árbara Cáovas Coesa Estadístca Descrptva 1 Cálculo de Probabldades Trata de descrbr y aalzar alguos caracteres de los dvduos de u grupo dado, s extraer coclusoes para u grupo mayor Poblacó Idvduo o Udad Estadístca Muestra Cada uo de los elemetos que compoe la poblacó Cojuto de todos los elemetos a los que se somete a u estudo estadístco Reuó de datos que se desea estudar, obtedos de ua proporcó reducda y represetatva de la poblacó Cojuto represetatvo de la poblacó de refereca, el º de dvduos de ua muestra es meor que el de la poblacó Muestreo Valor Dato Cada uo de los dsttos resultados que se puede obteer e u estudo estadístco Varables estadístcas Cualtatva Característcas o cualdades que o puede ser meddas co úmeros omal Ordal o Cuascuattatva Preseta modaldades o Preseta modaldades o umércas que o admte umércas, e las que exste u crtero de orde u orde Cada uo de los valores que se ha obtedo al realzar u estudo estadístco Cuattatva e expresa medate u º, por tato se puede realzar operacoes artmétcas co ella Dscreta Toma valores aslados, es decr o admte valores termedos etre dos valores específcos Dstrbucó o Tabla de Frecuecas Cotua Puede tomar valores compreddos etre dos º Es ua ordeacó e forma de tabla de los datos estadístcos, asgado a cada dato su frecueca correspodete. Tpos de Frecuecas e tablas de varables dscretas bsoluta f Relatva cumulada F Relatva cumulada º de veces que aparece u Es el cocete etre la Es la suma de las frecuecas Es el cocete etre la determado valor e u frecueca absoluta de u absolutas de todos los frecueca acumulada estudo estadístco. determado valor y el valores ferores o guales al de u determado La suma de las frecuecas absolutas es gual al úmero úmero total de datos. e puede expresar e tato valor cosderado valor y el úmero total de datos. total de datos, que se por ceto. e puede expresar e represeta por La suma de las frecuecas relatvas es gual a 1. tato por ceto f 1 + f 2 + + f = = f 31, 28, 29, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 29, 29. x f F 27 1 1 0.0416 0.0416 28 2 3 0.083 0.1246 29 6 9 0.25 0.3746 30 7 16 0.2916 0.6662 31 8 24 0.333 0.999 1 24 0.999 1 = F
2 Matemátcas _ CC _ 2º achllerato Dstrbucó de Frecuecas grupadas La dstrbucó de frecuecas agrupadas o tabla co datos agrupados se emplea s las varables toma u úmero grade de valores o la varable es cotua. e agrupa los valores e tervalos que tega la msma ampltud deomados clases. cada clase se le asga su frecueca correspodete Límtes de Clase mpltud de clase Marca de clase Cada clase está delmtada por el límte feror y el límte superor de la clase La ampltud de la clase es la dfereca etre el límte superor e feror Es el puto medo de cada tervalo y es el valor que represeta a todo el tervalo para el cálculo de alguos parámetros 3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13. 1º. e localza los valores meor y mayor de la dstrbucó: 3 y 48 2º. e resta y se busca u úmero etero u poco mayor que la dfereca y que sea dvsble por el úmero de tervalos queramos establecer. Es coveete que el úmero de tervalos oscle etre 6 y 15: 48 3 = 45, cremetamos el úmero hasta 50:5=10 tervalos e forma los tervalos teedo presete que el límte feror de ua clase perteece al tervalo, pero el límte superor o perteece tervalo, se cueta e el sguete tervalo. c f F [0, 5) 2.5 1 1 0.025 0.025 [5, 10) 7.5 1 2 0.025 0.050 [10, 15) 12.5 3 5 0.075 0.125 [15, 20) 17.5 3 8 0.075 0.200 [20, 25) 22.5 3 11 0.075 0.2775 [25, 30) 27.5 6 17 0.150 0.425 [30, 35) 32.5 7 24 0.175 0.600 [35, 40) 37.5 10 34 0.250 0.850 [40, 45) 42.5 4 38 0.100 0.950 [45, 50) 47.5 2 40 0.050 1 40 1
árbara Cáovas Coesa Gráfcos Estadístcos 3 Cálculo de Probabldades Dagrama de barras Dagrama de sectores Hstograma Varables Dscretas Los datos se represeta medate barras de ua altura proporcoal a la frecueca. El polígoo de frecuecas se forma uedo los extremos de las barras medate segmetos e puede utlzar para todo tpo de varables, pero se usa frecuetemete para las cualtatvas. Los datos se represeta e u círculo, de modo que el águlo de cada sector es proporcoal a la frecueca absoluta correspodete e utlza para varables cotuas o para varables dscretas, co u gra º de datos, y que se ha agrupado e clases. E el eje abscsas se costruye uos rectágulos que tee por base la ampltud del tervalo, y por altura, la frecueca absoluta de cada tervalo Frecueca bsoluta 25% α = 360 f 5% 10% 20% Frecueca bsoluta Valores 30% 25% Valores Meddas de cetralzacó Moda Es el valor que tee mayor frecueca absoluta. e puede hallar la moda para varables cualtatvas y cuattatvas. Datos agrupados Msma mpltud Dstta mpltud f +1 M o = L + f 1 + f +1 Prmero se halla las alturas h = f a h +1 La clase modal es la que tee mayor altura M o = L + h 1 + h +1 Medaa Es el valor que ocupa el lugar cetral de todos los datos cuado éstos está ordeados de meor a mayor. e puede hallar sólo para varables cuattatvas. 1º. Ordeamos los datos de meor a mayor. 2º. la sere tee u º mpar de meddas la medaa es la putuacó cetral de la msma. 3º. la sere tee u º par de putuacoes la medaa es la meda etre las dos putuacoes cetrales Datos agrupados La Me se ecuetra e el tervalo dode la frecueca acumulada llega hasta la mtad de la suma de las frecuecas absolutas ( ) M e = L + 2 F 1 f 2 Meda rtmétca Es el valor obtedo al sumar todos los datos y dvdr el resultado etre el º total de datos x = =1 x Datos agrupados x = =1 x f
4 Matemátcas _ CC _ 2º achllerato Meddas de poscó Cuartles Decles Percetles o los tres valores de la varable que dvde a u cojuto de datos ordeados e cuatro partes guales: Q1=25%, Q2=50% y Q3=75%. k Q k = L + 4 F 1 f k = 1,2,3 o los ueve valores que dvde la sere de datos e dez partes guales. Da los valores correspodetes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos k D k = L + 10 F 1 f k = 1,2,,9 Meddas de dspersó o los 99 valores que dvde la sere de datos e 100 partes guales. Da los valores correspodetes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos k P k = L + 100 F 1 f k = 1,2,,99 Es la meda artmétca de los valores absolutos de las desvacoes respecto a la meda. σ 2 = =1 x 2 x 2 Desvacó típca Desvacó meda D x = =1 x x Datos agrupados D x = =1 x x f Varaza Datos agrupados σ 2 = =1 x 2 f 2 x Coefcete de varacó σ = σ 2 C. V = σ x 100 Expermetos aleatoros Exste expermetos e los que podemos predecr el resultado ates de que falce o cluso de que comece, so los llamados expermetos determstas. Por el cotraro, hay otros expermetos e los cuales o se puede predecr el resultado ates de realzarlos, so los expermetos aleatoros. La teoría de probabldades se ocupa de asgar u certo úmero a cada posble resultado que pueda ocurrr e u expermeto aleatoro, co el f de cuatfcar dchos resultados y saber s u suceso es más probable que otro o relacoes parecdas. uceso Espaco muestral uceso aleatoro Cada uo de los resultados posbles de ua expereca aleatora Cojuto de todos los posbles resultados de ua expereca aleatora Cualquer subcojuto del espaco muestral uceso elemetal Es cada uo de los elemetos que forma parte del espaco muestral uceso seguro Está formado por todos los posbles resultados (es decr, por el espaco muestral) ucesos compatbles Dos sucesos, y, so compatbles cuado tee algú suceso elemetal comú uceso compuesto Es cualquer subcojuto del espaco muestral uceso mposble ( ) Es el que o tee gú elemeto ucesos compatbles Dos sucesos, y, so compatbles cuado o tee gú elemeto e comú
ucesos depedetes árbara Cáovas Coesa 5 Cálculo de Probabldades ucesos depedetes Dos sucesos, y, so depedetes cuado la probabldad de que suceda o se ve afectada porque haya suceddo o o Dos sucesos, y, so depedetes cuado la probabldad de que suceda se ve afectada porque haya suceddo o o Dagrama de Ve Los sucesos admte ua represetacó gráfca que faclta su terpretacó el espaco muestral tee elemetos, el espaco de sucesos tee 2 elemetos. Operacoes co sucesos Igualdad de sucesos Iterseccó de sucesos Uó de sucesos Está compuestos por los msmos elemetos El suceso terseccó es ocurre y a la vez El suceso uó es ocurre u ocurre o ambos a la vez = y so compatbles La terseccó de dos cojutos sempre es meor que la uó (es meor que el propo cojuto) = uceso Cotraro El suceso cotraro a es otro suceso que se realza cuado o se realza Dfereca de ucesos Dfereca etre y es el suceso que costa de los elemetos que está e pero o está e = =
6 Matemátcas _ CC _ 2º achllerato Propedades de las operacoes co sucesos Iterseccó Uó Comutatva = = socatva ( C) = ( ) C ( C) = ( ) C Idempotete = = mplfcacó ( ) = ( ) = Dstrbutva ( C) = ( ) ( C) ( C) = ( ) ( C) Elemeto eutro E = = bsorcó = E = Leyes de De Morga ( ) = ( ) = sgacó de probabldades. Regla de Laplace realzamos u expermeto aleatoro e el que hay sucesos elemetales, todos gualmete probables, etoces s es u suceso, la probabldad de que ocurra el suceso es: P() = º casos favorables a º casos posbles El coveete que platea la defcó de Laplace es que ecesaramete los sucesos elemetales tee que teer la msma probabldad de ocurrr. Esto se resuelve co la defcó axomátca de probabldad (Kolmogorov): ua probabldad P es ua fucó que asoca a cada suceso del espaco de sucesos, u úmero real P(), y que cumple las propedades: 1. 0 P() 1 2. La probabldad del suceso seguro es 1: P(E) = 1 3. y so compatbles, es decr =, etoces: P( ) = P() + P() Defcó de Probabldad w1, w2,..., w so los sucesos elemetales de u suceso aleatoro cualquera, P ua fucó P : R de modo que cumple las propedades: 0 P(w) 1 {1, 2,...,} P(w1) + P(w2) +...+ P(w) = 1 Etoces P es ua probabldad. Cosecuecas de la defcó de probabldad 1) P() = 1 P() 2) P( ) = 0 3) y so dos sucesos cualquera: P( ) = P() + P() P( ) 4), y C so tres sucesos cualquera: P( C) = P() + P() + P(C) P( ) P( C) P( C) + P( C) 5), etoces P() P() 6) E es fto y = {x1, x2,, x}, etoces P() = P(X1) + P(x2)+ +P(x) Probabldad codcoada La formacó obteda, modfca la probabldad de. Lo expresaremos como P(/) y se lee probabldad de codcoada a o probabldad de coocedo. P() = P( ) P()
árbara Cáovas Coesa ucesos depedetes 7 Cálculo de Probabldades be el coocer certa formacó adcoal modfca la probabldad de alguos sucesos, puede ocurrr que otros matega su probabldad, pese a coocer dcha formacó, es decr, p(/) = p(). Cuado esto ocurre dremos que los sucesos y so depedetes (el hecho de que ocurra o modfca la probabldad de ). P( ) = P() P() o se debe cofudr los coceptos de sucesos compatbles y sucesos depedetes. Dos sucesos so compatbles cuado o tee elemetos e comú ( = ), véase la fgura. Dos sucesos so depedetes s P( ) = P() P(). o coceptos totalmete dsttos: uo se refere a cojutos y otro se refere a probabldades. 0.5 0.25 0.25 0.6 0.4 0.6 0.4 0.6 C 0.4 Expermetos compuestos. Teorema de la probabldad total. $ $ $ U expermeto compuesto es aquel que costa de dos o más expermetos aleatoros smples. P( ) = P() P(/) P( ) = P() P(/) La forma más seclla de calcular probabldades e expermetos compuestos es u dagrama de árbol, dode e cada rama stuamos la probabldad que le correspode al suceso del fal de dcha rama. Estas probabldades que se va poedo e el árbol so probabldades codcoadas, porque depede de los resultados aterores. Teorema de la probabldad total: 1, 2,..., so sucesos compatbles 2 a 2, y cuya uó es el espaco muestral (1 2... = E), y es otro suceso, resulta que: P() = P(1) P(/1) + P(2) P(/2) +...+ P() P(/) El cojuto 1, 2,..., que verfca la compatbldad 2 a 2 y que la uó de todos ellos es el espaco muestral se deoma sstema completo de sucesos y dvde el espaco muestral e partes que o se solapa. Medate represetacó gráfca: 1 4 0 2 3 1 = P(E) = P(1 2... ) = P(1) + P(2) + + P() Tablas de cotgeca Las tablas de cotgeca está referdas a 2 característcas que preseta cada ua dos o más sucesos. Hombres Mujeres Total Casados 35 45 80 olteros 20 20 40 55 65 120 Teorema de ayes Como cosecueca del teorema de la probabldad total y de las propedades de la probabldad codcoada, resulta este mportate teorema que permte calcular probabldades codcoadas. 1, 2,..., so sucesos compatbles 2 a 2, y cuya uó es el espaco muestral (1 2... = E), y es otro suceso, resulta que: P( ) = P( ) P( ) P( 1 ) P( 1 ) + P( 2 ) P( 2 ) + + P( ) P( ) Las probabldades P() se deoma probabldades a pror Las probabldades P(/) se deoma probabldades a posteror Las probabldades P(/) se deoma verosmltudes