Octavas Jornadas "Investigaciones en la Facultad" de Ciencias Económicas y Estadística, noviembre de 2003

Transcripción

1 Octavas Jornadas "Investgacones en la Facultad" de Cencas Económcas y Estadístca, novembre de 3 Crstna Barbero. () María I.Flury.() Alberto Pagura () Marta Quaglno () Marta Rugger () () Insttuto de Investgacones Teórcas y Aplcadas. Escuela de Estadístca. Proyecto: Métodos multvarados aplcados a procesos ndustrales. CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS MULTIVARIADOS MEDIANTE GRÁFICOS DE CONTROL MULTIVARIADOS T DE HOTELLING, MEWMA Y MCUSUM INTRODUCCIÓN En la actualdad las técncas del control estadístco de procesos (SPC) son herramentas muy utladas en la supervsón de los procesos productvos. El SPC tene como objetvo controlar las característcas de caldad más mportantes de un producto durante su proceso de fabrcacón. Las técncas SPC ayudan a descubrr una causa especal de varacón, que no es parte del proceso todo el tempo, pero surge debdo a crcunstancas específcas. Típcamente, el montoreo de procesos consste en medr y realar controles sobre varas característcas de caldad correlaconadas. S se gnora esta correlacón y se utlan para vglar la establdad del proceso, gráfcos de control Shewhart para cada varable por separado, se puede perder nformacón mportante. Debdo a ello el Control Multvarado de Procesos (MSPC) consttuye una valosa alternatva al control unvarado. Entre los gráfcos más dvulgados, desarrollados hasta el momento para el MSPC pueden menconarse: T de Hotellng: a veces denomnado gráfco Shewhart multvarado.[947] MEWMA: gráfco multvarado de promedos móvles ponderados exponencalmente. [Lowry y colaboradores (99)] MCUSUM: gráfco multvarado de sumas acumuladas [Croser (986)]

2 Octavas Jornadas "Investgacones en la Facultad" de Cencas Económcas y Estadístca, novembre de 3 El MCUSUM y el MEWMA, a dferenca del T, son gráfcos ponderados en el tempo, en los cuales cada punto grafcado contene nformacón no sólo del últmo período, sno tambén de otros anterores. En el caso del MEWMA, la ponderacón que se le da a cada período para el cálculo de la estadístca, decrece en forma exponencal, a medda que se aleja del período actual. En el MCUSUM, a cada período se le asgna la msma ponderacón para el cálculo de la estadístca. El objetvo de este trabajo es desarrollar en forma breve estos gráfcos de control multvarados, analando sus característcas, propedades, bondades y desventajas. GRÁFICOS DE CONTROL MULTIVARIADOS En todos los casos se consderan en forma smultánea p característcas de caldad, que pueden ser modeladas, cuando el proceso está bajo control, por una funcón de densdad normal p-varante, con vector de medas µ = ( µ µ,..., µ ) y matr de varancas y covarancas Σ de orden p., p GRÁFICOS T El prmer trabajo en control de caldad multvarado fue realado por Hotellng en 947, quen aplcó sus procedmentos a datos sobre precsón de bombas durante la segunda guerra mundal. Estos gráfcos pueden aplcarse para tamaños de subgrupos mayores o guales que uno. Geométrcamente, la estadístca T es proporconal a la dstanca al cuadrado entre una observacón multvarada y el vector de valores objetvo, donde puntos equdstantes forman elpsodes alrededor de dcho vector. A mayor valor de T, mayor es la dstanca entre la observacón y el valor objetvo. El estadístco de Hotellng es: T = n( X µ ) ( X µ ) ; con X = ( X, X,..., X p ) : vector de medas para las p- característcas, en la -ésma muestra. Cuando el tamaño del subgrupo n =, se obtendrán vectores de observacones en lugar de vectores de medas. S µ y Σ son conocdos y el proceso está bajo control, la estadístca T se dstrbuye como una ch-cuadrado central con p grados de lbertad ( T ~ χ ). p

3 Octavas Jornadas "Investgacones en la Facultad" de Cencas Económcas y Estadístca, novembre de 3 Este estadístco corresponde al ensayo de hpótess: H : µ = µ o vs. H : µ µ. Cuando el proceso está bajo control, ( µ = µ o ), exste una probabldad α de que el estadístco T exceda al valor crtco χ p,α. Por ello se toma como ndcacón o señal de fuera de control un valor de la estadístca T que supera al valor χ p,α. Cuando el proceso no está bajo control, la estadístca T se dstrbuye como una varable ch- cuadrado no central con p grados de lbertad y con parámetro de no centraldad: - λ = n µ µ ) ( µ ) ( µ con µ µ ; donde µ es el vector de medas de las p característcas, cuando exste un cambo en al menos una de las medas. Una medda del cambo en el vector de medas puede defnrse a partr de la dstanca de Mahalanobs: d = µ µ ) ( µ ) resultando λ = nd ( µ Esta expresón del parámetro λ de no centraldad ndca que es más probable detectar un cambo d en el vector de medas, cuando se toma un n más grande, ya que ello conduce a un λ mayor y smlarmente, que para un n dado es más fácl detectar un cambo d cuando éste es más grande. En el caso en el cual los valores de µ y no sean conocdos, se pueden estmar a partr de m muestras prelmnares de tamaño n, tomadas de un proceso bajo control. Los estmadores nsesgados de µ y, son: m X = ( X, X,,..., X j,..., X p )', sendo X j = X j, j =,,...p m = m S = S, sendo S la matr de covarancas del -ésmo subgrupo. m = NOTA: En la práctca es preferble basar el análss en datos agrupados, más que en observacones ndvduales, ya que la estmacón de la matr de covarancas a partr de una matr amalgamada ( S ) resulta más confable. Los subgrupos raconales son más adecuados para detectar cambos en el vector de medas. El cálculo de la estadístca se reala medante: T = n( S cuya dstrbucón bajo la hpótess nula es: X X) ( X X) 3

4 Octavas Jornadas "Investgacones en la Facultad" de Cencas Económcas y Estadístca, novembre de 3 p( m )( n ) ( mn m p + ) T F p, mn-m-p+ S µ y son estmados a través de tamaños grandes de muestras prelmnares ( n ó 5), entonces el límte de control superor en el gráfco T será: L.S.C = χ p,α Caso contraro, el límte superor de control será: p( m )( n ) L.S.C =. F p, mn-m-p+ ( mn m p + ),α Los dos problemas prncpales que surgen al aplcar un gráfco T son: La escala que se utla para grafcar los valores, no está relaconada con la escala de nnguna de las varables nvolucradas. Cuando la estadístca T excede el límte superor de control (L.S.C), el usuaro no posee nformacón relevante sobre qué pudo haberla causado. Se requere nformacón adconal para determnar qué varables son responsables de ese valor fuera de límte de control. Esta nformacón es esencal en cualquer ntento de detectar las causas de las desvacones y posblemente corregr el proceso. Por eso se aconseja llevar en forma paralela, gráfcos de control unvarados para cada característca, utlar métodos como los propuestos por Mason, Tracy y Young (995) o Kourty y Mc Gregor (996). - GRÁFICOS PONDERADOS EN EL TIEMPO 4

5 Octavas Jornadas "Investgacones en la Facultad" de Cencas Económcas y Estadístca, novembre de 3.- GRÁFICOS MEWMA Estos gráfcos, como su contrapartda unvarada, acumulan nformacón provenente de períodos pasados, hacéndolos más sensbles para detectar pequeños cambos en el vector de medas. Llamando X a los vectores p-dmensonales de observacones, los correspondentes vectores MEWMA se defnen como: Z = R X + (I R) Z - para N con Z = ; R = dag (r, r,..., r p ); < r j ; j =,,..., p, I: matr dentdad de orden p. Los r j marcan la profunddad de la memora para cada varable. A mayor valor de r j, menor profunddad. Para cada observacón se calcula la estadístca : T = con matr de covarancas de los Z (defnda más adelante) La señal de salda de control se produce cuando selecconado de manera tal de lograr un certo valor de ARL cuando el proceso está bajo control. El ARL (longtud de corrda promedo) es una característca usada con frecuenca para evaluar el comportamento de un dagrama de control. Es el número de puntos que en promedo deberán grafcarse hasta que se produca una señal de salda de control. Son deseables valores grandes de ARL cuando el proceso está bajo control y valores pequeños, cuando el proceso camba a un nvel naceptable. S no exste a pror nnguna raón para ponderar en forma dferente las observacones pasadas de cada una de las p varables (como generalmente sucede), entonces puede 5 T supera un certo valor h, (h>)

6 Octavas Jornadas "Investgacones en la Facultad" de Cencas Económcas y Estadístca, novembre de 3 tomarse r = r =...= r p = r. En este caso, la performance del ARL del MEWMA depende solamente del parámetro de no centraldad λ, donde en general, - λ = n µ µ ) ( µ ) ( µ En el caso de dstntos valores de r, el ARL depende de la dreccón del cambo y no sólo del valor de λ. S r = r =...= r p = r los vectores MEWMA se pueden reescrbr como: Z = rx + ( r) Z - para N La estadístca que se calcula para construr el gráfco es: T = donde r = r ( r) x sendo su valor asntótco r = r x Cuando r=, el gráfco MEWMA concde con el gráfco de control T. Valores adecuados de r (profunddad de memora) y de h (L.S.C.) pueden obtenerse de las Tablas proporconadas por Lowry y colaboradores (99). Las msmas están en funcón del ARL, del número p de varables consderado y del parámetro de no centraldad λ. Para nterpretar señales de fuera de control se recomenda usar en forma smultánea gráfcos EWMA unvarados. 6

7 Octavas Jornadas "Investgacones en la Facultad" de Cencas Económcas y Estadístca, novembre de 3.-GRÁFICOS MCUSUM Estos gráfcos acumulan desvacones de los valores muestrales (valores ndvduales o promedos de subgrupos de tamaño n) con respecto a valores objetvos. En 988 Croser propuso dos procedmentos para el gráfco CUSUM. El prmer procedmento reduce cada observacón multvarada a un escalar y luego construye la estadístca CUSUM con los escalares. El segundo procedmento forma un vector CUSUM drectamente a partr de las observacones. Prmer procedmento: COT ( CUSUM of T) Se basa en el cálculo de una estadístca CUSUM, en la cual ntervene la raí cuadrada del estadístco T defndo anterormente, o sea: T = T = n( X µ ) ( X µ ) S ben los gráfcos Shewhart multvarados basados en la estadístca T son equvalentes a los basados en la estadístca T; esto no sucede en los esquemas CUSUM. Croser prefró utlar valores de T porque de esa manera, se acumulan dstancas en lugar de dstancas al cuadrado. La estadístca MCUSUM se calcula de la sguente manera: S = máx (, S - + T k) donde S ( en general S = ) y k >. El gráfco da una señal de fuera de control cuando el valor de S es mayor que un certo valor h que depende del valor del ARL deseado cuando el proceso está funconando en el valor objetvo [S > h ]. Empleando procesos de Markov, Croser obtuvo valores de h y k para p =, 5, y y para valores de ARL de y de 5 cuando el proceso está bajo control. Estas tablas se dseñaron para detectar un cambo d = en el vector de medas, donde d = λ, con λ parámetro de no centraldad.en este caso especal los valores de k óptmos se aproxman a p. Segundo procedmento: CUSUM MULTIVARIDO 7

8 Octavas Jornadas "Investgacones en la Facultad" de Cencas Económcas y Estadístca, novembre de 3 La estadístca que se calcula es: Y ' [ S ] / = S sendo: S = (S - + X - µ ) ( - S = k ) c s c > k s c k Con C =[ - ( S + X µ )' ( S + X µ )] / Sendo X : vector de observacones o de promedos de subgrupos de tamaño n, de la - ésma muestra. µ : vector de valores objetvos. : matr de varancas y covarancas. S o : generalmente es gual a cero. El método señala una stuacón fuera de control s: Y ' [ S ] / = S > h d Croser sugere utlar valores de k =, porque mnman el valor del ARL cuando el vector de medas ha cambado en una magntud d. Proporcona tablas con valores de h para el caso de p =, 5, y varables. COMPARACIÓN DE LOS ESQUEMAS La estadístca T está basada en la observacón más recente, sendo nsensble a cambos pequeños a moderados en el vector de medas del proceso. Un problema práctco que surge con estos gráfcos es su falta de robuste: son sensbles a los outlers multvarados. Éstos son observacones (X) que tenen grandes valores de T, aunque nnguna componente del vector sea consderada un outler en un test unvarado. La nterpretacón de señales de fuera de control en cualquera de los procedmentos multvarados descrptos es, en general, bastante dfcultosa. El problema más mportante que surge es la dentfcacón de la (s) varable(s) responsable(s) de esa señal. 8

9 Octavas Jornadas "Investgacones en la Facultad" de Cencas Económcas y Estadístca, novembre de 3 En la década del noventa dversos autores trabajaron sobre este tema, especalmente en lo relaconado con el gráfco T y presentaron dferentes propuestas tales como: Ranqueo de las componentes del vector. Ajustes por regresón, para mejorar el poder dagnóstco del gráfco T. Descomposcón de la estadístca T. Empleo de dversos gráfcos [gráfcos de barras de los errores normalados, gráfcos de barras de los scores normalados, gráfcos de contrbucón]. Análss por Componentes Prncpales. Utlacón del método de Proyeccón sobre Estructuras Latentes o Mínmos Cuadrados Parcales. El esquema MEWMA puede tener mejor comportamento que el MCUSUM cuando el proceso está desde el nco fuera de control y se comporta de manera muy smlar cuando el cambo en el vector de medas se produce con posterordad. El vector MEWMA da una ndcacón de la dreccón del cambo pero no proporcona una estmacón precsa del vector de medas en curso. El gráfco MEWMA puede dseñarse de manera tal que sea robusto a la no normaldad y es muy efectvo para detectar cambos de cualquer tamaño o dreccón, aún en el caso de dstrbucones multvaradas muy asmétrcas o con colas pesadas. Esto lo converte en una mejor alternatva que los gráfcos T ya que pueden desempeñarse en la forma deseada cuando el proceso está bajo control, bajo una ampla gama de dstrbucones y al msmo tempo pueden tener un comportamento adecuado, cuando el proceso se sale de control. Los dos esquemas MCUSUM proporconan una deteccón más rápda de un cambo en el vector de medas que los gráfcos T, sendo preferble en este sentdo el CUSUM multvarado al esquema COT. Además el CUSUM multvarado (como el MEWMA) proporcona una ndcacón de la dreccón en la cual han cambado las medas. CONCLUSIONES S ben los métodos de control multvarados se adaptan mejor a la naturalea de los datos, su empleo en la ndustra local, no es frecuente. Las dfcultades para su mplementacón pueden tener su causa fundamental en las actvdades y cálculos más complejos que ellos requeren. Los programas estadístcos de mayor dfusón contenen una ampla varedad de procedmentos gráfcos útles para el control unvarado de procesos. En análss multvarado, el gráfco T se encuentra en software estadístcos de aplcacón masva 9

10 Octavas Jornadas "Investgacones en la Facultad" de Cencas Económcas y Estadístca, novembre de 3 [STATGRAPHICS, S-PLUS; SIMCA y PLS Toolbox de MATLAB]. Los gráfcos MCUSUM y MEWMA requeren de una mayor complejdad de cálculo frente al gráfco T y no están aún ncorporados en software accesble o de uso frecuente. Sn embargo, presentan una gran potencaldad en su aplcacón y su dvulgacón debería enfatarse en el ámbto ndustral BIBLIOGRAFÍA Croser, R. (988). Multvarate Generalatons of Cumulatve Sum Qualty- Control Schemes. Technometrcs,3 (3), Fuchs, C. and Kenett, R.S. (998). Multvarate Qualty Control. Marcel Dekker, Inc., New York, NY. Lnderman, K. A(como el CUSUM multvarado) And Love, T.E. (). Economc and Economc Statstcal Desgns for MEWMA Control Charts.. Journal of Qualty Technology, 3 (4), Lowry, C.A.; Woodall, W.H.; Champ, C.W. and Rgdon, S.E. (99). A Multvarate Exponentally Weghted Movng Average Control Chart. Technometrcs,34 (), Lucas, J.M. and Saccucc, M.S. (99). Exponentally Weghted Movng Average Control Schemes: Propertes and Enhacements. Technometrcs, 3 (), -. Lucas, J Croser, R (98). Fast Intal Response for CUSUM Qualty- Control Schemes: Gve your CUSUM a Head Start. Technometrcs,4 (3), Kourt, T. and Mac Gregor,J.F. (996). Multvarate SPC Methods for Process and Product Montorng. Journal of Qualty Technology, 8, Mason, R.L.; Tracy, N.D. and Young, J.C. (995). Decomposton of T for Multvarate Control Chart Interpretaton. Journal of Qualty Technology, 7, Prabhu, S.S. and Runger, G.C. (997). Desgnng a Multvarate EWMA Control Chart. Journal of Qualty Technology, 9(), 8-5. Stoumbos, Z.G. and Sullvan, J.H. (). Robustness to Non-normalty of the Multvarate EWMA Control Chart. Journal of Qualty Technology, 34(3). Wodall, W and Ncube, M. (985). Multvarate CUSUM Qualty-Control Procedures. Technometrcs, 7 (3), 85-4.