Asigntur: Mtemátics I Profesor: Roque Molin Legz TEMA..4: APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL Progrm detlldo: - Áres de recintos plnos. - Volúmenes de revolución. - Volumen de un sólido por secciones plns. -Longituddeunrcodecurvpln. - Áre de un superficie de revolución. - Ejercicios resueltos. - Ejercicios propuestos. Enesteúltimotemdedicdolcálculointegrlenfuncionesdeunvrile,vmosver lguns de ls plicciones que se otienen del concepto de integrl definid. En lo que veremos continución, pueden precer integrles"propis" o impropis, unque en mos csos ls fórmuls utilizr son ls misms. Tmién será hitul usr ls posiles simetrís que tengn ls figurs ls que les queremos otener ests plicciones. Áres de recintos plnos. Cundo y fesuncurvpositiv,elárecomprendidentrelmism,elejexyls rects y semosquevieneddporelvlorde Áre fd Silcurv y ftieneregionespositivsynegtivs,hremosdeclculrelárede cd región por seprdo(previmente otendremos los puntos de corte de l función con el ejex,resolviendolecución f ),yeláretotlserálsumdelosvloressolutos delsáresdecdregión.
Esdecir,enelcásodeestgráfic,clculremosporunldoeláredelregión(),porotro ldoelárede(),ysummoslosvloressolutosdems. Emple Clculr el áre comprendid entre l función f sin y el eje OX en el intervlo,. Remrk Notemos que hemos de tomr vlores solutos especilmente en ls regiones en los que l función es negtiv, y que por l propi definición de integrl, se verific que si f, ocurre que fd. Siloquesetrtesdeclculrelárecomprendidentredoscurvs fygylsrects y, suponiendoque f g,(estmossupondremosquems curvsnosecruznen,),hemosdeplicr Áre f gd Silscurvssecortsenen,,hremosdeclculrlospuntosdecortedems,y clculrlsáresdecdregiónporseprdo.eláretotlserálsumdelosvlores solutos de cd región.
Emple Clculr el áre del círculo unidd. Remrk Como veremos en l myorí de ejemplos, cundo vymos relizr ejercicios de cálculo de áres de recintos plnos, suele ser hitul relizr un simplificción del prolem y clculr un prte del áre pedid y utilizr l simetrí de l figur (si l tiene). Lo mismo ocurrirá con el resto de plicciones. Volúmenes de revolución. Volumen otenido l girr un áre pln lrededor del eje X. V X f d y d Volumen otenido l girr un áre pln lrededor del eje Y. V X fd yd Emple Clculr el volumen de un esfer de rdio R, hciendo girr l circunferenci de rdio R lrededor del eje OX y lrededor del eje OY. Emple Clculr el volumen del "toro" otenido l hcer girr l circunferenci 6 y 4 lrededor del eje OX.
Volumen de un sólido por secciones plns. Consideremos un cuerpo sólido y se A l sección producid l cortr dicho cuerpo por un plnoritrrioperperdiculrunodelosejesdecoordends.siest Aesconocidyesun función continu de coordend, entonces el volumen del sólido viene determindo por V Ad siendo, el intervlo donde vrí l vrile por l que hemos intersectdo el sólido. Remrk Lo que hcemos l clculr l integrl del áre de l sección trnsversl A, donde vri entre y, no es sino clculr l sum de ls infinits áres (rodjs de grosor desprecile) otenids l intersectr nuestro volumen por infinitos plnos de l form cte. Emple Clculr, utilizndo el método de secciones plns, el áre de un esfer de rdio R. Longituddeunrcodecurvpln. Se y funcurvplndefinidenelintervlo,, enelque fesunfunciónde clse C (esdecir,unfunciónqueescontinuyconfunciónderivdprimercontinu).entl cso,llongituddelrcodecurventrelospuntos,fy,fvieneddpor L f d y d
Emple Clculr l longitud de un circunferenci de rdio R. Emple Clculr l longitud de un rco de ctenri (coseno hiperólico), entre los puntos y. Áre de un superficie de revolución. Hemos visto que dd un función continu f definid en el intervlo,, pueden otenersefigursderevoluciónlgirrelárequeformlcurvlrededordelgunodelosejes de coordends. De estos cuerpos de revolución hemos visto como otener su volumen(giro en tornoejexy/ogiroentornoejey).puesdeestoscuerpos,tmiénesposileotenersuáre superficil.enconcreto,severific(siemprequelfunción fsedeclse C )queelárede revolución(oárelterldelsuperficie)cundogirentornolejexvieneddpor AS X f f d y y d mientrsquesigirentornolejeylmismvieneddpor AS Y f d y d Emple Clculr el áre superficil de un esfer de rdio R hciendo girr un circunferenci de rdio R lrededor del eje OX. Ejercicios resueltos.. (do prcil, junio )Clculreláreyllongituddellzodelregióndelplno encerrd por l curv 3y Solución:Setrtdeuncurvsimétricrespectodeleje Xyquecortlmismoenls cissy. Portnto donde est integrl es inmedit. De igul form Longitud Áre yd y d 3 d... 8 45 3 3 3 integrl que tmién es inmedit(si se descompone l frcción en dos). d 3 3 d... 4 3 3. (do prcil, junio 3) Se f l función definid por f 4 4. Clculr l integrl fd
Hllr, rzondmente, el áre comprendid entre l curv f y el eje X. Solución: Clculr l integrl es inmedito si oservmos que fd 4 4 d d dt t rctn cte Además, como l representción gráfic de l curv viene dd por rctnt cte.5.5 4*/(^4+).5 -.5 - -.5 - -.5 - -5 5 (notemosquesetrtdeuncurvimpr,yquetieneleje Xcomosíntothorizontl),eláre pedid será Are 4 4 d 4rctn 4rctn 4rctn 4 3. (do prcil, myo 4)Clculrllongituddelucledelcurvddpor 9y Solución: L representción gráfic de l curv viene dd por.5 -.5 - - -.5.5.5.5 3 porloqueclculremosllongituddeundelsdosrms(entre y)ymultiplicremospor. Semosquellongituddeuncurvvieneddpor L f d loqueennuestrocsoserí Como L y d
si tommos el signo, tendremos porloque Así, se trt de resolver y L y 3 y... d... d... 4 3 (Estintegrllhemosresueltomedinteelcmiodevrile t ;oteniéndoseun integrl inmedit en vrile t). 4. (do prcil, myo 6) Resolver los siguientes prtdos: 4. Clculr el áre de l superficie de revolución(áre lterl) otenid l girr l curv y 3, con, lrededordeleje OX. 4. Justificr que se verific e cosd e sind yclculrelvlordeundeells. Solución: (.)Comolcurvesimpr,clculremoseláresuperficilotenidlintegrren,y multiplicmos el resultdo por. Así A OX y y d 3 3 d 4 5 7 5 54 (l integrl es inmedit l ir multiplicndo l derivd del rdicndo). (.)Siresolvemoslintegrlprimerporprtes(tomndo u e, dv cosd; dedonde du e d, v sin),setendráque e cosd e sin e sind ysinosfijmosenelvlorqueseotienedelsumndoyintegrdo e sin lim e sin e sin lim sin e (dondeestelímitesehclculdoteniendoencuentqueelnumerdorestácotdoyel denomindortiende),porloqueesciertoque e cosd e sind Prclculrelvlordelintegrl,volvemosplicrprteslsegund(con u e, dv sind; dedonde du e d, v cos),dedonde e cosd e sind e cos e cosd es decir
e cosd e cos porloque e cosd e cos lim e cos e cos (ellímitequepreceenestigulddseclculdelmismformqueelnterior). 5. (er prcil, ferero 7) Clculr el vlor de ls siguientes integrles: 3 d d Solución: (5.) Completndo cudrdos, result 3 d 4 d porloqueefecturemoselcmiodevrile sint : De est form 4 d 44sin t cost dt 4cos t dt es decir 4 cost 3 d rcsin dt t sint cte sin rcsin cte (5.)Relizremoselcmiodevrile t, demnerque(oservrqueseotienen losmismoslímitesdeintegrciónprlvrile tquepr,yquesi,entonces t ; idempr ) d t t tdt t t dt Est últim integrl l resolvemos por el método de Hermite(y que el denomindor tiene ríces complejs múltiples): Aplicndo l descomposición de este método, tendremos es decir t At B d t t dt Ct D t t At B Ct Ct Dt t t t yoperndoyclculndoloscoeficientes,result A, B, C yd,porloque t t Por todo lo nterior t t dt t t d dt t d dt t t t d dt t t t dt rctnt t t t
lim t rctnt t rctn t 4 4 6. (er prcil, ferero 7) Se consider l región cotd por l gráfic de f 3 yeleje OXenelintervlo,. Hllr,justificdmente,elárededichregiónyel volumendelsólidoderevoluciónqueseformlgirrdichregiónlrededordeleje OX. Solución: El áre considerd prece en mrillo en l siguiente gráfic, donde l rect esunsíntotverticl.setrt,portnto,deunintegrlimpropi. De est form, Áre d 3 /3 d 3 /3 y lim 3 /3 3 /3 3 VolOX f d d 3 /3 d 3 /3 lim 3 /3 3 3 Ejercicios propuestos.. Epresr el siguiente límite como un decud integrl definid, y clculrl: lim n n n n n... n nn. Clculr d 3cos 4sen 3. Clculr
d 4 5 4. Selfunción f 4. Hllreláredetermindporlsrects, t, elejexyf. 4. Clculrelvolumenotenidolgirrlregiónnteriorlrededorde y. 4.c Cules son los vlores correspondientes del áre y del volumen nteriores si hcemos t. 5. Clculr lim sent dt 6 6. Clculr ls siguientes integrles 3 d sen cos 3 d 7. Clculreláredelregiónplncomprendidentreeleje,lgráficdelfunción f 4 ylimitdlterlmenteporlsrects. 8. Hllreláreencerrdporlscurvs y e y 43 e,siendoquesecortnen. 9. Clculr lim sent dt. Clculr 3 4 d. Clculr ln d. Seconsiderlfunción f tgpr,.. Clculr ls primitivs de l función f.
. Hllrllongituddelcurv y Fpr,,siendo Funprimitivde 6 f..c Estudir l convergenci de l integrl impropi tgd 3. Clculr d tg 4. Se Rlregiónplndelimitdporlsgráficsde y,y 5,, y. Determinr el volumen del sólido generdo l girr l región R lrededor del eje Y, medinte los dos siguientes métodos: 4. Por secciones plns. 4. Como un sólido de revolución. 5. Clculr el siguiente límite(epresándolo como un decud integrl de Riemnn): lim n 4n... 4nn n 3/ 6. Se Rlregiónplndelimitdporlgráficdelfunción f log,eleje Xyls rectsverticles, e.sepide: 6. Clculrelárede R. 6. Clculrelvolumendelsólidootenidolgirr Rlrededordeleje Y. 7. Clculr l integrl 3 d 8. Clculr, en el primer cudrnte, el áre comprendid entre ls gráfics de ls funciones f y g 9. Clculr l integrl d 5 6. Clculreláredelosdosrecintosenquelregiónlimitdporlelipse 6 y 9 qued dividid medinte l circunferenci de centro, 3 y rdio 5.. Clculr l integrl
49 d. Usndo l definición de integrl definid, clculr lim n n 3 n 3 3 3 n 3 3 3... n n 3 n 3