Griel Villloos 12/09/2016 Vetores y Trigonometrí 1) Vetores Mgnitudes eslres y mgnitudes vetoriles Reordemos que un mgnitud es ulquier propiedd de un sistem mteril que se puede medir. Ls mgnitudes ls podemos lsifir en mgnitudes eslres y mgnitudes vetoriles. Ls eslres son ls quedn perfetmente determinds medinte un número on su unidd. Por ejemplo, l ms de un ojeto (2 Kg), o el tiempo que dur l íd de un uerpo (3 s), o l tempertur l que se enuentr un líquido (12 ºC), et. Ls mgnitudes vetoriles son quells que prte de espeifir su vlor (on su unidd), hy que deir hi dónde. Suelen representrse gráfimente medinte un segmento orientdo (un fleh), que punt hi l direión y sentido pertinente y uyo tmño (módulo) nos indi el vlor. A est fleh, le llmmos vetor. Por ejemplo, l fuerz es un mgnitud vetoril. Imginemos que tengo td un uerd un piedr grnde, y que intento rrstrrl. Aplio un fuerz de 1000 N prlelmente l suelo tirndo de l uerd. Si viene un migo, y t otr uerd, y pli un fuerz de 800 N. Cuál es l fuerz net que estmos ejeriendo sore l piedr? Depende hi dónde tire mi migo. Si tir en l mism direión y sentido que yo, l fuerz será de 1800 N hi donde estmos tirndo, pero si tir en l mism direión pero sentido ontrrio, l fuerz net será de 200 N hi donde yo estoy tirndo. Y si tir perpendiulrmente? Serín 1281 N proximdmente, y formndo un ángulo de unos 39º on l direión en l que yo tiro. Y si tir formndo un ángulo de 30º on l direión en l que yo plio mi fuerz? 1
Griel Villloos 12/09/2016 L veloidd es otr mgnitud vetoril. Imginemos que vmos hi el norte en un vionet 200 km/h (on respeto l ire, que es on respeto lo que se sostiene), y que hy viento hi el este 50 km/h on respeto l suelo. A qué veloidd nos estmos moviendo on respeto l suelo? Y si el viento sopl en otr direión? Pr que un vetor quede perfetmente determindo, es neesrio portr tres dtos. Hy que espeifir el módulo (on su unidd), que gráfimente represent el tmño del vetor; l direión, que qued determind por un ret, en l que se enuentr el vetor; y un sentido. Dentro de un ret hy dos sentidos. A tods ls mgnitudes vetoriles, hy que diujrle un flehit enim de l letr que represent dih mgnitud (Figur 1). Así, el vetor de l figur 1 lo hemos representdo por. Al módulo de este vetor se puede representr de ulquier de ests tres mner: = =. Sum vetoril Figur 1 Ls mgnitudes vetoriles tienen su propio álger, distinto l de ls mgnitudes eslres. Como hemos visto en los ejemplos nteriores, el resultdo depende de hi dónde punten ls dos mgnitudes vetoriles que vmos sumr. Y qué hy que her pr sumr dos vetores? Lo vmos ver gráfimente sumndo el vetor l vetor (Figur 2). Se diuj el vetor, y empezndo desde el extremo de, se diuj el vetor. El vetor sum es quel que empiez en el origen de y termin en el extremo de (Figur 3). Figur 2 2
Griel Villloos 12/09/2016 + Figur 3 Hy otr mner de herlo. Se unen los dos vetores por sus orígenes, y se form un romoide on estos dos ldos, y dos más prlelos. El vetor sum, es el vetor que se puede diujr en el interior del romoide que v desde el origen de los dos vetores hst el vértie opuesto (Figur 4). Este método no se puede plir undo los dos vetores tienen l mism direión. + Figur 4 Es fáilmente demostrle, l sum de vetores es un operión onmuttiv. Es deir: + = + Si queremos sumr vrios vetores gráfimente, podemos herlo sumndolos dos dos hst sumrlos todos, o podemos herlo de un vez medinte el primer método (Figur 5). En l figur 5 se ve ómo se hn sumdo los vetores,, y d. d d Figur 5 Ejemplo Imgínte que vs ruzndo un río en un rquit, remndo 5 m/s (on respeto l gu) perpendiulrmente l orill, y mientrs, eres rrstrdo por l orriente de gu un veloidd de 2 m/s. A qué veloidd net te estrás moviendo? Como y ses, no podemos sumr ests veloiddes omo números; l veloidd no es 7 m/s. Son vetores lo que hy que sumr, y hy que sumrlos omo tles. 3
Griel Villloos 12/09/2016 v T = v 1 + v 2 v 1 v 1 v 2 Aplindo el Teorem de Pitágors uno de los triángulos retángulos que tenemos (Figur 6), podemos lulr el módulo de l veloidd totl o net. v= (v 1 2 +v 2 2 )= (5 2 +2 2 )=5,4m/s Otr posiilidd es medir el módulo del vetor sum si tenemos l preuión de diujrlo todo esl. Además, on un trnsportdor de ángulos, podemos medir el ángulo de desviión que tiene l veloidd totl on respeto l direión l que remmos. O siendo un poo de trigonometrí, on l funión tngente (tg), podemos lulr ese ángulo, siendo de unos 22º on respeto v 2. Produto de un eslr por un vetor Figur 6 De l definiión de sum de vetores que hemos visto, se pueden deduir otrs operiones. Por ejemplo, ómo se multiplirá un número por un vetor? Por ejemplo, uánto es 2? El resultdo será un vetor on l mism direión y sentido que, pero on módulo el dole, y que 2 es lo mismo que + (Figur 7). v 2 2 Así, deduimos, que l multiplir un número ulquier positivo por un vetor, otenemos otro vetor de igul direión y sentido, pero que su módulo se h esldo según el número por el que hymos multiplido. Se define el vetor opuesto, que por hor esriiremos por op ( ), omo quel vetor que l sumárselo nos d ero. Como vemos gráfimente (Figur 8), op ( ) tiene que ser un vetor on l mism direión y sentido que, pero on sentido opuesto. Si esriimos l euión vetoril: Podemos despejr el vetor opuesto y enontrr: Figur 7 +op( )=0 op ( )= Es deir, el vetor op ( ) es el vetor multiplido por -1: op ( )= 1 4
Griel Villloos 12/09/2016 op( ) 0 op( ) Figur 8 En onseueni, si multiplimos un vetor por un número negtivo, otendremos un vetor en l mism direión pero on sentido opuesto, y uyo módulo quedrá esldo según el vlor soluto del número por el que hemos multiplido (Figur 9). 3 Figur 9 Con todo lo visto, ómo se lulrí gráfimente 3? (Figur 10). Pree un difereni entre dos vetores. Pero hy que tener muy lro, que restr es sumr el opuesto. Además en el primer vetor pree un división entre un eslr. Pero tmpoo hy que olvidr que dividir entre 3 es lo mismo que multiplir por 1/3. 1 3 Componentes de un vetor 1 3 Figur 10 Podemos utilizr un sistem de ejes pr representr los vetores. Desde luego, l situión más fáil es undo los ejes son perpendiulres entre sí (Figur 11). Y P r O Figur 11 X 5
Griel Villloos 12/09/2016 Hemos representdo el vetor r olondo su origen el el punto O, que es el origen del sistem de oordends, y su extremos en P. Si onsidermos los vetores y, omo vemos en l figur 12, se umple que: r= + A los vetores y se les llm omponentes del vetor r respeto l sistem de refereni que hemos tomdo. Si el sistem de ejes huier sido otro, ls omponentes serín distints. Y P r O Figur 12 X Coordends del vetor Se definen los vetores î y ĵ omo dos vetores de módulo uno que puntn en ls direiones y sentidos de los ejes X e Y respetivmente (Figur 13). Así, podemos representr ls omponentes del vetor de posiión omo = î y = ĵ. A y se les llm oordends del vetor r on respeto l sistem de ejes tomdo. A los vetores i y j se les denomin versores. Y j P j r O i Figur 13 i X Podemos esriir: r= + = î+ ĵ=(, ) Utilizndo ls oordends de los vetores, se puede operr nlítimente más fáilmente. Puede omprorse que l sum de vetores, se limit sumr ls oordends. Por ejemplo: se r=(,) y p=(,d ). Entones r+ p=(+,+ d ). El produto de un eslr por un vetor, tmién es más fáil. Si r =(, ), y queremos 6
multiplirlo por e, nos drá e r=(e,e ). Griel Villloos 12/09/2016 Un operión que no hemos visto es l difereni de dos vetores. Restr dos vetores es sumr el opuesto. Así, pr her l difereni, lo que hemos es sumr. Es deir: = +( ) (Figur 14 y Figur 15). Figur 14 Figur 15 O si queremos, podemos prendernos l regl de diujr un vetor que sle del extremos del sustrendo y lleg l extremo del minuendo (Figur 16). Figur 16 Si trjmos on oordends, simplemente restmos ls oordends. Por ejemplo: se r=(, ) y p=(, d ). Entones r p=(, d ). 2) Funiones trigonométris Triángulos retángulos Como semos, un triángulo retángulo, es un triángulo on un ángulo reto, tl y omo el de l figur 17. A los ldos y se les llm tetos, y l hipotenus. Figur 17 7
Griel Villloos 12/09/2016 L sum de los dos ángulos gudos nos d 90º. Si nos fijmos en uno de los ángulos gudos, y lo llmmos θ, y podemos distinguir los dos tetos (Figur 18). θ Figur 18 Ahor es el teto opuesto, y el teto ontiguo. Propieddes de los triángulos retángulos Imginemos dos triángulos retángulos ulesquier que sen semejntes. Como los de l figur 19. θ ' ' ' θ Figur 19 Puesto que son semejntes, se umple que, ' = ' = ' De est expresión, podemos deduir ests otrs dos: Funión seno = ' ' = ' ' Así, l euión (1) signifi que si tenemos dos triángulo retángulos on un mismo ángulo θ, si dividimos el teto opuesto entre l hipotenus, nos d el mismo vlor. Y esto es ierto pr ulquier triángulo retángulo on un ángulo otuso igul θ. Evidentemente, es división drá resultdos distintos si mimos el vlor del ángulo θ. Por tnto, podemos onstruir un funión, que d vlor de θ le signe el resultdo de her el oiente entre el teto opuesto y l hipotenus ( / ). (1) (2) 8
A est funión, se le llm seno, y se represent por senθ, o en inglés por sin θ. Griel Villloos 12/09/2016 Por onsiguiente, sin θ=. Est funión, viene en ls luldors ientífis, en ls que introduiendo un ángulo, nos d el resultdo de diho oiente. Fíjte que est funión no puede vler más de uno, puesto que un teto siempre es menor que l hipotenus. Tl y omo hemos definido l funión seno, vemos que podemos poner ángulos desde si ero hst si 90º. Pr que l funión seno se ontinu, definimos los sos espeiles sin 0=0 y sin 90º=1. Así l funión seno, es un funión reiente que v desde ero, undo θ=0, hst uno undo θ=90º. Funión oseno Totlmente nálogo, se puede rzonr on l euión (2). Y otenemos un nuev funión llmd oseno, os, definid de l siguiente mner, osθ= Es deir, en est osión, dividimos el teto ontiguo entre l hipotenus. Este resultdo tmién es siempre menor que uno, y pr her ontinu est funión, definimos os0=1 y os90º=0. L funión oseno es un funión dereiente, que tom el vlor uno undo θ=0, y ero undo θ=90º. Cundo se estudie ests funiones más mplimente en l signtur de mtemátis, el lumno omprorá que ls funiones seno y oseno se pueden definir pr ulquier ángulo, y que ls funiones tomrán vlores desde -1 ht 1. Nosotros nos onformremos on ángulos desde 0 hst 90º, done ls funiones tomn vlores desde 0 hst 1. Funión tngente Se define l funión tngente, tg en espñol, y tn en inglés, omo el oiente entre el seno y el oseno. Es deir, tn θ= sin θ osθ Como vemos, l tngente, tmién se puede lulr dividiendo el teto opuesto entre el teto ontiguo. tn θ= sin θ osθ = = Est funión tom vlores desde ero hst infinito si el dominio son ángulos desde ero hst 90º. Cundo el dominio son los 360º, l funión tom vlores desde menos infinito hst más infinito. Es un funión estritmente reiente. 9
Funiones inverss Griel Villloos 12/09/2016 Puesto que ests funiones son estritmente monótons, tienen d un un funión invers. A l invers del seno, se le llm roseno ( rsen o rsin ). Si est funión le introdues un vlor de lgún seno, te devuelve el ángulo orrespondiente ese vlor de seno. Análogmente, se definen ls funiones rooseno ( ros ), y rotngente ( rtg o rtn ). Ejemplo Podemos utilizr ulquier de ests tres funiones inverss pr determinr un ángulo de un triángulo retángulo. Consideremos un triángulo retángulo uyos tetos miden 3 y 4. ϕ θ Figur 20 Es deir, =3 y =4. L hipotenus l lulmos fáilmente medinte el Teorem de Pitágors. = 2 + 2 = 3 2 + 4 2 =5 Vmos determinr el ángulo θ. Pr ello podemos utilizr ulquier de ls funiones invers. Por ejemplo, vmos utilizr l funión roseno. sin θ= rsin (sin θ)=rsin θ=rsin =rsin 3 5 36,9º El ángulo φ es el omplementrio, θ+ φ =90º φ=90º θ=90º 36,9º =53,1º. Lógimente, podrímos her verigudo el ángulo φ utilizndo ls funiones trigonométris relionds en este ángulo, teniendo en uent que on respeto φ, es el teto opuesto, y el ontiguo. 10