Estadística Teórica I

Transcripción

1 Estadístca Descrptva EXCEL SPSS Facultad Cecas Ecoómcas Empresarales Departameto de Ecoomía Aplcada Profesor: Satago de la Fuete Ferádez Estadístca Teórca I ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL

2 Estadístca Descrptva EXCEL SPSS Facultad Cecas Ecoómcas Empresarales Departameto de Ecoomía Aplcada Profesor: Satago de la Fuete Ferádez

3 Estadístca: Regresó EXCEL SPSS Facultad Cecas Ecoómcas Empresarales Departameto de Ecoomía Aplcada Profesor: Satago de la Fuete Ferádez REGRESIÓN LINEAL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS. E cada par (X,Y) al valor observado le correspode u valor observado j otro valor teórco ŷ que sería el que le correspodería e la recta como fucó, es decr: ŷ β + β 0 A la dstaca etre estos dos valores (teórco epermetal), la deotamos por d ŷ j j Para obteer los parámetros β 0 β, se toma las dstacas (errores) al cuadrado para que o se cotrarreste los sgos postvos egatvos, hacedo míma su suma: M,j, j d (ŷ j) Por otra parte, para smplfcar el mecasmo para obteer la recta de regresó de Y (varable depedete) sobre X (varable depedete), se descarta multplcdades supoemos que cada par se repte ua sola vez.,j Cosderado que β0 β, M d, j ( β0 +β j),j,j ŷ + Para hallar los valores de β 0 β que haga míma esta fucó hemos de hallar las dervadas, gualado a cero las ecuacoes resultates: ϑm ϑβ 0 ϑm ϑβ,j,j ( β ( β 0 0 +β +β ) 0 j )( ) 0 j,j,j ( β ( β 0 0 +β +β ) 0 j j )( ) 0 Por las propedades del sumatoro, se obtee las ecuacoes ormales de la regresó: β0 +β j β +β 0, j j 0 0 j β0 +β j j β +β 0, j j Dvdedo las epresoes aterores por N (úmero total de datos), habedo supuesto que la frecueca absoluta de cada par (X, Y) es la udad, resulta: 43

4 j β +β j 0 N N N Cosderado los mometos, se tee: j,j β β +β 0 β 0 N N N β β 0 0 +β +β a 0 a susttuedo e la ecuacó β 0 +β a0 a, resulta: ( β β 0 ) +β m a 0 a a β (a 0 ) a a β a a 0 m Falmete, susttuedo los valores obtedos e la ecuacó de la recta β0 + β m m m + ( ) COEFICIENTES DE REGRESIÓN LINEAL m La recta de regresó de Y sobre X: ( ), dode el coefcete de regresó m β / es la pedete de la recta. m La recta de regresó de X sobre Y: ( ), dode el coefcete de regresó m β / es la pedete de la recta. sedo la covaraza m a m j ( ) ( j ) j N j N j j v j N j j j N j + j N j j N j j v j j N j N + a + a 44

5 DESCOMPOSICIÓN DE LA VARIABILIDAD: COEFICIENTE DE CORRELACIÓN VARIANZA RESIDUAL Sea ŷ el valor teórco que correspodería e la recta de regresó de Y sobre X: ŷ β0 + β. Elevado al cuadrado la descomposcó ) ( ŷ ) + (ŷ ), se obtee: SCT ( ( ) [ ( ŷ ) + (ŷ ) ] ( ŷ ) + (ŷ ) + ( ŷ ).(ŷ ) 0 0 ) β0 ( β0 β ) + β ( β0 β ) + ( β0 β ) Observemos que, ( ŷ ).(ŷ ) ( β β ).(β + β co lo cual, ( ) ( ŷ ) + (ŷ ) SCT SCR SCE suma cuadrados total suma cuadrados resdual suma cuadrados eplcada Por otro lado, ( ) ( ŷ ) + (ŷ ) ( ŷ ) ( ) 443 SCR/SCT + (ŷ ) ( ) 443 ρ SCE/SCT Ua vez estmado el modelo es coveete obteer ua medda acerca de la bodad del ajuste realzado. U estadístco que faclta esta medda es el Coefcete de Determacó ( ρ ), que se defe: ρ SCE SCT (ŷ ) ( ) El Coefcete de Determacó permte, además, seleccoar etre modelos cláscos que tega el msmo úmero de regresores, a que la capacdad eplcatva de u modelo es maor cuato más elevado sea el valor que tome este coefcete. De otra parte, ρ SCR SCT r 4 ( ŷ) N ( ) N r a r ( ρ ) Cosderado la recta de regresó de Y sobre X, el coefcete de determacó epresarse: ρ puede 45

6 ρ m m ( ) coefcete correlacó ( ) (ŷ ) N m m a ρ ( ) ( ) ( ) N El coefcete de correlacó leal ρ es u úmero abstracto que determará el grado de ajuste etre ua ube de putos ua recta de regresó. Se defe como la meda geométrca de los coefcetes de regresó leal: ρ β / β / m m m r r Advértase que s la varaza resdual es cero 0, se tee, ( ρ ) 0 a ρ 0 co lo cual, ρ m ± RELACIÓN ENTRE COEFICIENTES: m βy /X m ρ a m a m β ρ Y /X β Y /X ρ a β Y /X ρ INTERPRETACIÓN COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL: Se hace ua terpretacó a partr de la relacó co la varaza resdual ( ρ ) : r S 0 r β / 0 β / 0 ρ. Las dos rectas so perpedculares las varables so INCORRELADAS S r 0 ρ. Todos los putos se ecuetra stuados sobre la recta de regresó, estedo etre las dos varables ua DEPENDENCIA FUNCIONAL (recta de regresó crecete). S r 0 ρ. Todos los putos se ecuetra stuados sobre la recta de regresó, estedo etre las dos varables ua DEPENDENCIA FUNCIONAL (recta de regresó decrecete). 46

7 S < ρ < 0 ó 0 < ρ < Las varables está tato más correladas e cuato el coefcete se aproma más a ó, respectvamete. E ambos casos, este ua DEPENDENCIA ALEATORIA etre las varables. TRANSFORMACIÓN DE LOS DATOS Cuado se detecta problemas de NO LINEALIDAD o HETEROCEDASTICIDAD se desea aplcar las téccas de REGRESIÓN LINEAL se procede de forma aáloga. TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES LINEALIZABLES 47

8 ANTECEDENTES DE LA REGRESIÓN La Normal uvarate bvarate (modelos de probabldad) Ajuste de ua recta a ua ube de putos (aálss de datos) Ifereca estadístca (obtecó de coclusoes medate la formacó de los datos las propedades teórcas del modelo: tervalos de cofaza, cotrastes de hpótess, errores, aálss de la varaza,...) Dstrbucó Normal Bvarate (parámetros μ μ,,. ρ, ) μ E(X) μ E(Y) Var(X) Var(Y) ρ Coef. correlacó(x,y) f(,) π ρ e ( ρ ) [ (X μ ) + ( μ ) ρ (X μ ) ( μ ) ] Normal bvarate: Dstrbucoes codcoadas MODELOS DE REGRESIÓN LINEAL Las téccas de Regresó Leal smple parte de dos varables cuattatvas: La varable eplcatva () La varable respuesta () Tratado de eplcar la varable de respuesta () medate ua fucó leal de la represetada por la recta β +. 0 β 48

9 Para ello partmos de u Modelo de Probabldad (la dstrbucó ormal) de pares de datos, ) que supoemos que provee del modelo establecdo. Dferecamos dos Moles: MODELO. El observador fja los valores de la varable obtee 'al azar' los correspodetes valores : Y β0 +β X + U dode U N(0, ) MODELO. El observador obtee 'al azar' los correspodetes valores, ) ( : X, Y) N( μ, μ,,, ρ) Y /X N β +β ρ 0, ( ( MODELO : MUESTRA ALEATORIA u N(0,) β0 +β + u N( β +β 0, ) depedetes (, L,) Establecedo las hpótess: Normaldad: u N(0,) Lealdad: E(u ) 0 Homocedastcdad: V(u ) 0 Idepedeca: Los u so depedetes Los parámetros: β 0 : represeta el valor medo de la varable de respuesta () cuado la varable eplcatva () es cero. β : represeta el cremeto de la respuesta meda () cuado la varable eplcatva () aumeta e ua udad. Ajuste de ua recta a pares de datos, ) (. Estmacó de los coefcetes de la recta 49

10 PARÁMETROS DE LA REGRESIÓN (β 0, β ) βˆ βˆ ˆ 0 β ( ) (j ) ( ) ( j ) N ( ) ( ) N cov(, ) var( ) ANÁLISIS DE LOS RESIDUOS. ESTIMACIÓN DE LA VARIANZA RESIDUAL Los resduos del modelo: u La varaza resdual: ŷ ˆ r S R u ( βˆ 0 βˆ ) Los resduos puede dbujarse de dsttas formas: Poedo e el eje de abscsas los valores de las e el de ordeadas los correspodetes u. Poedo e el eje de abscsas los valores de las e el de ordeadas los correspodetes u. RESIDUOS TIPIFICADOS O ESTANDARIZADOS. Para evtar la flueca de las udades de medda utlzadas e los datos elmar posbles dferecas debdas al azar e su varabldad, se puede utlzar los resduos tpfcados dvdedo cada uo de ellos por ua medda comú de dspersó. El método más comú lleva a lo que se llama resduos studetzados (por lo que su dstrbucó es la t Studet). 50

11 5 ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE L0S PARÁMETROS DE REGRESIÓN (Supoedo Normaldad) + ± β β α α R /, 0 0 S t ˆ ) ( IC + β R 0 S ) Var(ˆ ± β β α α R /, S t ˆ ) ( IC R S ) Var(ˆ β χ χ α α α /, R /, R S ) ( ; S ) ( ) ( IC sedo la varaza resdual ) ˆ ˆ ( u S 0 R β β CONTRASTE DE LA REGRESIÓN (t Studet) Se establece las hpótess: 0 : H 0 : H 0 β β La hpótess ula establece que los valores de la X o flue e los valores de la Y e la relacó leal, frete a la hpótess alteratva que dce lo cotraro. Co u vel de sgfcacó α rechazamos la hpótess ula 0 H s el CERO o está cuberto e el tervalo de cofaza: ± β β α α 443 muestra típco error X R /, S t ˆ ) ( IC, sedo ) ŷ ( S ) var( ), cov( ˆ R β

12 CONTRASTE DE LA REGRESIÓN: ANOVA (Descomposcó de la varabldad e la regresó) β + β + u 0 ŷ βˆ 0 + βˆ + u 443 { ŷ ŷ + ( ŷ ) restado, resulta: ( ) (ŷ ) + ( ŷ ) elevado al cuadrado, queda: ( ) ( ŷ ) + (ŷ ) SCT SCR SCE suma cuadrados total suma cuadrados eplcada suma cuadrados resdual ( ) grados lbertad ( ) grados lbertad grado lbertad Por otro lado, ( ) El Coefcete de Determacó ( ŷ ) R + SCE SCT (ŷ ) (ŷ ) ( ) ( ŷ ) ( ) 443 SCR/SCT + (ŷ ) ( ) 443 R SCE/SCT El Coefcete de Determacó corregdo R por el úmero de grados de lbertad, que depura el cremeto que epermeta el coefcete de determacó cuado el úmero de regresores es maor: R 4448 ( ŷ ) /( ) ) ( ŷ ) + (ŷ ) R ( ) /( ) SCR SCE ( 443 SCT ( ) g. lbertad ( ) g. lbertad g. lbertad Y R Y 5

13 ANÁLISIS DE LA VARIANZA: TABLA ANOVA Varacó Suma cuadrados grados lbertad Meda cuadrátca F Sedecor p valor Eplcada Resdual Total SCE (ŷ ) SCR ( ŷ ) SCT ( ) SCE SCR SCE/ F SCR/( ) p E cosecueca, E SCE (ŷ ) R SCR ( ŷ ) ( ) SCT Y CONTRASTE DE HIPÓTESIS (F Sedecor): Hpótess ula : β 0 el modelo o es eplcatvo H0 H: Hpótess alteratva β 0 el modelo es eplcatvo A u vel de cofaza ( α) se rechaza H 0 s F > F ;,( ) De otra parte, la dstrbucó F Sedecor: α SCE/ F SCR/( ) R R SCE SCT a SCT SCR F R SCR SCT R ( ) R R SCT SCE SCT k R R COMENTARIOS SOBRE EL CONTRASTE DE LA REGRESIÓN El cotraste de la regresó supoe que la relacó (más o meos fuerte) es LINEAL. Por tato, s o se rechaza la hpótess ula, lo úco que se puede coclur es que o se ha ecotrado evdeca de ua relacó leal, pudedo estr ua relacó NO LINEAL. E la REGRESIÓN SIMPLE el cotraste ANOVA cocde eactamete co el cotraste de la t Studet para el coefcete de la varable regresora. Los CONTRASTES Y GRÁFICOS se utlza para ver s este EVIDENCIA e cotra de algua de las hpótess. Hstograma de los resduos tpfcados Normaldad Q Q plot de los resduos tpfcados Test de K S (Kolmogorov Smrov) 53

14 Lealdad Homocedastcdad Dagrama de dspersó de resduos tpfcados frete a los valores proostcados ajustados. (Tee que estar etre e ua ube de putos s forma) PREDICCIONES A PARTIR DEL MODELO AJUSTADO Aceptado el modelo de regresó, puede realzarse estmacoes predccoes sobre dsttas característcas de la varable Y dado u valor fjo de la varable X que deomaremos 0 Partedo de ua dstrbucó [ β + β, ] Estmacó de [ Y /X ] N 0 0, se aalzara dos opcoes: E 0 valor medo de Y para X 0 Predccó de u valor de Y para X 0 E ambos casos la mejor estmacó putual es del valor de Y predcho por la recta de regresó ajustada ŷ0 βˆ ˆ 0 + β 0. Dóde está la dfereca?, veamos u ejemplo: Para ua msma velocdad del veto 0 las olas podrá teer dsttas alturas. Estmacó de la meda de Y para X 0. Estmacó de la altura meda que tedrá todas las olas para ua velocdad del veto fja 0. Predccó de u valor de Y para X 0. Predccó de la altura de ua ola para ua velocdad del veto fja 0. La estmacó de la meda será la más precsa puesto que compesamos la varabldad de la Y para X 0 E la predccó de u úco valor, a la varabldad estadístca se suma la varabldad de los valores de la Y para X 0 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA ESTIMACIÓN Y LA PREDICCIÓN Estmacó de la meda de Y dado 0 IC α (estmacó) ŷ0 ± tα/, X : E [ Y /X ] ( 0 ) S + R error típco Predccó de u valor de Y dado X 0 ( 0 ) IC α(predccó) ŷ0 ± tα/, SR error típco 0 54

15 CONTRASTE DE LINEALIDAD Es ormal que e u dseño fjo para cada valor de la varable eplcatva ( X ) se tee varos valores de la varable respuesta. La muestra se puede ordear como se descrbe a cotuacó: k k k k 3 M M M M k k k La muestra es de la forma, ) ( j L k, para cada valor + la varable de respuesta:, dode [,, L, k ; j,, L, ] j,, L, k Co lo cual, e la gualdad, k j j ( j SCT ( ) g. lbertad, el tamaño muestral es se puede calcular la meda codcoada muestral de ) k j ( j ŷ ) SCR ( ) g. lbertad + k j (ŷ ) SCE g. lbertad La suma de la varacó resdual SCR ( ŷ ) se puede descompoer e dos térmos: 55

16 SCR k k k k uj ( ŷ ) ( ) + ( ŷ) j j j j j j k k (j ) + ( ŷ) j SCR SCR De este modo, ua descomposcó más completa de la varabldad total será la sguete: k SCR ( ) g. lbertad k (j ) (j ) + ( ŷ) + (ŷ ) j j SCT SCR SCR SCE ( ) g. lbertad ( k) g. lbertad (k ) g. lbertad g. lbertad Cosderado esta gualdad se puede costrur ua tabla ANOVA más completa: k k Fuete de varacó Regresó SCE Resdual SCR Resdual SCR Resdual SCR Total SCT Grados de Suma de cuadrados Lbertad k (ŷ ) k ( ŷ) k k k (j ) j k j j ( ( j ŷ) ) Varazas SCE SE SCR k S R SCR k S R S R S SCR SCT A partr de la ANOVA más completa se puede cotrastar la hpótess de que la fucó de regresó es leal frete a la hpótess alteratva que afrma lo cotraro. Es decr, H [ Y /X ] β0 + β [ Y /X ] p() 0: E la fucó es leal H : E la fucó o es leal Cuado la hpótess ula H0 es certa, las medas codcoadas estará prómas a la recta de k regresó SCR ( ŷ ) 0, esta medda tee dmesoes o es útl para resolver la cuestó, para aclarar la dscrepaca se comprara co SCR estadístcos se utlza como estadístco del cotraste e estudo: k j ( j ŷ), el cocete de los dos F l R R S F(k ),( k) bajo la hpótess ula S 56

17 S E el cotraste ulateral de la F, o se acepta H 0 cuado F R ( k ),( k) > Fα ;(k ),( k) S R MODELO LINEAL DE REGRESIÓN: HERRAMIENTAS DE SOFTWARE EXCEL Y LA REGRESIÓN LINEAL Se puede utlzar el aálss de la regresó leal para estmar la velocdad de reaccó e μ moles/muto (Y) basádose e la varable X 'Catdad de glucogeasa' Ecel dspoe de aálss de Regresó para ajustar el modelo de regresó smple, smultáeamete proporcoa las estmacoes de los parámetros, la cotrastacó dvdual, el aálss de los resduos. E el meú Herrametas, teemos el dálogo Aálss de datos, dode elegmos Regresó, obteédose u cuadro de dálogo que permte realzar u ajuste para la regresó múltple. Los Campos de Etrada tee las fucoaldades: Rago Y de etrada: Itroducr la refereca correspodete al rago de datos depedetes. El rago debe estar formado por ua úca columa. Rago X de etrada: Itroducr la refereca correspodete al rago de datos depedetes. Ecel ordeará las varables depedetes de este rago e orde ascedete de zquerda a derecha. El úmero mámo de varables depedetes es 6. 57

18 Rótulos: Actvar esta caslla cuado la prmera fla o la prmera columa del rago (o ragos) de etrada tee rótulos. No actvar e el caso de que el rago de etrada carezca de rótulos. Ecel geera los rótulos de datos correspodetes para la tabla de resultados. Nvel de cofaza: Actvar esta para clur más veles de cofaza e la tabla de resúmees de resultados. Itroducr el vel de cofaza a aplcar además del vel predetermado del 95%. Costate gual a cero: Actvar esta caslla para que la líea de regresó pase por el orge. Rago de salda: Itroducr la refereca correspodete a la celda superor zquerda de la tabla de resultados. Dejar por lo meos sete columas dspobles para la tabla de resultados sumaros, dode aparece: tabla de aálss, úmero observacoes, coefcetes, error típco del proóstco Y, valores de R error típco de coefcetes. E ua hoja ueva: Hacer clc e esta opcó para sertar ua hoja ueva e el lbro actual pegar los resultados, comezado por la celda A de la ueva hoja de cálculo. Para dar u ombre a la ueva hoja de cálculo, aotarlo e el cuadro. E u lbro uevo: Hacer clc para crear u uevo lbro pegar los resultados e ua hoja ueva del lbro creado. S desea corporar la opcó gráfca tee que teclear esta opcó. Resduos: Actvar esta caslla para clur los resduos e la tabla de resultados. Resduos estádares: Actvar esta caslla para clur resduos estádares e la tabla de resultados de resduos. Gráfcos de resduos: S actva esta caslla se geera u gráfco por cada varable depedete frete al resduo. Curva de regresó ajustada: S actva esta caslla se geera u gráfco co los valores proostcados frete a los valores observados. Trazado de probabldad ormal: Actvado esta caslla se geera u gráfco co probabldad ormal. Falmete, co las opcoes actvadas e la fgura ateror, e la tabla de resultados aparece los estadístcos de regresó, cuadro de aálss de la varaza del modelo, estmadores, cotrastes de sgfcacó de F Sedecor de t Studet co sus p valores asocados, tervalos de cofaza para los parámetros para las predccoes al 95%, resduos. 58

19 La fgura adjuta preseta el gráfco de la varable depedete (X) cotra los resduos, lo que se utlza para detectar el problema de o lealdad, heteroscedastcdad, autocorrelacó e el modelo del ajuste. Lo mejor es que la gráfca presete ua estructura aleatora de putos. La fgura adjuta preseta el gráfco para detectar la hpótess de ormaldad e el modelo. La gráfca deal es la dagoal del prmer cuadrate. La gráfca vsualza la varable depedete cotra los valores predchos, lo que srve para detectar problemas de heteroscedastcdad. Lo deal es que todas las gráfcas presete ua estructura aleatora de putos. Para obteer la recta de regresó, se seleccoa los datos Y hacemos clc e el coo de Asstete para Gráfcos. 59

20 Prevsualzamos la Gráfca Hacer clc e Sguete Se ajusta los detalles de la Gráfca, Títulos, ombre de los ejes, etc. Hacer clc e Sguete Co la opcó que fgura seleccoada se obtee la Gráfca e la msma hoja. Hacer clc e Termar. La Gráfca os permte vsualzar certa relacó leal. Para ecotrar la ecuacó de la recta que mejor la modela se poscoa el cursor sobre alguo de los putos de la Gráfca de Dspersó, se hace clc co el Botó Derecho del Mouse. 60

21 Se seleccoa: 'Agregar líea de tedeca...'. Después 'Líea de Tedeca o regresó leal. Pasado a la solapa 'Opcoes' Se tlda las opcoes se hace clc e 'Aceptar' Resultado, falmete: 6

22 SPSS Y LA REGRESIÓN LINEAL Co datos troducdos e SPSS, tetamos ajustar u modelo medate Mímos Cuadrados Ordaros (MCO). Para ello, se elge e el Meú Aalzar Regresó Leal, como se dca e la fgura adjuta. E el cuadro de la Regresó leal se troduce la varable depedete (Y) la varable depedete catdad de glucogeasa (X). E el botó Opcoes se hace la seleccó de la fgura. E las opcoes Estadístcos Gráfcos, se procede como aparece e las seleccoes adjutas. E el botó Gráfcos se seleccoa resduos cotra valores predchos. Al pulsar Aceptar se obtee el ajuste del modelo. 6

23 El ajuste del Modelo: SCE 847,305 SCR 33,495 SCT 880,8 SCE/ 847,305 F 65,454 SCR/3 33,495/3 Hpótess ula H0 : β 0 el modelo o es eplcatvo Hpótess alteratva H: β 0 el modelo es eplcatvo A u vel de cofaza del 95% ( α 0,95) se rechaza H 0 s 65,454 F 0, 8 (tablas) F 0,05;, 3 R R SCE 847,305 0,98 SCT 880,8 0,98 0,99 Se verfca la relacó F R ( ) R 0,98 65, ,98 Respecto a la autocorrelacó, el estadístco de Durb Watso de,673 o deja claro la preseca o o de autocorrelacó: (u u DW u ) ( ρ) DW DW 0 DW 4 s ρ 0 s ρ s ρ El Modelo estmado sería:,+ 8,648 63

24 E la fgura del hstograma de los resduos. se observa que o se ajusta be a ua dstrbucó ormal. E la fgura se preseta el gráfco de ormaldad que se ajusta mu be a la dagoal del prmer cuadrate. E el gráfco de resduos tpfcados cotra valores predchos este dudas sobre la aleatoredad porque los putos se cocetra sguedo rectas paralelas, lo que permte vslumbrar problemas de heteroscedastcdad. 64

25 REPRESENTAR NUBE DE PUNTOS RECTA DE REGRESIÓN La ube de putos se represeta co el meú: GRÁFICO/DISPERSION/PUNTOS E el cuadro de Dalogo especfcar 'Dspersó Smple' E la OPCIÓN DISPERSIÓN SIMPLE se puede represetar los putos para u par de varables. E el cuadro se especfca la varable depedete (Y) la varable depedete (X). Ua vez dbujada la ube de putos se puede dbujar la recta de regresó. Para ello, es ecesaro edtar el gráfco pulsado dos veces sobre el msmo. A cotuacó e el edtor de meú de gráfcas, se seleccoa la opcó ELEMENTOS, como se muestra e la fgura: 65

26 Se seleccoa la opcó Ajustar líea/leal EJERCICIOS DE REGRESIÓN LINEAL. E la tabla adjuta se recoge dos años, el gasto mesual e publcdad (X) las vetas mesuales (Y) de ua empresa, ambas e mles de euros, calcular la recta de regresó que eplque las vetas e fucó del gasto de publcdad, así como su represetacó gráfca. X 5, 4,9 5 4,9 4, 4,6 5,5 5, 5,4 4,7 4,3 5,7 Y X 5, 4,8 5 4, 5,7 4 4,7 6,7 4,9 5 3,6 4,7 Y Solucó: º Opcó e Ecel Para costrur u dagrama de dspersó, se troduce las observacoes e dos columas, teedo la precaucó de colocar las observacoes de la varable depedete X e la prmera columa (A6:A30), de forma que el rago de los datos sea A6:B30 (cluedo los rótulos X e Y de las observacoes). Ua vez troducdas las observacoes, se seleccoa e el meú Isertar/Gráfco, seleccoado Tpo de Gráfco (XY dspersó), el Subtpo de gráfco (Dspersó). Ua vez seleccoado, se hace clc e Sguete >. 66

27 E la pestaña Rago de datos, se troduce el rago e el que está cotedos los datos (cluedo los subtítulos), dcado s éstos está e flas o columas. De este modo, se tee A6:B30. E la pestaña Sere se comprueba s las seres X (varable depedete) e Y (varable depedete) se correspode co las observacoes. Ua vez comprobado se hace clc e Sguete >. E el paso sguete, se permte modfcar dsttos elemetos del gráfco, como se puede deducr de las pestañas dspobles e la vetaa de la zquerda. Falzadas las modfcacoes, se hace clc e Sguete >. Falmete, se seleccoa ua ubcacó para el gráfco. E este caso, Como objeto e: Hoja, de forma que se serta e la msma hoja de cálculo dode se esta trabajado. Para termar, clc e Termar >. Aparece el dagrama de dspersó que aparece a la zquerda. Modfcado alguas opcoes de formato e el gráfco, se cosgue mejorar clarfcar el aspecto. Más cocretamete, elmado las líeas de dvsó el fodo del área de trazado, corrgedo las escalas de los ejes para cetrar la ube de putos, el gráfco podía adoptar el aspecto sguete: Obtedo el dagrama de dspersó, se puede proceder a agregar la recta de regresó. Para ello, o se seleccoa las observacoes que aparece e el gráfco, hacedo clc e cualquera de ellas, se pulsa el botó derecho del rató, para seleccoar Agregar líea de tedeca. O be, se utlza el meú Gráfco/Agregar líea de tedeca. 67

28 E la vetaa que aparece a cotuacó, ha dos pestañas, Tpo Opcoes. E la vetaa Tpo se seleccoa el tpo de tedeca o regresó (e este caso, Leal), e la pestaña Opcoes se seleccoa Presetar ecuacó e el gráfco Presetar el valor R cuadrado e el gráfco. Falmete, se hace clc e Aceptar. De esta forma, aparece el modelo seleccoado represetado gráfcamete juto co la epresó de la fucó ajustada la bodad de ajuste (coefcete de determacó) R. El resultado aparece e la fgura adjuta, se puede observar que juto a la ube de putos aparece la recta de regresó 4,75+ 56,996., así como el valor del coefcete de determacó R 0, 88. El dagrama de dspersó, la líea de tedeca (recta de regresó) la formacó que aparece e el cuadro de teto se actualza automátcamete s se modfca los datos orgales. º Opcó e Ecel Al estar los datos s tabular, la forma más efcete de obteer e Ecel la recta de regresó mímo cuadrátca de las vetas mesuales (Y) sobre el gasto mesual de publcdad (X), ŷ a+ b., es utlzar la fucó ESTIMACIÓN.LINEAL, o be la herrameta para aálss Regresó e el meú Herrametas/Aálss de datos. Habedo troducdo los datos; por ejemplo, prmero los correspodetes a la varable depedete X (e el rago A7:A30) después los de la varable depedete Y (rago B7:B30), reservado A6 B6 para los ombres de las varables. º. La prmera opcó correspode a la fucó ESTIMACION.LINEAL(coocdo_;coocdo_;costate;estadístca), dode coocdo_ coocdo_ hace refereca a los datos de las varables Y X, a partr de los cuales se va a estmar la recta de regresó de Y sobre X. S se omte coocdo_ se aume que ésta es la matrz co valores (,, 3,... ) co el msmo tamaño que coocdo_. Respecto a costate estadístca, ambos so valores lógcos que se especfca; e partcular, s costate es gual a VERDADERO o se omte, es estma u modelo co costate, s es gual a FALSO se estma ua recta de regresó que pasa por el orge de coordeadas; por otra parte, 68

29 s estadístca toma el valor VERDADERO se devuelve las estadístcas de regresó, s estadístca es gual a FALSO o se omte, sólo se calcula los dos parámetros (a, b) de la recta de regresó. Ahora be, ESTIMACION.LINEAL, es ua forma matrcal, por ello ha que seleccoar prmero el rago de las celdas e el que se desea que aparezca los resultados, después completar los dsttos argumetos de la fucó. Falmete, pulsar smultáeamete la combacó de las teclas Cotrol+Maúsculas+Itro. Más cocretamete: Se seleccoa dez celdas como aparece e la fgura adjuta (flas columas ecesaras como parámetros a estmar, cuado el argumeto estadístca VERDADERO), después e pegar fucó/estimacion.lineal Habedo completado los argumetos, se pulsa smultáeamete las teclas Cotrol+Maúsculas+Itro La salda completa de ESTIMACION.LINEAL (estadístca VERDADER0) rellea las celdas seleccoadas aterormete, costa de cco flas tatas columas como parámetros a estmar, e partcular tres, e el caso de la regresó leal. La salda de Ecel, e este caso, será la coteda e la sguete formacó: b ET b R F SCR a ET a ET reg g. lbertad SCE Advértase que, b 56,996 a 4,7533 recta regresó: 4,75+ 56,996. coef. determacó: R 0, 88 Los estadístcos que os teresa e este efoque descrptvo de la regresó leal, destacados e azul, so la ordeada e el orge (a), la pedete de la recta de regresó (b) de Y sobre X, el coefcete de determacó (R ), la suma de los cuadrados de la varacó resdual (SCR) la suma de los cuadrados de la varacó eplcada (SCE), dode ( ) 443 SCT suma cuadrados total ( ŷ ) 443 SCR suma cuadrados resdual Señalar que, el coefcete de determacó: R + (ŷ ) 443 SCE suma cuadrados eplcada SCE SCT 69

30 NOTA. Se podía haber optado porque la salda de ESTIMACION.LINEAL hubera sdo úcamete la ordeada e el orge (a), la pedete de la recta de regresó (b) de Y sobre X. Para ello, se seleccoa dos celdas como aparece e la fgura adjuta. Después e pegar fucó/estimacion.lineal, co el argumeto estadístca FALSO. Falmete, se pulsa smultáeamete las teclas Cotrol+Maúsculas+Itro La salda de Ecel, e este caso, será (b, a): b 56,996 a 4, 7533 La recta regresó: 4,75+ 56,996. º. La seguda opcó correspode a la herrameta Regresó. E el meú Herrametas/Aálss de datos se seleccoa Regresó, se hace clc e Aceptar aparece u cuadro de dálogo. E el cuadro de dálogo, etre otras cosas, se troduce los ragos de las varables (X, Y), o se ha troducdo los Rótulos porque o teía los ombres de las varables. Como opcoes de salda, E ua hoja ueva, solctado Resduos Curva de regresó ajustada. Señalar que para esta opcó, los datos de X e Y debe estar oblgatoramete e columas, lo que o sucedía co ESTIMACION.LINEAL, dode los datos de las dsttas varables podía estar dspuestos tato e flas como e columas. Se puede estmar u modelo s costate, s más que pchar e el recuadro de la zquerda de Costate gual a cero. Co las especfcacoes aterores se obtee ua salda co muchos estadístcos, al vel descrptvo de la regresó os teresa los coefcetes ( a 4,7533, b 56,996) el coefcete de determacó R 0, 88. E Proóstcos para Y aparece los valores estmados de la varable depedete Y segú la recta de regresó: 4,75+ 56,

31 Por otra parte, e el caso de la regresó leal smple que se estuda e este caso, el coefcete de correlacó múltple de salda o es más que el coefcete de correlacó leal de Pearso: CV 0,9385 Como salda també aparece el dagrama de dspersó la recta de regresó. PRONÓSTICO ó TENDENCIA. Ua vez calculada la recta de regresó 4,75+ 56,996., se puede calcular las vetas mesuales de la empresa (Y) e fucó del gasto e publcdad (X). Para ello, s deseamos saber las vetas mesuales para u gasto e publcdad de euros ( 5), se susttue e la recta de regresó el valor de la : 4,75+ 56, , 75 (mles de euros). Ecel, proporcoa fucoes como llevar a cabo predccoes: PRONOSTICO TENDENCIA. La fucó PRONOSTICO(; coocdo_; coocdo_), dode (coocdo_; coocdo_) so los valores que se utlza para estmar la recta de regresó de Y sobre X, metras que es el uevo valor de la varable X para el que se va a obteer u proóstco PRONOSTICO(5;B7:B30;A7:A30) La fucó PRONOSTICO o es matrcal, de modo que s se desea el proóstco para dsttos valores de la X, lo más cómodo es calcular el prmero utlzar la opcó de lleado automátco, mateedo fos los datos correspodetes a (coocdo_; coocdo_): PRONOSTICO(A7;$B$7:$B$30;$A$7:$A$30) 7

32 La fucó TENDENCIA es de carácter matrcal, por lo que se puede utlzar ua sola vez para llevar a cabo varas predccoes al msmo tempo, s más que seleccoar prevamete el rago dode se quere obteer los resultados, completar los argumetos pulsar smultáeamete las teclas Cotrol+Maúsculas+Itro Advértase que co la fucó TENDENCIA se puede estmar u modelo que pase por el orge de coordeadas, s más que asgar FALSO a su argumeto costate, metras que co la opcó PRONOSTICO o se puede realzar. Cosderado las ecuacoes ormales de la recta de regresó: a.n+ b. a. + b.. 4 se tee: N 4, 358, 4, , 5355, 64 4,. 547, 50 4.a+ 358,.b 6990 resolvedo el sstema: a b 56, a 4, ,.a ,64.b 547,50 La recta de regresó de Y sobre X: 4,75+ 56,996. m Cosderado la ecuacó de la recta de regresó de Y sobre X: ( ) dode, a a a a a 4. 4 m 0 a0 co lo cual, m 0 a0 a m a 0 m 4,95, a 0 707,97, a 0 3,5, a ,4, a 0588, ,396, m 460,4,,579 m 7

33 ,579 La recta de regresó de Y sobre X: 707,97 ( 4,95) 0,396 despejado, la recta de regresó de Y sobre X: 4,75+ 56,996. m (,579) El coefcete de determacó (bodad del ajuste): R 0, 88 0, ,4 Ejercco Ecel. E la tabla adjuta se recoge los datos correspodetes al úmero de hjos (X) saldo medo mesual de ua cueta de ahorro (Y) e mles de euros de 30 famlas españolas. X \ Y 4 4,5 4, ,5 5, Se pde determar la recta de regresó que eplca el saldo de la cueta de ahorro e fucó del úmero de hjos. Qué saldo tedrá ua famla co 5 hjos?. Cuál es la fabldad de la predccó?. Solucó: Como se trata de datos tabulados, o se puede utlzar las fucoes de Ecel descrtas e el ejercco ateror, por tato, es ecesaro calcular cada uo de los estadístcos descrtos e la ecuacó de la m recta ( ) m E la ecuacó a+ b., la pedete b la ordeada e el orge a. m a a a 5 4. j.j j m N 788, ,0673. j. j 6 j 67,385 a0 N 30 N 30 5,69.. j 35 j 3493,65,5 a , a,5 (,385) 0,966 m a 6,874 (5,69) 0,53 m a 6,0673 (,385).(5,695) 0, j

34 m 0,3346 pedete de la recta b 0, ,966 m ordeada e el orge a. 5,69+ 0,3463.,385 5,598 La ecuacó de la recta de regresó de Y sobre X: 5,598 0,3463. A partr de la recta de regresó, se deduce que el saldo prevsto e la cueta de ahorro para ua famla co 5 hjos (5), será: 5,598 0, , 8667 mles de euros, es decr, 3886,7 euros. La bodad del ajuste se puede estudar co el coefcete de determacó leal: R ( 0,3346) de dode, R 0, ,966. 0,53 m. La bodad de ajuste del 75,68% cofrma que se trata de ua ajuste aceptable, a que la recta eplca el 75,68% de la varaza de la varable Y. Al ser bueo el ajuste, se coclue que la predccó realzada es aceptable. Ejercco Ecel REGRESIÓN PARABÓLICA 3. E la tabla adjuta se recoge las vetas de cemeto e Segova e todo el terrtoro español. Determar u ajuste parabólco mímo cuadrátco de las vetas de cemeto e Segova e fucó de toda España. Qué ajuste será mejor, el leal o el parabólco? Año España Segova 990 9,7 0,7 99 8,5 0,6 99 8,5 0, ,9 0, , 0, , 0, , 0, ,7 998,7 0, ,9 0,7 Solucó: La ecuacó a ajustar por mímos cuadrados que eplca las vetas de cemeto e Segova (Y) e fucó de las de España (X) vee dada por la ecuacó a+ b + c, dode (a, b c) so los parámetros a estmar. Las ecuacoes ormales, obtedas al dervar respecto a estos parámetros so: 74

35 c b a. c b a c b an de dode se etrae: N. c b a despejado, se tee: N c b a Como los datos o se ecuetra tabulados, puesto que los datos tee frecueca utara, para obteer co Ecel el valor de los parámetros del ajuste parabólco se puede segur dos procedmetos. El prmero de ellos cosste e represetar la ube de putos utlzar el meú Gráfco/Agregar líea de tedeca. Alteratvamete, se puede resolver el sstema de ecuacoes ormales empleado fucoes de Ecel que permte vertr multplcar matrces. PRIMER PROCEDIMIENTO. Se troduce los datos e las columas A, B C (reservado la prmera líea para los rótulos) se dbuja el dagrama de dspersó asocado a las varables X e Y (rago B0:C9). Ua vez obtedo el dagrama de dspersó, se agrega el polomo de grados dos. Para ello, se hace clc e las observacoes que aparece e el gráfco, se pulsa el botó derecho del rató, se seleccoa Agregar líea de tedeca. Aparece ua ueva vetaa, e dode aparece dos pestañas, Tpo Opcoes. E la pestaña Tpo se seleccoa Polomo, e Orde,. De otra parte, e la pestaña Opcoes, se hace clc e cada uo de los recuadros que aparece a la zquerda de Presetar ecuacó e el gráfco Presetar el valor R cuadrado e el gráfco, de forma que se obtee las sguetes vetaas, hacedo clc e Aceptar.

36 El resultado que se obtee es: La ecuacó de segudo grado (parábola) que se obtee: grado de fabldad (bodad del ajuste) R 0, 738,407+ 0,85. 0,004., co u SEGUNDO PROCEDIMIENTO. Para resolver el sstema de ecuacoes ormales, así obteer los parámetros (a, b c) que defe la ecuacó de la parábola, se debe troducr los datos e las columas A, B C, calcular los sumatoros: 0 0 N 0 9, 80 6, ,00 8, ,48 33, ,778 Plateado el sstema de ecuacoes: 0.a+ b.9,80 + c.3740,00 6, a.9,80 + b.3740,00 + c.743,48 8,3 a. 3740,00+ b.743,48 + c.5065,778 33,334 e forma matrcal: a 0 b. 9,80 c 3740,00 9, ,00 743, ,00 6, 743,48 8,3, de dode, 5065,778 33,334 76

37 a 0 b 9,80 c 3740,00 9, ,00 743, ,00 743, ,778. 6, 8,3 33,334 Para obteer la matrz versa, se utlza e Ecel, la fórmula MINVERSA(matrz), que verte ua matrz. E el meú Isertar/Fucó al seleccoar Matemátcas trgoometría e Categoría de la fucó, e Nombre de la fucó. MINVERSA. Como las fucoes MINVERSA (versa de ua matrz) como la fucó que multplca matrces MMULT(matrz;matrz) so fucoes matrcales, ates de ser sertadas, prevamete se debe seleccoar el rago de las celdas e el que se desea que aparezca el resultado, para después, ua vez troducda ésta, pulsar smultáeamete la combacó de las teclas Cotrol+Maúsculas+Itro. Para calcular su matrz versa Ates de utlzar la fucó MINVERSA, se debe seleccoar el rago de las celdas dode tee que aparecer los resultados Resulta la matrz versa: 3, , , , ,0769 0, , , ,00839 E cosecueca, a 3,06600 b 30,89073 c 0, , ,0769 0, , , , , 8,3 33,334 Se repte el proceso ateror, co la fucó MMULT(matrz;matrz), cocluedo: a,407 b 0,85 c 0,0040 La ecuacó de segudo grado (parábola) es:,407+ 0,85. 0,004., 77

38 Advértase que este últmo procedmeto se puede emplear para estmar cualquer ajuste polómco tato para datos tabulados como s tabular; metras que el prmero (dagrama de dspersó) sólo es váldo para datos s tabular. La bodad de ajuste de este modelo se calcula medate el coefcete de determacó: SCE R, por lo que es ecesaro obteer prevamete los valores proostcados por el modelo SCT ( ŷ ), obtedos al susttur el valor de la varable depedete (X) e el modelo teórco estmado, es decr, (,407+ 0,85. 0,004. ). Calculado, posterormete, los resduos e ŷ. La suma de los resduos al cuadrado será: SCE 0 Se tee, SCT ( ) 0, e 0 (ŷ ) SCE 0 ) 0,084 (ŷ SCE 0,084 El coefcete de determacó R 0,7380 (73,80 %) SCT 0,04900 Los cálculos e Ecel so: Falmete, ha que cotestar que ajuste es mejor s el parabólco o el leal. Para ver el ajuste leal, sólo es ecesaro emplear la fucó de Ecel, COEFICIENTE.R El coefcete de determacó leal R 0,5644 (56,44%), sedo claramete mejor el ajuste parabólco. Ejercco Ecel 78

39 REGRESIÓN EXPONENCIAL 4. Ua etdad bacara ofrece u fodo de versó co ua duracó máma de dos años co u resgo alto el prmer año. Como formacó, ofrece la tabla adjuta, dode aparece el dero (e euros) que podría haber recuperado ua persoa al haber cacelado su versó al cabo de u úmero determado de meses a partr de su versó cal. Tempo (meses) Catdad Catdad Tempo (meses) recuperada recuperada , , , , , , , , , , ,7 9565, , ,9 Se pde determar u modelo eplcatvo para los resultados epuestos e fucó del tempo. S ua persoa se ecotrase e el décmo mes de su versó, qué resultados podría proostcar s retra su versó e cualquera de los meses sguetes?. Solucó: El dagrama de putos sugere que el mejor ajuste es de tpo epoecal, es decr, ab, dode X es el tempo e meses e Y la catdad de dero recuperado. Para realzar el ajuste de esta fucó, se lealza el modelo tomado logartmos eperaos, co lo cual: l la+ lb o be z la+ lb La fucó de Ecel, ESTIMACION.LOGARITMICA(coocdo_;coocdo_;costate;estadístca) devuelve las estmacoes de los parámetros (a, b) segú se ha especfcado aterormete. E el argumeto coocdo_ se troduce el rago de las celdas que cotee los datos de la varable Y que se pretede estmar, e este caso, la catdad de dero recuperada. E el argumeto coocdo_ se troduce el rago de las celdas dode aparece la varable depedete X, e este caso, los meses; cuado esta varable correspode a los úmeros (,, 3,...) puede omtrse. El argumeto costate es u valor lógco que permte especfcar s el parámetro a cuado se troduce FALSO; e caso de troducr VERDADERO u omtrse, devuelve la estmacó de a de acuerdo co la epresó. El argumeto estadístca es u valor lógco, s se troduce VERDADERO devuelve las estmacoes de los parámetros (a, b) juto co otros estadístcos, de lo que solo os teresa R leal, SCR leal, SCE leal, respectvamete, el coefcete de determacó leal, la suma 79

40 de los cuadrados de la regresó segú el modelo epoecal lealzado, la suma de los cuadrados de los errores del modelo epoecal lealzado. ESTIMACION.LOGARITMICA es ua fucó matrcal, por lo que ates de troducr la fucó debe seleccoarse el rago de las celdas e las que se quera que aparezca los resultados (la dmesó máma que devuelve Ecel cuado se trabaja co ua sola varable depedete es 5). Falmete, se pulsa smultáeamete la combacó de teclas Cotrol+Maúsculas+Itro. Al seleccoar la fucó ESTIMACION.LOGARITMICA, rellear los argumetos teclear cojutamete Cotrol+Maúsculas+Itro aparece la vetaa los estadístcos solctados De los resultados que os proporcoa esta fucó, solo os teresa los que se subraa co egrta, los restates estadístcos se cosdera para la estadístca ferecal. b ET b leal R F SCR leal a ET a ET regreso g.l. SCE leal (z z) 443 SCT suma cuadrados total (z ẑ ) 443 SCR suma cuadrados resdual + (ẑ z) 443 SCE suma cuadrados eplcada El modelo epoecal es: 85,7456., Advértase que el coefcete de determacó es el que correspode al modelo lealzado, es decr, SCEleal Rleal. Para obteer el coefcete de determacó epoecal, se realza los SCT leal sguetes cálculos: R SCE, dode ep SCTep ep SCT ep ( ), SCE ep ( ŷ), ab 80

41 La obtecó del coefcete de determacó epoecal s lealzar, requere ua sere de cálculos adcoales, tal como calcular SCT ep, SCE ep : 4 SCTep ( ) 4,9638E+ R 4 SCEep ( ŷ) 8,754E+ SCEep 8,754E+ 0,834 (83,4%) SCT 4,9638E+ ep ep Las predccoes puede obteerse susttuedo los valores de la X e el modelo estmado 85,7456., , co lo cual para 0, se tee: 85,7456., ,9738 OTRO PROCEDIMIENTO. Resolvedo el sstemas de ecuacoes ormales, así obteer los parámetros (a, b) que defe la ecuacó de la fucó epoecal ab. Tomado logartmos eperaos, queda: l la+ lb la.n+ lb. l Las ecuacoes ormales so: e forma matrcal: la. + lb..l la. lb N l.l a la lb N. l.l dode, 4 N l 70, l 369, ,7754 0,0087 0,0087 0,00087 Por tato, la 0,7754 lb 0,0087 0, ,7766 7, , ,3076 0,66987 la 7,9498 a e Ahora be, lb 0, a e 7,9498 La ecuacó de tpo epoecal solctada es: Ejercco Ecel 0, ,7456, ,7456.,

42 REGRESIÓN HIPERBÓLICA 5. Estudado las udades demadas de certo producto de cosumo (Y, e mles) las retas famlares (X) e mles de euros, se tee: retas,3,6, 3 3,7 5 udades producto Se pde ajustar ua hpérbola equlátera al úmero de udades del producto demadas (Y) e fucó de las retas famlares (X). Es fable el ajuste?. Solucó: El dagrama de putos sugere u ajuste de tpo b hperbólco. La fucó a ajustar será: a+ Para aplcar drectamete la regresó leal mímo cuadrátca, podemos hacer u cambo: a+ z, dode z z / La fucó de Ecel, ESTIMACION.LINEAL(coocdo_;coocdo_;costate;estadístca) devuelve las estmacoes de los parámetros (a, b) segú se ha especfcado aterormete. E el argumeto coocdo_ se troduce el rago de las celdas que cotee los datos de la varable Y que se pretede estmar, e este caso, la catdad de dero recuperada. E el argumeto coocdo_ se troduce el rago de las celdas dode aparece la varable depedete X, e este caso, los meses; cuado esta varable correspode a los úmeros (,, 3,...) puede omtrse. El argumeto costate es u valor lógco que permte especfcar s el parámetro a0 cuado se troduce FALSO ; e caso de troducr VERDADERO o omtrse, devuelve la estmacó de a de acuerdo co la epresó. El argumeto estadístca es u valor lógco, s se troduce VERDADERO devuelve las estmacoes de los parámetros (a, b) juto co otros estadístcos, s se poe FALSO solo devuelve el valor de los parámetros (a, b), e este caso, s se desea coocer el coefcete de determacó se puede recurrr a la fucó COEFICIENTE.R. ESTIMACION.LINEAL es ua fucó matrcal, por lo que ates de troducr la fucó debe seleccoarse el rago de las celdas e las que se quera que aparezca los resultados (la dmesó máma que devuelve Ecel cuado se trabaja co ua sola varable depedete es 5). Falmete, se pulsa smultáeamete la combacó de teclas Cotrol+Maúsculas+Itro. De los resultados que proporcoa esta fucó, se tee: 0, , z, es decr, 8

43 0, , El coefcete de determacó R 0, 9677 (9,677%), que cofrma que el ajuste medate la hpérbola equlátera es bueo. OTRO PROCEDIMIENTO. Resolvedo el sstemas de ecuacoes ormales, así obteer los b parámetros (a, b) que defe la ecuacó de la fucó hperbólca a+. a.n + b. ecuacoes ormales: 8.a + 4,54.b 33 4,54.a +,663.b 85,944 a. + b.. resolvedo el sstema, a 0,00459 b 3,0098, co lo que la ecuacó de la regresó hperbólca es: 0, , Para aalzar la bodad del ajuste ha que calcular el coefcete de determacó, sedo ecesaro calcular la suma de los cuadrados de la varacoes total resdual: 8 SCT ( ) 535,875 8 SCE ( ŷ) 5,776 SCE 5,776 R 0,976 SCT 535,875 El coefcete de determacó es del 97,6%, dcado que el ajuste medate la hpérbola equlátera es bueo. Ejercco Ecel 83

44 REGRESIÓN LINEAL SPSS EXCEL 6. Los datos de la tabla adjuta muestra el tempo de mpresó (Y) de trabajos que se ha mprmdo. Se está teresado e estudar la relacó estete etre la varable de terés 'tempo de mpresó de u trabajo, la varable eplcatva (X) 'úmero de págas del trabajo''. Los resultados so: ,56 7,33 7,8 9,03 45,00 53,5 85,33 66,73 68,7 79,8 90,83 89,00 8,07 3,6 9,4 54,38 47,63 30, 78,94 6,07 76,7 83,8 7,79 76,0,53 4,70 44,34 48, ,34 88,5 64,84 76,30 8 9,9 7,4 4,7 5,55 69,50 45, 83,8 75,38 00,08 37,5 3,90 4,59 55,6 5,98 46,63 69,40 84,4 74,79 3, ,70 40, 6 80,68 60,79 9 8,86 30,0 34,6 65,39 57,48 57,9 8,90 05,73 93,93 44,73 44,43 8,79 6,85 69,09 50,4 0,3 9,8 0,30 4,3 7,44 a) Obteer las estmacoes de los parámetros de la recta de regresó. Recta de regresó. b) Coefcete de correlacó. Varaza resdual varazas de los parámetros de regresó c) Hallar los tervalos de cofaza cotrastes al 90% de los parámetros de regresó. d) Itervalo de cofaza al 90% para el tempo medo de mpresó de u trabajo que tee 6 hojas e) Itervalo de predccó al 90% para el tempo de mpresó de u trabajo que tee hojas. Solucó: a) Se troduce los datos e SPSS 84

45 E la opcó Gráfcos [además del gráfco de dspersó Y (ZPRED) e X (ZRESID)], se seleccoa el Hstograma Gráfco de prob. ormal, dado que estos gráfcos permte, medate speccó vsual, valorar el cumplmeto del supuesto de ormaldad e los resduos. No obstate, se puede realzar ua prueba de sgfcacó que elme la ambgüedad herete a la speccó vsual. E la opcoes: ZPRED so los proóstcos tpfcados, ZRESID so los resduos tpfcados, DRESID so los resduos elmados o corregdos (calculados hacedo el aálss de regresó s esa observacó; útles para detectar atípcos fluetes), ADJPRED so los proóstcos corregdos, SRESID so los resduos studetzados SDRESID so los resduos corregdos. E el meú Regresó leal, la opcó Guardar, desde su cuadro de dalogo permte realzar varos supuestos: Valores proostcados No tpfcados: E la hoja de etrada de datos corpora los valores ŷ proostcados por el modelo. Valores proostcados No tpfcados: E la hoja de etrada de datos corpora los resduos u ŷ Dstaca de Mahalaobs: Es ua medda de flueca a pror. Cuatfca la dstaca de cada caso respecto a las medas de las varables predctoras. E regresó smple es el cuadrado de la putuacó típca de cada caso. No debe superar el valor de chcuadrado χ 0,00 ;k Dstaca de Cook: Es ua medda de flueca a posteror. La flueca se mde por la dfereca e los coefcetes de la ecuacó calculados co la muestra completa co la muestra meos la observacó e cuestó. Valores de la dstaca de Cook (D > ) o D > F 0,5 ;k +,N k se puede cosderar fluetes. Valores de flueca: Mde el mpacto a pror de cada caso. Como regla geeral, valores meores que 0, se cosdera poco fluetes, etre 0, 0,5 so arresgados, valores superores a 0,5 dca flueca. 85

46 Co las opcoes marcadas se obtee la sguete formacó: Las estmacoes de los parámetros de regresó so: βˆ βˆ 0 3,55 8,08 La recta de regresó ajustada será ŷ 3,55+ 8,08 Además de la recta de regresó, resulta ecesaro dspoer de formacó sobre el grado e que el modelo se ajusta a los datos observados (ube de putos). Para elaborar la gráfca del ajuste de la recta a los datos observados se pulsa el meú Gráfcos Iteractvos Dagrama de dspersó. Se defe la varable Y del crtero (eje de ordeadas) la varable predctora X (eje de abscsas) desde la solapa Asgar varables. A cotuacó se seleccoa el método ''regresó", e la solapa Ajuste. El cuadro del dalogo tee el sguete aspecto: Ahora, se puede hacer las predccoes para el tempo de mpresó: ŷ ŷ ŷ,63 9, , , , , ,7 8 78, , ,595 ŷ ŷ 86

47 b) Coefcete de correlacó. Varaza resdual varazas de los parámetros de regresó + ŷ + u a 3,55+ 8,08 u, el resduo u ŷ NOTA. Se puede vsualzar los cálculos e la HOJA Ecel 75 SCE (ŷ ) 39343,35 SCR 75 ŷ ) 805,63 ( 75 SCT ( ) 47368,938 La tabla ANOVA (Aálss de la Varaza) es ua prmera apromacó al Modelo de Regresó Leal, que evalúa globalmete el modelo. E este ejemplo es estadístcamete sgfcatvo el p valor < 0,00 (Sg), co lo que se coclue rechazado la hpótess ula H0 aceptado la hpótess alteratva H (este asocacó etre las dos varables medate ua regresó leal). E el cuadro adjuto se muestra la seguda apromacó ferecal, dode aparece los coefcetes del modelo. E las últmas columas, el cotraste de hpótess para el coefcete de regresó, a través de ua t de Studet (cotraste de Wald), que parte de ua hpótess ula H 0 que supoe que el coefcete de regresó leal vale CERO. E este caso la t Studet vale 8,97 el p valor asocado es < 0,00. Para la costate o tee setdo aplcar el cotraste de hpótess. Como se ha solctado, aparece los tervalos de cofaza al 95% de los coefcetes de regresó, teedo solo setdo para el coefcete β : IC0,95( β) [ 7,54 ; 8,96] Todo aálss de regresó leal debería completarse co ua evaluacó de los resduales, esto es, ( ŷ ), sobre todo por comprobar s éstos sgue ua dstrbucó ormal. Co este smple procedmeto os podemos asegurar que se cumple tres crteros báscos para aplcar correctamete la regresó leal: 87

48 Supuesto de ormaldad de la dstrbucó codcoada de la varable Y. Que esta lealdad e la relacó de Y codcoada para cada valor de X. El prcpo de homocedastcdad (que las varazas de la dstrbucó de Y codcoada a cada valor de X sea homogéeas). Para ello, es mprescdble marcar e la vetaa de Regresó leal la opcó Guardar e ella a su vez Resduos No tpfcados. Al aplcar esta opcó se geera e la base de datos ua ueva varable co los resduos o estadarzados (SPSS la llama por defecto RES_ Y LA etqueta como Ustadardzed), obteédose e la vetaa de resultados el sguete cuadro resume de estadístcos calculados: Co la ueva varable RES_ deberíamos evaluar s sgue ua dstrbucó ormal, seleccoado e la vetaa de depedetes e el procedmeto Aalzar > Estadístcos descrptvos > Eplorar Y marcado e la pestaña Gráfcos la opcó Gráfcos co pruebas de ormaldad Se ajusta a ua dstrbucó ormal Por otra parte, 75 u SCR 805,63 La varaza resdual SR 09,94 a SR 0, SCE/ 39343,35 De otra parte, el estadístco F Sedecor: F 357, 86 permte cotrastar s SCR/( ) 09,94 el Modelo Leal es eplcatvo o o. E esta líea, se establece las hpótess: Hpótess ula : β 0 el modelo o es eplcatvo H0 H: Hpótess alteratva β 0 el modelo es eplcatvo A u vel de cofaza del 90% ( α 0,90) se rechaza H 0 s > F, 76, co F 0,0;,(75 ) lo cual el modelo de regresó leal es eplcatvo (srve para eplcar la respuesta). 88

49 DESCOMPOSICIÓN DE LA VARIABILIDAD: e cosecueca, E R Y SCE/ 39343,35/ 39343,35 SCR/73 805,63/73 09,94 SCT/ ,938/74 640, 75 SCE (ŷ ) 39343,35 SCR 75 ŷ ) 805,63 ( 75 SCT ( ) 47368,938 E cosecueca, el Coefcete de Correlacó R 0,93, como aparece e el vsor de SPSS ( ) ( ŷ ) + (ŷ ) SCT SCR SCE ( ŷ ) ( ) 443 SCR/SCT (ŷ ) ( ) 443 R SCE/SCT (ŷ ) SCE 39343,35 El Coefcete de Determacó: R 0, SCT ,938 ( ) El Coefcete de Determacó corregdo R por el úmero de grados de lbertad: 644 7R ( ŷ ) /( ) ) ( ŷ ) + (ŷ ) R ( ) /( ) SCR SCE ( 443 SCT (75 ) g.lbertad (75 ) g.lbertad 75 g.lbertad ,94 R 0,88 (Coefcete Determacó corregdo por el úmero grados lbertad) 640, Y R Y El Coefcete de Correlacó també puede calcularse co la epresó ρ m 89

50 VARIANZAS DE LOS PARÁMETROS DE REGRESIÓN: Var (ˆ β0) SR +, R S Var(ˆ β) 5,44 Var(ˆ β ) 09, (,844 ) 09,94 Var(ˆ β ) 0,8 75(,844 ) 0 6,89 c) ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE LOS PARÁMETROS DE REGRESIÓN (supoedo la ormaldad del modelo) IC ˆ 0 0 /, R [ ˆ α( β ) β ± tα S + β0 ± tα/, ] ˆ error típco muestra β0 dode, β ˆ 0 3, 55, Var(ˆ β ) 6,89,, 63 0 ˆ β0, α 0, 90,, 6664 t0,05, 73 IC,90( β0) [ 3,55± (,6664)(,63)] [ 9,6 ; 7,869] 0 IC ˆ /, R [ ˆ α( β ) β ± tα S β ± tα /, ] ˆ β ˆ 8,08, Var(ˆ β ) 0,8, 0, 45 IC,90( β) ˆ β β,, 6664 t0,05, 73 [ 8,08 ± (,6664)(0,45)] [ 7,4 ; 8,86] 0 ( ) S R ( ) SR IC α( ) ; S R 09, 94 χ 0,05; 73 94, 059 χ 0,95; 73 54, 35 χα/, χ α/, (73)(09,94) (73)(09,94) IC0,90( ) ; 94,059 54,35 [ 85,35 ; 47,733] CONTRASTE INDIVIDUAL DE LA REGRESIÓN (t Studet): H : β 0 H : β 0 0 La hpótess ula establece que los valores de la X o flue e los valores de la Y e la relacó leal, frete a la hpótess alteratva que dce lo cotraro. 90