APLICACIÓN DEL MÉTODO INDIRECTO DE COLOCACIÓN TREFFTZ-HERRERA A PROBLEMAS ELÍPTICOS EN 2D

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1 MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA Y CIENCIAS APLICADAS E Oñate, F Zárate, G Aala, S Botello MA Moreles (Edtores) CIMNE, Barcelona APLICACIÓN DEL MÉTODO INDIRECTO DE COLOCACIÓN TREFFTZ-HERRERA A PROBLEMAS ELÍPTICOS EN D Martín Díaz, Ismael Herrera Robert Yates Insttuto de Geofísca Unversdad Naconal Autonoma de Mexco (UNAM), Apartado Postal -58,, Mexco, DF e-mal: mdaz@tonatuhgeofcuunammx, e-mal: herrera@servdorunammx Resumen El método de colocacón convenconal, que se basa en el uso de polnomos cúbcos de Hermte, posee un gran atractvo por su elevada exacttud la smplcdad de su formulacón Sn embargo tene algunas desventajas computaconales debdo al gran número de grados de lbertad asocados con cada nodo de la malla de la partcón del domno Además, la matrz del sstema de ecuacones algebracas resultante no es postvo defnda ncluso cuando el operador dferencal posee dcha propedad En el presente trabajo se aplca la teoría unfcada debdo a Herrera,3 para descomposcón de domno,5 en combnacón con colocacón ortogonal, lo que produce una famla de métodos ndrectos de colocacón 6,7 (colocacón Trefftz-Herrera) Los métodos de Trefftz-Herrera están basados en un tpo especal de fórmula de Green defnda en campos dscontnuos 8 Una característca esencal del estos métodos es el uso de funcones de peso que sumnstran nformacón acerca de la solucón buscada en las fronteras nterores () de la partcón exclusvamente En partcular, cuando la ecuacón dferencal (o el sstema de ecuacones) es postvo defndo la matrz global es tambén postvo defnda Al aplcar colocacón en la construccón de las funcones de peso se obtene una reduccón dramátca del número de grados de lbertad asocados con cada nodo En efecto, mentras en colocacón convenconal el número de grados de lbertad es dos en una dmensón, cuatro en dos dmensones ocho en tres dmensones, en colocacón TH se pueden obtener algortmos con un solo grado de lbertad para cualquer dmensón Resulta nteresante destacar que el tratamento de problemas con saltos prescrtos en las fronteras nterores posee el msmo grado de complejdad que los problemas sn saltos, a que la matrz global es exactamente la msma para ambos casos A manera de lustracón, el método es aplcado a problemas elíptcos de segundo cuarto orden (ecuacón barmónca) para dferentes ejemplos numércos en dos dmensones

2 MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA Y CIENCIAS APLICADAS Palabras claves: Doman Decomposton, Collocaton, Trefftz-Herrera Method, Localzed Adjont Method (LAM), Euleran Lagrangan LAM (ELLAM) INTRODUCCIÓN En el presente artículo se mostrará la aplcacón de la teoría unfcada de Herrera para descomposcón de domno, tambén conocda como método de Trefftz-Herrera, a problemas elíptcos en dos dmensones El método de Trefftz-Herrera posee una gran generaldad a que es aplcable a Problemas de Valores de Frontera Saltos Prescrtos (PVFSP) de ecuacones dferencales lneales o sstemas de éstas de cualquer tpo (elíptcas, parabólcas o hperbólcas) cuos coefcentes pueden ser en general dscontnuos Es mu flexble a que permte ncorporar de manera natural las dferentes varantes de condcones de frontera de salto del problema Además, es sstemátco, debdo a que bajo su marco teórco permte desarrollar toda una gran varedad de procedmentos según sea la nformacón buscada acerca de la solucón en las fronteras nterores () de la partcón del domno Las deas báscas del método ndrecto de Trefftz-Herrera, tambén conocdo en otro contexto como método del Adjunto Localzado (LAM), han sdo aplcadas para desarrollar dversos procedmentos numércos, como son los métodos Eulerano-Lagranganos del Adjunto Localzado (ELLAM) 9-, empleados con éxto en la solucón numérca de problemas de transporte domnados por el térmno de prmer orden o de adveccón El hecho de que las funcones de peso especalzadas se construan hacendo uso del método de colocacón ortogonal nos conduce a un nuevo tpo de método no estándar de colocacón: el método de colocacón ndrecto o de Trefftz-Herrera PROBLEMA MODELO: ECUACIÓN ELÍPTICA GENERAL DE SEGUNDO ORDEN A contnuacón defnremos el Problemas de Valores de Frontera Saltos Prescrtos (PVFSP) para la ecuacón elíptca general de segundo orden, el cuál nos servrá de modelo para lustrar el método de colocacón de Trefftz-Herrera Dada la ecuacón dferencal Lu = f Ω ; en Ω ()

3 M DÍAZ, I HERRERA R YATES / Colocacón TH a Problemas Elíptcos en D 3 donde Lu ( a u) + ( bu) + cu, es el operador elíptco general de segundo orden a, b, c son una matrz, un vector un escalar de coefcentes respectvamente, que en general son funcones defndas en Ω, con condcones de frontera de tpo Drchlet u = u ; en Ω () saltos prescrtos [ u] = [ u ] = j ; a u n a u n j ; en, = = (3) Hallar la solucón u en Ω tal que satsfaga (), () (3) Se supone que la solucón exste es únca 3 PROCEDIMIENTOS DE TREFFTZ-HERRERA Para la dervacón de un procedmento Trefftz-Herrera partremos de la Ec (5) dada en Herrera 3 que es la formulacón varaconal en térmnos de la nformacón buscada la aplcaremos al PVFSP defndo por las Ecs (), () (3) en la seccón anteror En este caso conocemos que el adjunto formal del operador elíptco de segundo orden L dado en () es L * w ( a w) b w+ cw () Entonces, la funcón blneal vectoral D ( uw, )ntroducda en la Ec (5) de Herrera 3 se expresa como: D uw, = a u w w u + buw; (5) ( ) ( ) Una manera sstemátca de obtener tanto el adjunto formal L * como la funcón vectoral blneal D ( uw, ) se expone en Berlanga Herrera S defnmos B ( uw, ) C* ( uw, ), cuando las condcones de frontera son del tpo Drchlet Ec(), se obtene: B uw, = na w+ bwu; C * uw, = w na u ; (6) ( ) ( ) ( ) n ( ) donde B ( uw, ) nvolucra los valores prescrtos de frontera, que en este caso son de tpo Drchlet u C ( * uw, complementaros de frontera que son de tpo Neumann ) los valores no prescrtos o n a Y correspondentemente, para las condcones de salto prescrtas en las Ecs (3) obtenemos que : u

4 MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA Y CIENCIAS APLICADAS ( ) [ ] 678 ( &) [ ]( na w bw) J uw, D u, w n= u + n + w& na u ; 678 ( uw) ( u[ w] ) n= u na w+ bw [ w]( na u) b b n u = u u u& = u + u / K *, D &, & ; n donde ; A n K *( uw, ) donde K ( ) = [ ] ( ) + + la podemos descomponer en: ( ) [ ] ( uw) = ( uw) + ( uw); (7) (8) K *, K *, K *, (9) * uw, = u& na w+ bw n nvolucra el promedo de la solucón u& K * uw, = w n a u el promedo del flujo na u ( ) respectvamente En Herrera 3 se deron los fundamentos teórcos de los procedmentos Trefftz- Herrera que nos permten manejar de manera sstemátca con flexbldad la nformacón del problema de valores de frontera con saltos prescrtos En partcular se antcparon algunas varantes de cómo proceder en el caso de un problema elíptco donde la nformacón buscada se puede concentrar en las fronteras nterores s se elgen funcones de peso apropadas que sumnstren nformacón exclusvamente en de manera que S contene la nformacón buscada R es la nformacón restante que debemos elmnar Es mu mportante destacar que en dependenca de la forma en que se ela la descomposcón K S + R se dará lugar a dferentes procedmentos de Trefftz-Herrera, lo cual es uno de los aspectos más valosos de este enfoque abre un mundo de posbldades a la hora de desarrollar tanto un procedmento numérco de dscretzacón como de descomposcón de domno A contnuacón veremos en térmnos generales dos ejemplos de procedmentos de Trefftz-Herrera partendo de la descomposcón de K Procedmento TH-: S S* K * R* ; () entonces resulta un procedmento con subdomnos ajenos: < K * u, w >=< f g j, w > ; w E (),7,3 donde E N N C es un sstema de funcones TH-completo Q { H L } { Hˆ ( ):, }; N = w ˆ ( Ω ): * w =, en Ω ; Q N = w Ω w = en Ω C ()

5 M DÍAZ, I HERRERA R YATES / Colocacón TH a Problemas Elíptcos en D 5 Procedmento TH-: S * * * *; (3) S K R K entonces resulta un procedmento con subdomnos uxtapuestos: < K * u, w >=< f g j, w > ; w E () donde E N N N ; N N, están defndos como en TH- Q C Q C K K { H ˆ ( ):[ ], }; (5) N = w Ω w = en Aquí ˆ H ( Ω) H ( Ω ) H ( Ω ) H ( Ω ), es el E H ( Ω ), =, E espaco de Sobolev correspondente Una smple nspeccón de los procedmentos arrba enuncados nos permte ver que en el prmero, TH- se obtendrá nformacón que nvolucra tanto al promedo de la solucón u & como al de su dervada en las fronteras nterores, mentras que en el segundo TH- se obtene nformacón exclusvamente sobre u& en Esto nos lleva a dos conclusones: ) que el segundo procedmento resulta computaconalmente más efcente puesto que nvolucra menos nformacón por consguente las matrces del sstema son más pequeñas ) que en el prmero obtenemos nformacón redundante a que resulta sufcente con obtener el promedo de u& en, para obtener problemas ben planteados en cada una de las subregones de la partcón Ω, =,, E Nótese que s conocemos el promedo de u& el salto [ u], entonces podemos conocer los valores de la solucón a cada lado de, es decr: u = u& + [ u] u = u & [ u] + Por las ventajas que ofrece, en lo sucesvo nos concentraremos en el desarrollo del segundo procedmento TH-, al cual nombraremos smplemente TH Susttuendo los funconales f, g j, en la Ec () que de acuerdo al problema toman la forma sguente Resulta que Ω ( ) Ω ; f, w = wf dx; g, w = u a w+ bw ndx Ω 678 [ ]( n a w bn w ) jw, = u + dx+ w & na u dx; (6) (7)

6 6 MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA Y CIENCIAS APLICADAS n Ω Ω Ω 678 [ ]( n ) ( n ) u& n a w+ b w dx= wf dx u n a w+ b w dx (8) + u n a w+ b w dx w& n a u dx; w E En partcular, cuando los coefcentes son funcones contnuas, el operador K *( uw, ) toma la forma n a [ w] u& a que [ w ] =, es decr es contnua en por pertenecer a K N, mentras que el operador de frontera B ( uw, ) ) transforma en( n a w a que w se anula en la frontera exteror Ω por u pertenecer a N C Entonces, la Ec(8) toma la forma: n a [ w] udx & = wf dx u n a wdx Ω Ω Ω (9) j ( n a w+ bn w) dx wj dx; w E que es la expresón partcular del procedmento TH cuando los coefcentes son contnuos Hasta aquí hemos ofrecdo los detalles generales que caracterzan al procedmento de colocacón Trefftz-Herrera en n dmensones Aún nos restaría por desarrollar la construccón de sstemas de funcones de peso que sean TH-completos 3, para lo cual, en la presente artículo, se usaran polnomos hasta certo grado G mostraremos su mplementacón en partcular para los casos lneal cúbco se ESTRATEGIA PARA LA CONSTRUCCIÓN DE UN SISTEMA DE FUNCIONES DE PESO TH- COMPLETO USANDO POLINOMIOS Consderaremos una partcón rectangular del domno analzaremos el caso con subregones uxtapuestas Para esto asocaremos tomaremos una subregón λ Ω formada por cuatro elementos Ω, λ =,,, de la descomposcón de domno asocados con su nodo central Ω ( x, ) j como se muestra en la Fg La frontera de la subregón es, mentras que la parte de la frontera nteror Ω que une a los cuatro elementos de Ω la desgnaremos por (Fg) está consttuda por cuatro segmentos numerados en forma de cruz Entonces, en cada subregón Ω se construe un sstema de funcones que sean contnuas, se anulen en Ω satsfagan la ecuacón adjunta homogénea L *w =, Ecs(5) De esta manera, usando la numeracón arrba ntroducda

7 M DÍAZ, I HERRERA R YATES / Colocacón TH a Problemas Elíptcos en D 7 en, se pueden construr cnco grupos de funcones de peso asocadas con cada nodo ( x, ) j Grupo - Este grupo está formado por una sola funcón la cual es lneal en cada una de las cuatro fronteras nterores de la Fg, toma el valor w ( x, ) = x, j, en el nodo ( ) Ω 3 3 Ω j ( x, ) Ω Ω (, j) Fgura : Subregón Ω asocada con el nodo j x Ω Grupo - La restrccón al ntervalo "", de la Fg, es, cuanto más, un polnomo de grado "G", el cual se anula en los extremos del ntervalo "" Grupo - La restrccón al ntervalo "", de la Fg, es, cuanto más, un polnomo de grado "G", el cual se anula en los extremos del ntervalo "" Grupo 3- La restrccón al ntervalo "3", de la Fg, es, cuanto más, un polnomo de grado "G", el cual se anula en los extremos del ntervalo "3" Grupo - La restrccón al ntervalo "", de la Fg, es, cuanto más, un polnomo de grado "G", el cual se anula en los extremos del ntervalo "" 3 w w w w w Fgura : Soportes de las funcones de peso (sombreados) Se debe destacar que la construccón de las funcones de peso hecha de la manera expuesta no conduce drectamente a un sstema de funcones lnealmente ndependente Esto se debe al hecho de que cada par de nodos vecnos comparten un msmo ntervalo debdo a que nuestra partcón del domno es uxtapuesta Por ejemplo el ntervalo es consderado "" por el nodo de la zquerda, mentras que es "3" según el nodo de la derecha por lo tanto las funcones asocadas con estos ntervalos se cuentan doble

8 8 MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA Y CIENCIAS APLICADAS 5 CONSTRUCCIÓN DE LAS FUNCIONES DE PESO USANDO COLOCACIÓN 5 Funcones de Peso Lneales Para el caso de funcones de peso lneales en tenemos una sola funcón de peso del grupo defnda en la subregón Ω asocada a cada nodo nteror ( x, j), para =,, E, j =,, E, cua expresón es: x α α λ () w ( x, ) = B ( x, ) + C N ( x, ); ( x, ) Ω ; λ =,, donde las funcones α =, que se destaca con líneas gruesas en la Fg, mentras que las funcones α N ( x, ); α =,,, se anulan en todo U Ω B ( x, ) son polnomos lneales en las fronteras nternas La construccón de las funcones de peso se realza de manera ndependente 3 Ω, Ω, Ω, Ω asocados en cada uno de los cuatro elementos rectangulares { } a cada nodo nteror ( x, j), los cuales consttuen su soporte Para λ=, en ( x, ) [ x, x ] [, + j j ] 3 { B, N, N, N, N } están defndas como: B ( x, ) ( ( x x ) h )( ( ) h ); Ω = + las funcones = () x j N x = H x H N x = H x H j + j (, ) ( ) ( ); (, ) ( ) ( ); 3 N x = H x H N x = H x H j + + j + (, ) ( ) ( ); (, ) ( ) ( ); λ de manera análoga se defnen en Ω para λ =, 3 Aquí ( x, x + () H ( x) es el polnomo cúbco de Hermte con soporte en el ntervalo ), el cuál toma el valor uno en el nodo x cero en los nodos x x + ; mentras que su prmera dervada es cero en todos los nodos x x + De manera smlar,, x H ( x) - es el polnomo cúbco de Hermte con soporte en el ntervalo ( x, x ), el cuál toma el valor cero en todos los nodos + x, x x + ; mentras que su prmera dervada toma el valor uno en el nodo x cero en los nodos x x +

9 M DÍAZ, I HERRERA R YATES / Colocacón TH a Problemas Elíptcos en D 9 Un modo efcente de construr las funcones de peso es aplcando el método de colocacón En este caso la colocacón se aplca para satsfacer la prmera condcón de (), es decr que las funcones de peso deben ser solucones del operador adjunto homogéneo Entonces resulta el sstema de colocacón: p p L* w x, = ; p =,, (3) ( ) Susttuendo la expresón de las funcones de peso evaluando en los puntos de colocacón se obtene: C L* N x L* B x p α = w α α p p p p (, ) = (, ); =,, Ec() en la Ec (3) α donde C ; α =,, son los coefcentes de las funcones de peso w () El sstema de ecuacones que resulta es de dmensón se resuelve para cada nodo nteror =,, E ; j =,, E para cada elemento x λ rectangular Ω, λ =,, Aquí E E es el número de elementos por x respectvamente 5 Funcones de Peso Cúbcas x Consderando las msmas condcones que para el caso lneal, cuando las funcones son polnomos cúbcos en, tenemos tres funcones de peso w ( x, );,, asocadas con cada nodo nteror = (, ) x en la subregón Ω Donde = corresponde al grupo, = a la unón de las funcones de los grupos 3; = a la unón de las funcones de los grupos Las funcones B que las funcones todo U Ω ( x, ) satsfacen condcones cúbcas de frontera en α N ( x, ) Entonces, las funcones j, mentras son las msmas del caso lneal se anulan en w ( x, ); =,, se defnen como: α α λ (5) w ( x, ) = B ( x, ) + C N ( x, ); ( x, ) Ω ; =,,; λ =,, α = donde B ( x, ) = H ( x) H ( ), B x = H ( x) H ( ) j ( ) B x H x H ( ) (, ) = λ = j (, ) j ;,, (6) De modo análogo al caso lneal, las funcones de peso cúbcas w ( x, ); =,, se construen aplcando el método de colocacón

10 MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA Y CIENCIAS APLICADAS 6 IMPLEMENTACIÓN NUMÉRICA DEL MÉTODO DE COLOCACIÓN TREFFTZ-HERRERA Una vez construdas las funcones de peso, nos restaría expresar de forma apropada el promedo de la solucón aproxmada ˆ &u( x, ), de manera que al sustturla en la formulacón varaconal Ec(8) nos permtría obtener el sstema de ecuacones algebracas correspondente Una manera de hacerlo es como se procede usualmente en elementos fntos, usando una combnacón lneal de funcones bases Para escoger las funcones bases tenemos una ampla lbertad de eleccón puesto que sólo necestamos que sean funcones defndas en Una eleccón lógca, que aplcaremos en nuestra aproxmacón, es usar ν w x, en como funcones bases a las restrccones de las funcones de peso ( ) ν, es decr B x,, ( ) ν =,, La expresón de û& ( x, ) se completa agregando los térmnos que satsfagan las condcones de frontera de salto prescrtas Entonces, la aproxmacón de la solucón buscada puede escrbrse como: NF uˆ & ν ν σ ( x, ) = U B ( x, ) + u B ( x, ) + [ u ] B ( x, ) ; (7) kl kl rs rs kl kl ( kl, ) η ν= ( rs, ) η ( kl, ) η donde η - es el conjunto de los nodos que tenen funcones de peso (base) asocadas, η - es el conjunto de todos los nodos que están en la frontera externa Ω, exceptuando las esqunas, η - es el conjunto de todos los nodos nterores que están en la frontera nterna asocados al salto prescrto, σ es un sgno que toma el valor según sea el lado postvo o negatvo de con respecto a la normal n, u = u ( x, s ) NF es el número de funcones de rs r peso asocadas con cada nodo (para el caso de las funcones de peso lneales NF =, mentras que para las cúbcas NF = 3 ) u x las Al susttur la expresón (7) para la solucón aproxmada ˆ (, ) funcones de peso w ( x, ecuacones lneales: ) en la Ec (8) se obtene el sguente sstema de ν ν M U = F ; (8) kl kl donde se aplca la convencón para la suma, es decr que los índces repetdos están sumados sobre sus rangos, M ν = B n a w dx; kl ν kl (9)

11 M DÍAZ, I HERRERA R YATES / Colocacón TH a Problemas Elíptcos en D F = w f dx u n a w dx+ u B n a w dx Ω rs rs Ω Ω ( rs, ) η 678 ( n ) σ [ ] kl kl ( kl, ) η + j n a w + b w dx w j dx+ u B n a w dx; (3) ( kl, ) (, j) η,, ν =,, NF En general el sstema resultante es de nueve dagonales en bloques de NF NF Por lo que en el caso de funcones de peso lneales la matrz del sstema Ec (9) es smplemente de nueve dagonales, mentras que cuando se usan las cúbcas se obtene una matrz de nueve dagonales en bloques de EJEMPLOS NUMÉRICOS EN DOS DIMENSIONES Los expermentos numércos en dos dmensones conssteron en resolver el PVFSP de las Ecs (), () (3) donde las condcones de frontera de tpo Drchlet son mpuestas por la solucón analítca las condcones de salto son gual a cero cuando no se especfcan El domno en todos los casos fue el cuadrado untaro [,] [,] Ejemplo a b c f Ω a a a = + x = + = a = b =, b = x ( x ) + ( x + ) e x a = a = b = b = a = a = 3 a a = a = ; ; < = a = b = b = x ( x ) e ; x ( x ) e ; < Tabla : Defncones de los coefcentes de los ejemplos numércos Los coefcentes de la ecuacón de cada uno de los ejemplos están dados en la Tabla las solucones analítcas correspondentes son, para el ejemplo : e, x x x en el ejemplo : e + e ; para <, e + e ; para =, e + e +, x

12 MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA Y CIENCIAS APLICADAS para > con saltos prescrtos j ( x, 5) = en x [,] x / e, con saltos prescrtos j ( x,5) = 3xe x en x [,] Ejemplo : Colocacón TH (lneales) Colocacón TH (cúbcas) ( ) O( h ) ; en el ejemplo 3: Todos los ejemplos se resolveron para una partcón unforme ( h h = h x ) del domno rectangular, usando el método de colocacón TH con polnomos lneales cúbcos Donde el número de elementos se tomó gual en ambas dreccones ( E = E = E ) se ncrementó sucesvamente desde hasta, x con ncremento, para el caso de polnomos lneales, mentras que se tomó de 5 hasta 5, con ncremento 5, para el caso con polnomos cúbcos En los gráfcos de las fguras 3, 5, se muestra la comparacón de la convergenca h del método de colocacón TH en térmnos del error meddo con la norma que resultó en todos los casos O h cuando se usan como funcones de peso polnomos lneales respectvamente cuando son cúbcos, 8 pendente=39 -Log ERROR 6 pendente= Fgura 3 : Convergenca del método de colocacón TH usando funcones de peso lneales cúbcas para un operador elíptco no smétrco(ejemplo ) - Log h Ejemplo : Colocacón TH (lneales) Colocacón TH (cúbcas) 8 pendente=398 - Log ERROR 6 pendente= Log h Fgura : Convergenca del método de colocacón TH usando funcones de peso lneales

13 M DÍAZ, I HERRERA R YATES / Colocacón TH a Problemas Elíptcos en D 3 cúbcas en presenca de saltos prescrtos (Ejemplo ) Ejemplo 3: Colocacón TH (lneales) Colocacón TH (cúbcas) 8 pendente=39 - Log ERROR 6 pendente= Log h Fgura 5: Convergenca del método de colocacón TH usando funcones de peso lneales cúbcas en presenca de coefcentes dscontnuos (Ejemplo 3) 8 REFERENCIAS [] B Baleck G Farweather, Orthogonal Splne Collocaton Methods for Partal Dfferental Equatons, Journal of Computatonal and Appled Mathematcs, 8, 55 8 () [] I Herrera, Trefftz Method: A General Theor, Numercal Methods for Partal Dfferental Equatons, 6 (6), () [3] I Herrera, Una Teoría de Métodos de Descomposcón de Domno, (presente volumen) [] Internatonal Scentfc Commttee for Doman Decomposton, Proceedngs of 3 conferences on Doman Decomposton Methods, wwwddmorg, (988-) [5] A Quarteron A Vall, Doman Decomposton Methods for Partal Dfferental Equatons, Numercal Mathematcs and Scentfc Computaton, (999) [6] I Herrera M Díaz, Indrect Methods of Collocaton: Trefftz-Herrera Collocaton, Numercal Methods for Partal Dfferental Equatons, 5(6), (999) [7] I Herrera, R Yates M Díaz, General Theor of Doman Decomposton: Indrect Methods, Numercal Methods for Partal Dfferental Equatons, (en prensa) () [8] I Herrera, Unfed approach to numercal methods Part Green s formulas for operators n dscontnuous felds, Numercal Methods for Partal Dfferental Equatons, (3), -37 (985) [9] I Herrera, RE Ewng, M A Cela TF Russell, Euleran-Lagrangan

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