4. El Oscilador aróico cuático O 0. Itroducció. Motivació y uciado dl probla. Solució d la c. d Schrödigr idpt. dl tipo. Ergías y fucios d oda stacioarias. 3. Propidads itrsats y caractrísticas dl O cuático. 4. Evolució tporal d stados o stacioarios. El caso casi- clásico 5. Problas: Hoja 4
IV - Oscilador róico.. La fució d oda d u oscilador aróico cuático d asa y frcucia agular ω stá dada por: φ = c ϕ =0 sido ϕ la fució d oda dl stado stacioario, d rgía E = hω/ +. a Cuál s l valor dio d la rgía fució d los coficits c? ditido qu ua dida d la rgía s db obtr prcisat uo d los valors atriors, cuál s la probabilidad d obtr l valor E b Cuál s la probabilidad P d qu ua dida d la rgía u istat postrior t > 0 s obtga u valor ayor qu hω? Cuado P = 0, qué coficits c so distitos d cro?. Partido d los supustos dl probla atrior, supogaos qu sólo so distitos d cro c 0 y c. Escribir la codició d oralizació y l valor dio d la rgía < E > fució d c 0 y c. hora ipoos adás qu < E >= hω. Dtriar c 0 y c. b Fijaos qu c 0 sa ral y positivo. Dtriar l arguto d c, θ c = c iθ si adás d qu < E >= hω, s cupl tabié qu < >= h ω. c Escribir Ψt y calcular θ para todo t > 0. Dducir d ahí < > t. 3. Dtriar < >, < p >, < >, y < p > los stados ϕ 0 y ϕ dl oscilador aróico. Coprobar qu s cupl la rlació d icrtidubr. 4. E l stado fudatal dl oscilador aróico Cuál s la probabilidad d cotrar la partícula la zoa prohibida clásicat, s dcir dod V > E?. 5. Oscilador aróico isótropo 3D. Ua partícula s uv l spacio sotida a u potcial V = /ω + y + z. Ecotrar las fucios d oda y las rgías d los stados stacioarios. Sugrcia: probar fucios d oda d la fora ϕ, y, z = ϕ ϕ yϕ 3 z. 6. U oscilador aróico bidisioal isótropo d frcucia agular ω s cutra u stado d rgía hω. S sab qu l valor sprado d s 5 h/6ω. Calcular l valor sprado d y y l d la rgía potcial.
0. Itroducció E st capítulo studiaos l probla ás iportat t d la Mcáica clásica o cuática y uo d los cotados problas cuáticos qu s pud rsolvr actat. Fu rsulto por prira vz por Erwi Schrödigr uo d sus dos artículos 96 dod propuso su cuació. Su iportacia radica qu uchos casos rals s coporta aproiadat coo l oscilador aróico tórico, dbido a ua propidad bi coocida sgú la cual casi todo oviito d pquña aplitud crca d u puto d quilibrio s aproiadat aróico. Tos ua partícula d asa cuyo stado cuático volucioa sotida a ua furza cosrvativa cuyo potcial s: V quí s ua costat qu dfi la itsidad dl potcial. Su sigificado físico s la frcucia agular co la qu oscilaría si s coportara clásicat, pro NO SE COMPORT SÍ.
.Ec d Schrödigr. Cabio d variabls y d fució Coo casi todo probla d MQ, s trata d obtr las fucios d oda qu corrspod a rgía dfiida y los valors d sas rgías, ya qu cualquir otra fució d oda s pud scribir coo cobiació lial d llas Ec d Schr. dl O: d E d Dfiios i la costat t : ; L hora dfiios la costat, la variabl, y la fució todas adisioals: i E d' d d ' d ; ' ; ' ; 3/ 5/ d' d d' d Sustituydo y siplificado quda la cuació uivrsal para todo O: d ' ' d' ' ' ' ' E l prograa Schrödigr,c podíaos habr partido d sta cuació, pro stos cabios d scala so útils sólo para l O 4 3
Coportaito asitótico d ' La cuació s pud scribir: ' d' ' ' 0 5 Para valors d uy grads: - + -, la cuació s pud aproiar por d d' ' ' ' 0 6 ' Qu s satisfcha por la fució d Gauss: Esto sugir hacr u uvo cabio d fució dfiido: G ' ct ' ' ' h ' '
Polioios d Hrit l sustituir la cuació acta 5, rsulta qu h db cuplir: d d ' d h ' ' h ' d' h ' 0 7 E 96 sta cuació difrcial ordiaria ra bi coocida por los atáticos, y Schrödigr sabía prfctat qu las solucios qu o s va a ifiito cuado ± : * Eist úicat para valors si-ipars positivos d = /, 3/, 5/, qu hac l parétsis tro y par * So polioios co cof tros, llaados polioios d Hrit, H. * Etr otras propidads, l grado d cada polioio s -.H 0 = La dostració atática d sto y d las propidads d los H s: tdiosa y poco forativa rquriría u capítulo tro ddicado al studio d los H y adás 3 la solució d la c d Schr s pud obtr d ara ucho ás 3 la solució d la c d Schr s pud obtr d ara ucho ás sipl utilizado los rcursos atáticos qu vros ás tard.
Propidads d los Polioios d Hrit Vr Coh-Taoudji t al, coplto B V, auqu l probla MQ usaos la variabl, aquí vaos a por coo variabl atática abstracta Sa F la drivada -ésia d la fució d Gauss p. H s dfi ua tr varias dfiicios quivalts coo: 0 F F H 0 H F H 0 Fórula d Rodrigus F 4 H 4 * S pud dostrar vr por jplo Coh-Taoudji, t al qu cupl la cuació difrcial d d d H d 0 qu s la 7 atrior * Cada H ti actat t raícs rals y distitas t * Cupl varias rlacios d rcurrcia, qu prit obtr spcialt prograas d ordador todos los polioios a partir d los priros: dh H H H H d * Cada H ti paridad dfiida, igual al grado : H H
Ergías y fucios d oda Volvido a las uidads físicas covcioals: E H ; Las costats d oralizació so pricipio arbitrarias pro s db lgir d odo qu: H ; - d lgir d odo qu: Qu rprsta l hcho d qu cualquir stado la probabilidad d qu la partícula sté algú sitio db sr la uidad. Es dcir: Es dcir: - - du u H d H u L i t l d l líti t d d fi l t La itgral pud rsolvrs aalíticat d ara crrada y fialt quda:
Ergías y fucios d oda E
Propidads itrsats dl O * E coparació co la suposició d Plack-Eisti, la difrcia d rgía tr dos stados coscutivos s cirtat costat: E E, * Esto s suficit para podr plicar la ly d radiació dl curpo gro o la capacidad d calorífica d u cojuto d osciladors cuáticos, pro la rgía NO ES ħ sio: E * La rgía íia s la dl stado fudatal, co = 0, E 0 >0 porqu db sr copatibl co la rlació d icrtidubr E 0 Esta s ua codició coú a uchos problas d MQ tabié ocurrirá l átoo d hidrógo
* Rcordos qu los stados rprstados por las atriors f. d. o. so stacioarios i y o volucioa: E i t i t Ψ,t * sí pus, si la partícula stá uo d sos stados NO OSCIL, sio qu su posició s idtriada, sido la dia valor sprado cro. * No cofudir la frcucia clásica dl oscilador co la frcucia d Bohr : E /ħ d ua fució d oda. Las frcucias d Bohr so últiplos ipars d la fudatal, qu s. * La fució d oda dl stado fudatal s u paqut gaussiao, qu st caso s stacioario. * Vaos la icrtidubr la posició y l oto l stado fudatal, 0 : Δ 0 < > valor dio o sprado d cualquir agitud. E st caso <> =0 Δ 0 u 0 * 0 d 0 d u du... 3
* hora la icrtidubr l oto l stado fudatal, 0 : d d d d d d d d d d p Δp * 0 0 0 0 0 d d d d 0 4 0 Por tato l stado fudatal, 0, s cupl: 0 Δp E d i l t d f d t l d l il d ó i ti l Es dcir, qu l stado fudatal dl oscilador aróico s ti la icrtidubr íia, qu corrspod a u paqut gaussiao. * álogat s dduc d otra fora ás scilla, vr Coh-T t al, cap 5 D, la icrtidubr otros stados difrts dl fudatal stados citados s: Δp
* Las f. d o. s tid tóricat hasta l ifiito s dcir, la ralidad NO, porqu l oscilador aróico s sólo u odlo tórico qu o s va a cuplir uca para grads aplituds los casos rals, pro ya qu <> = 0 supo ua cirta aalogía co la aplitud d u oscilador clásico. Vaos: La rgía clásica s cl = aplitud s cl cl E Si igualaos dicha rgía a la d uo d los stados obtos: g g cl * E u stado o stá dfiidas i la rgía potcial, i la ciética, porqu o lo stá i i p. Podos calcular su valor dio: E V E p p T Est s u caso particular dl llaado tora dl virial, qu s vrá
Evolució tporal Siguido la toría gral d Schrödigr, si l oscilador s cutra u stado la fució d oda cualquir istat s obti ultiplicádola por l factor p-ie t/ħ, lo qu da ua f. d o. qu s difrcia u factor d fas global. Est factor d fas global o afcta a las probabilidads d las agituds físicas, por lo qu las sucsivas fucios d oda rprsta l iso stado físico y por tato ést o volucioa. Si bargo l stado ás gral posibl s ua suprposició ió lial l d todas las fucios d oda s pud dostrar qu cualquir fució d d cuadrado itgrabl s pud scribir así, lo vros l capítulo siguit Supogaos qu t =0 l stado d la partícula vi dscrito por la f. d o.: t 0 c 0, 0 Trataos d vr cóo s,t otro istat cualquira.
i t i t, t c0 c0 0 E 0 0 c t El valor dio d ua agitud física cualquira srá: 0 0 i t, t *, t d c 0* c 0 Dod dfiios i *, p d y dod,p s l oprador qu s obti rplazado p i E la dfiició clásica d la agitud.
X Cosidros los casos cocrtos = X y = P co ayúscula para rcordar qu hablaos dl oprador y o dl valor cocrto d o d p * d cost H H d cost No s uy difícil ostrar qu sta itgral s ula cpto si = ± H z zh sí pus <> s ua sua d costats ultiplicadas por it o por -it, s dcir siusoidal t co ua fas iicial dpdit d los valors d las costats, coo la prdicció clásica pro <>=0 si s u stado stacioario, o sa cuado sólo ua c 0 z Tabié s pud dostrar qu P =0 cpto si = ±, lugo <p> tabié oscila siusoidalt salvo si sólo ist ua c, pus tocs <p> =0. Tabié s pud dostrar qu: d dt p d p dt Es dcir qu los valors dios obdc a las lys dl oviito clásicas d Nwto z dz
IV - Oscilador róico.. La fució d oda d u oscilador aróico cuático d asa y frcucia agular ω stá dada por: φ = c ϕ =0 sido ϕ la fució d oda dl stado stacioario, d rgía E = hω/ +. a Cuál s l valor dio d la rgía fució d los coficits c? ditido qu ua dida d la rgía s db obtr prcisat uo d los valors atriors, cuál s la probabilidad d obtr l valor E b Cuál s la probabilidad P d qu ua dida d la rgía u istat postrior t > 0 s obtga u valor ayor qu hω? Cuado P = 0, qué coficits c so distitos d cro?. Partido d los supustos dl probla atrior, supogaos qu sólo so distitos d cro c 0 y c. Escribir la codició d oralizació y l valor dio d la rgía < E > fució d c 0 y c. hora ipoos adás qu < E >= hω. Dtriar c 0 y c. b Fijaos qu c 0 sa ral y positivo. Dtriar l arguto d c, θ c = c iθ si adás d qu < E >= hω, s cupl tabié qu < >= h ω. c Escribir Ψt y calcular θ para todo t > 0. Dducir d ahí < > t. 3. Dtriar < >, < p >, < >, y < p > los stados ϕ 0 y ϕ dl oscilador aróico. Coprobar qu s cupl la rlació d icrtidubr. 4. E l stado fudatal dl oscilador aróico Cuál s la probabilidad d cotrar la partícula la zoa prohibida clásicat, s dcir dod V > E?. 5. Oscilador aróico isótropo 3D. Ua partícula s uv l spacio sotida a u potcial V = /ω + y + z. Ecotrar las fucios d oda y las rgías d los stados stacioarios. Sugrcia: probar fucios d oda d la fora ϕ, y, z = ϕ ϕ yϕ 3 z. 6. U oscilador aróico bidisioal isótropo d frcucia agular ω s cutra u stado d rgía hω. S sab qu l valor sprado d s 5 h/6ω. Calcular l valor sprado d y y l d la rgía potcial.