Números de Bernou y números de Strng Aexey Beshenov (cadadr@gma.com 2 de Marzo de 27 Dgresón combnatora: os números de Strng Nuestro próxmo objetvo es obtener agunas expresones para os números de Bernou que permtan estudar sus propedades artmétcas, específcamente sus numeradores y denomnadores. En e camno surgen certos números combnatoros, conocdos como os números de Strng. Defncón. Sean y dos números naturaes postvos. E número de Strng de prmera case [ ] es e número de permutacones en e grupo smétrco S que conssten en ccos dsjuntos. E número de Strng de segunda case { } es e número de posbdades de escrbr un conjunto de eementos como una unón dsjunta de conjuntos no vacíos. Ejempo. [ 4 2 ] =. Las permutacones correspondentes en S 4 son ( (2 3 4, ( (2 4 3, (2 ( 3 4, (2 ( 4 3, (3 ( 2 4, (3 ( 4 2, (4 ( 2 3, (4 ( 3 2, ( 2 (3 4, ( 3 (2 4, ( 4 (2 3. Ejempo. { 4 2 } = 7. Las descomposcones de conjuntos correspondentes son {, 2, 3, 4} = {} {2, 3, 4} = {2} {, 3, 4} = {3} {, 2, 4} = {4} {, 2, 3} = {, 2} {3, 4} = {, 3} {2, 4} = {, 4} {2, 3}.
De a defncón se sguen as dentdades ( (2 (3 (4 (5 (6 [ ] = para >, [ ] =, [ ] = (!, [ ] =!, [ ] [ ] [ ] + = +, (7 (8 (9 ( ( { } = para >, { } =, { } =, { } = b(, { } { } { } + = +. (2 sgnfca que a únca permutacón en S que se descompone en e producto de ccos dsjuntos es a permutacón dentdad. (3 sgnfca que en S hay (! dferentes -ccos ( por qué?. (4 es e hecho de que toda permutacón puede descomponerse en un producto de ccos dsjuntos. ( es e anáogo de esta dentdad: e número tota de partcones se conoce como e número de Be b(. Los prmeros números de Be son b( =, b(2 = 2, b(3 = 5, b(4 = 5, b(5 = 52, b(6 = 23,...; véase http://oes.org/a En este curso, no vamos estudar estos números (tambén porque a notacón parece mucho a os números de Bernou :- Las recurrencas (5 y ( se sguen de a defncón combnatora. Por ejempo, en (5, consderemos as permutacones de eementos {,...,, + }. Sea σ S + una permutacón que se descompone en e producto de ccos dsjuntos. S σ( + = +, entonces ( + forma un cco por sí msmo, y para e resto de os eementos hay [ ] posbes descomposcones. S σ( + = +, entonces + pertenece a agún cco. Para enumerar todas as posbdades, podemos prmero consderar [ ] descomposcones de as permutacones de {,..., } en ccos dsjuntos, y uego para cada descomposcón hay posbdades de poner + en uno de os ccos. La fórmua ( se expca de a msma manera: s tenemos un conjunto X de + eementos, podemos consderar un eemento x X. Para as descomposcones de X en a unón de subconjuntos hay dos casos: o ben {x} forma un conjunto en a descomposcón, y quedan { } posbdades para descomponer X \ {x}; o ben x pertenece a agún conjunto. En e segundo caso, hay } posbdades de descomponer X \ {x} en subconjuntos, y uego en cada caso hay posbdades de { poner x en uno de os conjuntos. 2
Tambén será út defnr [ ] y { } para, = : Defncón. [ ] =, { } =, [ ] [ ] = = para, =, { } { } = = para, =. Podemos defnr [ ] y { } por os vaores ncaes de arrba y as reacones de recurrenca (5 y (. Esta defncón es compatbe con a prmera. Por ejempo, en e caso de [ ], podemos ver que as dentdades [ ] [ ] [ ] =, = = para, = mpcan En efecto, [ ] = (! para, [ ] = para. y para > [ ] = [ ] [ ] [ ] 2 +( = ( ( 2 = }{{} ( [ ] [ ] = ( ( 2 2 + = (! }{{}}{{} [ ] [ ] = + [ ] =. En PARI/GP, strng(,,2 = { } (e parametro 2 sgnfca de segunda case :? strng (4,2,2 % = 7 PARI/GP usa otra defncón de os números de Strng de prmera case. La únca dferenca es e sgno: strng(, = ( [ ]:? strng (4,2 % =? strng(4,3 % = -6 Ejercco. Demuestre que [ ] = ( 2. Ejercco. Note que as recurrencas de arrba con os vaores ncaes para, = nos permten defnr [ ] y { } para todo, Z. Demuestre que [ ] { } =. Esto sgnfca que os números de Strng de prmera y de segunda case son esencamente e msmo objeto. 3
Ejercco. Demuestre que { } = para <. (Los útmos dos ejerccos srven soo para acostumbrarse a as recurrencas con [ ] y { }; no vamos a usar os números de Strng para y negatvos. 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 2 3 4 6 6 5 24 5 35 6 2 274 225 85 5 7 72 764 624 735 75 2 8 54 368 332 6769 96 322 28 9 432 9584 824 67284 22449 4536 546 36 Vaores de [ ] 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 3 4 7 6 5 5 25 6 3 9 65 5 7 63 3 35 4 2 8 27 966 7 5 266 28 9 255 325 777 695 2646 462 36 Vaores de { } 4
Reacón entre B y os números de Strng Lema. Para todo Demostracón. Tenemos que verfcar que d dt (e t! { } t =!. ( (e t ( =! { }. Los vaores ncaes concden, y va a ser sufcente demostrar que a recurrenca { } { } { } + = + se cumpe en nuestro caso: ( ( ( d + (e t dt + ( = d (e t! dt ( + d (e t (! dt (.! En efecto, d + dt + ( (e t! ( = d (e t dt (! ( (e t = d dt = d dt ( e t = d (e t ( + e t dt (! + (et (! (! ( ( (e t + d (e t (! dt.! Ejercco. Demuestre a dentdad ( n( t! [ ] t =!. (De nuevo, es sufcente consderar as dervadas formaes y verfcar que se cumpe a msma recurrenca que defne os números de Strng correspondentes: [ + ] = [ ] + [ ]. Lo que acabamos de ver son as funcones generatrces para os números de Strng, pero no soy tan sádco para dar esto como a defncón de { } y [ ]. Lema. Para, { } ( = (! (. Demostracón. De nuevo, podemos verfcar que os vaores ncaes concden y a suma satsface a msma recurrenca que { }: { } { } { } + = +. 5
Para os vaores ncaes, s = =, a suma nos da { } = (como sempre en e contexto agebraco/combnatoro, = ; s >, =, a suma nos da ; s =, >, a suma tambén nos da ( ( =. Para a recurrenca, ( (! ( + = Aquí hemos usado a dentdad ( (! ( ( = ( (! ( (( ( = ( (! ( ( ( = (. ( ( + (! (. Teorema. B = ( (! { } = ( + + ( (. La segunda guadad vene de a expresón de os números de Strng en térmnos de os coefcentes bnomaes y ( por fn! nos da una expresón para B sn recurrencas. Demostracón. La funcón generatrz para B es nversos, podemos escrbr t e t e t = Luego, t et e t. Ya que a exponenca y e ogartmo formaes son t e t = n( ( e t e t. n( ( e t e t = ( e e t t ( e = t ( =! + = ( ( { } ( t! (! { } + por t!.? bernbn ( = (-^ * sum (=,, /(+*sum(=,, (-^*bnoma(,*^;? vector (,,bernbn( % = [/2, /6,, -/3,, /42,, -/3,, 5/66] 6