizr. En ese momento, el vión se encuentr un ltur de 1 00 metros y el ángulo de observción desde l torre (ángulo que form l visul ci el vión con l orizontl) es de 30. qué distnci está el vión del pie de l torre si est mide 40 m de ltur? 100 m D 30 40 m tg 30 1 00 40 8 d 1 160 009, m d tg 30 Utilizndo el teorem de Pitágors: D (1 00) + ( 009,) 340,3 m L distnci del vión l pie de l torre es de 340,3 m. 39 Desde el lugr donde me encuentro, l visul de l torre form un ángulo de 3 con l orizontl. d Si me cerco 5 m, el ángulo es de 50. uál es l ltur de l torre? tg 3 5 + tg 50 5tg 3 + tg 3 tg 50 5tg 3 + tg 3 tg 50 5tg 3 (tg 50 tg 3 ) 5tg 3 7,56 m tg 50 tg 3 L ltur de l torre es 7,56 tg 50 3,84 m. 3 50 5 m
7Soluciones los ejercicios y problems 40 lcul l ltur de l luz de un fro sobre un cntildo cuy bse es inccesible, si desde un brco se tomn ls siguientes medids: El ángulo que form l visul ci l luz con l líne de orizonte es de 5. Nos lejmos 00 metros y el ángulo que form or dic visul es de 10. Pág. 16 5 00 m 10 tg 5 8 tg 5 tg 10 8 ( + 00)tg 10 + 00 tg 5 ( + 00)tg 10 8 (tg 5 tg 10 ) 00 tg 10 8 8 00 tg 10 11,6 m tg 5 tg 10 tg 5 11,6 tg 5 56,7 m 41 Pr clculr l ltur del edificio, PQ, emos medido los ángulos que indic l figur. Sbemos que y un funiculr pr ir de S Q, cuy longitud es de 50 m. Hll PQ. P Q 50 m 10 R lculmos SR y RQ con el triángulo SQR: cos 30 SR 50 8 SR 50 cos 30 16,5 m sen 30 RQ 50 8 RQ 50 sen 30 15 m 30 S lculmos RP con el triángulo SPR: tg 40 RP 8 RP 16,5 tg 40 181,66 m SR Luego, PQ RP RQ 181,66 15 56,66 m L ltur del edificio es de 56,66 m.
7Soluciones los ejercicios y problems 4 Ls tngentes un circunferenci de centro O, trzds desde un punto eterior, P, formn un ángulo de 50. Hll l distnci PO sbiendo que el rdio de l circunferenci es 1,4 cm. Pág. 17 O1,4 cm 5 P sen 5 1,4 8 PO 8 PO 1,4 9,34 cm sen 5 43 Dos edificios distn entre sí 150 metros. Desde un punto del suelo que está entre los dos edificios, vemos que ls visules los puntos más ltos de estos formn con l orizontl ángulos de 35 y 0. uál es l ltur de los edificios, si sbemos que los dos miden lo mismo? tg 0 tg 35 150 tg 0 (150 )tg 35 tg 0 8 150 tg 35 98,7 m (150 ) tg 35 tg 0 + tg 35 98,7 tg 0 35,9 m L ltur de los dos edificios es de 35,9 m. 0 35 150 m 44 En dos comisrís de policí, y, se escuc l lrm de un bnco. on los dtos de l figur, clcul l distnci del bnco cd un de ls comisrís. 7 35 5 km 7 5 km 35 tg 7 tg 35 5 tg 7 (5 )tg 35 (5 )tg 35 tg 7 8 5tg 35 tg 35 + tg 7,89 km 8 1,47 km + 8,89 + 1,47 3,4 km 5tg 35 tg 35 + tg 7 (5 ) + 8,11 + 1,47,57 km
7Soluciones los ejercicios y problems 45 Hll el áre de un octógono regulr de 1 cm de ldo. 1 cm,5 360 45 ; 45,5 ; potem: 8 tg,5 6 8 14,49 cm Áre (1 8) 14,49 695,5 cm Pág. 18 46 En un trpecio isósceles de bses y D, conocemos los ldos 5m y 3 m, y los ángulos que form l bse myor con los ldos oblicuos, que son de 45. Hll su áre. sen 45 8 3 m 5 m 3 3 m cos 45 8 3 m 3 45 45 D se myor: 5 + 3 + 3 11 m Áre (5 + 11) 3 4 m 47 El ldo de l bse de un pirámide cudrngulr regulr mide 6 m y el ángulo PD 60. Hll su ì volumen. P P O 60 l D 6 m l P 60 6 m l D D El triángulo PD es equilátero; l 6 m ltur de l pirámide: d 6 +6 8 d 6 m d 6 m 6 O 3 m En el triángulo PO, PO 6 (3 ) 18 3 m Volumen 1 6 3 36 m 3 3
7Soluciones los ejercicios y problems 48 Hll el ángulo que form l digonl de un cubo de rist 6 cm con l digonl de l bse. Pág. 19 6 cm 6 cm 6 6 cm 6 +6 8 6 cm 6 1 tg 6 8 35 15' 5'' 49 Desde un fro F se observ un brco bjo un ángulo de 43 con respecto l líne de l cost; y unbrco, bjo un ángulo de 1. El brco está 5 km de l cost, y el, 3 km. lcul l distnci entre los brcos. lculmos F y F: sen 43 5 8 F 5 7,33 km F sen 43 sen 1 3 8 F 3 8,37 km F sen 1 43 1 5 km d 3 km F Pr clculr d utilizmos el triángulo de l derec: sen 5 7,33 7,33 sen,74 km F cos 8 7,33 cos 6,8 km 7,33 y 8,37 8 y 8,37 6,8 1,57 km 7,33 km 8,37 km y d Utilizndo el teorem de Pitágors: d + y,74 + 1,57 3,16 km L distnci entre y es de 3,16 km.
7Soluciones los ejercicios y problems PÁGIN 165 Pág. 0 R EFLEXION SORE L TEORÍ 50 Observ el triángulo rectángulo MPN, y en ls siguientes igulddes, sustituye los puntos suspensivos por sen, cos o tg. ) M^ m b) N^ p m p P n m M p c) M^ m d) N^ n n p N ) sen M^ m b) cos N^ m c) tg M^ m d) sen N^ p p n n p 51 Eiste lgún ángulo tl que sen 3/5 y tg 1/4? No, porque si sen 3 9, cos 1 4 y tg 3/5 3? 1. 5 5 5 4/5 4 4 5 Eiste lgún ángulo gudo cuyo seno se myor que l tngente? Justific l respuest. El seno es siempre menor que l tngente, porque seno cteto opuesto y tngente cteto opuesto ipotenus cteto continguo y l ipotenus es, siempre, myor que el cteto contiguo. 53 En un triángulo rectángulo, uno de los ctetos mide el doble que el otro. uánto vlen ls rzones trigonométrics del ángulo menor? 1 5 1 5 5 sen ; cos ; tg 5 5 5 5 1 54 Puede eistir un ángulo cuyo seno se igul? Y uno cuyo coseno se igul 3/? Rzon ls respuests. No, porque el cteto opuesto es siempre menor que l ipotenus y, por ello, el vlor del seno de un ángulo gudo es siempre menor que 1. El coseno es tmbién menor que 1 por l mism rzón. No puede ser igul 3/.
7Soluciones los ejercicios y problems 55 Indic, en cd cso, en qué cudrnte está el ángulo : ) sen > 0, cos < 0 b) tg > 0, cos > 0 c) sen < 0, cos > 0 d) sen < 0, cos < 0 ). cudrnte. b) 1. er cudrnte. c) 4. cudrnte. d) 3. er cudrnte. Pág. 1 56 Los dos ángulos gudos de un triángulo rectángulo se llmn complementrios porque su sum es uno recto. Observ l figur, complet l tbl y epres simbólicmente lo que obtienes: c 90 b sen cos tg 90 90 sen b/ c/ cos c/ b/ tg b/c c/b sen cos (90 ) cos sen (90 ) tg 1 tg(90 ) 57 Usndo ls relciones fundmentles, demuestr que: ) (sen + cos ) +(sen cos ) b) (sen ) 3 + sen (cos ) 1 sen c) (sen ) 3 + sen (cos ) tg cos d)1 + (tg ) 1 (cos ) ) (sen + cos ) +(sen cos ) (sen ) +(cos ) + sen cos +(sen ) +(cos ) sen cos 1 + 1 b) (sen ) 3 + sen (cos ) sen [(sen ) +(cos ) ] sen 1 sen sen sen c) (sen ) 3 + sen (cos ) sen [(sen ) +(cos ) ] sen tg cos cos cos d) 1 + (tg ) (sen ) 1 + (cos ) +(sen ) 1 (cos ) (cos ) (cos )
7Soluciones los ejercicios y problems P ROFUNDIZ Pág. 58 Sobre l circunferenci goniométric señlmos un ángulo en el primer cudrnte y prtir de él dibujmos los ángulos: 180 180 + 360 usc l relción que eistre entre: ) sen (180 ) y sen cos (180 ) y cos tg (180 ) y tg b)sen (180 + ) y sen cos (180 + ) y cos tg (180 + ) y tg c) sen (360 ) y sen cos (360 ) y cos tg (360 ) y tg 180 180 + 360 ) sen (180 ) sen b) sen (180 + ) sen cos (180 ) cos cos (180 + ) cos tg (180 ) tg tg (180 + ) tg c) sen (360 ) sen cos (360 ) cos tg (360 ) tg 59 Sitú el ángulo ddo sobre l circunferenci goniométric y epres sus rzones trigonométrics utilizndo un ángulo gudo como en el ejemplo: Ejemplo: 15 sen 15 sen 35 cos 15 cos 35 tg 15 tg 35 ) 150 b) 40 c) 300 d) 5 e) 100 f) 30 ) sen 150 sen 30 b) sen 40 sen 60 cos 150 cos 30 cos 40 cos 60 tg 150 tg 30 tg 40 tg 60 150 30 40 60
7Soluciones los ejercicios y problems c) sen 300 sen 60 d) sen 5 sen 45 cos 300 cos 60 cos 5 cos 45 tg 300 tg 60 tg 5 tg 45 Pág. 3 300 60 5 45 e) sen 100 sen 80 f) sen 30 sen 40 cos 100 cos 80 cos 30 cos 40 tg 100 tg 80 tg 30 tg 40 100 80 30 40 60 Resuelto en el libro de teto. 61 Resuelve ls siguientes ecuciones sbiendo que 0 Ì Ì 360 : ) (sen ) sen 0 b)(cos ) 3 cos 0 c) 3 tg + 3 0 d)4(sen ) 1 0 e) (cos ) cos 1 0 ) (sen ) sen 0 sen (sen 1) 0 sen 0 sen 1 8 0 180 90 b) (cos ) 3 cos 0 cos ( cos 3) 0 cos 0 cos 3/ 90 70 30 330 c) 3 tg + 3 0 8 tg 1 135 315
7Soluciones los ejercicios y problems d) 4(sen ) 1 0 8 (sen ) 1 4 1 30 sen 150 1 10 sen 330 Pág. 4 e) (cos ) cos 1 0 1 ± 1 + 8 cos 4 1 ± 3 4 cos 1 8 0 1 10 cos 40