Héctor W. Pagá Profesor de Matemáticas Mate 4105 Geometría para maestros de escuela elemetal Lecció #3 Polígoos Objetivos Defiició Polígoos Triágulos Cuadriláteros Clasificar triágulos plicar propiedades de triágulo isósceles plicar la suma de las medidas de los águlos de u triágulo plicar propiedades de los rectágulos plicar la suma de las medidas de los águlos de u polígoo Figuras e dos dimesioes Ua curva es u cojuto de putos que se puede trazar sobre ua superficie plaa si levatar el lápiz o bolígrafo Ua figura es ua curva simple si trazamos la figura de tal maera que uca tocamos más de ua vez. Ua figura es ua curva cerrada si trazamos la figura de tal maera que el puto de iicio es el mismo que el puto fial. Cuado se utiliza la palabra curva, esta palabra se utiliza tato para figuras co líeas, curvas o combiació de estas. Las curvas cerradas simples so curvas que podemos trazar si pasar sobre u puto más de ua vez y que el puto iicial es el mismo que el puto fial Ejemplo Clasifique las siguietes figuras e
a) Curvas simples-2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 13 b) Curvas cerradas 1, 2, 3, 4, 8, 9, 11, 12, 13 c) Curvas cerradas simples- 2, 3, 4, 8, 9, 11, 13 Ejercicios Dibuje ua adicioal para a) Curva cerrada simple b) Curva abierta simple c) Curva cerrada o simple d) Curva o cerrada simple Teorema: las curvas de Jorda- cualquier curva simple cerrada divide al plao e tres regioes disjutas: la curva misma, el iterior de la curva y el exterior de la curva. Polígoo Polígoo es defiido como ua curva simple cerrada compuesta solo de segmetos de líeas. U polígoo es formado uiedo líeas tal que No hay dos segmetos de líeas que se iterseca excepto e los extremos. (puto iicial y el puto fial) No hay dos segmetos de líeas co extremos sobre la misma líea. E cualquier polígoo, el puto e que dos segmetos se ue es llamado vértice e plural vértices. Los segmetos de líea que represeta el polígoo so llamados lados. La palabra polígoo tiee u orige griego poli- muchos y goo- lados. U polígoo es ua figura geométrica cerrada co al meos tres segmetos de recta como lados. Los polígoos so clasificados por el úmero de lados que tiee. U polígoo de cuatro lados es llamado cuadrilátero y poliomio de ocho lados es llamado octágoo. Si u poliomio tiee todos los lados iguales y los águlos iguales se le llama u polígoo regular. Los siguiete tabla clasifica los polígoos de acurdo al úmero de lados. Los putos dode los lados iterseca se llama vértices. Si u polígoo tiee lados y águlos que tiee la misma medida se llama polígoos regulares Número de lados Nombre Polígoos Polígoos regulares 3 lados Triágulo
4 lados Cuadrilátero 5 lados Petágoo 6 lados Hexágoo 7 lados Heptágoo 8 lados Octágoo lados Polígoo de lados De la tabla aterior podemos otar que el úmero de lados es igual al úmero de vértices. Defiició de figuras cogruete Dos figuras so cogruetes si y solo si tiee la misma forma y mismo tamaños. Dos polígoos so cogruetes si y solo si todas sus partes correspodietes so cogruetes. Triágulos U triágulo es u polígoo co tres lados (y tres vértices). Recuerde que e geometría los putos se ombra co letras mayúsculas. Utilizamos letras mayúsculas para ombrar
los vértices del triágulo. Por ejemplo haciedo referecia al triágulo co vértices, B y C utilizamos la otació BC (que se lee el triágulo BC). C B Cometario. Cuado damos ombre a u triágulo podemos comezar por cualquier vértice y cotiuar a favor o e cotra de las maecillas del reloj. Otras formas de dar ombre al triágulo aterior so CB, BC, BC, CB, CB. Clasificació de triágulos Se puede clasificar los triágulos de dos formas diferetes 1. por el largo de sus lados a. Triágulo equilátero- todos sus lados iguales Los lados del triágulo equilátero so cogruetes y sus águlos tambié so cogruetes b. Triágulo isósceles- dos lados iguales c. Triágulo escaleo- o tiee lados iguales 2. por la medida de sus águlos a. Triágulo agudo- tiee tres águlos agudos
b. Triágulo obtuso- tiee u águlo obtuso c. Triágulo rectágulo- tiee u águlo recto El lado más largo del triágulo rectágulo se llama hipoteusa y los otros dos lados so llamados catetos. La hipoteusa de u triagulo rectágulo siempre es opuesta al águlo de 90º. Los catetos del triagulo rectágulo está adyacetes al águlo de 90. Los triágulos rectos tiee aplicacioes e la vida real. Por ejemplo si colocamos ua escalera e ua pared el águlo que se forma es u triágulo rectágulo. Propiedades de u triágulo isósceles E los triágulos isósceles los águlos opuestos a los lados cogruetes so cogruetes y so llamados águlos bases. El águlos formado por los lados cogruetes es llamados águlo del vértice y el tercer lado es llamado base. Águlo vértice Águlo base Águlo base Base Teorema del triágulo isósceles Si dos lados de u triagulo so cogruetes, etoces los águlos opuestos a esos lados so cogruetes. Coverso del teorema del triágulo isósceles Si dos águlos de u triágulo so cogruetes, etoces los lados opuestos a estos águlos tiee la misma medida y el triagulo es isósceles.
La suma de los águlos de u triágulo Ejercicio de exploració Dibuje varios (3 a 4) triágulos de diferetes formas y tamaños. Mida co el trasportados cuidadosamete cada uo de los águlos de cada triágulo y demuestre qué la suma de los águlos de cada triágulo es de 180º.
Para probar ta importate observació sobre los triágulos estudiaremos el BC como se muestra B 4 2 5 D l 1 3 C La líea l es dibujada sobre el puto B y es paralela a C. Tres observacioes so importates para uestra prueba. 1. BD está formado por los 2 y 5. Esto es m BD m 2 5 2. La medida de u águlo llao es de 180. Esto es m BD m 4 180 3. La B es ua líea trasversal que corta las rectas paralelas C y l los águlos alteros iteros so cogruetes esto es m 1 m 4 Similarmete BC es ua líea trasversal que corta las rectas paralelas C y l los águlos alteros iteros so cogruetes esto es 3 5 m m. Prueba: Para comezar la prueba, aplicamos la propiedad de suma de ecuacioes a la ecuació de la observació 1. m BD m 2 5 m BD m 4 m 4 m 2 5 De la observació 2, podemos remplazar m BD m 4 por 180 180 m 4 m( 2) m( 5) De la observació 3, podemos remplazar m 4 por m 1, y m 5 por m 2 180 m 1 m( 2) m( 3) El resultado idica que la suma de los águlos BC e la figura aterior es de 180. Por la geeralizació de esta prueba, hemos demostrado el hecho que para cualquier triágulo la suma de los águlos iteros de u triágulo es de 180. Águlos de u triágulo. La suma de la medida de los águlos de cualquier triágulo es de 180. Ejemplo E u BC, la medida del excede la medida del B por 32º, y la medida del C es el doble de la medida del B. Determie la medida de cada águlo del BC.
álisis del problema Debemos cosiderar tres águlos, B y C. La medida del excede la medida de B por 32º La medida del C es el doble de la medida del B Medida de cada águlo? Formular la ecuació Como la medida del y C está e térmios de la medida del B y B es descoocido utilizamos x para represetar la medida del B. hora se trasforma las frases (los valores de y C ) a expresioes algebraicas. La medida del = x + 32º La medida del C = 2x E esta etapa sería muy coveiete hacer u dibujo de la situació que teemos x + 32º B x 2x C Como sabemos que la suma de los águlos iteros de u triágulos suma 180º. La ecuació es (x + 32º) + (2x) +(x) = 180º Resolver la ecuació (x + 32º) + (2x) +(x) = 180º x + 32º + 2x + x =180º 4x + 32º = 180º 4x = 180º 32º 4x = 148º se divide por 4 a ambos lados x = 37º Para ecotrar los valores de los águlos se sustituye x = 37º e las expresioes x + 32º y 2x Si x = 37º, etoces x + 32º=37º + 32º = 69º Si x = 37º, etoces 2x = 2(37º ) = 74º Presetar la solució del problema La medida de los águlos es: = 69º B = 37º C = 74º Verificar el resultado Notemos que 69º excede 32º de 37º y 74º es el doble de 34º y que la suma de 60º +37º +74º =180º.
Cuadrilátero y otros polígoos Objetivos Defiir e idetificar correctamete los cuadriláteros plicar propiedades de los rectágulos Defiir e idetificar correctamete trapezoide Calcular la medida de la suma de los águlos de u polígoo Determiar la medida de u águlo de u polígoo regular Determiar la medida de u águlo exterior de u polígoo regular U cuadrilátero es u polígoo co cuatro lados. lguos cuadriláteros comues so: Cuadrilátero Características Polígoo Paralelogramo polígoo dode sus lados opuestos so paralelos Rectágulo paralelogramo co cuatro águlos rectos Cuadrado rectágulo dode sus lados tiee la misma medida Rombo paralelogramo dode sus lados tiee la misma medida Trapecio cuadrilátero co exactamete dos lados paralelos Se utiliza las letras mayúsculas de los vértices del cuadrilátero para darle ombre al cuadrilátero. Cuado os referimos al cuadrilátero, co vértices, B, C y D, os referimos como el cuadrilátero BCD.
B D Figura 1 C Nota: Cuado ombramos u cuadrilátero (u otro poliomio) podemos comezar co cualquiera de los vértices. Etoces os movemos alrededor de la figura a favor o e cotra de las maecillas del reloj listado los vértices. Otras formas de ombrar la figura 1 so el cuadrilátero DCB, el cuadrilátero BDC, el cuadrilátero BCD, el cuadrilátero CBD, el cuadrilátero CDB, el cuadrilátero CBD y el cuadrilátero DBC. U segmeto que ue dos vértices o adyacetes de u polígoo es llamado ua diagoal del polígoo. El cuadrilátero de la figura 2 tiee dos diagoales. C y BD. D C Figura 2 B Propiedades de rectágulos. Recuerde defiimos u rectágulo como u cuadrilátero co cuatro águlos rectos. El rectágulo es probablemete la figura geométrica más recoocible. Por ejemplo la mayoría de las puertas y vetaas tiee forma rectagular. Los límites de u campo de football, de soccer. Las moedas de $1, $5 y $20 tambié tiee forma rectagular. Los rectágulos tiee características importates. Propiedades de rectágulos E cualquier rectágulo: 1. Todos águlos so águlos rectos. 2. Los lados opuestos so paralelos. 3. Los lados opuestos tiee el mismo largo. 4. Las diagoales tiee el mismo largo. 5. La itersecció de las diagoales es u sus putos medios.
Ejemplo U carpitero iteta costruir el piso de u meredero rectagular co ua base de 12 por 15 pies. Cómo puede asegurarse de que el piso quede a escuadra? Solució W 15 pies X 12 pies Z Y El carpitero puede usar ua cita de medir para ecotrar las diagoales WY y XZ. Si estas diagoales so de igual logitud el piso será u rectágulo y tedrá cuatros águlos rectos. Etoces la base estará a escuadra. Ya hemos visto que si u cuadrilátero tiee cuatro águlos rectos, este es u rectágulo. El siguiete teorema estable las codicioes para que u paralelogramo sea u rectágulo. Teoremas del paralelogramo 1. Si u paralelogramo tiee u águlo recto, etoces el paralelogramo es u rectágulo. 2. Si las diagoales de u paralelogramo so cogruetes, etoces el paralelogramo es u rectágulo.
Trapezoide U trapezoide es u cuadrilátero co exactamete dos lados paralelos. Ver la figura 3. Los lados paralelos, e este caso so By DC, so llamados las bases Los lados o paralelos so llamados catetos y los águlos e ambos lados de la base se llama águlos base. Si los lados o paralelos so de la misma logitud el trapecio es u trapecio isósceles. E u trapecio isósceles los águlos base so cogruetes. Para distiguir etre las dos bases, os referimos a B como la base superior y DC la base iferior. Los águlos e la base superior so llamados águlos base superior y a los águlos e la base iferior so llamados águlos base iferior. B D Figura 3 C E la figura 3, podemos ver que la recta D( D ) es como ua líea trasversal a las líeas paralelas a B y DC. Por lo tato los y D so águlos iteriores al mismo lado de la trasversal, etoces los águlos so suplemetarios. Similarmete BC es la trasversal que corta la rectas B y DC. Por lo tato B y C so águlos iteriores al mismo lado de la trasversal, ellos so tambié suplemetarios. Co esta observació podemos cocluir que siempre hay dos pares de águlos suplemetarios e cualquier trapezoide. Ejemplo La secció trasversal de ua zaja de dreaje es trapecio isósceles co B CD. Determie los valores de x y y. B 8 pies x pies 120º yº D C Solució Como la figura es trapecio isósceles sus lados o paralelos so cogruetes por tato m D m BC 8. Como los águlos bases de u trapecio isósceles so cogruetes, m D m C 120.
Ejemplo E la figura os referimos al trapezoide KLMN. Si KL NM, determie el valor de x y y. K L x 121º N 82º y M Solució Hay dos pares de águlos suplemetarios e el trapezoide: K y N, y L y M. Como la suma de los águlos suplemetarios es de 180º, teemos m K m N 180 m L +m M 180 x 82 180 121 +y 180 x 180 82 y 180 121 x 98 y 59 Por lo tato x = 98º y y = 59º La suma de las medidas de los águlos de u polígoo Si dibujamos u cuadrilátero similar (se estará defiiedo más adelate) a la de la figura co águlos de 79º, 127º,88º y 66º. Cuado sumamos las medidas de los águlos obteemos º. 79 127 88 66 88 66 79 127
Podemos otar u hecho de los cuadriláteros: La suma de las medidas de los águlos iteros de cualquier cuadrilátero es grados. Podemos demostrarlo utilizado el siguiete procedimieto. Si os deteemos e uo de los vértices y trazamos todas las diagoales posibles desde éste vértice, otamos que dividimos el cuadrilátero e dos triágulos. Como sabemos que los águlos iteros de u triagulo suma 180 y el cuadrilátero tiee dos triágulos etoces la suma de los águlos del cuadrilátero es de 2 por 180º que es igual a º. Problema de exploració. Dibuje dos polígoos u petágoo y u hexágoo. E cada polígoo determie la suma de los águlos iteros de cada polígoo. Trace todas las diagoales posibles desde u solo vértice para que determie el úmero de triágulos y al multiplicarlo por 180 determiara la suma de los águlos iteros de los polígoos. Águlos de u polígoo La suma S, e grados, de la medida de los águlos iteros de u polígoo co lados es dada por la fórmula S 2 180 Ejemplo Determie la suma de los águlos iteros de u polígoo de 13 lados. Solució Para determiar la suma de los águlos iteros del polígoo de 13 lados, sustituimos 13 por e la fórmula S 2 180. S S S 2 180 13 2 180 11 180 S 1980 La suma de los águlos iteros del polígoo de 13 las es de 1,980º. Ejemplo La suma de los águlos iteros de u polígoo es de1,080º. Determie el úmero de lados que tiee el polígoo. Solució Para determiar el úmero de lados que tiee el polígoo utilizamos la fórmula S 2 180 y despejamos para. Podemos sustituir el valor de S por 1,080º y resolver para. S 2 180
1080 2 180 1080 180 2 180 1080 180 1080 180 1440 180 1440 180 8 Determiar la medida de u águlo de u polígoo regular Recordemos que u polígoo que todos sus lados tiee la misma medida y todos sus águlos tiee la misma medida se llama polígoo regular. Medida de u águlo de u polígoo regular La medida de u águlo, e grados, de u águlo de u polígoo regular co lados es dado por la fórmula 2 180 Ejemplo Determie la medida de u águlo de u polígoo regular de 9 lados. Solució El polígoo regular de 9 lados tiee sus 9 águlos cogruetes. Podemos sustituir = 9 e la fórmula 2 180 9 9 2 180 7 180 9 1260 9 140 La medida de cada águlo es de 149º. Cuado teemos la medida de u águlo de u polígoo regular, podemos utilizarla la siguiete fórmula para determiar el úmero de lados del polígoo.
Polígoos regulares El úmero de lados que u polígoo regular tiee es dado por la fórmula 180 Dode es la medida, e grados, de u águlo del polígoo. Ejemplo La medida de de cada águlo de u polígoo regular es de 150º. Determie el úmero de lados que tiee el polígoo? Solució Ecotramos el úmero de lados sustituyedo por 150º e la fórmula 180 180 150 30 12 El polígoo tiee 12 lados. 180 Águlos exteriores El petágoo BCDE que se muestra e la figura tiee cico águlos iteriores(los águlos más prouciados). Los águlos marcados sobre los lados extedidos so llamados águlos exteriores del polígoo. Águlos exteriores de u polígoo U águlo exterior de u polígoo es u águlo que es adyacete y suplemetario al águlo iterior. F B E C D E la figura, FB es u águlo exterior del polígoo, porque es adyacete y suplemetario a BE.
Supogamos que el petágoo BCDE es u polígoo regular. Para ecotrar la medida del águlo iterior que es cogruete co los cico águlos iteriores del petágoo utilizamos la fórmula: 2 180 ; dode es igual a cico 5 2 180 5 3 180 5 540 5 108 La medida de cada águlo iterior del petágoo regular BCDE es de 108º. Como cada águlo exterior es suplemetario al águlo iterior la medida del águlo exterior es 180º - 108º =72º. Por ejemplo, BE 108 y m FB 180 108 72. La medida de u águlo exterior de de u polígoo regular Si es la medida de u águlo iterior y E es la medida del águlo exterior de u polígoo regular, etoces E = 180º. Podemos derivar otra fórmula para la medida de los águlos exteriores de u polígoo 2 180 regular reemplazado por la medida del águlo iterior por y simplifique. 2 180 E 180 E E E E E 180 180 180 180 180 180 180 180
La medida de u águlo exterior de u polígoo regular Si E es la medida de u águlo exterior de u polígoo regular co lados, etoces E Como es útil coocer cuáto es la medida de los águlos iteriores de u polígoo regular, tambié es útil coocer cuáto es la suma de los águlos exteriores de u polígoo. Supogamos que teemos águlos e u polígoo regular co lados, la suma S de los águlos exteriores del polígoo regular es el producto del úmero de águlos por E, S E S S La suma de los águlos exteriores de u polígoo regular. La suma de los águlos exteriores de u polígoo regular es de º.