Prof nre Cmpllo nálss Mtemáto II Integrles oles Consermos un funón f : R R, efn ot en el rento retngulr [, ] [, ] enomnmos [, ] [, ] Gráfmente poemos onserr l sguente stuón: uo z Gráf e f Reoremos qué se enomn prtón e un ntervlo [, ] Llmmos prtón P el ntervlo [, ] l onunto e puntos tles que: < < < < + < < n < n Ptón P + n- n Llmmos Δ on,,, n Un refnmento e l prtón P es otr prtón P e [, ] que ontene los puntos e l prtón P, greg más puntos l onunto, seno 0 on n Δ Ptón P + n- n Mrmos on los puntos gregos l prtón P, lo que gener más suntervlos e longtu Δ En nuestro so prtulr, uno el omno es un retángulo el plno, prtonmos el ntervlo [, ] e n ; prtonmos el ntervlo [, ] e m
Prof nre Cmpllo nálss Mtemáto II uo B m n- n Otenemos entones m n suretángulos, one l unón e toos ellos result el onunto Utlzremos l sguente notón pr enomnr uno e estos suretángulos: [, ] [, ] (Ver uo B Est prtón P el onunto puee refnrse, refnno suesvmente ls prtones e los ntervlos [, ] [, ] En este so, el refnmento P, gregrá ms suretángulos, on l onón e que l gonl e estos suretángulos (lo que se enomn l norm e l prtón tenn 0 Un vez relz l prtón e, levntmos semrrets prlels l ee z por los vértes e los suretángulos : otenemos sí un sere e prsms, one el teho es un trozo e l superfe z f ( (Ver uo o que l funón f está efn ot en, estrá tmén efn ot en e tos ls nfnts ots superores e f en nos nteres l menor e hs ots superores: el supremo enomnremos M l supremo e f en el surento nálogmente, vmos onserr l mor e ls ots nferores e f en, l ul enomnremos m Tnto M omo m son números reles Por lo tnto poemos estleer los sguentes proutos: M Áre ( M Δ M ( Δ Δ m Áre m Δ m ( Δ Δ (
Prof nre Cmpllo nálss Mtemáto II efnmos hor l um uperor e f en : ( n m El vlor e l sum superor epene e l funón f, el rento e l prtón P que se h estleo en ho rento nálogmente efnmos l um Inferor e f en : ( m Δ Δ M Δ n m Este vlor tmén epenerá e l funón f, el rento e l prtón P que se h estleo en ho rento Tnto omo son números reles, que umplen erts propees (que pueen emostrrse: P es un prtón e, entones ( ( ( ( P P es un refnmento e l prtón e, entones ( ( P 3 P P son os prtones stnts (no refnmentos se umple que ( f, P ( P, egún lo estleo por ests tres propees un sum nferor nun puee superr un sum superor Pr efnr entones l ntegrl ole, se relz un prtón sore el onunto, se refn suesvmente est prtón e luln los vlores e ls sums nferores superores pr ests suesvs prtones, se representn los vlores e otenos en l ret rel Δ 3 3 B C Estleemos os onuntos: el onunto B on los vlores e ls sums nferores, el onunto C on los vlores e ls sums superores B está oto superormente (ulquer e ls es ot superor, por lo que B tenrá supremo smsmo, C está oto nferormente (ulquer e ls es ot nferor, por lo que tenrá ínfmo Utlzremos hos ínfmo supremo menonos pr efnr l ntegrl nferor superor Integrl nferor: f ( supremo e B Integrl superor: f ( ínfmo e C 3
Prof nre Cmpllo nálss Mtemáto II Cuno mos vlores onn, poremos efnrlo omo l ntegrl ole e f en efnón e f : R R, efn ot en el rento retngulr [, ] [, ] se umple que f ( f (, se e que el mpo eslr f es ntegrle en, ese vlor omún se lo efne omo l ntegrl ole e l funón f en Por lo tnto: f ( f ( f ( Conones e ntegrl eemos nlzr hor o qué onones se umple que el vlor e l ntegrl superor e un funón en un etermno rento on on el vlor e l ntegrl nferor, pr que l ntegrl ole quee efn Enunremos ls onones e ntegrl, que pueen emostrrse e f : R R, efn ot en el rento retngulr [, ] [, ] ε > 0, un prtón P el rento tl que ( f,, ( f,, < ε, entones f es ntegrle en f es ontnu en, entones f es ntegrle en 3 f es ontnu en, eepto en un suonunto e e me nul, entones f es ntegrle en Conunto e puntos e me nul L efnón forml pr suonuntos el plno e me nul es l sguente e R, se e que es e me nul s ε > 0 este un onunto fnto e retángulos u unón nlu l onunto u áre se menor que ε Intutvmente, poemos er que un suonunto el plno e me nul será quel que no teng áre, por eemplo puntos slos, segmentos, urvs, et 4
Prof nre Cmpllo nálss Mtemáto II Un vez estles ls onones e ntegrl, vmos enunr un teorem que me permt efetur el álulo e l ntegrl ole, trvés el álulo e ntegrles smples suesvs Teorem e f : R R ntegrle en [, ] [, ] [ ],, g ( f (, entones: [ ] f f ( ( f (,, h ( f (, entones: f ( f ( f (, Integrles en rentos no retngulres eemos hor generlzr l efnón e ntegrl ole rentos más generles, no neesrmente retngulres e f : R R, seno un onunto oto uponemos f ntegrle no retngulr Pr poer efnr f (, nlumos l onunto en un retángulo [ ] [, ], efnmos l enomn funón rteríst el onunto : δ ( 0 Luego reefnmos l funón f e l sguente mner: f ( f ( δ ( f ( e este moo, l funón reefn f resultrá: f ( 0 eno [, ] [, ], result e est mner efnmos l ntegrl ole e f sore el rento e l sguente mner: ( f f ( 5
Prof nre Cmpllo nálss Mtemáto II Pr que l efnón teng sento se orret, eemos grntzr que f se ntegrle en Por l form en que h funón está efn, ls sontnues e f en serán ls msms sontnues e f o que f es ntegrle, ests sontnues no fetrán l ntegrl e f hor eemos nlzr el so e posle sontnu en l fronter e, pero ún uno se presente un sontnu en ho onunto, se trt e un onunto e me nul que no fet l ntegrl e f Por too lo epuesto, result f un funón ntegrle en 6
Prof nre Cmpllo nálss Mtemáto II plones físs e ls ntegrles oles Consermos l funón δ ( omo l funón ens Ms : m δ ( Momento estáto: Respeto l ee : Respeto l ee : Momento e ner: Respeto l ee : Respeto l ee : M δ ( M δ ( I δ ( I δ ( stn l ee e los puntos e stn l ee l uro, e los puntos e Coorens el entro e grve: δ ( G δ ( G δ ( δ ( 7
Prof nre Cmpllo nálss Mtemáto II Integrles trples Pr efnr ls ntegrles trples, generlzmos el proemento estleo pr l efnón e ls ntegrles oles Consermos un funón f : R 3 R, efn ot en el rento [, ] [, ] [ e, h] enomnmos [, ] [, ] [ e, h] Prtonmos el rento mente l prtón P, e l sguente mner: [, ] < < < < < n < n (n puntos [, ] < < < < < m < m (m puntos [ e, h] e z < z < < z < < z < z h (s puntos s s Est prtón gener pequeños surentos prlelepípeos reto retángulos ( s e zptos e genern n m s surentos, otenos prtr e l prtón P z En este so tmén enomnmos: Δ Δ Δz z z El volumen e surento Vol Δ Δ Δ Δz se puee lulr omo: l funón f está ot en, tmén estrá ot en, por lo que f tenrá ot superor e nferor en Por lo tnto f tene supremo e ínfmo en Utlzmos l sguente notón: upremo e f en : M Ínfmo e f en : m nálogmente lo relzo pr ls ntegrles oles, estleemos los sguentes proutos: M Volumen ( M Δ M ( Δ Δ Δz m Volumen m Δ m ( Δ Δ Δz ( 8
Prof nre Cmpllo nálss Mtemáto II efnmos hor l um uperor e f en : ( n m s El vlor e l sum superor epene e l funón f, el rento e l prtón P que se h estleo en ho rento nálogmente efnmos l um Inferor e f en : ( m Δ Δ Δz M Δ n m s Este vlor tmén epenerá e l funón f, el rento e l prtón P que se h estleo en ho rento Tnto omo son números reles, que umplen erts propees (que pueen emostrrse: 4 P es un prtón e, entones ( ( ( ( P 5 P es un refnmento e l prtón e, entones ( ( P 6 P P son os prtones stnts (no refnmentos se umple que ( f, P ( P, egún lo estleo por ests tres propees un sum nferor nun puee superr un sum superor Pr efnr entones l ntegrl trple, se relz un prtón sore el onunto, se refn suesvmente est prtón e luln los vlores e ls sums nferores superores pr ests suesvs prtones, representmos los vlores e otenos en l ret rel Δ Δz 3 3 B C Estleemos os onuntos: el onunto B on los vlores e ls sums nferores, el onunto C on los vlores e ls sums superores B está oto superormente (ulquer e ls es ot superor, por lo que B tenrá supremo smsmo, C está oto nferormente (ulquer e ls es ot nferor, por lo que tenrá ínfmo Utlzremos hos ínfmo supremo menonos pr efnr l ntegrl nferor superor Integrl nferor: f ( z supremo e B 9
Prof nre Cmpllo nálss Mtemáto II Integrl superor: f ( z ínfmo e C Cuno mos vlores onn, poremos efnrlo omo l ntegrl trple e f en efnón e f R 3 R, efn ot en el rento : [ ] [, ] [ e, h], se umple que f ( z f z z (,, se e que el mpo eslr f es ntegrle en, ese vlor omún se lo efne omo l ntegrl trple e l funón f en Por lo tnto: f ( z f ( z f ( z Conones e ntegrl eemos nlzr hor o qué onones se umple que el vlor e l ntegrl superor e un funón en un etermno rento on on el vlor e l ntegrl nferor, pr que l ntegrl trple quee efn Enunremos ls onones e ntegrl, que pueen emostrrse e f : R 3 R, efn ot en el rento [, ] [, ] [ e, h] 4 ε > 0, un prtón P el rento tl que ( f,, ( f,, < ε, entones f es ntegrle en 5 f es ontnu en, entones f es ntegrle en 6 f es ontnu en, eepto en un suonunto e e me nul, entones f es ntegrle en En este so, ntutvmente poemos er que un suonunto el espo e me nul será quel que no teng volumen, por eemplo puntos slos, segmentos, urvs, superfes, et Un vez estles ls onones e ntegrl, vmos enunr un teorem que me permt efetur el álulo e l ntegrl trple, trvés el álulo e ntegrles smples suesvs Teorem e f : R 3 R ntegrle en [, ] [, ] [ e, h] [ ] e ( z,, g( f ( z, entones: h e h f f ( z e mner nálog, puee ntegrrse en ulquer otro oren e ntegrón Por eemplo: f z z f ( e h ( z f (, et e h Integrles en rentos no prlelepípeos eemos hor generlzr l efnón e ntegrl trple rentos más generles, no neesrmente prlelepípeos reto retángulos 0
Prof nre Cmpllo nálss Mtemáto II e f : R 3 R, seno un onunto oto uponemos f ntegrle no prlelepípeo Pr poer efnr un prlelepípeo [, ] [, ] [ e, h] f ( z, nlumos l onunto en efnmos l enomn funón rteríst el onunto : δ ( 0 Luego reefnmos l funón f e l sguente mner: f ( f ( δ ( e este moo, l funón reefn f resultrá: f ( f ( 0 eno [, ] [, ] [ e, h], result e est mner efnmos l ntegrl trple e f sore el rento e l sguente mner: ( z f f ( z Pr que l efnón teng sento se orret, eemos grntzr que f se ntegrle en Por l form en que h funón está efn, ls sontnues e f en serán ls msms sontnues e f o que f es ntegrle, ests sontnues no fetrán l ntegrl e f hor eemos nlzr el so e posle sontnu en l fronter e, pero ún uno se presente un sontnu en ho onunto, se trt e un onunto e me nul (es un superfe en el espo que no fet l ntegrl e f Por too lo epuesto, result f un funón ntegrle en