Tem 54.Cónics como secciones plns de l superficie cónic. TEMA 54. Cónics como secciones plns de l superficie cónic. 1. Introducción Se puede considerr l cultur de l Greci clásic como los pdres de l geometrí modern. Entre ls diferentes figurs geométrics que estudiron estn ls cónics. El primero en descurir ests curvs fue Memecno (35.C.) Apolonio 1 ños después estudió ests curvs y sus propieddes, sí como otenerls prtir de l intersección de plnos l superficie cónic. Con su descurimiento sus propieddes quedron de mnifiesto. El desrrollo de ls teorí de ls cónics fue stnte rápido, de hecho en el siglo IV Aristeo y Euclides en escrien liros descriiendo ls propieddes de tods ls cónics. Apolonio fue el primero en demostrr que ls curvs se otenín de cortr un mismo cono por diferentes plnos, eistiendo tres tipos de superficies:. Elipse si el ángulo del plno con el eje del cono es myor que l directriz del cono (si el ángulo es de 9 o es un circunferenci). Hipérol, si el plno es menor que el ángulo de l de l genertriz (en l ctulidd ls dos rms formn un hipérol en quell époc se llm hipérol cd rm). c. Práol, si el ángulo del plno es igul que el ángulo de l genertriz. El interés de ls cónics se revivó con el strónomo Kepler que consider elíptico el movimiento de los plnets. Hoy se se que dependiendo de l energí del stro l curv puede ser culquier de ls tres cónics: Si E< elipse (plnets ligdos l estrell); si E= práol, si E> hipérol (muchos de los comets). L ritmetizción de l geometrí que surge prtir de Descrtes y Fermt lleg tmién ls cónics, tl que estudids desde un punto de vist nlítico como lugres geométricos se pueden compror muchs de ls relciones vists tmién de form geométric. Desde el punto de vist nlítico ls cónics son curvs con epresión nlític de l form A +B y +C y+d+ey+f=. Si hy término y es deido que l cónic gir respecto los ejes.. Ls cónics: generción, definición y elementos..1. Generción de ls cónics como intersección de plno y cono. Como hemos comentdo en l introducción ls cónics se pueden estudir como intersección de plnos con ls superficies cónics (unque tmién surgen con intersección con otrs cuádrics). Vemos visulmente ls tres cónics en función del ángulo de corte del plno con del eje del cono y del ángulo ϕ de l genertriz con el eje: α=9 o α>ϕ α=ϕ α<ϕ Jose Luis Lorente (preprdor oposiciones secundri www.joseluislorente.es) 1
Tem 54.Cónics como secciones plns de l superficie cónic... Elementos de ls cónics: ejes, focos, directrices y vértices. Pr otener elementos y relcionrlos con l generción de l cónic como intersección del cono y el plno necesitmos definir dos esfers uilires, que llmremos ε y ε. Ests esfers son tngentes l superficie cónic y l plno. En el cso de l práol sólo hy un esfer. Vemos l definición de los elementos: Focos: son los puntos de tngenci de ls esfers con el plno interceptor: Elipse: los focos dentro de l curv y equidistntes del centro. Práol: un único foco dentro de l curv Hipérol: dos focos equidistntes l centro cd uno dentro de un rm. Directriz: el plno que contiene l curv tngente entre l esfer y el cono cort l plno interceptor formndo un rect denomind directriz de l cónic. Elipse: dos directrices fuer de l curv y l mism distnci del centro. Práol: un sol directriz eterior l práol y l mism distnci de l curv que el foco Hipérol: dos directrices prlels y eteriores l curv Ejes y vértices : l rect que une los focos de l elipse y de l hipérol se llm eje focl y cort ls dos curvs en A y A denomindos vértices. En l elipse l rect perpendiculr l eje por el centro es el eje menor y cort en otros dos vértices B y B. Ls distncis entre los focos se llm distnci focl d(f,f )=c. En l práol el eje es l rect perpendiculr l directriz que ps por el foco y cort l curv en su único vértice, V. L relción entre ls distncis de l curv los focos y l directrices nos permiten construir ests como lugres geométricos como veremos más delnte. Jose Luis Lorente (preprdorr oposiciones secundri www.joseluislorente.es)
Tem 54.Cónics como secciones plns de l superficie cónic..3. Ls cónics como lugres geométricos. L ecentricidd. Ddo un punto de P de l cónic si unimos P con el vértice del cono, O, l rect es un genertriz del cono que es tngente l esfer ε en el punto que llmmos M. Si trzmos l otr tngente l esfer por P est psrá por el foco (por definición de foco). Por propieddes de l tngentes eteriores un circunferenci se cumple que PM=PF O Por otro ldo, llmmos D l punto de l genertriz más próimo P, de form que l rect PD es perpendiculr l genertriz. Por ser D y M del mismo plno, l proyección de PD y PM sore el eje del cono tendrá el mismo vlor: PM cos(α)=pd cos(β), como PM=PF se cumple: M D PF PD cos( β) = cos( α) = cte = e ( ecentrici dd) Se cumple entonces que constnte e igul e. Ocurre l ecentricidd: cos( β ) Elipse(β>α ): e= <1 cos( α) l distnci de todo punto de l elipse l foco y l directriz es lo mismo pr l práol y l hipérol diferenciándose sólo en d(p,f)<d(p,d) cos( β ) Práol (β=α): e= =1 d(p,f)=d(p,d) cos( α) cos( β ) Hipérol (β<α): e= >1 d(p,f)>d(p,d) cos( α) Ls cónics son lugres geométricos en los que l distnci entre un punto de l curv y el d( P, F) foco y l directriz están relcionds de l form que se cumple = e. e d( P, d) L ecentricidd en l elipse y en l hipérol es igul l relción entre ls distncis d( F, F') c c focles y el eje focl: e = = =. Veámoslo pr l elipse: d ( A, A') Se trz por el vértice del cono un plno perpendiculr l eje de cono. Este plno cort l eje focl de l elipse en un punto Q, linedo con A, F, F y A. Aplicndo el teorem de l isectriz eteriores dos circunferencis (esfers) desde un punto (vértice) se cumple: Jose Luis Lorente (preprdorr oposiciones secundri www.joseluislorente.es) 3
Tem 54.Cónics como secciones plns de l superficie cónic. δ γ Q α β F A FQ AQ = F' Q AQ ' = sen( γ) sen( δ) cos( β) = cos( α) =e A F (se cumple β=9- γ y α=9-δ) Aplicndo propieddes de rzón: FQ AQ FQ' = AQ' FF' = AA' c = e 3. Estudio prticulr de l elipse. 3.1. Teorem previo. Antes de definir l elipse desde un punto de vist geométrico en dimensiones necesitmos definir el siguiente teorem. Teorem: l sum de ls distncis de un punto culquier de l elipse los dos focos es constnte: PF+PF =cte=. M Demostrción: Ls tngentes desde P l esfer ε son PM=PF 1 y l esfer ε son PM =PF (iguldd por propieddes de tngentes eteriores). Se cumple entonces que PF 1 +PF =PM+PM, como hemos visto PM+PM =cte, luego se cumple el teorem. Pr ver el vlor de l constnte no tenemos más que coger culquier de los vértices A o A de l elipse y ver que l sum de ls distncis es el eje rel, es decir Definición elipse en dimensiones: A prtir de este teorem se puede definir l elipse como el lugr geométrico en dos dimensiones de los puntos cuy sum de distncis los dos puntos fijos llmdos focos es constnte. Jose Luis Lorente (preprdorr oposiciones secundri www.joseluislorente.es) 4
Tem 54.Cónics como secciones plns de l superficie cónic. 3.. Elementos y relciones métrics. Los elementos de l elipse son: Ejes de l elipse: son ls dos rects de simetrí de l figur. El que contiene los focos se llm eje focl o eje myor, el perpendiculr se denomin no focl o menor. Los puntos de intersección de los ejes con l elipse se llmn vértices y se denotn como A, A (eje myor) y B, B (eje menor). El tmño del eje myor AA = tmién se llm eje myor (uso de l notción) y BB =, eje menor. Centro de l elipse: es el centro de simetrí otenido por l intersección de los dos ejes de simetrí (ejes de l elipse). Se suele denotr por O. Los focos: los puntos interiores de l elipse situdos en el eje myor y donde se cumple que PF+PF =. L distnci entre los focos FF =c se llm distnci focl. Relción pitgóric de l elipse: l sum de l semidistnci focl l cudrdo y del semieje menor l cudrdo es igul l semieje myor l cudrdo: = +c. Demostrción: el triángulo OBF tiene dos ctetos, y c. Por otro ldo l hipotenus es, pues se cumple que B es un punto de l elipse y BF=BF por tnto BF+BF =, luego BF= Al ser un triángulo rectángulo cumple el teorem de Pitágors: = +c 3.3. Ecentricidd de l elipse. En el prtdo del tem definimos l ecentricidd como el cociente entre coseno de los ángulos que formn el plno interceptor y l directriz o como el cociente de l distnci focl y c el eje myor, e =. Como >c se cumple que <e<1 en l elipse. Podemos epresr l relción entre los dos ejes en función de l ecentricidd: = +c 1 y c=e =. = 1 e 1 e Se cumple que si l ecentricidd se proim entonces el eje myor se proim l menor y l distnci focl cero, esto hce que l elipse se cerc un circunferenci. Si l ecentricidd se proim 1 entonces / se proim infinito, por lo que l elipse estrá muy chtd. e=.9 e=.5 e=.3 e= Jose Luis Lorente (preprdor oposiciones secundri www.joseluislorente.es) 5
Tem 54.Cónics como secciones plns de l superficie cónic. 3.4. Estudio nlítico. Crtesins: Por sencillez vmos situr el centro en el origen, O(,), y el eje myor en el eje OX y menor por tnto en OY. Los focos están en F (-c,) y F(c,), los vértices en A(,), A (-,), B(,) y B (,-), cumpliéndose que = +c. Un punto P(,y) es de l elipse si cumple: d(p,f)+d(p,f )= ( c) + y + ( + c) + y =. Elevndo dos veces l cudrdo pr eliminr ls ríces se cumple + y =, que dividiendo entre : y + = 1, con > En el cso generl en el que el centro O(,y ) sólo tenemos que cmir por - e y-y : ( ) ( y y) + = 1, con >. Si cmimos los ejes sólo tenemos que cmir por y: ( ) ( y y) + = 1, > Prmétrics: = y = y + cos( t) + sen ( t) o = y = y + cos( t) + sen ( t) con t [, π) En el cso generl donde se rotn los ejes un ángulo α ls epresiones surgen de hcer l trnsformción = cos(α)-y sen(α), y = sen(α)+y cos(α), preciendo términos y. Ecución de l rect tngente l elipse en el punto (P,P y ) lo más sencillo es clculrl en prmétrics, siendo el vlor del punto en t : d = sen ( t) dt dy dy = cos( t) d dt = tg( t ) y Py = tg( to)( P) 4. Estudio prticulr de l hipérol. 4.1. Teorem previo. Teorem: todos los puntos de l hipérol cumplen que el módulo de l diferenci entre sus distncis los focos de l mism es constnte e igul l distnci entre ls dos rms, Demostrción semejnte l elipse, pues se cumple que PF=PM y PF =PM y PF =PM, luego PF -PF =PM-PM =k=. Definición: l hipérol es l curv con dos dimensiones que es lugr geométrico de los puntos cuy diferenci (en vlor soluto) de ls distncis del punto los focos es constnte. Jose Luis Lorente (preprdor oposiciones secundri www.joseluislorente.es) 6
Tem 54.Cónics como secciones plns de l superficie cónic. 4.. Definición y elementos. Relción métric Los elementos de l hipérol son los que siguen: Ejes de l hipérol: tiene dos ejes de simetrí, el que ps por los focos se llm eje rel o eje focl. El otro que es perpendiculr l nterior no cort l hipérol y se llm eje imginrio. Vértices de l hipérol: el eje rel cort l curv en dos puntos, que se denominn vértices reles, A y A. Centro de l hipérol: centro de simetrí, intersección de los dos ejes de l curv. Focos: son los puntos que genern l hipérol como dijimos en l definición. L relción métric que relcion los semiejes rel, imginrio y l semidistnci focl es: c = +, siendo c=d(f,f ), =d(a,a ) y =d(b,b ). Demostrción: por definición de ejes imginrios (donde cortn ls rects tngentes y=-(/) ) 4.3. Ecentricidd y form de l hipérol. En el prtdo definimos l ecentricidd como el cociente entre l distnci de todo c punto de l curv l foco y l directriz, que coincidí con el siguiente cociente e =. Por l relción métric se cumple que c, por lo que e 1. Relcionndo l distnci focl con el eje rel en función de l ecentricidd nos permite ver ls rms de l hipérol más o menos ierts según el vlor de e: e= e=5 e= e=1 Jose Luis Lorente (preprdor oposiciones secundri www.joseluislorente.es) 7
Tem 54.Cónics como secciones plns de l superficie cónic. Se llm hipérol equiláter quell en el que los ejes rel e imginrio son igules, =, por tnto c= y por tnto su ecentricidd será e =. 4.4. Estudio nlítico. Clculremos primero l epresión nlític de ls hipérols centrds en el origen y con eje OX eje rel. Si F (-c,) y F(c,) son los focos de l hipérol y el tmño del eje rel. Por l definición se cumple que si P(,y) es de l hipérol d(p,f)-d(p,f ) =: ( c) + y ( + c) + y =. Operndo de form equivlente l elipse, elevndo l cudrdo dos veces y utilizndo l regl métric c = + l epresión de l hipérol reducid: y = 1, hor no hy restricciones entre y pudiendo ser myor uno u otro. Si el eje rel ps ser el eje verticl l epresión será equivlente cmindo por y: y = 1 En el cso generl donde el centro está en C(, y ) ls ecuciones serán ls misms desplzndo el centro: ( ) ( y y ) = 1 ( y y) ( ) o = 1 Podemos poner l epresión nlític de l hipérol en form prmétric prtir de ls rzones hiperólics (se puede demostrr su equivlenci prtir iguldd: ch ()-sh ()=1 = y = y + ch ( t) ejerel + sh ( t) esox = y = y + sh ( t) ejerel + ch ( t) esoy Un cso prticulr muy interesnte es cundo tenemos un hipérol equiláter y girmos los ejes 45 o, en este cso l epresión nlític se comport como un función con epresión: cos(45) sen(45) y= ± (se otiene prtir de l mtriz de giro de los ejes: M = 45 o sen(45) cos(45) y= Se cumple que cudrntes I y III. y=, entonces está en los y=- En el cso y=- estrá en los cudrntes II y IV Jose Luis Lorente (preprdor oposiciones secundri www.joseluislorente.es) 8
Tem 54.Cónics como secciones plns de l superficie cónic. Ecuciones de ls síntots: son síntots olicus de l form y=m+n. Clcuemos m y n: m = lim y ± = lim 1 = ± y n = limy m = lim± 1m = Luego ls síntots son y = e y = En el cso de ls hipérols equiláters ls síntots son y= e y=-, y si está gird 45 o entonces son los ejes coordendos. 5. Estudio prticulr de l práol. 5.1. Definición y elementos. Definición: l práol con foco F y rect directriz d es el lugr geométrico de los puntos que equidistn de F y d. Elementos crcterísticos de l práol son los siguientes: Foco (F): punto prtir del que se define l práol Directriz (d): es l rect prtir de l cul se define l práol. Vértice (V): el punto más próimo del foco y de l directriz. Está distnci P de mos 5.. Distnci del focoo l directriz y form de l práol En el cso de l elipse l ecentricidd es constnte e igul 1, por tnto no determin l form de l mism. Es el prámetro P (distnci del Foco l directriz es P), l que determin l form de l curv. Cunto myor se el vlor de P más iert es l curv. Si P> el vértice es un mínimo y si P< será un máimo. P= P=1 P=1/4 P= P=-1 P=-1/4 Jose Luis Lorente (preprdorr oposiciones secundri www.joseluislorente.es) 9
Tem 54.Cónics como secciones plns de l superficie cónic. 5.3. Estudio nlítico. ) Vértice en el origen y directriz prlel eje OY: se cumple que ls ecuciones de l directriz y foco son d: =-P y F(P,). Aplicndo l definición d(p,f)=d(p,d) siendo P(,y) los puntos de l práol se cumple: d(p,f)= ( + y P) y d P, d) = + P cudrdo l epresión es ( ( P) + y = + P. Elevndo l y = 4 P. Si P es negtivo (directriz por encim del eje OX) l epresión será y = 4 P ) Vértice en el origen y directriz prlel eje OX: sólo hy que permutr ls dos coordends: = 4 P y o = 4 P y c) Vértice en (,y ): y y ) = ± 4 P ( ) o ) = ± 4 P ( y ) ( ( y 6. Presenci de ls cónics en l nturlez, técnic y el rte. 6.1. Presenci en l Nturlez 1. Movimiento de los cuerpos celests y prtículs tómics: los movimientos de los K cuerpos sometidos potenciles centrles de l form V= como l de los cuerpos r G M K celestes ( V= ) o el electrostático ( V = ) son tryectoris cónics. Que r 4 π ε r se l tryectori un práol, elipse o hipérol depende de l energí del stro: ) E< (ligdo l otro stro): movimiento elíptico con l que está ligdo en uno de los focos. Es el cso de los plnets o los stélites. ) Si E> (no ligdo): su tryectori no cerrd siendo l órit un hipérol. Muchos comets. c) En el límite E= su tryectori es un práol. En el cso del potencil eléctrico es equivlente l grvittorio si ls crgs distinto signo (trctivo).. Tiro prólico: es el movimiento de un cuerpo sometido l grvedd ( celerción constnte en dirección verticl) y con componente de velocidd prlel l suelo (perpendiculr l grvedd) distint de cero: Eje OX: = +v t Eje OY: y=y +v y t-g t /. vy g( ) Despejndo l t: y = y + ( ) v v 6.. Presenci en l técnic. Ls propieddes genérics de ls cónics hce que su uso se muy importnte en l óptic o en l recepción y trnsmisión de señles (ien cústics, de rdio, móvil televisión ). Pr entender ls propieddes hy que utilizr l ley de Snell: todo ryo de luz que llegue un Jose Luis Lorente (preprdor oposiciones secundri www.joseluislorente.es) 1
Tem 54.Cónics como secciones plns de l superficie cónic. superficie cumple que l componente reflejd y trnsmitid form un mismo ángulo respecto l norml de l superficie l que lleg. En l elipse el ángulo que form un foco con todo punto P de l curv es igul que form con el otro foco con respecto l rect norml en P. Si tenemos un espejo elíptico, todo ryo (de luz, o sonido) emitido desde el foco reflejrá en un punto culquier de l elipse y psrá por el otro foco. Así si dos persons situds en los focos pueden comunicrse de form sencill unque no hlen uno enfrente de otro. En l hipérol se cumple que los ryos que psn por un foco se reflejn de form que l proyección del ryo reflejdo ps por el otro foco. En l práol los ryos que inciden prlelos l eje de simetrí l ser reflejdos por el espejo estos psn por el foco y l revés, los que psn por el foco se trnsmiten prlelos l eje de simetrí. Est propiedd es idel pr reciir todos los ryos en un punto (foco) y pr envir luz en form prlel (omill en el foco de l luz en el coche). Jose Luis Lorente (preprdor oposiciones secundri www.joseluislorente.es) 11
6.3. En el rte Tem 54.Cónics como secciones plns de l superficie cónic. En l rquitectur los rcos prólicos se utilizn en l construcción de puentes, viductos, puerts de iglesis l propiedd técnic de l práol hce posile que pued soportr grndes crgs. Ls cónics son muy utilizds por Gudí en sus construcciones y por Picsso en l pintur. 7. Conclusiones. Ls cónics se ordn como lugres geométricos en dos dimensiones en l signtur de Mtemátics I de 1º de Bchillerto. Jose Luis Lorente (preprdor oposiciones secundri www.joseluislorente.es) 1