Temas Teóios Eletomagnetismo Es. de Mawell paa uepos en Movimiento. Lino pagnolo. Einstein fue uno de los pimeos en analia la Eletodinámia uando los ondutoes u objetos agados tienen un movimiento mu ápido espeto a tenas ineiales o tenas del Laboatoio. (Con veloidades ente 00 0 de. En el análisis de los uepos agados en movimiento, de las uato euaiones de Mawell afetadas po este fenómeno quedan eliminadas las dos que ontienen la Divegenia: B = 0 D = Q puesto que ambas implian ondiiones geométias no de movimiento. Las dos euaiones estantes, la euaión de Faada la de Ampèe, sufen modifiaiones po ontene elementos de iulaión deivadas tempoales. B db Faada: E = ó E dl = d = fem (0 D D Ampèe: H = JC + ó H dl = ( JC + d = I (02 i tomamos la fómula de Faada, la misma die que la fem induida en una espia es popoional a la veloidad de vaiaión del flujo de induión que pasa a tavés de ella. Peo si la espia se mueve on una veloidad u, se tendá dos motivos de vaiaión del flujo que la ataviesa: uno po se el ampo B vaiable on el tiempo ota po el desplaamiento que sufe la espia C hasta C 2 en el tiempo. db Po este motivo la deivada, que siempe se efetuó dietamente sobe el valo del ampo B, debeá ontene ahoa nuevos téminos que tengan en uenta el movimiento de la espia.
2 La nueva deivada la llamaemos deivada tempoal total del ampo vetoial que se indiaá on el símbolo: δ B δt En la deivada del flujo del ampo magnétio: d (e libo de Panofsk Pág.60. δ B B d = d δt (03 luego i el ampo vetoial B, vaiable en el tiempo, ua la supefiie, que se mueve on una veloidad u, el flujo de de un tiempo ua la supefiie 2 salida sufió divesas modifiaiones, po el desplaamiento de 2 po la apaiión de la supefiie lateal poduida po un desplaamiento de la supefiie on un valo de veloidad finito. La fómula geneal de la veloidad de vaiaión del flujo de B a tavés de un d estaá dado po: δ B d B nˆ d B nˆ d d B nˆ d + = = 2 t 2 t (03 Es dei, omo la difeenia ente el flujo total saliente po 2 el entante po en la unidad de tiempo. En la figua puede apeiase que la supefiie, on la supefiie lateal on, foman un volumen que puede tomase omo el de un volumen onteniendo una 2 aga elétia dada po la divegenia de B. O sea: B d B = lim v 0 v Con lo ual puede fomase la integal: B dv B n ˆ d B n ˆ d B = + ( dl u v 2 t+ 2 t Caga en el inteio del volumen v. Flujo que sale po 2. d u Como el elemento de volumen es: despejamos de la misma el flujo saliente: Flujo que enta po. Flujo que sale po la supefiie lateal. (04 lo eemplaamos en la fómula anteio B n ˆ d B ( d u B = + n ˆ d B ( dl u 2 t+ 2 v t
3 Agegándose las modifiaiones simplifiativas de saa el fuea de la integal: B + nˆ d = B ( d u + B nˆ d + B ( u dl 2 t 2 t C También se invitió el signo en la última integal mediante el ambio de signo del poduto vetoial. Po definiión de deivada, pondemos: B B t nˆ d B ˆ t n d n ˆ d + = B B ˆ t n d = B ˆ t n d nˆ d (06 + (05 Restando [(05 (06] dividiendo ambas po teniendo en uenta (03 queda: B nˆ d = B ( d u + B nˆ d + B ( u dl B B nd ˆ = B nˆ d nˆ d B B d = B ( d u + B ( u dl + nˆ d (07 C 2 t+ 2 t C t t+ d Apliando el teoema de tokes a la integal B ( u dl C B ( u dl = ( B u dl = ( B u d C C Reemplaando en (07: d B B d = ( B u + ( B u + nd ˆ δ B B d = + ( B u + ( B u d Teniendo pesente (03 e igualando los ontenidos de la integal: tendemos:
4 δ B δt B = + ( B u + ( B u (08 iendo la última euaión la epesión de la deivada tempoal total del ampo vetoial. Euaión que Jakson (P.206 denomina deivada onvetiva que da omo δ B B fómula geneal: = + ( u B δt B una funión vetoial, admitiendo la soluión: = + ( B u + ( B u B i etomamos la euaión de Faada E = t que es la onoida deivada dieional de, se debe eemplaa la deivada del ampo indutivo po la epesión (08 teniendo en uenta que en este aso patiula la misma se simplifia puesto que la B = 0 B Quedando entones: E ' = ( B u (09 (e libo Inteaión Eletomagnétia de Quintana-Aguila, Ed. Reveté 2007, Pág.86 Luego la Le de Faada paa medios en movimiento, on ampos indiados on E ' B ', seá: dφm B E ' dl = = + ( B u d = fem E ' que iula alededo del iuito es el medido en la Peo ahoa el ampo elétio tena móvil, dado que la Le de Faada se aplia espeífiamente a la oiente medida en la espia a tavés de la ual pasa el flujo del ampo magnétio sin impota el motivo po el ual ese flujo es vaiable. i apliamos el teoema de tokes a la fómula anteio, tenemos: B B E ' ( u B = ( E ' u B = (09 Esta euaión epesenta los dos asos de la Le de Faada, si la espia o el onduto se mueve on veloidad u, la fómula es la (09, si la espia está en eposo solamente vaía el flujo del ampo B entones la fómula es la (0, o sea: B E = Y además veifiamos que el ampo móvil es: E ' = E + u B t
5 La valide de la fómula (09 es paa los asos en que la veloidad de la espia en pequeña fente a la veloidad de la lu, peo impotante a los efetos pátios. El mismo poedimiento debe emplease on la euaión (02 de Ampèe: D H ' = JC + + ( D u + ( D u Reemplaando: D = ρ queda: D H ' = JC + + ( D u + ρ u (0 En la nueva fómula apaeen uato tipos de oientes elétias: D H ' = JC + + ( D u + ρ u J C : Coiente de Coiente de desplaamiento. onduión. Coiente de Röntgen.o de magnetiaión. Coiente de onveión. Heinih Het omenó a estudia desaolla estos temas haia 880, posteiomente W. Röntgen, junto on los físios Eihenwald Rowland, pudieon ompoba epeimentalmente la eistenia de dos nuevos tipos de oientes. La oiente de desplaamiento fue en su oigen postulada po Mawell, dado que la fómula de Ampèe H dl = J d = I mostaba ietas fallas en los iuitos on apaitoes. Luego esa oiente de desplaamiento fue ampliamente justifiada po los ensaos epeienias. La oiente de onveión también ea onoida en la époa, la misma no equiee ondutoes po lo ual no satisfae la Le de Ohm. La oiente de onveión flue a tavés de un aislado, omo un líquido, un gas o el vaío. Un ha de eletones en un tubo de Röntgen foma una oiente de onveión. Básiamente son agas en movimiento en un dielétio. La oiente ( D u que apaeía en las euaiones de Het, fue puesta de manifiesto po Röntgen muhos años más tade. Esta oiente se debe a la oiente de desplaamiento que eiste en el inteio de un dielétio que, al movese on una veloidad u, es apa de genea un ampo magnétio vaiable en su entono fue detetado en la epeienia de Röntgen. Más tade se ealiaon mediiones más peisas se ompobó que esta oiente se debía a la polaiaión del medio P, más que a la oiente de desplaamiento, on lo ual la fómula quedó omo: C
P H = JC + + ( P u + ( P u ( Los suesivos epeimentos de Eihenwald Rowland, así omo de los más eientes, onfimaon plenamente las fómulas (09 (. Además el poduto: P u = M que onstitue el medio polaiado móvil, equivale a un mateial magnetiado de momento magnétio M. (e Panofsk Pág. 63 64. tenemos: i fomulamos estas euaiones paa el vaío, en el ual ρ = 0 J C = 0, H E ' = + ( H u µ o E H ' = + ( E u εo (2 (3 En los años 900 estos esultados a se onoían Einstein los estudió paa inopoalos a su famosa Teoía de Relatividad Restingida publiada en un libo que tituló: obe la eletodinámia de los uepos en movimiento en el año 905. u pinipal peoupaión ea onilia la Meánia de Newton Lagange on el Eletomagnetismo de Mawell Het. El tabajo que se popuso ea demosta que en luga de las euaiones de Galileo paa pasa de un sistema en eposo elativo a oto en movimiento, las euaiones de tansfomaión debían se otas que las de Galileo, que además, esas nuevas euaiones onduiían automátiamente de las (0 (02 a las (09 (0 (Con la difeenia que en las dos últimas no se tiene en uenta el fato elativista γ. Paa llega a esa demostaión se utiliaán las euaiones (2 (3 po efeise a un ambiente univesal senillo omo el vaío, peo además se esibián en unidades del sistema gaussiano po inlui epesamente la veloidad de la lu, heho impotante en la Teoía de Relatividad. H E ' = + ( H u E H ' = + ( E u Antes de enta en la demostaión de Einstein, esibiemos las dos euaiones anteioes en sus omponentes atesianas dado que es la únia foma de apeia la valide de las tansfomaiones de oodenadas. (4 6
7 Como es usual, a los fines de simplifia la antidad de téminos, suponemos que la veloidad u es onstante tiene una únia omponente de módulo onstante en la dieión. Asumiemos entones que: u = iˆ Roto de ( H u Roto de ( E u H H E E : : H E : + : + H E : + : + (5 Además: E E E ˆ E E ˆ E E = i j kˆ + + Y H H H ˆ H H ˆ H H = i j kˆ + + H Reemplaando (5 en (4: E ' = + ( H E E H H H : = E E H H : = E E H H : = Odenando nos queda:
8 H : = E H + E + H H : = + E H ( E H : = E H + ( E E ' = E + H (Con = iˆ H E ' = E + H = Esto implia la elaión: fómula: Poediendo de igual foma on: E H ' = + ( E (6 apliada a la nos queda: E : = + H E H + E E : = H E + ( H E : = + H E ( H (7 Que igualmente implia la elaión: H ' = H E E H ' = H E = apliada a la fómula: Ahoa veemos que a estos mismos esultados llegó Einstein, on el agegado del oefiiente de oeión elativístio γ, apliando las tansfomaiones de oodenadas que elaionan sistemas en eposo elativo on sistemas en movimiento unifome elativo, sin utilia las deivadas que dedujo Het. La impotania de la nueva teoía onsiste en que la eletodinámia de los uepos en movimiento se dedue de las mismas euaiones de tansfomaión de
9 oodenadas que se utiliaán tanto en Meánia omo en Eletomagnetismo a pati de ese momento. Eletodinámia de los uepos en movimiento. (Einstein 905. En la époa en que Einstein tató el tema ean onoidas las tansfomaiones de oodenadas de Loent, deduidas paa eplia el fenómeno de la onstania de la veloidad de la lu medida espeto a ualquie sistema en movimiento (epeimento de Mihelson Mole, tanto si el sistema del obsevado se movía en el sentido en que povenía la lu omo si el obsevado se movía en sentido ontaio. Esta patiulaidad de la lu había sido ompobada eientemente po Mihelson Mole, Loent ideó unas euaiones que epliaban el fenómeno poponiendo una ieta ontaión de los instumentos en el sentido de la veloidad del sistema en que se enontaba el obsevado. Einstein no aeptó esas ideas postuló dietamente que la veloidad de la lu ea una onstante univesal en ualquie sistema en que se la midiea. A pati de ese pinipio obtuvo las euaiones de tansfomaión de Loent que además inluen la tansfomaión del tiempo (e Libo Relatividad, Cinemátia Dinámia de L. pagnolo Pág. 36: ' = γ.(. t = γ.( ' +. t ' ' = = ' ' = sus invesas : = ' t ' = γ.( t. t = γ.( t ' +. ' 2 2 (8 En las uales se ha supuesto que el sistema móvil ' se mueve en el sentido del eje on una veloidad de módulo onstante. Mientas el valo de γ es : 2 γ = on β = 2 β Minkowski popuso la idea de epesa las oodenadas de un sueso mediante un tetaveto posiión fomado po las antidades: 2 2. (9
0 d ( d, d2, d3, d4 on = ; 2 = ; 3 = ; 4 = it. d '( d ', d', d', d' on ' = '; ' = '; ' = '; ' = it '. 2 3 4 2 3 4 Como esto tuvo una gan aeptaión po adaptase on gan eatitud a las epeienias inemátias dinámias de las Teoías de la Relatividad estingida geneal, las usaemos de aquí en más paa las tansfomaiones de las fómulas de Mawell. Con el tetaveto espaio-tiempo las segundas euaiones (8 quedan: i = γ.( ' i. ' 4 2 = ' 2 = 3 = ' 3 4 = γ.( ' 4 + i. ' (20 Las omponentes i pueden onsidease omponentes de ualquie tetaveto posiión R, po lo tanto las euaiones (20 son las de tansfomaión. Estas euaiones seán las empleadas paa tansfoma los tetavetoes que apaeen en las euaiones de Mawell. En eletomagnetismo, tenemos po un lado que (2 B = 0 µ H = A es dei que el ampo magnétio µ H admite omo oigen un ampo potenial vetoial A. Y además, po la euaión de Faada paa sistemas en eposo, tenemos omo válida la euaión de Mawell: µ H E = Combinando las dos euaiones: A E = ( A ( E + = 0 Como este oto es nulo signifia que su valo: A E + = Ψ t (22 eá igual al gadiente de una funión potenial Ψ, ontinua on deivadas pimeas no nulas.
De la ual deduimos que el ampo eletomagnétio seá suma de dos funiones poteniales: A E = Ψ t (23 Definamos un tetaveto R uas omponentes sean las del veto A del potenial Ψ de la foma: R = A ; R = A ; R = A ; R = iψ. (24 2 3 4 Ψ ˆ Ψ ( i i i i ˆ Ψ Ψ = + j + i kˆ 2 3 ( iψ = ( ie ˆ ( ˆ ( ˆ i + ie j + ie k Además al ampo eletomagnétio ( E B lo epesentaemos po oto tenso (o mati T hk uos téminos se alulan on la fómula: (e libo Inteaión Eletomagnétia de Quintana, Ed. Reveté 2007, Pág.394. O e Panofsk Pág. 328 Rk Rh Thk = h k T = T T = T = T = T = Con lo ual: 22 33 44 0 hk kh (25 Resulta un tenso anti-simétio uos valoes se alulan teniendo en uenta (24, (2 además que R, R2, R3 R 4 no son funiones de 4. A A ˆ A A ˆ A A 3 2 3 2 H = A = ( i + ( j + ( k 2 3 3 2 equivalentes a : T T T T T T 23 32 3 3 2 2 omponentes H H H Más las deivadas: ˆ (26 Ψ Ψ Ψ T = T = i = ie ; T = T = i = ie ; T = T = i = ie El tenso del ampo ( E B es ahoa: 4 4 24 42 34 43 2 3
2 T hk 0 + H H ie H 0 + H ie = + H H 0 ie ie ie ie 0 (27 Apliándole a este tenso las fómulas de tansfomaión (20 paa obtene los ampos en un sistema móvil on veloidad en el sentido de las ' s, po lo ual no se modifian las 2 = ' 2 ni 3 = ' 3, o sea: T23 = T ' 23 T32 = T ' 32 T = T ' T = T ' 23 23 32 32 T2 = H = γ.( T ' 2 i. T ' 42 = γ.( H ' i. ie ' T3 = H = γ.( T ' 3 i. T ' 43 = γ.( H ' i. ie ' T42 = ie = γ.( T ' 42 + i. T ' 2 = γ.( ie ' + i. H ' T43 = ie = γ.( T ' 43+ i. T ' 3 = γ.( ie ' i. H ' Igualando las omponentes: H = H ' E = E ' H = γ.( H '. E ' E = γ.( E ' +. H ' H = γ.( H ' +. E ' E = γ.( E '. H ' (28 Reípoamente, si quisiéamos pasa de un sistema móvil a un sistema fijo, simplemente se inviete el sentido de la veloidad. H ' = H E ' = E H ' = γ.( H +. E E ' = γ.( E. H H ' = γ.( H. E E ' = γ.( E +. H (28
3 Aquí está lao que al pasa de un sistema eletomagnétio en eposo a un sistema móvil, las euaiones de las omponentes de los ampos ambian notablemente. Además, omo estas euaiones de tansfomaión de las omponentes del ampo elétio del ampo magnétio se tansfoman omo las oodenadas, diemos que son ovaiantes on las oodenadas. En otas palabas, si las omponentes de un ampo vetoial, ante una tansfomaión de oodenadas, vaían omo las oodenadas, no seá posible nota ningún ambio se diá que esos vetoes son invaiantes ante diho ambio de oodenadas. Conluiemos que, de auedo on el pime postulado de la Teoía de la Relatividad, las euaiones de Loent deteminan que las euaiones de Mawell onsevan su foma luego de la tansfomaión. O sea, tienen igual foma en todos los sistemas ineiales. (e libo de Relatividad itado, Pág. 84. i ahoa quisiéamos ve omo se tansfoman las euaiones de Mawell, po ejemplo las dos analiadas anteiomente: H E = E H = t (29 Apliaíamos las euaiones (28: H E = H E E = + = γ ( E '. H ' + γ ( E ' +. H ' H E E E ' = + = γ ( E '. H ' H E E E ' = + = γ ( E ' +. H ' + (30 Ídem on:
4 E H = t E H H = = γ ( H ' + i. E ' γ ( H ' i. E ' E H H H ' = = γ ( H ' + i. E ' E H H H ' = = γ ( H ' i. E ' (3 Compobamos que on las fómulas de tansfomaión de Loent-Einstein apliadas al sistema en movimiento, se obtienen las fómulas (6 (7 que obtuviea Het po otos métodos; on el agegado del fato de oeión elativista γ. Paa que la oinidenia sea ompleta en las fómulas (4 bastaá pima las siguientes vaiables: H E ' = + ( H ' u E H ' = + ( E ' u Con ello los valoes de las dos deivadas tempoales seán on las mismas vaiables pimadas. También se veifia la impotania de la teoía de Einstein po el heho de que las fómulas eletomagnétias paa sistemas en movimiento se deduen de euaiones de tansfomaión más geneales que se aplian tanto a la Meánia omo al Eletomagnetismo. Es un aso paeido a la euaión univesal de la gavedad de Newton fente a las Lees de Keple, que en este aso vienen a se las euaiones de Het. La Le de la Gavitaión Univesal de Newton eplia, po ejemplo, on una sola euaión el poblema de los tes uepos omo el aso del ol-tiea-luna, mientas que las tes Lees de Keple sólo aetaban on el movimiento satelital. El sistema de euaiones (28 (28 tiene una gan impotania paa la Eletodinámia. Ellas pemiten pedei omo seán los ampos eletomagnétios a pati de situaiones simples de sistemas en eposo o en movimiento etilíneo unifome. upongamos un sistema fijo en el ual se tienen solamente agas elétias en eposo, se desea sabe qué se obseva desde un sistema dinámio on una veloidad unifome que se desplaa en la dieión del eje.
5 En tal aso las agas Q genean los ampos: en el sistema fijo. E, E, E H = H = H = 0 móvil. Utiliando las euaiones (28 se obtienen los ampos medidos en el sistema H ' = 0 E ' = E H ' = γ E E ' = γ E H ' = γ E E ' = γ E