SESIÓN Nº 1 Derivaas e Funciones Trigonométricas, Eponenciales y Logarítmicas Ahora correspone revisar las fórmulas principales e erivación y algunos ejemplos e aplicación. FÓRMULAS DE DERIVACIÓN 1) ( ) = 1 ) (c ) = 0 C: constante ) n n-1 ( ) = n 4) ( uv) v u v uv' vu' Julio Núñez Cheng 1
5) ( u / v) v v u = v vu`uv' v ( u) ( v) ( w) 6) n ( u ) 7) 8). n u n1 v w Regla e la Caena DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 9) ( senu) cosu Ejemplos: Entonces y = sen cos Se ha incluio como aneo la emostración e algunas fórmulas, que se puee revisar con mucha paciencia. y = sen u = cos ( ) cos () cos Entonces 10) (cosu) sen u Ejemplos: Entonces y = cos sen Julio Núñez Cheng
y = cos 4 u = 4 sen4 (4 ) sen 4 (4) 4 sen4 11) tgu) sec ( u Ejemplos y = tg sec y = tg 5 u = 5 sec 5 (5 ) sec 5 (5) 5sec 5 1) (cotu) csc u Ejemplo: y = cot csc ( ) csc () csc 1) (sec u ) secu tgu Ejemplo y = sec sec tg Julio Núñez Cheng
Ejemplo y = sec 6 sec 6 tg 6 (6 ) sec 6 tg 6 (6) 6sec 6 tg 6 14) (csc u ) cscu cot u Ejemplos y = csc csc cot y = csc csc cot ( ) csc cot () csc cot 15) u ( e ) e u Función eponencial, one e es la base e los logaritmos neperianos e =,718 Ejemplos y e Entonces e y e u Entonces e ( ) e ( 1) 1e Julio Núñez Cheng 4
y e u e ( ) e () e y e u 4 4 e (4 ) e (8 ) 8 e 4 4 4 y e u e ( ) e ( 4 ) 4 e 16) (ln u ) 1 u Derivaa e la función logaritmo natural ln: Logaritmos Neperianos o naturales. Ejemplos y ln u 1 1 1 ( ) (1) y ln 4 u 4 1 1 (4 ) (8 ) ( simplificao ) 4 4 Julio Núñez Cheng 5
y u ln (5 ) (5 ) 1 1 10 (5 ) (10 ) (5 ) (5 ) 5 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 1) ( arco sen u ) 1 1 u ) ( arco cos u ) 1 1 u ) ( arco tg u ) 1 1 u 4) ( arco cot u ) 1 1 u Recorar que si la función a erivar es iferente e, se continúa erivano. Ejemplo: y arco sen u = Aplicano la fórmula Nº 1 1 1 ( ) ( ) 1 4 y arco sen ( ) u = ( - ) Aplicano la fórmula Nº 1 y 1 1 ( ) ( ) 4 1 8 Julio Núñez Cheng 6
y arco tg u Aplicano la fórmula Nº 1 ( ) 1 ( ) 1 4 y arco cos u = Aplicano la fórmula Nº 1 ( ) 1 ( ) 19 y arco cot 5 u 5 Aplicano la fórmula Nº 4 1 5 (5 ) 1 (5 ) 1 5 A continuación una revisión e las fórmulas anteriores y ejercicios complementarios DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA Ejemplo N 01 y u u y u 1 Luego u. Pero u 1 ( 1) 4( 1) Julio Núñez Cheng 7
Otra Forma: Si Luego: Derivano: y u u 1 Reemplazano y 1 1 () 4( 1) Ejemplo Nº y u u ( 1 ( 1) y ) Demostrar que (6 ) EJERCICIOS DE APLICACIÓN Derivar y verificar la solución aplicano las fórmulas respectivas: 5 1 y 4 1 1) Derivaa e un polinomio y ' 15 4 6 4 1 / ) y 1 Derivaa e un cociente ) 6 ' ( ) y y ( 1)( 1) y' 4 Derivaa e un procto 4) y ( )( 1) Derivaa e un procto Julio Núñez Cheng 8
y' 4 6 e 5) y y' - 6 6) e 4 ( ) 7 Derivaa e una función eponencial f Derivaa e un cociente y' 14 8 ( 7) 7) Hallar la seguna erivaa y comprobar la solución: Realizar os erivaciones sucesivas. a) f( ) y = -1 b) f( ) y = 18 c) f ( ) 16 1 y = 1 + 4 8) Hallar la primera erivaa e: Aplicar las fórmulas respectivas y verificar las respuestas a) f ( ) ln y ' b) ( ) ln f ( 1) ' 6 y 1 Julio Núñez Cheng 9
f sen c) () y' cos f () tg 4 ) y' 8sec 4 Es muy útil tener un resumen e las principales fórmulas e erivación, Hágalo, no lo e! Ahora, se revisará la erivación implícita. Usar la regla básica: Caa vez que se eriva a y, se escribe a continuación, luego se espeja por transposición e términos, si los hubiera. La variable se eriva como tal. Cuáno se usa la erivación implícita? Cuano la función y no es eplícita, es ecir, no epene solo e. a) y = + + FUNCIÓN EXPLÍCITA b) + y = y + 1 FUNCIÓN IMPLÍCITA Cómo se erivan las funciones anteriores? a) = + b) + y = y + - 1 Derivano por separao a e y Julio Núñez Cheng 10
+ y = + Por transposición e y - = - Factorizano Despejano y 1 c) y = y - y 1 Se eriva como un procto e funciones V U UV U V UV ' VU ' Derivano el ejemplo c: y y Efectuano: y y Por transposición: y y Despejano: Julio Núñez Cheng 11
y y También las funciones se pueen erivar respecto el tiempo:,, z Derivar las funciones respecto el tiempo e) y = + La erivaa e una constante () es CERO f) y = + +5 y t t t y A U T O E V A L U A C I Ó N Resolver los ejercicios y comprobar con las soluciones: I. Derivar eplícitamente a) y 7 9 4 7 b) y 1 6 10 c) y e Julio Núñez Cheng 1
y e ) y 1 y 1 e) y e y e f) y ln g) y ln 1 4 1 II. Derivar implícitamente a) y y 4 4 y b) y 4 y 5 Julio Núñez Cheng 1
8 y 1 1) Derivar respecto el tiempo a) y 5 6 5 b) y 4 8 6 y 8 c) z y z 6 y Fin e la Sesión Atentamente Julio Núñez Cheng junuche@hotmail.com 9464946 11897 Julio Núñez Cheng 14