Uivrsidad d Purto Rico Rcito Uivrsitario d Mayagüz Dpartamto d Cicias Matmáticas Eam III Mat - Cálculo II d abril d 8 Nombr Númro d studiat Scció Profsor Db mostrar todo su trabajo. Rsulva todos los problmas. Pud usar calculadora citífica. I. Dtrmi si la sucsió ( a ) covrg o divrg. Si la sucsió s covrgt cutr l límit: 5 5. a ( putos) 5 5 5 por lo tato, la sucsió s covrgt. l( ). a (5 putos) f ( ) a, f ( ) Vrifico: l( valor positivo grad) l( Usamos f() co la rgla d L Hopital l( ) a La sucsió covrg a. II a. Utilic sris para prsar. como u cocit d tros: ( putos). =. +. +. +. + s ua sri gométrica co a =. y r =., como r < la sri covrg a S a.. r..99 99 b. El térmio gral d la sucsió S d sumas parcials d la sri k (ta ( ) ta ( )) k k s SK ta () ta ( k ) ta ( k ) ( putos)
c. Acaso la sri s covrgt o divrgt? covrg.( puto) sri p co p >, ya qu =.78888, por lo tato la sri covrg III. Dtrmi si la sri covrg o divrg. Si covrg dtrmi la suma:. (5 putos). ( putos ) 5 5 Es ua prsió racioal dod l domiador 5 Factoriza : ( + ) ( + ),vamos a dscompor fraccios A B ( )( ) So dos sris gométricas covrgts: La primra ti: a = 5/ y r = ¼ 5 5 Covrg a La sguda sri ti: a = ¾ y r = ¾, por lo tato, tambié s covrgt y su suma s: Por tato la sri covrg a la suma d stos dos límits: + 5/ = / parcials: S A( ) B( ) ( A B) ( A B) A A B B, A ( )( ) S... B 5 5 7 8 5 S... IV. Clasifiqu las siguits sris como covrgts o divrgts, prstado argumtos qu justifiqu bi l rsultado. (5 putos cada uo) a. Es ua sri d térmios positivos, l critrio d divrgcia o s aplicabl ya qu l a Podmos usar la pruba d la f( ) Itgral: t t d d t t t t La itgral impropia s covrgt, la sri tambié lo s. b. Es ua sri d térmios positivos, l critrio d divrgcia o s aplicabl ya qu l Podmos usar ua pruba d comparació, comparar co qu sabmos qu divrg. a b Ambas sris s porta igual ya qu l rsultado s u úmro positivo fiito. Las dos divrg.
c. ( ) s ( ) Critrio d Divrgcia, l límit dl ésimo térmio No ist. Por lo tato la sri s divrgt, d. si Es ua sri d térmios positivos, a. Podmos usar ua d las prubas d Comparació Sabmos qu s s Esta última s ua sri p, p=/, por lo tato, covrg. Por lo tato la sri mor tambié s covrgt. V. ( putos) Escriba ua sri d potcias para la fució: ( ) ( )
VI. ( 5 putos)hall l valor acto d la suma: 9 7 8...!!! Esta suma ti smjazas co la sri d Maclauri para :...!!!!!...!!!! La prsió atrior s smjat a sta última prsió, pro dod stá ti, otras palabras, =. Por lo tato al substituir por obtmos l valor VII. ( putos) Dtrmi l radio y l itrvalo d covrgcia d la sri: ( ) Nota: Esta sri d potcias s dsarolla alrddor d = -. Usarmos la pruba dl Cocit, juto a la codició d covrgcia: < : a ( ), a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, Est s l itrvalo d Covrgcia, pro falta ivstigar los trmos: = - y = - El radio d covrgcia s R =. ( ) ( ) ( ) ( ) = -: sta s la sri armóica altrat y covrg. ( ) =-: sta s la sri armóica qu s divrgt. Solució: Itrvalo d covrgcia :[-, -) y Radio d Covrgcia =
VIII(5 putos cada uo )Dtrmia si las siguits sris covrg absolutamt, covrg codicioalmt o divrg. Justifica tu rspusta co razoamito o procdimito lógico. E particular, scrib l ombr dl critrio o torma utilizado. a. ( ) a la primra d stas sris covrg pus s sri p, co p =, pro la Sguda d stas sris divrg, así qu la sri co los valors absolutos s divrgt, por tato, o s Absolutamt covrgt. Pro como s ua sri altrat hay qu vr si satisfac l Critrio d Sris Altrats: ) Es dcrcit: b b +, ( ) ( ) El uciado s cirto, por tato la sri s dcrcit. b? ) Por tato, s satisfac las codicios y la sri Altrat covrg. Por lo tato, la sir s Codicioalmt covrgt. ( )! b. Primro hay qu ivstigar la sri tomado los valors absolutos d los térmios:! a Ratio Tst : a ( )! ( ) a! ( )!! ( ) La sri d los valors absolutos s divrgt. Opcioal, st caso: Ivstigar la sri altrat: b?! ( )( )( ) b No satisfac st critrio d SA y tampoco s dcrcit. Por lo tato, la sri s divrgt.
c. ( ) (arcta ) usar la pruba d la raíz la sri d los valors absolutos: a (arcta( )) arcta( ) Por tato, La sri covrg absolutamt IX Dado qu cos ( ) ( )! a. (5 putos) Hall l dsarrollo d f ( ) cos( ) como ua sri d potcias. ( ) ( ) ( ) ( )! ( )! ( )...!!! ( )! 7 9 b. ( putos)us dicho dsarrollo para hallar s dcir, co rror <.5..5 cos( ) d co actitud d 7 sitios dcimals,.5 cos( ) d =.5 7 9.5 ( ) ( ) (......) d d!!! ( )! ( )! 8 ( )...!(8)!()!() ( )!( ) 8 [......]!(8)!()!().5 s ua sri altrat, s pud usar l stimado d la sri altrat: R <b + b = 8!(8) =. b =!() =.8 b = S S!() =.7 8!(8)!().5..8.75 El rror srá mor qu b =!() =.7
X f ( ).. Sa a. ( putos) Ecutr l poliomio d Taylor d grado =, T ( ) alrddor d a = f ''() f '''() T f () f '()( ) ( ) ( )!! ( ) 8 ( ) T ( ) ( ) ( ) ( ) 9 7 8 8 T f ( ) f () f '( ) f '() f ''( ) 9 7 f ''() 9 8 8 f '''( ) f '''() 7 7 5 f ''''( ) 8 b. ( putos) Us la dsigualdad d Taylor para stimar la actitud d la aproimació f ( ) T ( ) cuado stá l itrvalo.8.. Vamos a buscar la cota suprior d la cuarta drivada l itrvalo idicado: La cuarta drivada s la siguit: 5 f ''''( ) 8 Es ua fució dcrcit, M = f (.8) = (-5/8)(.8) -/ = -.58585 M = M =.58585=.5 M R ( ),.8.! (.5) (.) R ( ).98 Est valor s l valor máimo dl rror cuado utilicmos T para aproimar u valor d f() = / si stá l itrvalo [.8,. ]. d abril d 8 G Di Cristia