VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. Concepto de varable aleatora. Se llama varable aleatora a toda aplcacón que asoca a cada elemento del espaco muestral de un epermento, un número real. Ejemplo: Sea el epermento que consste en lanzar tres monedas al are. El espaco muestral será: E ccc, cc, cc, cc, c, c, c, S a cada elemento de E le hacemos corresponder, por ejemplo, el número de caras, hemos defndo una varable aleatora. ccc 3; cc ; c ; cc c ; 0; cc ; c Se utlzan letras mayúsculas para desgnar las v.a. y sus respectvas letras mnúsculas para los valores concretos de las msmas. Varable aleatora dscreta. Es la que solo puede tomar determnados valores. La varable aleatora número de caras en el lanzamento de tres monedas sólo puede tomar los valores 0,, y 3. (Es dscreta). La varable aleatora suma de las caras superores en el lanzamento de dos dados puede tomar solamente los valores, 3,, 5, 6, 7, 8, 9, 0, y. (Es tambén dscreta) Funcón de probabldad de una v.a. dscreta. Es la aplcacón que asoca a cada valor de la v.a. X su probabldad p. Los valores que toma una v.a. dscreta X y sus correspondentes probabldades suelen dsponerse en una tabla con dos flas o dos columnas llamada tabla de dstrbucón de probabldad: X 3 n P X ) p p p3 pn ( En toda funcón de probabldad se verfca que p p p p 3 n Ejemplo: La v.a. número de caras en el lanzamento de tres monedas tene la sguente funcón de probabldad: Nº de caras 0 3 f()= P( X ) 3 3 8 8 8 8

Funcón de dstrbucón de una v.a. dscreta. Sea X una v.a. cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor. Se llama funcón de dstrbucón de la varable X a la funcón que asoca a cada valor de la v.a. la probabldad acumulada hasta ese valor, es decr, F( ) p( X ) Meda, varanza y desvacón típca de una varable aleatora dscreta. Se llama de una v.a. dscreta X, que toma los valores,, 3... n con probabldades p, p, p3..... pn al valor de la sguente epresón:. p La varanza vene dada por la sguente fórmula:. p, ben ( ). p La desvacón típca es la raz cuadrada de la varanza. Ejercco. La dstrbucón de probabldad de una v.a. X vene dada por la sguente tabla: 3 5 p 0, 0,3 0, 0,3 Cuánto vale p(x=3) Calcula la meda y la varanza. Solucón: La suma de todas las probabldades es, por tanto, 0, 0,3 p ( X 3) 0, 0,3 luego p(x=3)=0, Formamos la sguente tabla: 3 5 p 0, 0,3 0, 0, 0,3. p. p 0, 0,6 0,3 0,8,5 0,, 0,9 3, 7,5 p 0, 0,6 0,3 0,8,5 3, 3.. p,9 (3,3), 0 Epermento de Bernoull Es un epermento que tene las sguentes característcas:. En cada prueba del epermento sólo son posbles dos resultados: el suceso ha llamado A llamado éto y el suceso A llamado fracaso.. El resultado obtendo en cada prueba es ndependente de los resultados anterores. 3. La probabldad del suceso A es constante y no varía de unas pruebas a otras.

3 La dstrbucón de probabldad de este epermento recbe el nombre de dstrbucón bnomal de parámetros n y p n es el número de pruebas del epermento y p es la probabldad del éto. S representamos por X la varable aleatora bnomal que representa el número de étos obtendos en las n del epermento, podemos escrbr: n r nr p(obtener r étos )=p(x=r)= p.( p) r Esta epresón recbe el nombre de funcón de probabldad de una dstrbucón bnomal o de Bernoull. Dado que en este tpo de eperencas los cálculos pueden ser laborosos, se han construdo unas tablas que nos proporconan la probabldad de que la varable X tome dstntos valores, según los dstntos valores de n y r. Meda y varanza de una dstrbucón bnomal. Meda: n. p Varanza: n. p. q; q p Desvacón típca: n. p. q Ejerccos resueltos..- Calcula la probabldad de que una famla que tene hjos, 3 de ellos sean varones. Solucón: Se trata de un epermento de Bernoull donde n= y p=/ 3 p(obtener 3 varones)=p(x=3)=.0.5.0,5 3 Recuerda:.3. es un número combnatoro cuyo valor se obtene así: 3 3 3.. En general m m.( m ).( m )... hasta tener n factores en el numerador n n.(n -).(n - )...3.. m! n!.( m n)!

.- Se tene una moneda trucada de modo que la probabldad de sacar cara es cuatro veces la de sacar cruz. Se lanza 6 veces la moneda. Calcula las sguentes probabldades: Obtener dos veces cruz. Obtener a lo sumo dos veces cruz. Solucón: Calculamos en prmer lugar la probabldad de cara y de cruz: p(cara)+p(cruz)=. S llamamos a la probabldad de sacar cruz, podemos escrbr: +=; 5=; =0, Así resulta: p(cruz)=0, y p(cara)=0,8 Es una dstrbucón bnomal de parámetros n=6 y p=0, Probabldad de obtener dos veces cruz: 6 p ( X ).(0,).(0,8) 5.(0,0).(0,096) 0, Probabldad de obtener a lo sumo dos veces cruz: p ( X ) p( X 0) p( X ) p( X ) 6 0 6 6 5 6 =.(0,).(0,8).(0,).(0,8).(0.).(0.8) 0, 90 0 3.- La probabldad de que un alumno de º de Bachllerato repta curso es de 0,3. Elegmos 0 alumnos al azar. Cuál es la probabldad de que haya eactamente alumnos repetdores? Solucón: Se trata de una bnomal de parámetros 0 y 0,3, es decr, B(0; 0,3) S X es el número de alumnos que repten, 0 p ( X ).0,3.0,7 6 0!.0,3.0,7!.6! 6 0,3.- Calcula la esperanza matemátca, la varanza y la desvacón típca de la varable aleatora X, cuya funcón de probabldad vene dada por la sguente tabla: - - 5 p X ) 0, 0,5 0,3 0, ( Solucón: La esperanza matemátca es la meda: ( ).0, ( ).0,5.0,3 5.0, 0,. p ( ).0, ( ).0,5.0,3 5.0, 0, 5, 76 5,76,

5 5.- Sea la sguente funcón de probabldad: 3 5 7 9 p 0, 0, 0, 0, 0, Escrbe la funcón de dstrbucón y calcula: p ( X 5) y p ( 3 X 7) Solucón: 3 5 7 9 F()=P(X ) 0, 0, 0,8 0,9 p ( X 5) 0,8 ; p ( X 7) p( X 3) p( X 5) p( X 7) 0, 0, 0, 0,7 Ejerccos propuestos..- La probabldad de que un reloj salga de fábrca defectuoso es del %. Halla: a) El número de relojes defectuosos esperados en un lote de 000 b) La varanza y la desvacón típca. ( Solucón: 0 y 6,9).- Una determnada raza de perros tene cachorros en cada camada. S la probabldad de que un cachorro sea macho es de 0,55, se pde: a) La probabldad de que en una camada dos eactamente sean hembras b) Probabldad de que en una camada al menos dos sean hembras. (Solucón: 0,3675; 0,609 ) 3.- Consdera una varable aleatora dscreta X cuya dstrbucón de probabldad es la sguente: 3 P(X = ) k 0,5 k a) Calcula el valor de k b) Halla la funcón de probabldad c) Halla la funcón de dstrbucón F. Solucón k = 0,75. Funcón de probabldad: 3 f()=p(x = ) 0,75 0,5 0,75

6 Funcón de dstrbucón: 3 F()=P(X ) 0,75 0,75.- Consdera una varable aleatora X cuya funcón de probabldad vene dada por la sguente tabla: -5-0 0 5 f() a a 3a a a) Deduce el valor de a. b) Halla la funcón de dstrbucón F c) Calcula la esperanza, la varanza y la desvacón típca. Solucón: a) 0,; c),5; 86,5; 9,9 5.- La probabldad de que un estudante obtenga el título de arqutecto es 0,3. Calcula la probabldad de que un grupo de 7 estudantes matrculados en prmer curso: a) Nnguno de los 7 fnalce la carrera. b) Fnalcen los 7. c) Al menos acaben la carrera. d) Sólo fnalce uno la carrera. Solucón: 0,08; 0,000; 0,67; 0,7 6.- El 0 % de los tornllos de un gran lote so defectuosos. Se cogen tres tornllos al azar y se pde calcular razonadamente: a) La probabldad de que los tres sean defectuosos. b) La probabldad de que nnguno sea defectuoso. c) La probabldad de que solamente uno sea defectuoso.