ECUACIONES DIFERENCIALES ELÍPTICAS EN DERIVADAS PARCIALES. Armando Blanco A.

ECUACIONES DIFERENCIALES ELÍPICAS EN DERIVADAS PARCIALES Armando Blanco A.

Captulo V ECUACIONES DIFERENCIALES ELÍPICAS EN DERIVADAS PARCIALES Introduccón Dferencas fntas Métodos de relaacón sucesva Métodos de solucón drecta Imposcón de Condcones de Neumann Referencas

3 Introduccón G Fu y u E u D y u C y u B u A Las ecuacones dferencales parcales (EDP) de do orden en dos varables ndependentes se escrben en forma general como donde son constantes G F E D C B A Según el valor de B -AC una clasfcacón de las EDP es EDP hperbólca : EDP parabólca : EDP elptca : > < AC B AC B AC B

Introduccón y Eemplos típcos de EDP son: (a) Ecuacón elíptca (B -AC<) Ecuacón de Laplace t α (b) Ecuacón parabólca (B -AC) (c) Ecuacón hperbólca (B -AC>) t y c y Ecuacón de conduccón del calor Ecuacón de onda

Introduccón Un problema esta ben planteado (EDP condcones aulares) s La solucón este La solucón es únca La solucón depende contnuamente de los datos aulares (las condcones ncales y/o de frontera) 5 Las condcones aulares representan el punto de partda para hallar la solucón a nuestro problema ben planteado. El domno computaconal podría representarse como nˆ ŝ R R

Introduccón Las condcones aulares se especfcan de tres maneras dferentes: Condcón de Drchlet 6 u f sobre R Condcón de Neumann u u f ó g sobre n s R Condcones mtas o de Robn u u f sobre R n

Introduccón Encontrar una solucón numérca apromada a una EDP mplca el segumento de los sguentes pasos: 7.- Establecer la EDP y las condcones aulares.- Dscretzar las ecuacones 3.- Reducr el sstema a un sstema de ecuacones algebracas.- Utlzar un algortmo para resolver el sstema de ecuacones algebracas acorde con las característcas del sstema 5.- Solucón numérca apromada

Captulo V 8 ECUACIONES DIFERENCIALES ELÍPICAS EN DERIVADAS PARCIALES Introduccón Dferencas fntas Métodos de relaacón sucesva Métodos de solucón drecta Imposcón de Condcones de Neumann Referencas

y Dferencas Fntas Consderemos la ecuacón de Laplace en dos dmensones Según la clasfcacón anteror tendremos que A C Luego B AC < por lo que la ec. () es de tpo elíptco. Supongamos que se desea resolver la ec. () en el domno mostrado en la lamna sguente con condcones de Drchlet 9 () () (3)

y ( ) d( ) Dferencas Fntas ( y) a( y) ( y) b( y) y c( ( ) ) La solucón numérca de la ecuacón de Laplace consstrá en generar una malla consttuda por un conunto dscreto de puntos en los cuales se encontrará el valor apromado de la varable. La lámna sguente presenta la dscretzacón genérca para este caso.

y ( ) Dferencas Fntas ( y) y ( y) y ( ) En cada punto del domno se hallará el valor de. La dstanca entre nodos sucesvos en las dreccones e y es D y Dy respectvamente. A las coordenadas e y de cada punto en cual se hallará la solucón numérca se le asgna un par de índces y tal como muestra la lámna sguente.

y y ( ) d( ) ( y) a( y) ( y) b( y) y c( ( ) ) La dscretzacón en dferencas fntas de orden de la ecuacón de Laplace es es: y ( ) ( y) Dferencas Fntas ()

y y ( ) d( ) ( y) a( y) ( y) b( y) y c( ( ) ) Dferencas Fntas 3 Al punto ( ) están asocadas las coordenadas ( ) ( y) ()

Defnendo y β (5) enemos que () se escrbe como β β β (6) o reagrupando ( ) β β β (7) S el espacamento en cada dreccón es el msmo tendremos que β y (7) se reduce a (8) Dferencas Fntas

Captulo V 5 ECUACIONES DIFERENCIALES ELÍPICAS EN DERIVADAS PARCIALES Introduccón Dferencas fntas Métodos teratvos y de relaacón sucesva Métodos de solucón drecta Imposcón de Condcones de Neumann Referencas

6 Métodos Iteratvos Una alternatva para hallar los valores de los podría ser utlzar un método teratvo tpo Jacob o Gauss-Sedel. En este caso se despea de cada ecuacón la varable para escrbr (9) En cada caso creamos un proceso teratvo a partr de () Partendo de una apromacón ncal podemos terar hasta convergenca. () Jacob Gauss-Sedel

Métodos Iteratvos Eemplo: Halle la temperatura en una placa cuadrada con las condcones ( ) y 7 ( y) ( y) y ( ) con una malla de *. Como apromacón ncal se tomó. en todos los puntos nterores. Luego de 9 teracones con una toleranca de -8 se obtene

Métodos Iteratvos 8 9 8 9 7 8 7 6 6 5 5 3 3 3 5 6 7 8 9 8 6

Métodos Iteratvos 9............ 8.877 8.6 7.8.985 8.37 5.65 3.76.3.9.. 67.9 5.53 3.33.87 5.3.6 7..35.69.. 75.39 55.9.9 8.867.58.3 9.689 5.959.836.. 78.85 6.65.9 3.97 3.77 6.75.33 6.97 3.3.. 79.83 6.6 6. 3.8.83 7.5.866 7.3 3.89.. 78.85 6.65.9 3.97 3.77 6.75.33 6.97 3.3.. 75.39 55.9.9 8.867.58.3 9.689 5.959.836.. 67.9 5.53 3.33.87 5.3.6 7..35.69.. 8.877 8.6 7.8.985 8.37 5.65 3.76.3.9............ 9 8 7 6 5 3 9 8 7 6 5 3 3 5 6 7 8 9

Programa en MALAB: Jacob % Laplace n; nyn; tole-8; zeros(nny); df e3; (:); (:ny); (:); (n:); _n; cont ; whle df>tol contcont for :n- for :ny- _n()((-)()(-)())/; end end % Determnacón de la convergenca num; den; for :n for :ny numnum (_n()-())^; den den _n()^; end end dfnum/den; _n; end surf() fgure contour(')

Métodos Iteratvos La utlzacón del método de Gauss-Sedel nos da el resultado sguente luego de 6 teracones con una toleranca de -8............ 8.88 8.7 7.856. 8.58 5.67 3.78.35... 67.58 5.55 3.36.99 5.365.658 7..38.85.. 75.9 55.3.36 8.93.67.66 9.75 6..859.. 78.863 6.3.957 33.7 3.88 6.88.383 7.7 3.35.. 79.85 6.68 6.87 3.358.99 7.67.9 7.378 3.5.. 78.866 6.8.96 33.5 3.856 6.835.388 7.3 3.353.. 75. 55.33.8 8.937.66.78 9.755 6.9.86.. 67.6 5.559 3.373.9 5.379.67 7.5.39.89.. 8.885 8.77 7.865. 8.68 5.68 3.788.3............. 9 8 7 6 5 3 9 8 7 6 5 3 3 5 6 7 8 9

Programa en MALAB: Gauss-Sedel % Laplace % Determnacón de la convergenca n; num; den; nyn; for :n tole-8; for :ny zeros(nny); numnum (()-_old())^; df e3; den den ()^; end (:); end (:ny); dfnum/den; (:); end (n:); surf() _n; fgure cont ; contour(') whle df>tol contcont _old; for :n- for :ny- ()((-)()(-)())/; end end

Métodos de sobrerelaacón Algunas técncas esten para acelerar la convergenca. La mas utlzada es el método de relaacón sucesva (Successve Overrelaaton Method). Con este método se utlza de manera teratva la ecuacón ( ) ω donde a través del auste del parámetro ω tal que < ω < se logra una convergenca en un número menor de teracones. Para ω () se reduce al método de Gauss-Sedel. La determnacón del valor de ω óptmo se hace generalmente a través de estudos empírcos. 3 () (3)

Métodos de sobrerelaacón En el eemplo anteror tendremos que la determnacón empírca de ω nos lleva a los resultados sguentes: Determnacón de w óptmo Iteracones 8 6...6.8 w

Otra opcón es resolver las ecuacones (8) que corresponden a un esquema de cnco puntos utlzando un método drecto. Puesto que estamos suponendo que las condcones de frontera son de Drchlet tendremos que (8) debe ser resuelta sólo en los nodos nterores y Método drecto 6 y Escrbamos las ecuacones en el caso partcular de una dscretzacón con N N y 5

Método drecto El domno dscretzado luce como se muestra a contnuacón y 7 y Las ecuacones para cada nodo nteror se escrben como : 3 3 3 : 3 3 33 : 5 3 3: 3 3 3 33 3 3: 33 3 3 3 3 3: 3 53 33 (a)

: 3 3 5 3 : 3 33 35 : 3 5 3 5 Al ntroducr las condcones de borde llegamos a 3 3 3 33 3 3 3 3 33 3 33 3 3 3 33 3 53 3 3 3 5 3 33 35 3 3 5 5 5 Método drecto 8 (b) (5)

Al mponer las condcones de frontera el sstema de ecuacones (5) puede escrbrse como [ A ][ ] [ b] Método drecto 9 (6) donde A es la matrz de coefcentes generada por (5) es un vector que representa las ncógntas y b es el vector de térmnos ndependentes. Para facltar la escrtura de estas ecuacones podemos enumerar los nodos sguendo ( N )( ) ( ) (7) en el caso que sobre todos los lados se mponen condcones de Drchlet. En el eemplo partcular del sstema (5) tendremos

3 5 3 3 6 5 7 5 6 8 3 5 6 3 9 53 7 8 5 7 8 9 5 35 8 9 6 5 5 5 y y Método drecto 7 8 9 5 6 3 3 (8) Ordenando los térmnos en cada ecuacón tendremos

3 Método drecto Este sstema se escrbe en forma matrcal como 5 5 9 8 6 35 9 8 7 5 5 8 7 53 9 6 5 3 8 6 5 3 7 5 5 6 3 3 5 3

3 Método drecto 5 5 35 5 53 3 5 3 9 8 7 6 5 3 - - Este sstema puede ser resuelto utlzando un método estándar como Elmnacón Gaussana aunque ello podría ser poco efcente sobre todo para el caso general de sstemas grandes. Un programa en MALAB es presentado en la lámna sguente. (9)

% Laplace_Drecto clear all close all % datos de entrada n5; nyn; zeros(nny); % condcones de borde (:); (:ny); (:); (n:); % ncalzacón de varables dm(n-)*(ny-); zeros(dmdm); b(:dm); Método mplícto : Programa MALAB % defncón de los coefcentes % para cada nodo % fla % elemento ; ; (n-)*(-)(-); ()-; (); (n-); b()-(-)-(-); % elementos 3...n- for 3:n- end (n-)*(-)(-); (-); ()-; (); (n-); b()-(-); % elemento n- n-; (n-)*(-)(-); (-); ()-; (n-); b()-()-(-); % flas 3...ny- / nodos e n- for 3:ny- end ; (n-)*(-)(-); ()-; (); (n-); (-n); b()-(-); n-; (n-)*(-)(-) ()-; (-); (n-); (-n); b()-(); 33

Método mplícto : Programa MALAB 3 % fla ny- ny-; % elemento ; (n-)*(-)(-); ()-; (); (-n); b()-(-)-(); % elementos 3...n- for 3:n- (n-)*(-)(-); end (-); ()-; (); (-n); b()-(); % elemento n- n-; (n-)*(-)(-); ()-; (-); (-n); b()-()-(); % Nodos nterores < < n- y < < ny- for 3:n- end for 3:ny- (n-)*(-)(-); ()-; (-); (); (-n); (n-); b(); end % Cálculo de la solucón emp\b; for :dm end floor(/(n-)); f mod((n-)) -; end -(n-)*(-); ()emp(); surf() fgure contour(')

Método mplícto : Programa MALAB 35 - - - - - - - - -.857 8.75 7.9 5.6786 5. 9.8.857 8.75 7.9 - - -...857 8.75 7.9. 5.6786 5. 9.8..857 8.75 7.9.

Condcones de Neumann Hasta ahora los esquemas que hemos desarrollado han utlzado condcones de Drchlet. Hemos vsto como en esos casos el vector que ncluye los térmnos ndependentes ha sdo modfcado para mponer las condcones de frontera. En el caso de las condcones de Neumann la mposcón de las condcones de frontera es un poco dstnta. Veamos. Supongamos que el problema a resolver tene en una frontera por eemplo en la condcón: 37 y ( ) c y ( ) ( y)

Luego partendo de c Condcones de Neumann 38 podemos hacer dscretzacón se la dervada haca delante S en la frontera tenemos entonces c c Esta epresón permtría calcular para todo en la frontera aplcando la condcón de frontera de Neumann.

Condcones de Neumann 39 Sn embargo sendo la epresón de la dervada espacal utlzada precsa en orden su utlzacón llevará a una degradacón del orden del esquema. Una dscretzacón que preserva la precsón del esquema ( ) es S en la frontera tenemos entonces c c Los puntos no pertenecen al domno y son llamados puntos fantasmas.

Condcones de Neumann Podemos despear para obtener c

Condcones de Neumann Luego por eemplo para el método teratvo de Jacob podemos escrbr en la frontera y reemplazando el valor de la epresón en la frontera será: c

Condcones de Neumann Agrupando térmnos comunes Luego el método de Jacob quedará epresado como: c ; ; ; ; y y n n n c

3 Condcones de Neumann ; ; y n c ; ; y n n

Condcones de Neumann Aplcacón: El problema y ( ) ( ) y ( y) y ( ) puede reducrse al problema equvalente: y ( ) ( y ) y / y y ( ) /

Condcones de Neumann 5 El nuevo problema utlza para una malla de la msma densdad de nodos la mtad del número de nodos. Utlzando el método de Jacob tendremos solucones como: 9 9 9 9 8 8 8 8 7 7 7 7 6 6 6 6 5 5 5 5 3 3 3 3 6 8 3 5 6 3 5 Eercco sugerdo: Modfque el programa mostrado en la lámna para el método de Jacob para consderar condcones de Neumann y reproduzca estos resultados.

Condcones de Neumann 6 S el método es mplícto entonces tendremos que las ecuacones para los nodos en las fronteras vendrán dadas por la evaluacón de en que al susttur el valor de se reduce a c se reduce a c o reagrupando térmnos semeantes c

7 Condcones de Neumann Las ecuacones a resolver serán entonces ; ; ; ; y y n n n c Por eemplo en nuestro eemplo anteror para el método drecto en la malla 5 5 tendremos: y y

8 Condcones de Neumann Por eemplo en nuestro eemplo anteror para el método drecto en la malla 5 5 tendremos: y y ; ; ; 5 3 3 3 3 c c c ; ; ; 3 5 3 33 3 3 3 3 ; ; ; 53 3 33 3 3 3 33 3 33 3 3 ; ; ; 5 3 5 3 35 33 3 5 3 3

Condcones de Neumann 9 Podemos enumerar los nodos sguendo ( N )( ) ( ) Luego las ecuacones serán: 9 5 6 7 3 8 c 5 3 6 3 3 7 3 5 8 c 5 6 9 5 6 7 ; ; ; ; 6 7 8 3 7 8 53 c 9 5 5 9 6 5 7 3 5 5 8 5 ; ; ; ; ;

Condcones de Neumann 5 Deando las varables del lado zquerdo tendremos c 5 3 3 6 3 7 3 3 5 8 5 c 5 6 9 5 6 7 3 6 7 8 7 8 53 c 5 9 5 6 9 5 7 35 8 5 5

En forma matrcal tendremos: Condcones de Neumann 5 c 3 - c 5-6 - 7-8 53-9 c - 5-35 3 5 5 5 5

Condcones de Neumann Nótese que la condcón de Neumann afecta tanto la matrz de coefcentes. Por eemplo la fla de nuestro sstema de ecuacones es modfcada en la da columna ( ) y en el térmno ndependente (adcón de c ): 5 [ ][ ] c Eercco: Resuelva el problema y ( ) ( y) ( y) 9 5 6 7 3 8 y ( )

lleva a: Condcones de Neumann 3-5 - 6-7 - 8-9 - - 53.8988. 7.9639.33 5.559.59 39.3 7.7685 7.859 7.93 67.68 6.5 5.5 3.5 3.5.5.5.5 3 3.5.5 5 9 8 7 6 5 3

Referencas 55. Análss Numérco Burden R. Fares J. D. 6ta Edcón Internatonal homson Edtores 998. Appled Numercal Methods Carnahan B. Luther H. A. Wles J. O. John Wley and Sons Inc 969 3. Naamura S.: Métodos Numércos Aplcados con Software Prentce Hall (99).

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