MATERIALES DIELÉCTRICOS O AISLANTES

Transcripción

1 MATERIALES DIELÉCTRICOS O AISLATES 1.- Intoducción Idealmente son unos mateiales donde todos los electones de valencia de los átomos o moléculas, que se aglutinan paa foma el agegado macoscópico (sólido, líquido o gas), paticipan en el enlace, quedando fuetemente ligados a los núcleos, de modo que no existen electones de conducción (potadoes de caga libes) capaces de desplazase po el volumen del mateial. En los dielécticos eales, dependiendo de las condiciones de tabajo del mateial, pueden ompese algunos enlaces y establecese coientes muy pequeñas, llamadas coientes de fuga. Salvo que digamos lo contaio estos medios se compotaán idealmente no existiendo coientes de fugas. Con caácte geneal podemos deci que dada una distibución cualquiea de + caga { q } { } M i >, i i = 1 y q j <, j se definen los centos de acción de las j = 1 cagas positivas y negativas espectivamente po los vectoes de posición + i= 1 + qi i = y = q i M j = 1 M i= 1 j= 1 q En el caso de los átomos que foman la estuctua de los dielécticos tenemos las siguientes caacteísticas M =, qi = + q, q j = q, y po tanto se veifica = i y = j i= 1 i= 1 Dependiendo de la elación ente estos dos vectoes de posición que definen los centos de acción de la caga positiva y negativa se induce una pimea clasificación de los medios dielécticos. + a.- Si se veifica que = cada átomo o molécula del mateial no pesenta momento dipola. A estas sustancias se les llama MEDIOS DIELÉCTRICOS APOLARES cuyos mateiales más epesentativos suelen se sustancias sólidas j q j j Si E ext = p = ; p = dp = a i i

2 Si Eext p i = dp i electónica o molecula). Se dice que el dieléctico se polaiza (Polaización + b.- Si se veifica que cada átomo o molécula del mateial pesenta momento dipola. A estas sustancias se les llama MEDIOS DIELÉCTRICOS POLARES cuyos elementos más epesentativos suelen se sustancias fluidas Si E ext = Si Eext oientación) p ; p = dp = a i i p = dp. Se dice que el dieléctico se polaiza (Polaización po i i Dichos mecanismos pueden vese esquemáticamente en el cuado siguiente.

3 En esumen, todos los pocesos de polaización nos llevan a pode asocia a algunos o a todos los elementos de volumen del mateial unos momentos dipolaes elécticos V p = pi i V En la figua siguiente se muesta el poceso de polaización paa un átomo de hidógeno. Cuál es el efecto neto de situa un medio dieléctico en una egión donde existe un campo eléctico E? Las cagas elécticas no pueden movese po el volumen del mateial po acción del campo eléctico, poceso que si ea posible en los medios conductoes, sino que este sólo puede desplaza ligeamente las cagas de un mateial apola u oienta los dipolos de un medio pola. En esencia se cean y/u oientan dipolos en el mismo sentido del campo eléctico inicial que actúan conjuntamente y genean un campo eléctico E que se opone al inicial peo que no es lo suficientemente intenso paa anulalo como ocuía en los medios conductoes. Las cagas que foman los dipolos, ya hayan sido ceados u oientados, se denominan cagas de polaización o cagas ligadas ya que no pueden abandona las inmediaciones del átomo al que petenecen; dichas cagas las nombaemos mediante vaiables con pima. En consecuencia en el medio dieléctico habá un campo eléctico ED que es E = E + E < E 2.- Polaización eléctica P D dipola Si un campo eléctico actúa sobe un medio mateial dieléctico entonces se genean u oientan dipolos que quedan colocados de modo que sus momentos dipolaes sean, pedominantemente, paalelos al campo eléctico en cada punto. La oientación en los casos eales no es total ya que las fuezas de cohesión de los distintos elementos del mateial pueden impedi el gio total de las moléculas o la tempeatua siempe da luga a cieto desoden debido a la agitación que confiee la enegía témica. Se dice entonces dipola

4 que el mateial se polaiza lo que en téminos pácticos se taduce en la asignación a los difeentes elementos del mateial de un momento dipola asociado. V p = dq [1] La expesión [1] depende del tamaño del elemento escogido, y nosotos estamos inteesados en magnitudes puntuales, paa ello ealizamos un poceso de paso al límite y definimos la magnitud POLARIZACIÓ ELÉCTRICA P como p C m 2 P = lim [ P] = = Cm, que en cada punto tiene la diección y sentido del V 3 V m momento dipola asociado a dicho punto. Ejemplo: Sea un dieléctico polaizado de volumen V tal que todos sus dipolos tienen igual momento dipola e igual oientación p = q δ y sea el númeo de átomos susceptibles de foma dipolos. Esto nos quiee deci que el mateial está unifomemente polaizado (mismo valo de la polaización en todos sus puntos), Cuánto es el valo de la p p polaización? P = = = n q δ, siendo n el nº de átomos po unidad de volumen. V V En una situación más geneal y dependiendo del tipo de dieléctico y de la foma del campo eléctico aplicado, la distibución dipola geneada y po tanto la caga de polaización (o ligada) q puede pesentase en dos fomas en volumen, con densidad ρ ( ), o en supeficie, con densidad σ ( ). Si P( ) = P (Unifome) σ ( ) y ρ ( ) { ρ ( ) = } q Si P( ) P ( o Unifome) σ ( ) y ρ ( ) Densidades de caga de polaización En la figua siguiente se muesta un mateial dieléctico isótopo y homogéneo ocupando la mitad del espacio ente las placas de un condensado plano ideal. Como el campo eléctico aplicado es unifome y todos los puntos del medio son equivalentes la polaización es unifome y el efecto conjunto es que las cagas positivas y negativas de polaización se van compensando en el volumen del medio peo no así en las supeficies pues allí ya no pueden compensase pues no tienen con qué hacelo. En consecuencia habá una densidad supeficial de caga ligada σ ' que seá a su vez unifome. V

5 2.1.a.- Cuánto vale la densidad supeficial de caga de polaización? Paa velo más claamente vamos a tabaja con el siguiente sistema Sea un condensado de láminas plano paalelas, áea de placa S y distancia ente ellas d, cagado, con caga Q, aislado (no conectado a bateías) cuyo medio ente placas es el vacío. σ En estas condiciones ente placas existe un campo eléctico, E = u donde u es un vecto diigido desde la caga positiva a la negativa. En las condiciones dadas intoducimos un medio dieléctico homogéneo que llena todo el espacio ente placas; qué sucede? El dieléctico se polaiza y lo haá de modo unifome ya que E es unifome y el medio es homogéneo; po lo tanto no habá densidad volúmica de caga de polaización, pues la caga neta de caga ligada seá nula paa cada zona elemental del dieléctico, y sólo habá densidad supeficial de caga de polaización que no puede compensase con nada. Cuánto vale dicha densidad de caga σ '? q la caga desplazada de cada átomo del dieléctico n el nº de átomos po unidad de volumen Sean, entonces la caga total δ el desplazamiento de la caga / foma un ángulo α con la nomal n a la supeficie del dieléctico desplazada, Q, existente en una capa supeficial del dieléctico de áea S y altua h (obseva la figua odeada po una elipse) seá Q Q = q n S h = q n S δ cosα σ = = q nδ cosα = P n, σ = P n [2] S

6 Los casos más habituales y de los que hablaemos en la asignatua son aquellos en los que α = y σ = P. Esta caga de polaización, cea un campo eléctico E = E que se opone al campo exteno, de modo que el campo en el dieléctico (y po tanto en el condensado) E = E = E + E < E, Cuánto vale? seá D C dipola El campo esultante es unifome ya que el oiginal y el dipola lo son po lo que aplicamos el teoema de Gauss sobe una supeficie cilíndica cuyo eje es pependicula a las placas y tiene una base en una placa (medio conducto) y la ota en el dieléctico, q enc, = E ds = E ( E = ) ds + E ds + E ds ( E ds ds SL) y como E ds ds BD BP BD SL 1 obtenemos E B ( σ B σ B ) D dipola σ σ = E = D σ σ σ P n σ P ED = = = [3] La expesión anteio nos conduce a una agumentación cicula de la que no se puede sali al menos que no hagamos alguna hipótesis azonable ya que no podemos calcula E D sin conoce P, peo este valo depende del desplazamientoδ, que a su vez depende del valo del campo eléctico. La cuestión se complica todavía más ya que el campo E D depende del módulo y la fecuencia del campo oiginal, de la pesión y de la tempeatua, de las popiedades micoscópicas del dieléctico, elacionadas con el nivel de impuezas. Po esto hay que conoce alguna elación ente la polaización y el campo P = f E D. En este nivel de estudios sólo veemos los medios eléctico en el dieléctico ( ) dielécticos lineales que son mateiales homogéneos (misma composición en todos los puntos del mateial) tal que paa el ango de valoes de los campos elécticos aplicados P = f E D es lineal, es deci la elación ente las magnitudes es o bien una la función ( ) constante o bien una matiz. P x kxx kxy k xz E D x P = k ED Dielécticos isótopos P ED / P y kyx k yy k yz ED y [ P i ] kij ED j Dieléc. anisótopos P E = = D P z kzx kzy k zz E D z En esta asignatua sólo tabajaemos con medios dielécticos lineales e isótopos, paa estos la constante de popocionalidad se suele escibi en téminos de la constante dieléctica del vacío, en la foma P = χ E e D, siendo χ e > un nº adimensional positivo que se llama SUEPTIBILIDAD ELÉCTRICA (que es una popiedad macoscópica de los dielécticos). De la expesión [3] σ P σ χeed ED = = ( 1 + χe ) ED = σ ED = σ ED = σ, siendo = 1+ χ > 1 ota constante llamada pemitividad dieléctica elativa del medio y e = > ota constante llamada pemitividad absoluta del medio.

7 Todo ello nos conduce a E = σ σ D = donde hemos substituido las cagas de polaización (difíciles de evalua y medi) po un paámeto macoscópico que nos mide sus efectos. Todo lo anteio nos lleva a que, en nuesto condensado aislado, se veifican los siguientes hechos: σ σ E a.- El ED = = = disminuye veces especto al que existía en el vacío. E d ϕ b.- La difeencia de potencial ϕd = ED d = = disminuye veces especto a la difeencia de potencial que existía en el vacío. Q Q c.- La capacidad del condensado C = D C ϕ = D ϕ = aumenta veces especto a la capacidad sin dieléctico. Así la capacidad de un condensado de placas plano paalelas cuyo espacio ente placas está lleno de un mateial dieléctico de S S pemitividad elativa es CD = C = = d [4] d Si la polaización es no unifome, 2.b.- Cómo se calcula la densidad volúmica de caga de polaización ρ? El desaollo teóico del cálculo no lo vamos a ealiza y tan sólo daemos su valo y su significado físico. Se puede demosta que dicha densidad de caga ligada viene dada po la elación ρ = [5] ( ) P que nos dice que las líneas del campo vectoial polaización nacen en caga negativa de polaización, mientas que mueen en caga de polaización positiva. 3.- Desplazamiento eléctico D Los conductoes no pueden foma dipolos elécticos po lo que se les asigna, al igual que al vacío, una = 1, y en consecuencia siempe usamos cuando tatamos con dichos medios. Las ecuaciones fundamentales de electostática, tanto en vacío como en medios conductoes, ean E dl = E = E = ϕ [6] Γ, q enc, ρ 2 ρ E ds = E = ϕ = [7] Las ecuaciones fundamentales, tienen que cambiase paa los dielécticos? Solo habá que modifica [7] que es dónde intevienen las popiedades de los medios a tavés de la pemitividad, Cómo hace la modificación? Distinguiendo en la caga enceada ente cagas libes (aquellas que tienen libetad de movimientos como sucedía con la caga que utilizábamos paa electiza conductoes) y cagas de polaización (las que no tienen libetad de movimientos po las estuctuas elécticas),

8 ρ P V V ( E + P ) ds = q D ds = q / D = E + P qenc, qlibe + qligada q + q E ds = = = E ds = q + q E ds = q + q = q + dv = q dv = q P ds A la magnitud vectoial D se le llama desplazamiento eléctico y el teoema de Gauss paa él nos dice que su flujo a tavés de una supeficie ceada solo depende de la caga libe enceada po dicha supeficie, es deci D = E + P y D ds = qlibe enc, [8] Es pimodial utiliza esta foma del teoema de Gauss siempe que intevengan los medios dielécticos ya que lo que se conoce a pioi es la caga libe y no la caga de polaización. En el caso más geneal la caga libe también esta distibuida con una densidad ρ en el volumen enceado po qlibe enc, = ρ dv. De esto, y aplicando el teoema de la divegencia a [8] V D ds = D dv = qlibe enc, = ρ dv V limitado po, V V de lo que se infiee la igualdad punto a punto de las integales de volumen; po tanto D = ρ [9] que nos dice que las líneas de desplazamiento eléctico nacen en caga libe positiva y mueen en caga libe negativa. Po oto lado, calculando divegencias a ambos lados en la definición de D D( ) E P ( ) E ρ + ρ ρ ρ = = + = = [1], que nos dice que las líneas del campo eléctico nacen en cagas positivas, ya sean libes o ligadas, y mueen en cagas negativas, ya sean libes o de polaización. Si tatamos con medios dielécticos isótopos y homogéneos podemos sustitui las cagas de polaización po la pemitividad del medio D = E + P = E + χ E = 1 + χ E = E = E [11] ( ) e e Calculando divegencias D ( = ρ ) = E E = ρ [12]

9 4.- Condiciones fontea en la inteface dieléctico dieléctico Consideemos 2 medios dielécticos en contacto po medio de una supeficie de sepaación SS, de pemitividades 1 y 2 espectivamente, cómo están elacionados los campos E y D a un lado y a oto de la supeficie SS? En un punto cualquiea de SS podemos descompone los campos E y D en dos componentes, una pependicula a la supeficie y ota tangente a la supeficie, es deci E = E + E D = Dt + D t n A) Teniendo en cuenta que el campo electostático es consevativo, si hallamos la ciculación del campo eléctico a lo lago de un ectángulo que tiene cada una de sus bases en cada uno de los dos dielécticos y una altua, que es pependicula a la SS en la zona consideada, tan pequeña como queamos, debe vale ceo y podemos deduci que las componentes tangenciales de los campos elécticos a uno y oto lado de SS deben se iguales n E = E la componente tangencial de E se conseva 1 t 2 t B) Calculando el flujo del desplazamiento eléctico sobe una supeficie cilíndica ceada con bases localizadas cada una en un medio, cuyo eje es pependicula a SS en el punto consideado y de altua tan pequeña como queamos, podemos deduci que la componente nomal del desplazamiento eléctico sufe una discontinuidad, de valo la densidad supeficial de caga libe sobe SS, al pasa de un lado a oto de la inteface dieléctico - dieléctico

10 D D = σ 1n Si, como es habitual, no hay caga libe sobe SS ( σ = ), entonces 2n D 1n = D la componente nomal de D se conseva 2n