Uversdad de Medoza Ig. Jesús Rubé Azor Motoya FUNCIONES ALEATORIAS Ua varable aleatora se defe como ua fucó que represeta gráfcamete el resultado de u expermeto a los úmeros reales, esto es, X(), dode es u elemeto del espaco muestral. S la varable aleatora es a su vez fucó de otra magtud (por ejemplo, el tempo) etoces se llama PROCESO ESTOCASTICO. Más formalmete, u proceso estocástco es ua fucó de dos varables t y. X(t,) t T y Dode T es u cojuto de parámetros ídce (cotuos o dscretos) y es el espaco muestral. Hay cuatro posbldades para X(.,. ): 1) Para cualquer t, X(t,) es ua fucó aleatora. 2) Para t varado y fja, X(t, ) es ua fucó del tempo o realzacó. 3) Para varado y t fja, t t X(t,) es ua fucó varable aleatora. 4) Para t y fjas, y t t X(t,) es u úmero. E la práctca hay magtudes aleatoras que varía sus valores e el proceso del expermeto. La magtud aleatora que camba su valor e el proceso de ua prueba represeta ua fucó aleatora. Se puede dar la sguete defcó geeral: Se llama fucó aleatora a aquella cuyo valor, para cada valor del argumeto (o de los argumetos) es ua varable aleatora. Cada fucó cocreta que puede se regstrada durate ua sola observacó de la fucó aleatora se llama realzacó de la msma. S se repte las pruebas se obtee dferetes realzacoes de la fucó aleatora. NOMENCLATURA Las fucoes aleatoras se dcará co letras latas mayúsculas (geeralmete últmas letras del alfabeto). Las realzacoes, co las músculas correspodetes. Co t se desgará el argumeto de la fucó aleatora. Es posble represetar gráfcamete u cojuto de realzacoes, pero o ua fucó aleatora. Los argumetos de las fucoes aleatoras puede varar terrumpdamete e certa zoa o de u modo dscreto. Los valores de la fucó aleatora de u argumeto dscreto tee ua secueca de magtudes aleatoras llamadas secueca aleatora. La fucó aleatora se puede cosderar como el cojuto de magtudes aleatoras X t que represeta los valores de la msma para dferetes valores de t: X t X( t ) ( < t < ) Cátedra Estadístca II 1
Uversdad de Medoza Ig. Jesús Rubé Azor Motoya Esto quere decr que la fucó aleatora es equvalete a u cojuto fto de varables aleatoras. De acuerdo a la defcó el valor de ua fucó aleatora escalar, para cualquer valor fjado del argumeto t, es ua magtud aleatora correte. Se sabe que cualquer magtud aleatora se caracterza por completo por su ley de dstrbucó. Por lo tato, la característca completa del valor de la fucó de la fucó aleatora X(t), para cualquer valor fjado de t, es la desdad de probabldad de este valor, que se desga por f1(x;t). Aquí, el prmer argumeto x desga el valor posble de la fucó aleatora X(t) para u valor fjo de t. El segudo argumeto t srve de parámetro, del cual depede la desdad de probabldad f1(x;t). La desdad udmesoal de probabldad f1(x;t). o es sufcete, e el caso geeral, para ua característca completa de la fucó aleatora. Dcha desdad puede caracterzar solamete a cualquer ordeada, tomada por aslada, de ua fucó aleatora. E la práctca, cuado se puede desear hallar dervadas o tegrales de fucoes aleatoras, es ecesaro examar valores próxmos de la fucó (dervada) o muchos valores para u úmero grade de valores de t (tegral). Durate la dervacó es ecesaro examar las ordeadas de ua fucó aleatora o por aslado, so cojutamete. De acuerdo co lo expuesto se fja dos valores del argumeto t: t1 y t2. Los valores X(t1) y X(t2) de la fucó aleatora correspodetes a los valores mecoados del argumeto, puede caracterzarse por la desdad cojuta de probabldad f2(x1,x2;t1,t2) que se llama desdad bdmesoal de probabldad de la fucó aleatora X(t). E los problemas práctcos se ecuetra co mayor frecueca fucoes aleatoras del tempo, s embargo, se tee també que operar també co fucoes aleatoras de otros argumetos. De acuerdo a los coceptos de desdad bvarada, la desdad uvarada queda defda por la bvarada: f1( x1, t1) f2( x1, x2, t1, t2 ) dx2 La desdad bdmesoal de probabldad de ua fucó aleatora represeta ua característca más completa de la msma que la udmesoal, puesto que por la desdad bdmesoal se puede determar la udmesoal. Pero tampoco la bdmesoal es completa. Se puede segur razoado del msmo modo hasta dmesoes. De modo que cada desdad de dstrbucó posteror es ua característca más completa de la fucó aleatora que todas las desdades aterores. Para el caso de la fucó aleatora ormalmete dstrbuda toda la secueca fta de desdades de probabldad se determa por completo s se cooce la desdad bdmesoal de probabldad. Cátedra Estadístca II 2
Uversdad de Medoza Ig. Jesús Rubé Azor Motoya La característca de probabldad completa de de ua magtud aleatora resulta ser muy compleja. E la práctca se smplfca el trabajo, sedo ecesaro coocer los mometos de prmero y segudo orde. ESPERANZA MATEMATICA DE UNA FUNCION ALEATORIA Fíjese el valor de t y examíese el valor de la fucó aleatora (para este valor del argumeto) como ua magtud aleatora correte. Para esta magtud aleatora se puede determar la esperaza matemátca, que hablado e geeral, depederá del valor elegdo de t. Dado a t todos los valores posbles, se obtedrá certa fucó m x (t) a la cual es atural llamarla Esperaza matemátca de la fucó aleatora X(t). m x (t) = M [ X(t) ] La esperaza matemátca de la fucó aleatora se puede expresar por su desdad udmesoal de probabldad: m x ( t) x. f1( x, t) dx Segú la defcó, la esperaza matemátca represeta el valor medo (pesado e cuato a probabldad) de la magtud aleatora. Por lo tato, para cada valor dado de t, la ordeada de la curva m x (t) represeta el valor medo de la fucó aleatora X(t) para este valor de t. Así, pues, la esperaza matemátca de la fucó aleatora o es más que ua curva meda alrededor de la cual se dspoe las realzacoes posbles de la fucó aleatora. Ejemplo: Se dspoe de ua fucó aleatora dada por la sguete expresó: X., U s t.. 180 U S U es u vector de elemetos aleatoros tal como el que surge de rd(1) valores equprobables etre 0 y 1. 0.. 9 ídce que dcará realzacó U rd( 1) Vector de elemetos aleatoros La fucó aleatora será u cojuto de susodes co ampltud y frecueca aleatoras. 0.. 90 ídce que dca valores detro de ua realzacó t. 4 vector de valores de tempo para evaluar X., U s. t. 180 U U La expresó ateror correspode a ua matrz cuyas flas so realzacoes de la fucó aleatora. Cátedra Estadístca II 3
Uversdad de Medoza Ig. Jesús Rubé Azor Motoya Calculado las medas de las realzacoes e cada uo de los putos de defcó, se ecuetra la meda de la fucó aleatora. El vector M cotee las medas e cada puto cosderado de la fucó aleatora M mea X < > DISPERSION DE UNA FUNCION ALEATORIA Es evdete que al cosderar solamete la esperaza matemátca de la fucó aleatora, se despreca todas las desvacoes aleatoras posbles, reducedo a la meda todo el haz de realzacoes posbles de la fucó aleatora. Importa també las desvacoes aleatoras respecto de estos valores medos. Coforme a esto, para caracterzar la fluctuacó de las realzacoes de ua fucó e toro a su esperaza matemátca, se puede aprovechar la dspersó de dcha fucó, la cual por defcó, va expresada por la desdad udmesoal de probabldad de la fucó aleatora por la fórmula: D x (t) = M { [ X(t) - m x (t) ] 2 }} = M { [ X 0 (t) ] 2 }} D x ( t) x m x ( t) 2. f1( x, t ) dx Cátedra Estadístca II 4
Uversdad de Medoza Ig. Jesús Rubé Azor Motoya E problemas práctcos a veces es coveete examar la desvacó stadard de la fucó aleatora. ( t) D x ( t) La esperaza matemátca y la dspersó (varaza) de la magtud aleatora so característcas umércas de sus valores para cada valor dado del argumeto t. Ellas e certo modo determa la bada que se llea, por las realzacoes posbles de la fucó aleatora. Ejemplo: Cotuado co la fucó ateror, se puede hallar la desvacó stadard puto por puto: S stdev X < > el vector S cotee las desvacoes stadard e cada puto cosderado de la fucó aleatora FUNCION DE CORRELACION DE UNA FUNCION ALEATORIA A pesar de lo expresado aterormete, la esperaza matemátca y la dspersó o determa la coducta de las realzacoes posbles de la fucó aleatora detro de la bada dcada. E las sguetes fguras se represeta las realzacoes de dos fucoes aleatoras co guales esperazas matemátcas y dspersoes. S embargo, estas se comporta de u modo completamete dferete. Es obvo que al dervar, por ejemplo, estas dos fucoes aleatoras se obtedrá resultados absolutamete dferetes. Por eso, además de la esperaza matemátca y de la dspersó de la magtud aleatora, se ecesta coocer el grado de varabldad de sus realzacoes, la rapdez de cambo de las msmas al varar el argumeto t. A título de ejemplo, se toma dos valores t1 y t2 del argumeto t e los dos gráfcos y se separa ua realzacó de la fucó aleatora de cada gráfco. E el prmer caso, el coocmeto de la ordeada de la realzacó e el puto t1 habla poco del valor de esta realzacó e el puto t2, como resultado de ua gra tesdad de varacó de todas las realzacoes de la fucó aleatora etre los putos t1 y t2. Cátedra Estadístca II 5
Uversdad de Medoza Ig. Jesús Rubé Azor Motoya E el segudo gráfco, el coocmeto del valor de la realzacó e t = t1 permte dcar más exactamete el valor posble de la realzacó cuado t = t2. E otras palabras, e el segudo caso el coocer el valor de la realzacó e el puto t = t1 práctcamete lmta de modo cosderable la gama posble de valores de las realzacoes e el puto t = t2.e el prmer caso, los valores de las realzacoes posbles de la fucó aleatora X(t1) y X(t2) e los putos t1 y t2 depede poco uo de otro. E el segudo caso, estos está elazados por ua depedeca más fuerte. Para lustrar gráfcamete esta tess, se lleva al eje x1 los valores de la ordeada aleatora X(t1) y al eje x2 los valores de la ordeada aleatora X(t2). Se toma ua gra catdad de realzacoes y se marca los putos [X(t1),X(t2)]. Para las realzacoes de la fucó aleatora, represetadas e la prmera fgura ateror, las magtudes aleatoras X(t1) y X(t2) está vculadas déblmete. Por eso la dspersó de los putos [X(t1),X(t2)] e el plao x1-x2 es e este caso aproxmadamete crcular. Para las realzacoes de la fucó aleatora, represetadas e la seguda fgura, las magtudes aleatoras X(t1) y X(t2) está elazadas por ua depedeca fuerte. Por eso, para la fucó aleatora cuyas realzacoes se está cosderado, los putos posbles [X(t1),X(t2)] se dspodrá e el plao x1-x2 formado ua elpse alargada. Ejemplo: Para ua fucó aleatora como la sguete: Cátedra Estadístca II 6
Uversdad de Medoza Ig. Jesús Rubé Azor Motoya X, rd( 1 ).5 Para caracterzar el grado de depedeca de los valores de ua fucó aleatora correspodetes a dos valores dferetes del argumeto, lo más smple es valerse del mometo de correlacó de estos valores de la fucó aleatora. Se llama Fucó Aleatora Cetrada a la dfereca etre la fucó aleatora y su esperaza matemátca: X 0 ( t ) = X ( t ) - m x ( t ) Etoces, el mometo de correlacó de los valores X(t) y X(t') de la fucó aleatora X(t), que correspode a dos valores arbtraros elegdos del argumeto t, t', se determará por la fórmula: x ( t, t' ) = E [ X 0 ( t ). X 0 ( t' )] dado a t y t' todos los valores posbles e la zoa de varacó del argumeto de la fucó aleatora X ( t ), se obtee la fucó de dos varables t y t' que se deoma Fucó Correlatva (a veces Autocorrelatva) de la fucó aleatora X ( t ). Así pues, se llama fucó correlatva de la fucó aleatora X ( t ) al mometo de correlacó de sus valores para dos valores del argumeto t, t', cosderado como ua fucó de t y t'. Al cocdr los valores de los argumetos t = t', el segudo membro de la fórmula ateror represeta la esperaza matemátca del cuadrado de la fucó aleatora cetrada, es decr, la dspersó de la fucó aleatora X(t). ( t, t) D x ( t ) Así, la asgacó de la fucó correlatva de ua fucó aleatora determa també su dspersó. E el caso más geeral de todos, para calcular la fucó correlatva de ua fucó aleatora se debe coocer la desdad bdmesoal de probabldad: x ( t, t ) x m.. x ( t) x m x ( t ) f2( x, x, t, t ) dx dx De esta fórmula y de otra ateror [para calcular m x (t)] se ve que para calcular ambas fucoes se ecesta coocer la desdad bdmesoal (y por cosguete la udmesoal) de probabldad. S embargo, e muchos problemas práctcos se puede calcular m x (t) y x (t,t') empleado métodos más smples. A veces, para caracterzar el elace etre los valores de ua magtud aleatora, e vez de la fucó correlatva, se usa la Fucó Correlatva Normada que represeta el coefcete de correlacó de los valores de la fucó aleatora para dos valores del argumeto. La fucó correlatva ormada de ua fucó aleatora ormada de ua fucó aleatora X(t) se determa por la fórmula: Cátedra Estadístca II 7
Uversdad de Medoza Ig. Jesús Rubé Azor Motoya R x ( t, t ) x ( t, t ) D x ( t). D x ( t ) x ( t, t ) x ( t, t). x ( t, t ) E lo sucesvo se ecestará examar todavía el mometo cal de segudo orde de ua fucó aleatora, el cual se determa como el mometo cal mxto de segudo orde de sus valores para los valores arbtraramete elegdos t, t' de su argumeto. x ( t, t ) M( X( t). X( t )) x ( t, t ) m. x ( t) m x ( t ) De acuerdo co la defcó del mometo de correlacó de las magtudes aleatoras complejas, la fucó correlatva de ua fucó aleatora compleja X(t) se determa por: x ( t, t' ) = M [ X0 ( t ). X 0 ( t' )* ] Dode X 0 ( t' )* es el cojugado de X 0 ( t' ). PROPIEDADES DE LAS ESPERANZAS MATEMATICAS 1) La esperaza matemátca de cualquer magtud o aleatora es gual a la propa magtud: M( c) c 2) La esperaza matemátca del producto de ua magtud o aleatora por ua aleatora es gual al producto de la prmera magtud por la esperaza matemátca de la seguda. M( c. Z ) c. M( Z ) 3) La esperaza matemátca de la suma de dos magtudes aleatoras es gual a la suma de sus esperazas matemátcas. M( Z Y) M( Z) M( Y ) 4) La esperaza matemátca de ua fucó leal de varables aleatoras de la forma: U a. Z b = 1 es gual a la msma fucó de las esperazas matemátcas de estas magtudes: m u = 1. a m z b PROPIEDADES DE LAS DISPERSIONES Y DE LOS MOMENTOS DE CORRELACION 1) La dspersó de cualquer magtud o aleatora es gual a cero y el mometo de correlacó de dos magtudes o aleatoras es gual a cero. Cátedra Estadístca II 8
Uversdad de Medoza Ig. Jesús Rubé Azor Motoya 2) El mometo de correlacó del producto de cualquer magtud aleatora co otra o aleatora es sempre gual a cero. 3) La dspersó del producto de ua magtud aleatora por otra o aleatora es gual al producto de la dspersó de la magtud aleatora por el cuadrado del módulo de la o aleatora. D( c. X ) ( c ) 2. D( X ) 4) El mometo de correlacó de las magtudes aleatoras: U a. X V b. Y dode a y b so costates complejas (para geeralzar) arbtraras y X e Y so magtudes aleatoras, se determa por la fórmula:.. uv a b xy 5) S las magtudes aleatoras U y V represeta fucoes leales de las magtudes aleatoras X 1, X 2,..., X : U = 1. a X b V = 1. c X etoces la dspersó de la magtud aleatora U y el mometo de correlacó de las magtudes aleatoras U y V se determa por las fórmulas: D u a.. a j j uv a.. c j j (48-1) (1) = 1 j = 1 = 1 j = 1 dode j es el mometo de correlacó de las magtudes aleatoras X, X j (cuado =j, la magtud represeta la dspersó de la magtud aleatora X ) 6) E el caso partcular, cuado se trata de magtudes aleatoras o correlacoadas X 1, X 2,..., X las magtudes j co dsttos ídces so guales a cero y las fórmulas aterores se coverte e: luego: 2 D u a. D uv a.. c j D (48-2) (2) = 1 = 1 Dode D = es la dspersó de la magtud aleatora X ( = 1,...,) U caso partcular de (48-1) es: U = 1 X D u j = 1 j = 1 7) Y s las magtudes aleatoras X 1, X 2,..., X o está correlacoadas: d Cátedra Estadístca II 9
Uversdad de Medoza Ig. Jesús Rubé Azor Motoya D u D = 1 Las dos últmas fórmulas so aplcables para cualesquera magtudes aleatoras o correlacoadas. E partcular, so váldas para las magtudes aleatoras depedetes. EJEMPLOS DE FUNCIONES ALEATORIAS 1) Se va a cosderar la sguete fucó aleatora: X( t ) U. s( t ) V. cos( t ) (49-1) (2) Dode U y V so magtudes aleatoras o correlacoadas ( uv = 0)cuyas esperazas matemátcas so ulas y cuyas dspersoes so guales a D1 y D2 respectvamete. Las realzacoes de esta fucó so susodes co dferetes ampltudes y fases cales. E el ejemplo e cuestó la fucó aleatora represeta la combacó leal de dos magtudes aleatoras co los coefcetes s(t) y cos(t). r 100 Número de realzacoes 0.. r 1 ídce que dca realzacó vr 90 Valores detro de ua realzacó 0.. vr 1 ídce que dca valores detro de ua realzacó t. 4 vector de valores de tempo para evaluar 0.. 11 ídce auxlar U rd( 1) 6 V rd( 1) 6 U y V so vectores co valores dstrbudos ormalmete co meda cero y varaza uo. X., U s t. 180 V. cos t. 180 matrz cuyas flas so valores de realzacó r 9.. 18 ídce para lograr 10 realzacoes e el sguete gráfco Cátedra Estadístca II 10
Uversdad de Medoza Ig. Jesús Rubé Azor Motoya Calculado las medas de las 20 realzacoes e cada uo de los putos de defcó, se ecuetra la meda de la fucó aleatora. M mea X < > el vector M cotee las medas e cada puto cosderado de la fucó aleatora Del msmo modo se puede hallar la desvacó stadard puto por puto: S stdev X < > el vector S cotee las desvacoes stadard e cada puto cosderado de la fucó aleatora Superpoedo la meda y la desvacó stadard a las realzacoes, queda gráfcamete: Segú la teoría, la meda de esta fucó aleatora es cero y la desvacó stadard es uo. Esto, gráfcamete, sgfca que la mayoría de las realzacoes se cetra sobre la meda y además se halla cocetrada mayortaramete detro ua fraja que tee u acho de dos desvacoes stadard co eje de dcha fraja e la meda. Para hallar la fucó de correlacó, se procede del sguete modo: Cátedra Estadístca II 11
Uversdad de Medoza Ig. Jesús Rubé Azor Motoya < > X 0. < > X C El vector C cotedrá, puto a puto, los rows( X ) valores de la fucó de correlacó, que segú la teoría es ua de tpo coseodal. Teórcamete, aplcado ua de las propedades de la esperaza matemátca a la expresó (49-1), se deduce: m x ( t ) m. u s( t ) m. v cos( t) 0 por ser la esperazas matemátcas, de ambas magtudes aleatoras, ulas. Poedo t = t' e la fucó aleatora: X( t ) U. s( t ) V. cos( t ) Los valores X(t) y X(t') de la fucó aleatora examada, para dos valores arbtraros del argumeto, so combacoes leales de dos magtudes aleatoras o correlacoadas U y V. Aplcado la propedad (48-2) de los mometos de correlacó de dos combacoes leales de magtudes aleatoras o correlacoadas, se halla la fucó correlatva de la fucó aleatora X(t). ( t, t ) D.. 1 s( t) s( t ) D.. 2 cos( t) cos( t ) E el caso partcular, cuado D 1 = D 2 = D, queda: ( t, t ) D. cos( t t ) (49-2) (3) 2) E u caso más geeral, cuado: X( t) = 1 X. f ( t ) Cátedra Estadístca II 12
Uversdad de Medoza Ig. Jesús Rubé Azor Motoya Dode f 1 (t),..., f (t) so fucoes o aleatoras cualesquera, e el caso más geeral complejas, y X 1,..., X so magtudes aleatoras cualesquera co esperazas matemátcas arbtraras pero ftas, y mometos de segudo orde. La esperaza matemátca se halla aplcado la propedad de las esperazas matemátcas de ua fucó leal de las magtudes aleatoras: m x ( t) m. x f ( t ) = 1 ya que los valores de la fucó aleatora que se exama so, para dos valores del argumeto arbtraramete elegdos, fucoes leales de las msmas magtudes aleatoras, se puede aplcar la propedad (48-1): x ( t, t ).. j f ( t) f j ( t ) = 1 dode j es el mometo de correlacó de las magtudes aleatoras X, X j (,j = 1,..., y = Dx. 2) Geeralzado el problema 1, supoer aleatoras o sólo la ampltud y la fase so també la frecueca de las osclacoes armócas. Examíese la fucó aleatora: X( t ) U. s(. t ) V. cos(. t ) Dode U, V y so magtudes aleatoras depedetes, co la partculardad que las magtudes U y V tee medas ulas y las msmas dspersoes D, y la magtud aleatora se caracterza por la desdad de probabldad f(). La esperaza matemátca de la fucó aleatora X(t) es détcamete gual a cero. Esto se puede demostrar fjado u valor partcular de, lo que lleva al prmer ejemplo. La fórmula (49-2) determa la fucó correlatva codcoal de la fucó aleatora X(t) para el valor dado de de la frecueca. x ( t, t' / ) = M [ X(t). X(t) / D. cos t - t' ) ] Ahora, para hallar la fucó correlatva de la fucó aleatora X(t) basta multplcar la fucó correlatva codcoal hallada, co el elemeto correspodete de probabldad f(detegrar co respecto a todos los valores posbles de de la magtud aleatora. Etoces, teedo e cueta que la frecueca de las osclacoes es, e su eseca, ua magtud postva, debdo a lo cual su desdad de probabldad f() es gual a cero para 0, se obtee: x ( t, t ) D. f( ). cos(.( t t )) d 0 Examíese el caso cocreto cuado: Cátedra Estadístca II 13
Uversdad de Medoza Ig. Jesús Rubé Azor Motoya f( ). 2. 2 2 E este caso queda: 2.. D x ( t, t ). cos(.( t t )) d 2 2 0 Esta tegral puede calcularse por muchos procedmetos, quedado: x ( t, t ) D. e. t t Numércamete, el plateo del problema podría ser: 10 coefcete 2. f( ) (5). 2 2 fucó desdad de la dstrbucó de frecuecas (4) La tegral de esta fucó dará la Fucó Dstrbucó: ata F( ) 2. S e esta fucó se susttuye F() por rd(1) y se despeja se puede teer u cojuto de valores que tega la dstrbucó (5). j 0.. 400 ídce que dará el tamaño del vector formado W j. ta rd( ). 1 2 vector para verfcar este hecho se costrurá u hstograma. 1 8 úmero de tervalos 2 0.. 1 ídce para geerar 1 tervalos Max 100 m 0 Extremos del tervalo de aálss Max m ter 2 m. 2 vector de tervalos 1 h hst( ter, W ) vector que cueta las frecuecas e cada tervalo 1 0.. 1 1 ídce auxlar 0, 0.1.. 100 Cátedra Estadístca II 14
Uversdad de Medoza Ig. Jesús Rubé Azor Motoya Como se puede observar, la dstrbucó de los datos sgue perfectamete la ecuacó (5). Formado la matrz cuyas flas so valores de realzacó: r 100 Número de realzacoes 0.. r 1 ídce que dca realzacó vr 90 Valores detro de ua realzacó 0.. vr 1 ídce que dca valores detro de ua realzacó t. 4 vector de valores de tempo para evaluar W X., U s.. t 180 W V. cos.. t 180 r 9.. 12 ídce para lograr 4 realzacoes e el sguete gráfco Calculado las medas de las 20 realzacoes e cada uo de los putos de defcó, se ecuetra la meda de la fucó aleatora. Cátedra Estadístca II 15
Uversdad de Medoza Ig. Jesús Rubé Azor Motoya El vector M cotee las medas e cada puto cosderado de la fucó aleatora < > X M mea Del msmo modo se puede hallar la desvacó stadard puto por puto: < > S stdev X el vector S cotee las desvacoes stadard e cada puto cosderado de la fucó aleatora Superpoedo la meda y la desvacó stadard a las realzacoes, queda gráfcamete: Para hallar la fucó de correlacó, se procede del sguete modo: C < > X 0. rows( X ) < > X El vector C cotedrá, puto a puto, los valores de la fucó de correlacó, que segú la teoría es ua de tpo expoecal decrecete. Cátedra Estadístca II 16
Uversdad de Medoza Ig. Jesús Rubé Azor Motoya FUNCIONES ALEATORIAS ESTACIONARIAS Geeralmete se llama estacoaros a aquellos procesos y objetos cuyas característcas o depede del tempo de observacó, es decr o camba al decalar arbtraramete el tempo (so varates co respecto a cualquer decalaje del tempo). De acuerdo co lo dcho, se deoma ESTACIONARIA a ua fucó aleatora X(t) s determadas característcas probablístcas de la fucó de la fucó aleatora X(t+), cualquera sea, cocde détcamete co las característcas correspodetes a X(t). Es evdete que la esperaza matemátca y la dspersó de la fucó aleatora estacoara so costates y su fucó correlatva depede sólo de la dfereca de los argumetos t - t'. E efecto, segú la defcó geeral de la estacoaredad, la esperaza matemátca y la fucó correlatva de la fucó aleatora X(t) satsface las codcoes: m x ( t) m x ( t ) x ( t, t ) x ( t, t ) cualquera sea Poedo e la prmera tse obtee: Poedo e la seguda t'se obtee: x ( t, t ) x ( t t, 0) La dspersó de la fucó aleatora X(t) es gual al valor de su fucó correlatva cuado t = t'. Por eso, de lo ateror: D x ( t) x ( t, t) x ( 0, 0) D x ( 0) cte Cátedra Estadístca II 17
Uversdad de Medoza Ig. Jesús Rubé Azor Motoya Desgado la fucó de ua varable t - t' por x (t-t'), se puede escrbr: x ( t, t ) x ( t t ) x ( ) dode t t Ahora be, s la fucó aleatora X(t) es estacoara, etoces, dodequera que se elja u tervalo de logtud dada e el eje de las varables depedetes t, los valores de la fucó aleatora X(t) tee e los extremos de este tervalo u msmo mometo de correlacó x (). Para todos los problemas práctcos e los que se trata sólo co mometos de los dos prmeros órdees (esperazas matemátcas y fucoes correlatvas) basta la costaca de la esperaza matemátca y la depedeca de la fucó de correlacó sólo de la dfereca de los argumetos para cosderar estacoara a ua fucó aleatora. Por eso, las fucoes aleatoras cuyas esperazas matemátcas so costates y las fucoes correlatvas depede sólo de la dfereca de argumetos se llama estacoaras e el setdo amplo. La estacoaredad e el setdo amplo represeta el tpo más smple de estacoaredad. Segú la defcó dada, la fucó aleatora co esperaza matemátca varable es o estacoara cluso s la fucó de correlacó de la msma depede sólo de la dfereca de los argumetos.. S embargo, tal estacoaredad es, evdetemete o esecal, puesto que la fucó aleatora cetrada X 0 (t) = X(t) - m x (t) es estacoara sempre que la fucó correlatva de la fucó aleatora X(t) depeda sólo de la dfereca de argumetos. Como la fucó correlatva de cualquer fucó aleatora es smétrca, es decr o camba de valor al permutar los valores de los argumetos, etoces la fucó correlatva de ua fucó aleatora estacoara satsface la codcó: x ( t t ) x ( t t) o be x ( ) x ( ) Así pues, la fucó correlatva de ua fucó aleatora estacoara es fucó par de la dfereca de los argumetos. Por otro lado, de las propedades de la fucó correlatva, aplcadas a fucoes aleatoras estacoaras: x ( ) x ( 0) D x De modo que, la fucó correlatva de ua fucó aleatora estacoara, cualquera sea, o puede ser e magtud absoluta, mayor que su valor correspodete e el orge de coordeadas. Ejemplos: 1) E el últmo ejemplo ateror, había ua fucó correlatva depedete sólo de la dfereca de argumetos, de la forma: x ( ) D. x e. dode t t Cátedra Estadístca II 18
Uversdad de Medoza Ig. Jesús Rubé Azor Motoya 2) La fucó aleatora: X( t ) U. s(. t ) V. cos(. t ) es estacoara solamete e el caso cuado las dspersoes de las magtudes aleatoras U y V so guales. E el caso geeral de dferetes dspersoes de las magtudes aleatoras U y V esta fucó aleatora o es estacoara. Ahora be, la osclacó armóca de certa frecueca, co ampltud y fase aleatoras represeta e el caso geeral ua fucó aleatora o estacoara y solo e el caso partcular de ser guales las dspersoes de los coefcetes aleatoros adjutos al seo y coseo, es ua fucó aleatora estacoara. 3) La fucó aleatora: X( t ) U. s(. t ) V. cos(. t ) es estacoara cualquera que sea la desdad de probabldad de la frecueca aleatora de las osclacoes f() puesto que su esperaza matemátca es détcamete gual a cero, metras que la fucó correlatva, determada por (4) depede sólo de la dfereca de argumetos. 4) S: m x ( t) a b. t x ( t, t ) D. e.( t t ) etoces la fucó aleatora X(t) es o estacoara. No obstate, esta o estacoaredad o es esecal, puesto que la correspodete fucó aleatora X 0 (t) es estacoara. Cátedra Estadístca II 19