Método del elemento finito estocástico en geotecnia. Enfoque espectral

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1 Ingenería Investgacón y Tecnología, volumen XIV (número), enero-marzo 23: -22 ISSN FI-UNAM (artículo arbtrado) Método del elemento fnto estocástco en geotecna. Enfoque espectral Stochastc Fnte Element Method n Geotechncal Engneerng. Spectral Approach Pneda-Contreras A.R. Insttuto de Ingenería Unversdad Naconal Autónoma de Méxco Correo: apnedac@ngen.unam.mx Auvnet-Guchard G. Insttuto de Ingenería Unversdad Naconal Autónoma de Méxco Correo: gauvnetg@ngen.unam.mx Informacón del artículo: recbdo: abrl de 29, reevaluado: febrero de 22, aceptado: julo de 22 Resumen En este artículo se exponen las herramentas matemátcas que consttuyen la base de la formulacón del método del elemento fnto estocástco espectral para problemas de elastcdad lneal. Se lustra el potencal que presenta este método para modelar la varacón espacal de las propedades de materales heterogéneos y en partcular de los suelos, medante un ejemplo sencllo en el que se analza cómo se propaga la ncertdumbre del módulo de deformacón de un materal al campo de desplazamentos calculados. Se muestra en partcular la nfluenca de la dstanca de correlacón sobre la dstrbucón de la ncertdumbre. Fnalmente, se evalúa la utldad del método para las aplcacones en geotecna y se presentan conclusones. Descrptores: módulo de deformacón ncertdumbre varacón espacal campo aleatoro expansón de Karhunen- Loève expansón en caos polnomal elemento fnto Abstract Ths paper presents the mathematcal tools n whch the formulaton of Spectral Stochastc Fnte Element Method s based. The usefulness of ths method to model the spatal varablty of heterogeneous materals, and n partcular of sols, s llustrated by a practcal example n whch the propagaton of the uncertanty on the deformaton modulus to the computed dsplacement feld s assessed. The nfluence of the correlaton length on the dstrbuton of uncertanty s set forth. Fnally, the advantages of the method n geotechncal engneerng are evaluated and some conclusons are presented. Keywords: deformaton modulus uncertanty spatal varablty random feld Karhunen-Loève expanson chaos polynomal expanson fnte element

2 Método del elemento fnto estocástco en geotecna. Enfoque espectral Introduccón Generalmente, los resultados de los análss geotécncos se encuentran afectados por una ncertdumbre mportante, debdo a que los geomaterales son heterogéneos y complejos. Estos resultados dependen de numerosos factores aleatoros (realzacón de pruebas de laboratoro, remoldeo de muestras, etcétera) que nfluyen drectamente en la determnacón de los parámetros de los materales. Estmar la ncertdumbre que afecta dchos resultados ha sdo una tarea que ha nteresado a los ngeneros geotecnstas desde tempo atrás. Casagrande (965) enfatza, por ejemplo, la mportanca de evaluar no sólo los resgos calculados, nherentes a las obras geotécncas, sno tambén los relaconados con las fallas humanas. En los últmos decenos, se ha recurrdo a las técncas probablstas y estadístcas para modelar la ncertdumbre dentro de un marco raconal para dversos problemas en el campo de la geotecna (Auvnet, 22). Un método que permte modelar y cuantfcar la ncertdumbre que nduce la dspersón de los parámetros de los materales en los resultados de los análss, es el método del elemento fnto estocástco (MEFE), el cual es una combnacón del método del elemento fnto (MEF) con la teoría de la probabldad (Cambou, 974; Vanmarcke, 983), donde los parámetros afectados por ncertdumbre se representan por medo de varables aleatoras o campos aleatoros. Las prncpales técncas usadas en geotecna hasta el momento, las cuales permten aplcar el MEFE son los métodos de perturbacones (varables aleatoras) y de smulacón (Monte Carlo: varables y campos aleatoros) (Auvnet, 22). Los análss con el MEFE han permtdo lustrar la nfluenca de la ncertdumbre en los parámetros consttutvos en los desplazamentos, esfuerzos y deformacones de estructuras térreas (Orland, 996; Bouayed, 997; Mellah, 999; Auvnet et al., 2; Vázquez, 25) y han resultado ser un camno apropado para decdr cuáles parámetros deben defnrse con especal cudado en la etapa de dseño. Por ejemplo, con el método de perturbacones y medante un análss elástco lneal, en el que el materal se puede caracterzar por dos parámetros: módulo de deformacón (E) y relacón de Posson (n), se ha poddo poner en evdenca que la relacón de Posson desempeña un papel predomnante en la poscón y extensón de zonas de tensón en la cortna de presas de terra y enrocamento (Louault, 997; Pérez, 2). Por otro lado, respecto a los análss de flujo de agua, se han poddo defnr técncas basadas en el MEFE para tomar en cuenta la consderable ncertdumbre asocada con la conductvdad hdráulca (López, 2). La mportanca de estos resultados para la geotecna ha alentado la búsqueda de nuevas herramentas numércas que permtan ncorporar otras varantes (como la varacón espacal, debda a las condcones de depósto del suelo) en los análss estocástcos con el MEF. Recentemente, los avances computaconales aunados a los métodos numércos, han permtdo el desarrollo de nuevas técncas matemátcas que hacen posble modelar e ntegrar cada vez mejor las ncertdumbres en los análss mecáncos con elementos fntos. Tal es el caso del enfoque espectral (Ghanem y Spanos, 99), cuyas bases matemátcas se fncan en los métodos del análss funconal y, de manera más específca, en el espaco de funcones de Hlbert. La estratega consste en representar el campo aleatoro del parámetro de nterés (por ejemplo, el módulo de deformacón), por un conjunto de varables aleatoras y funcones ortogonales, lo que permte tratar la varabldad espacal de las propedades del materal analítcamente. La formulacón aleatora de los desplazamentos se realza entonces en térmnos de una nueva dmensón que permte una mejor representacón matemátca del sstema. Por tal motvo, el MEFE enfoque espectral (MEFEE) resulta ser una técnca numérca atractva para modelar en geotecna la ncertdumbre de los parámetros consttutvos provocada por la varacón espacal, y a su vez, mostrar cómo ésta nfluye en los resultados de los análss con el MEF. En este trabajo se muestra la utldad de esta técnca para modelar la varabldad espacal de las propedades de los geomaterales medante campos aleatoros. Asmsmo, se expone cómo es posble analzar la propagacón de la ncertdumbre exstente en el módulo de deformacón de un materal en el campo de desplazamentos calculados medante el método del elemento fnto estocástco (MEFE), utlzando el enfoque espectral, método que hasta el momento se ha utlzado poco en geotecna (Pneda, 27). Se señalan las fuentes de ncertdumbre más mportantes que afectan parámetros como el módulo de deformacón y se resumen brevemente los conceptos probablsta que permten la representacón de la ncertdumbre. Además, se presentan brevemente los conceptos matemátcos báscos del método del elemento fnto estocástco espectral (MEFEE) los cuales se reducen a dos expansones: Karhunen-Loève y caos polnomal. Se presenta la formulacón del enfoque espectral tal como la desarrollaron Ghanem y Spanos (99). La utldad de esta técnca se lustra con el análss de un sóldo cúbco de dmensones untaras sujeto a carga axal. Tomando en cuenta las lmtacones práctcas actuales de esta técnca, en este trabajo se lmtan los análss presentados 2 Ingenería Investgacón y Tecnología, volumen XIV (número), enero-marzo 23: -22 ISSN FI-UNAM

3 Pneda-Contreras A.R. y Auvnet-Guchard G. al caso en que el materal se puede consderar en prmera aproxmacón como elástco lneal (módulo de deformacón y relacón de Posson). La valdez de la hpótess de un comportamento aproxmadamente elástco lneal de los materales consttutvos en los análss de esfuerzo-deformacón con el MEF de estructuras térreas ha sdo confrmada con medcones de campo (Alberro et al., 998) a la condcón de tomar en cuenta la no-lnealdad geométrca (construccón por capas). Fuentes de ncertdumbre en los análss realzados por el MEF En los análss con MEF en geotecna, los resultados se ven afectados por la ncertdumbre asocada a parámetros como el módulo de deformacón. Las prncpales fuentes que dfcultan la determnacón de este parámetro son: a) La varabldad espacal de las propedades del suelo que depende prncpalmente de la hstora geológca de formacón del suelo y, en su caso, del procedmento constructvo. La evaluacón de esta varabldad está condconada por la cantdad de nformacón obtenda en la exploracón geotécnca. b) Errores aleatoros y sstemátcos, los prmeros se cometen durante la realzacón de las pruebas de laboratoro; los segundos se deben a un sesgo en la medcón, producdo por ejemplo, por el remoldeo de muestras o por el uso de correlacones aproxmadas entre propedades físcas y mecáncas. Representacón de ncertdumbre en geotecna La teoría más aceptada hasta el momento para representar la ncertdumbre en ngenería es la de la probabldad (Benjamn y Cornell, 97). A través de ella, es posble modelar la ncertdumbre de los parámetros de los materales que ntervenen en los análss con elementos fntos por medo de varables o campos aleatoros. a) Varables aleatoras Se recurre al concepto de varable aleatora (funcón del resultado q de un expermento) cuando se requere modelar la ncertdumbre asocada a escasa nformacón respecto al parámetro mecánco de nterés V para el medo estudado. La estmacón de las característcas generales de una poblacón (esperanza E{V} y varanza Var[V]) se realza medante estmacones puntuales o ntervalos de confanza. La representacón de la varacón espacal medante varables aleatoras no toma en cuenta la poscón específca de las muestras n la dependenca exstente entre ellas. b) Campos aleatoros Dentro de la teoría de probabldad, un concepto adecuado para representar la varabldad espacal, en un domno dado, de las propedades del medo analzado es el de campo aleatoro V(X, q). La propedad de nterés en cada punto X del medo se consdera entonces una varable aleatora (funcón del resultado del expermento, q). Por medo de la funcón de autocovaranza C V (X, X 2 ), se descrbe la correlacón espacal entre las dstntas varables, quedando el campo defndo por esta funcón, su valor esperado E{V(X,q)} y su varanza Var[V(X,q)]. Cuando no exste confusón posble en el contexto, el campo se escrbe smplemente V(X). Los parámetros y funcones que descrben un campo son entonces (Auvnet, 22): Valor esperado: m V (X)=E{V(X)} Varanza: s 2 V (X) = Var[V(X)]. La raíz cuadrada s V (X) de la varanza se llama desvacón estándar Coefcente de varacón: CV V (X) = s V (X)/E{V(X)} Funcón de autocovaranza: C V (X, X 2 ) = Cov[V(X ), V(X 2 )]=E{[V(X )-m V (X )][V(X 2 ) - m V (X 2 )]} Autocovaranza normalzada (tambén llamada coefcente de autocorrelacón): ρ V (X, X 2 ) = C V (X, X 2 )/ σ V (X ) σ V (X 2 ). Auvnet (22) ha clasfcado los campos como: estmatvos o descrptvos. Estmatvos Cuando no se cuenta con muestreo n medcones de campo, se realza un análss de ncertdumbre a pror. La varacón espacal de los parámetros de los materales es entonces defnda generalmente medante una varable aleatora para cada subdomno que reúne certas condcones de homogenedad. El grado de correlacón entre dferentes varables estmatvas es sempre dfícl de estmar. Convene consderar que exste correlacón entre las propedades de materales dferentes cuando se tene el msmo tpo de dudas respecto a su valor, o cuando han sdo determnadas expermental- Ingenería Investgacón y Tecnología, volumen XIV (número), enero-marzo 23: -22 ISSN FI-UNAM 3

4 Método del elemento fnto estocástco en geotecna. Enfoque espectral mente por el msmo procedmento (Auvnet, 22). Es tambén posble defnr a pror uno o varos campos aleatoros representatvos de las varacones de las propedades, con una funcón de autocovaranza estmada a partr de la experenca obtenda en stos con característcas semejantes. Descrptvos El campo de tpo descrptvo corresponde a una stuacón en la que se tene un número sgnfcatvo de medcones en dstntos puntos de la masa del suelo, el análss de ncertdumbre es entonces a posteror. Los parámetros del campo se obtenen drectamente a partr de las medcones o modfcando los parámetros de un campo estmatvo defndo a pror usando un enfoque Bayesano. El campo aleatoro descrptvo resultante es entonces de tpo condconal con respecto a las medcones. Enfoque espectral Los análss estocástcos que se realzan con el MEF en geotecna, medante el método de perturbacones, representan generalmente la ncertdumbre de los parámetros consttutvos a través de varables aleatoras. El enfoque espectral tene la ventaja de permtr representar la varabldad espacal por medo de campos aleatoros Gaussanos. En esta seccón se descrben las herramentas matemátcas que permten la formulacón del MEFEE tal como la desarrollaron Ghanem y Spanos (99). Este método se puede utlzar en geotecna para realzar análss de ncertdumbre en donde la varabldad espacal de las propedades de los materales (por ejemplo el módulo de deformacón) se modela como un campo aleatoro Gaussano, eventualmente después de una transformacón del campo real. Posterormente, las característcas (esperanza, desvacón estándar) del campo aleatoro de la respuesta (desplazamentos, deformacones, etcétera) son determnadas a través de un análss de segundos momentos (Sudret y Der Kureghan, 2). Un campo aleatoro es Gaussano s las varables que consttuyen el campo tenen una densdad de probabldad conjunta Gaussana. 2 Un campo es estaconaro en el sentdo amplo s el valor esperado de la varable de nterés es constante en todo el domno y s la funcón de autocovaranza depende solamente de la dstanca entre dos puntos X y X 2. En el caso de la elastcdad lneal, el enfoque espectral consste en utlzar la funcón de autocovaranza para representar el campo aleatoro del módulo de deformacón, a través de una expansón en sere llamada de Karhunen-Loève (Papouls, 99) que utlza un número fnto de varables aleatoras; las cuales posterormente se emplean para representar la respuesta del sstema medante una expansón en caos polnomal (Wener, 938). Se trata de un artfco matemátco que permte fnalmente, formular el método de elementos fntos estocástcos. a) Representacón de la ncertdumbre En el enfoque espectral el campo aleatoro V(X) del módulo de deformacón se representa medante la expansón en sere de Karhunen-Loève. Esta expansón, consdera que el campo es estaconaro en el sentdo amplo 2 ; se basa en la descomposcón espectral de la funcón de autocovaranza y permte reducr la dmensón del campo aleatoro de forma abstracta a través de un conjunto fnto M de varables aleatoras y funcones determnstas ortogonales. Tal sere se expresa de la sguente manera V( X) = E{ V( X)} + M lx ( qj ) ( X) donde E{V(X)} representa la esperanza matemátca del campo aleatoro; x (q ) son las coordenadas de realzacón del campo aleatoro con respecto a un conjunto de funcones determnstas j y forman un conjunto de varables aleatoras no correlaconadas con meda cero y varanza untara; l y j son los valores y funcones característcos de la funcón de autocovaranza, defndas a su vez, por la solucón de la ecuacón ntegral, cuya forma es C ( X, X ) j ( X ) dw = lj ( X ) W = V 2 2 X 2 donde W es el domno espacal en el cual se defne el campo aleatoro. La ecuacón (2) se conoce como ecuacón ntegral de Fredholm homogénea de segundo género, en la cual el núcleo C V (X,X 2 ), está defndo por la funcón de autocovaranza, que es real, smétrca y postva; X y X 2 son las coordenadas espacales. La solucón de la ecuacón ntegral puede ser obtenda analítca y numércamente; ambas solucones fueron propuestas por Ghanem y Spanos (99) para el caso de campos aleatoros Gaussanos. El objetvo de la sere de Karhunen-Loève es dscretzar, de forma abstracta, el campo aleatoro en el espaco () (2) 4 Ingenería Investgacón y Tecnología, volumen XIV (número), enero-marzo 23: -22 ISSN FI-UNAM

5 Pneda-Contreras A.R. y Auvnet-Guchard G. de funcones de Hlbert. La varabldad de la propedad (módulo de deformacón) se representa como una suma de proyeccones ortogonales (funcones característcas) a través de los valores característcos, los cuales expresan la cantdad de varanza que las funcones característcas llevan a ese espaco (Matthes et al., 25). b) Representacón de la respuesta Como la respuesta del sstema es una funcón de la varabldad del módulo de deformacón, queda expresada en térmnos de funconales no lneales, representados a través de un conjunto de polnomos ortogonales de varables aleatoras Gaussanas llamado caos polnomal. La respuesta se expande por medo de estos polnomos sobre el espaco de Hlbert, debdo a que la funcón de autocovaranza no es conocda a pror como en el caso del campo aleatoro del módulo de deformacón. La formulacón del caos polnomal está basada en el concepto de caos homogéneo que fue ntroducdo por Wener, cuyos fundamentos fueron el resultado de nvestgacones de funconales no lneales del movmento Brownano (Wener, 938). Se puede decr que el concepto de caos polnomal es una generalzacón de las seres de Taylor a funconales no lneales (Cameron y Martn, 947). Para representar cada desplazamento nodal aleatoro dentro de una estructura que capture la varabldad posble de estos, se requere crear una base estocástca a través de expansones no lneales. Así, cada varable aleatora se puede expandr medante un caos polnomal de la sguente manera: Γ + u Γ( ( )) + u... 2Γ2( ( ), ( )) + 2 = = 2 = u( q ) = u x q x q x q donde: Γ p ( x denota el caos homogéneo de orden p y u ( q),..., x son las ( q)) p coordenadas de la varable u(q) p asocadas a este orden (cero, prmero, segundo, etcétera). Se defne como caos polnomal al conjunto de polnomos multdmensonales y al espaco que ocupan tales polnomos se le llama caos homogéneo. La construccón del caos polnomal de dmensón fnta es a partr de un número M de varables aleatoras Gaussanas ortonormales, x ( q ) que provenen de la expansón en sere de Karhunen-Loéve. El caos polnomal de dmensón M y orden p se obtene a partr de polnomos multdmensonales Gaussanos. Cada uno de estos polnomos se defne como una secuenca de M enteros no negatvos {a,, a M } de la sguente manera (3) M Y a = Ha ( ), = x a donde: H a es el polnomo de Hermte undmensonal asocado a la secuenca a, cuyo grado es menor o gual que p. El número P de coefcentes que conforman el caos polnomal y que contene toda la estructura probablsta de cada desplazamento nodal aleatoro, se obtene medante una combnacón bnomal (Benjamn y Cornell, 97) p M+ k- P = k = k Los valores usuales utlzados en las aplcacones son M = 4 y p = 2,3. Así, cada desplazamento expresado en la ecuacón (3) se puede escrbr en térmnos de estos coefcentes, como P- = k u( q) = a Y [{ x }] (6) donde a y Y [{x k }] corresponden a u y p Γ p ( x ( q),..., x ( q)), respectvamente. p c) Formulacón del MEFEE En el análss lneal por el método del elemento fnto clásco se establece un sstema de ecuacones de equlbro K U = F (7) F es un vector de fuerzas nodales y volumétrcas; U es un vector de desplazamentos nodales y K corresponde a la matrz de rgdez total, con forma T K = W B DBdW (8) donde W es el domno de estudo, B es la matrz de forma y D es la matrz de elastcdad. La formulacón de la ecuacón de equlbro estocástca del MEFEE se basa en representar la varabldad espacal de la propedad del materal (módulo de deformacón) como un campo aleatoro V E (X) medante la expansón de Karhunen-Loéve, quedando la matrz de elastcdad D expresada como (4) (5) Ingenería Investgacón y Tecnología, volumen XIV (número), enero-marzo 23: -22 ISSN FI-UNAM 5

6 Método del elemento fnto estocástco en geotecna. Enfoque espectral D(X) = V E (X) D (9) donde D es una matrz de elastcdad calculada con un módulo de deformacón untaro. S la expresón 9 se susttuye en la matrz de rgdez (8), ésta queda expresada por una parte determnsta K y una parte estocástca como M = j () = T ( ) W e e K K + l X B D BdW De acuerdo con Ghanem y Spanos (99) la ecuacón de equlbro estocástca se obtene al susttur en la ecuacón de equlbro (7) la matrz de rgdez estocástca () y los desplazamentos estocástcos representados en térmnos del caos polnomal (6), fnalmente la ecuacón se expresa como M P- K+ Kx( q) U jy j( q ) = F = j= () sendo F un vector de cargas determnstas. El punto prncpal en la formulacón del MEFEE es mnmzar el error M,P, resultante del truncamento de las seres, medante el método de Galerkn (Zenkewcz y Taylor, 995) con el fn de obtener la mejor aproxmacón de los desplazamentos. Se requere, entonces, que el resduo M,P sea cero, es decr, ortogonal al espaco que ocupa el caos polnomal -, quedando { Y } P k k = E{ M, PY k} = k =,..., P- (2) donde E{} denota la esperanza matemátca. Para mnmzar el error, ambos lados de la ecuacón () se multplcan por Y k, y se toman esperanzas, obtenendo (3) La ecuacón (3), que representa la ecuacón de equlbro estocástca global, es una funcón de la base polnomal sobre el espaco de funcones de Hlbert; donde F k = E{FY k } es cero s k > para cargas determnstas y E{ xy jy k} es la esperanza del producto de dos polnomos y una varable aleatora (Sudret y Der, 2; Dumtru et al., 27), denotada por c jk. Agrupando térmnos en la ecuacón (3), se tene fnalmente que la ecuacón de equlbro estocástca es P- K U = F (4) j= jk j k M P- E{, Y } = ku E{ x Y Y }-E{ FY } M, P k j j k k = j= con M jk = jk = K c K (5) La ecuacón (4) establece un sstema de ecuacones lneales con dmensones N.P N.P, donde N está determnado por el número físco de grados de lbertad en el modelo de elemento fnto y P por el número de coefcentes que se utlzan en la expansón en caos polnomal, dcho sstema se expresa como: K K, P Uo F, P K K U = KP, KPP, U P d) Cálculo de la ncertdumbre sobre los desplazamentos (6) Para conocer las característcas (esperanza y matrz de covaranza) del campo aleatoro de la respuesta, se recurre a un análss de segundos momentos (Sudret y Der, 2), ya que los coefcentes de la ecuacón (4) por sí solos no dan una dea clara de la ncertdumbre sobre los desplazamentos, así se tene EU { } = U (7) P- = 2 T Cov( U, U ) = E{ Y } U U (8) La expresón (7) representa la esperanza matemátca de los desplazamentos U y la expresón (8) defne la matrz de covaranza (ncertdumbre) sobre los desplazamentos en térmnos de la norma al cuadro ( E{ Y }). 2 Aplcacón Para lustrar la utldad del método espectral en la modelacón de la varabldad espacal de las propedades del suelo, se expone un ejemplo sencllo de nterés práctco para la ngenería y la geotecna. Este análss permte observar la propagacón de la ncertdumbre del módulo de deformacón en los desplazamentos horzontales y vertcales en un sóldo cúbco. Para la realzacón del ejemplo, se adaptó una subrutna del programa FERUM versón 3 (fnte element relablty usng matlab), llamada FERUMssfem (Sudret y Der, 2) que permte realzar análss de ncertdumbre con el MEFEE en dos dmensones. 6 Ingenería Investgacón y Tecnología, volumen XIV (número), enero-marzo 23: -22 ISSN FI-UNAM

7 Pneda-Contreras A.R. y Auvnet-Guchard G. Planteamento Se consdera un sóldo cúbco de dmensones untaras ( m), consttudo de un solo materal con módulo de deformacón aleatoro, sometdo a presón vertcal de kpa. Los apoyos en el extremo nferor restrngen el movmento vertcalmente; el central, lo restrnge tambén horzontalmente. En la fgura se observan estas condcones. El análss se realza suponendo en prmera aproxmacón que prevalece un estado de esfuerzos planos. Se evaluará la ncertdumbre en los desplazamentos horzontales y vertcales con el MEFEE. Para realzar el análss, el cubo se dscretzó con una malla de elementos, la presón se representó como cargas puntuales aplcadas en los puntos nodales superores de la malla, como se muestra en la fgura 2. Y x x Fgura. Representacón sométrca del sóldo cúbco Se acepta que el módulo de deformacón varía en dos dmensones de acuerdo con un campo aleatoro estaconaro. Se gnora la varacón en la dreccón perpendcular al plano de análss, lo que equvale a suponer correlacón perfecta en esta dreccón, es decr, que no exsten varacones del módulo de deformacón de un punto a otro en esta dreccón. Las característcas supuestas del campo aleatoro bdmensonal del módulo de deformacón E son: E{E}=kPa; CV(E)=.; la relacón de Posson (n) se consdera determnsta con: E{n}=.3; CV(n)=. Se acepta que la funcón de autocovaranza normalzada del módulo de deformacón es de tpo exponencal: 2 X - X 2 ρ ( X L E, X 2) e - kpa = (9) donde L se defne en forma convenconal como dstanca de correlacón, y corresponde a la dstanca a partr de la cual la correlacón se consdera desprecable. X Resultados Fgura 2. Malla de elementos fntos A través del coefcente de varacón, CV, es posble evaluar la nfluenca de la ncertdumbre del módulo de deformacón sobre los desplazamentos horzontales y vertcales en todo el cuerpo del sóldo. En las curvas de sovalores de las sguentes gráfcas se apreca con clardad tal varacón, establecda para dstntas dstancas de correlacón. En este prmer análss, el campo aleatoro es del tpo rudo blanco (sn autocorrelacón). Las fguras 3b y 4b muestran que la ncertdumbre en los desplazamentos vertcales y horzontales es nula, debdo a un efecto de promedo espacal o compensacón estadístca que anula la desvacón estándar y, por consecuenca, el CV es gual a cero en todo el cuerpo del sóldo. Un materal cuyo módulo presenta una varacón aleatora espacal que puede representarse con un campo de rudo blanco se comporta, por tanto, como un materal homogéneo no aleatoro. En este segundo análss, la dstanca de correlacón (.64m) es lgeramente nferor al ancho del sóldo (m). La fgura 5b muestra que, como debía esperarse, la ncertdumbre sobre los desplazamentos vertcales es nula en la parte nferor del sóldo, donde el movmento fue restrngdo. En el resto del sóldo se observa que la ncertdumbre no es unforme debdo al efecto de promedo espacal o compensacón estadístca. Por ejemplo, la ncertdumbre en el punto superor central es menor que en el punto superor de la esquna del sóldo debdo a que el número de materales puntuales con baja correlacón que nteractúan es mayor en el punto central que en el de la esquna. Por otra parte, en la fgura 6b se observa cómo el CV de los desplazamentos horzontales tende a nfnto sobre el eje de smetría; en este caso, el comportamento del materal es fuertemente heterogéneo lo que da lugar a que se presenten varacones aleatoras alrededor de su valor esperado (que es nulo), orgnando una ncertdumbre relatva nfnta sobre tal eje. Ingenería Investgacón y Tecnología, volumen XIV (número), enero-marzo 23: -22 ISSN FI-UNAM 7

8 Método del elemento fnto estocástco en geotecna. Enfoque espectral Dstanca de correlacón L= a) Esperanza b) Coefcente de varacón Fgura 3. Esperanza y coefcente de varacón de los desplazamentos vertcales a) Esperanza b) Coefcente de varacón Fgura 4. Esperanza y coefcente de varacón de los desplazamentos horzontales Dstanca de correlacón L=.64m a) Esperanza b) Coefcente de varacón Fgura 5. Esperanza y coefcente de varacón de los desplazamentos vertcales 8 Ingenería Investgacón y Tecnología, volumen XIV (número), enero-marzo 23: -22 ISSN FI-UNAM

9 Pneda-Contreras A.R. y Auvnet-Guchard G. Dstanca de correlacón nfnta Cuando la dstanca de correlacón es nfnta, el materal se comporta como un sóldo homogéneo pero aleatoro. En la fgura 7b, se observa que, nuevamente, en los nodos donde el movmento se restrngó no exste ncertdumbre. En el resto del espécmen, la msma magntud de la ncertdumbre en el módulo de deformacón se refleja drectamente en los desplazamentos vertcales. Por otro lado, tomando en cuenta que se conserva en este caso la smetría de los desplazamentos horzontales, la ncertdumbre sobre el eje del sóldo, donde el desplazamento es necesaramente nulo, es tambén nula, como se muestra en la fgura 8b. En el resto del espécmen, la msma magntud de la ncertdumbre en el módulo de deformacón se refleja en los desplazamentos horzontales. La varabldad del desplazamento vertcal para el centro superor del cubo (punto A) en funcón de la dstanca de correlacón se muestra en la fgura 9. Para dstancas de correlacón pequeñas, la ncertdumbre (desvacón estándar) sobre este desplazamento es nula; tal resultado se debe al efecto de compensacón estadístca ya menconado, debdo a que el materal es fuertemente heterogéneo (rudo blanco) pero estadístcamente homogéneo. Conforme la dstanca de correlacón aumenta, la ncertdumbre crece y se presenta una ncertdumbre mayor para el punto A que para el B, hasta alcanzar la magntud de la ncertdumbre mpuesta en el módulo de deformacón, cuando el materal se vuelve estrctamente homogéneo a) Esperanza b) Coefcente de varacón Fgura 6. Esperanza y coefcente de varacón de los desplazamentos horzontales a) Esperanza b) Coefcente de varacón Fgura 7. Esperanza y coefcente de varacón de los desplazamentos vertcales Ingenería Investgacón y Tecnología, volumen XIV (número), enero-marzo 23: -22 ISSN FI-UNAM 9

10 Método del elemento fnto estocástco en geotecna. Enfoque espectral a) Esperanza b) Coefcente de varacón Fgura 8. Esperanza y coefcente de varacón de los desplazamentos horzontales Desvacón estándar de los desplazamentos vertcales, m Fgura 9. Influenca de la dstanca de correlacón sobre la ncertdumbre en los desplazamentos vertcales Un materal.2e-2.e-2 8.E-3 6.E-3 4.E-3 2.E-3.E+ A Un materal B Materal fuertemente heterogéneo Materal estrctamentehomogéneo Puntode la esquna superor Punto central superor.e-8.e-6.e-4.e-2.e+.e+2.e+4.e+6.e+8 Dstanca de correlacón, m Desvacónestándar de los desplazamentos horzontales, m Un materal 7.E-3 6.E-3 5.E-3 4.E-3 3.E-3 2.E-3.E-3.E+ A Un materal B Materal fuertemente heterogéneo Punto central superor (A) Punto de la esquna superor (B) Materal estrctamente homogéneo.e-8.e-5.e-2.e+.e+4.e+7 Dstanca de correlacón, m Fgura. Influenca de la dstanca de correlacón sobre la ncertdumbre en los desplazamentos horzontales La ncertdumbre (desvacón estándar) sobre el desplazamento horzontal en funcón de la dstanca de correlacón para el punto central superor (punto A) se observa en la fgura. Nuevamente, para dstancas de correlacón pequeñas, la ncertdumbre de tal desplazamento es nula, exstendo tambén un efecto de compensacón estadístca. Posterormente, la ncertdumbre se ncrementa y alcanza su máxmo valor para una dstanca de correlacón del msmo orden que la dmensón horzontal del domno en estudo; conforme la dstanca de correlacón se sgue ncrementando, el materal comenza a establzarse estadístcamente y la desvacón estándar de los desplazamentos comenza a dsmnur, hasta alcanzar nuevamente un valor nulo, lo cual representa la homogenedad estrcta del materal con rgurosa smetría axal. El comportamento estadístco del materal para el punto superor de la esquna del sóldo es smlar al del punto superor central del espécmen, a excepcón de que para este punto el menor valor alcanzado no es nulo y está condconado por la ncertdumbre mpuesta en el módulo de deformacón. Este sencllo ejemplo muestra que la dstanca de correlacón consttuye un parámetro mportante que representa la heterogenedad local que puede presentar un materal estadístcamente homogéneo y condcona la ncertdumbre que se puede esperar en el comportamento del msmo. Mayor atencón debería prestarse a este parámetro, especalmente en los análss geotécncos. Ventajas y lmtacones del método Una de las ventajas del enfoque espectral en comparacón con otras técncas probablstas comúnmente empleadas (métodos de perturbacones) es que permte 2 Ingenería Investgacón y Tecnología, volumen XIV (número), enero-marzo 23: -22 ISSN FI-UNAM

11 Pneda-Contreras A.R. y Auvnet-Guchard G. realzar análss de ncertdumbre que toman en cuenta la varabldad espacal de las propedades del suelo medante campos aleatoros. Tal como se planteó en este trabajo, en su estado actual, el método solamente se aplca a problemas de elastcdad lneal y permte representar la varabldad espacal de un solo campo aleatoro (módulo de elastcdad, E), cuyas varables aleatoras tenen una dstrbucón Gaussana. Sn embargo, la formulacón del MEFEE se puede extender al caso en el que se consdere la relacón de Posson, n, tambén aleatora (debdo al ntervalo de valores que n puede tomar, este parámetro se consdera como un campo aleatoro tpo Beta), aún cuando esto ocasona un mayor esfuerzo de cálculo. Este es el tema de una nvestgacón que están realzando actualmente los autores del presente trabajo. Ghanem (999) extendó la formulacón del MEFEE a problemas de conduccón de calor con campos aleatoros lognormales. Por su parte, Matthes y Keese (25) han planteado la ecuacón de equlbro estocástca del MEFEE para campos no Gaussanos. Recentemente Sett et al. (2) propuseron una formulacón del MEFEE que permtría abordar el caso elasto-plástco, lo que aumentaría su nterés en Geotecna. El enfoque espectral presenta, por tanto, un potencal mportante. Su mayor nconvenente es probablemente que la representacón matemátca de los campos aleatoros a la que recurre se aleja del concepto físco, y puede parecer muy abstracta a los ngeneros geotécncos práctcos. Conclusones Se presentaron brevemente los conceptos probablstas que permten modelar la ncertdumbre (varacón espacal) en los parámetros de materales y evaluar su nfluenca sobre los resultados de los análss con elemento fnto (MEF). Asmsmo, se presentaron las herramentas matemátcas de una nueva técnca: el enfoque espectral, donde se evaluó su utldad a través del análss de un sóldo cúbco. Los resultados del ejemplo analzado son de gran utldad para lustrar cualtatvamente cómo la varabldad espacal puede afectar los resultados de los análss con el MEF. Ponen en partcular evdenca el fenómeno de compensacón estadístca y la mportanca de la dstanca de correlacón. Un análss de ncertdumbre que tome en cuenta la varabldad espacal de las propedades de los materales puede resultar partcularmente útl en el caso de estructuras térreas, obras que se construyen con materales, cuyas propedades tenen un grado alto de ncertdumbre debdo a su heterogenedad nherente. Los comentaros presentados en este trabajo marcan las ventajas y lmtacones del método espectral y deberían ser útles para el ngenero deseoso de utlzar este tpo de técncas. Referencas Alberro A.J. et al. Deformabldad n stu de los materales consttutvos de varas presas de terra y enrocamento, Publcacon (64) del Insttuto de Ingenería, UNAM, Méxco, 998, 88 p. Auvnet G. Incertdumbre en geotecna, en: Decmosexta Conferenca Nabor Carrllo, Querétaro, Méxco, Socedad Mexcana de Mecánca de Suelos, 22, pp , Auvnet G., Mellah R. Masrour F., Rodríguez J.F. La méthode des éléments fns en Géotechnque. Revue Francase de Géotechnque, volumen 93 (número 4), 2. Benjamn R.J. y Cornell A.C. Probablty, Statstcs and Decson for Cvl Engneers, New York, McGraw Hll, 97, pp Bouayed A. Modélsaton stochastque par éléments fns en géomécanque, tess (Thèse de Doctorat), Nancy, France, ENSG, INPL, 997, 57 pp. Cambou B. Método del elemento fnto. Análss de ncertdumbre de prmer orden, Publcacon (339) del Insttuto de Ingenería, UNAM, Méxco, 974, 88 p. Cameron R.H. y Martn W.T. The Orthogonal Development of Nonlnear Functonals n Seres of Fourer-Hermte Functonals. Annuary of Mathematcs, volumen 48 (número 2), 947: Casagrande B. Role of the Calculated Rsk n Earthwork and Foundaton Engneerng. Journal of Sol Mechancs and Foundatons. Proceedngs of the Amercan Socety of Cvl Engneers, ASCE, volumen 9 (número SM4), 965: Dumtru I., Edelman A., Shuman G. MOPS: Multvarate Orthogonal Polynomal (Symbolcaly). Journal of Symbolc Computaton, volumen 42, 27: FERUM Fnte Element Relablty Usng Matlab [en línea] [fecha de consulta: novembre de 25]. Dsponble en: ce.berkeley.edu/~haukaas Ghanem R.G. y Spanos P.D. Stochastc Fnte Elements. A Spectral Aproach, New York, Sprnger Verlag, 99, pp. 5-5, Ghanem R.G. Stochastc Fnte Elements wth Multple Random Non-Gaussan Propertes. Journal of Engneerng Mechancs ASCE, volumen 25 (número ), enero 999: López-Acosta N.P. Incertdumbre en el análss de flujo de agua en suelos, tess (doctorado en ngenería), Méxco, DF, Programa de maestría y doctorado en ngenería, UNAM, 2, 3 p. Louault B. Approche probablste de l évaluaton des zones de tenson dans les barrages en terre et en enrochement, Mémore de fn d études, CUST, Clermont Ferrand, France, estudo realzado en el Insttuto de Ingenería, UNAM, 997. Matthes H.G. y Keese A. Galerkn Methods for Lnear and Non- Lnear Ellptc Stochastc Partal Dfferental Equatons. Com- Ingenería Investgacón y Tecnología, volumen XIV (número), enero-marzo 23: -22 ISSN FI-UNAM 2

12 Método del elemento fnto estocástco en geotecna. Enfoque espectral puter Methods n Appled Mechancs and Engneerng, volumen 94, 25: Mellah R. Modélsaton stochastque par éléments fns en élastoplastcté applquée à la géomécanque, tess (Thèse de Doctorat), Nancy, France, ENSG, INPL, 999, 6 p. Orland S. Método del elemento fnto estocástco en geotecna. Análss no lneal, tess (Maestría en ngenería), Méxco, DF, Dvsón de Estudos de Posgrado de la Facultad de ngenería, UNAM, 27, 73 p. Papouls A. Probablty, Random Varables and Stochastc Processes, McGraw Hll, 965. Pérez-Duarte A. Modélsaton stochastque de la constructon des barrages en terre en ansotrope, Mémore de fn d études, Ecole Polytechnque, Pars, France, estudo realzado en el Insttuto de Ingenería, UNAM, 2. Pneda-Contreras A.R. Método del elemento fnto estocástco en geotécna. Enfoque espectral, tess (Maestría en ngenería), Méxco, DF, Programa de maestría y doctorado en ngenería, UNAM, 27, 73 p. Sett K., Jeremc B., Kavvas M. Stochastc Elastc-Plastc Fnte Elements. Computer Methods n Appled Mechancs and Engneerng, volumen 2, 2: Sudret B. y Der Kureghan A. Stochastc Fnte Element Methods and Relablty. A Sate-of-the-Art Report. Department of Cvl & Envronmental Engneerng, Unversty of Calforna, Berkeley, 2, Núm. UCB/SEMM- 2/8. Vanmarcke E.H. Random felds: Analyss and Synthess, MIT Press, Cambrdge, Ma., 983. Vázquez-Gullen F. Incertdumbre en el modelado de la construccón de presas de terra medante elementos fntos, tess (Maestría en ngenería), Méxco, DF, Programa de maestría y doctorado en ngenería, UNAM, 25, 32 p. Wener N. The Homogeneous Chao. Amercan Journal of Mathematcs, volumen 6, 938: Zenkewcz O.C. y Taylor R.L. El método de los elementos fntos, Vol., 4 a ed., Madrd, Mac Graw Hll, 994, pp Este artículo se cta: Ctacón Chcago Pneda-Contreras, Alma Rosa, Gabrel Auvnet-Guchard. Método del elemento fnto estocástco en geotecna. Enfoque espectral. Ingenería Investgacón y Tecnología XIV, (23): -22. Ctacón ISO 69 Pneda-Contreras A.R., Auvnet-Guchard G. Método del elemento fnto estocástco en geotecna. Enfoque espectral. Ingenería Investgacón y Tecnología, volumen XIV (número ), enero-marzo 23: -22. Semblanza de los autores Alma Rosa Pneda-Contreras. Ingenera cvl graduada por la Facultad de Ingenería de la Unversdad Naconal Autónoma de Méxco. En 27, obtuvo el grado de maestra en ngenería en el área de mecánca de suelos en el programa de posgrado en ngenería de la Unversdad Naconal Autónoma de Méxco. Actualmente es estudante de doctorado en ngenería (geotecna) y becara del Insttuto de Ingenería. Gabrel Auvnet-Guchard. Se graduó como ngenero cvl en la Ecole Spécale des Travaux Publcs de Pars en 964. Obtuvo el grado de doctor en ngenería por la Dvsón de Estudos de Posgrado de la Facultad de Ingenería de la Unversdad Naconal Autónoma de Méxco en 986. Es profesor en la msma Dvsón de Estudos de Posgrado desde 968. Ha sdo profesor nvtado en las Unversdades francesas de Grenoble (986), Nancy ( ) y de Clermont (23-24). Ha drgdo 35 tess de lcencatura, 48 de maestría y 9 de doctorado. Ha ocupado el puesto de subdrector del Insttuto de Ingenería de la UNAM. Ha sdo presdente de la Socedad Mexcana de Mecánca de Suelos y ha recbdo dstntos premos y reconocmentos, ncluyendo el premo Larvère del CNAM de Pars, Franca, el premo Javer Barros Serra del Colego de Ingeneros Cvles de Méxco y el premo Lebermann de Ingenería de la Cudad de Méxco. Es profesor honoraro de las unversdades Rcardo Palma y Antenor Orrego, Perú. Es membro de la Academa de Cencas y de la Academa Naconal de Ingenería de Méxco. Ha dedcado su trabajo de nvestgacón a problemas de mecánca de suelos con énfass en la ngenería de cmentacones en suelos blandos en zonas sísmcas y en presenca de hundmento regonal. Actualmente drge el laboratoro de Geonformátca del Insttuto de Ingenería de la UNAM y es vce-presdente por Norte Amérca de la Socedad Internaconal de Mecánca de Suelos e Ingenería Geotécnca. 22 Ingenería Investgacón y Tecnología, volumen XIV (número), enero-marzo 23: -22 ISSN FI-UNAM