CAPÍTULO 6. SISTEMA DE PARTÍCULAS

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1 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá CAPÍTULO 6. SISTEMA DE PARTÍCULAS INTRODUCCIÓN Hasta ahora heos estado estudado el oeto de los objetos cualquera que sea s cosderar su estructura. Ahora deostrareos que lo estuos hacedo be cosderado al objeto s toar e cueta las uerzas que actúa sobre sus artes. Itroducreos el coceto de cetro de asa de u sstea de artículas, tabé se troducrá el coceto de catdad de oeto y se deostrará que este se cosera cuado el sstea se ecuetra aslado de los alrededores, La seleccó del cotoro de u sstea es slar a seleccoar u sstea de coordeadas. SEGUNDA LEY DE NEWTON APLICADA A UN SISTEMA DE PARTICULAS La gura sguete uestra u sstea de artículas de asas,,.., co oscoes eseccadas or r, r,.,, resectaete. r SISTEMA DE PARTICULAS La seguda ley de Newto ara la artícula Dode: a exter t es: La gura uestra u sstea de artículas couesto de tres asas. E el sstea exste dos tos de uerzas, a) Las uerzas exteras coo la atraccó gratacoal de la terra or ejelo. t sua de las uerzas teras sobre ext sua de las uerzas exteras sobre La sua de las uerzas teras sobre la asa es: b) Las uerzas teras que las artículas ejerce uas sobre otras (estas uerzas uede ser gratacoales, eéctrcas, etc.) t... ( j ) j E geeral ara la artícula es: t ( j ) j La uerza total ara el sstea es: a ext ( j ) j E la gura heos cabado el cotoro del sstea, excluyedo la asa. Coo Ua Cosecueca de esto las uerzas teras Sobre y debdo a ya o so teras, se ha suado a las uerzas exteras reas, roducedo ua uea uerza resultate. Por la tercera ley de Newto cada ua de las uerzas tee u j gual, ero de setdo cotraro j

2 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá j j x CM l M Δ xδ M xd De odo que j ( j ) Cosecueteete solo queda a ext CENTRO DE MASA o d r ext recueteete es uy ráctco reelazar u sstea de uchas artículas co ua artícula sle equalete de asa gual. La reguta es dode colocar esta artícula sle co resecto al orge de x e y. Deaos el ector oscó del cetro de asa or la ecuacó: CM r Llaado a artículas). r CM M r r M (asa total de las De gual ora se obtee: ycm l yδ Δ M M zcm l zδ Δ M M r CM r d M yd, zd y MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA. S e la ecuacó: Susttuos d r r M r CM Obtedreos la ecuacó del oeto del cetro de asa d M r CM ext ext M a CM ext El uto dcado or r CM, ector oscó del cetro de asa, se uee se uee coo s e el estuera cocetrada toda la asa y las uerzas exteras del sstea. Ejelo. Cetro de asa de tres asas utuales. Coo r CM x CM ˆ y ˆj z CM CM kˆ Teeos que: y CM M x CM M x, y, zcm z M S haceos que el úero de eleetos, se aroxe al to, la suatora se reelaza or ua tegral y or el eleeto derecal d. Luego. El cetro de asa esta dado or: x CM M x ( ) ( ) ( )

3 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá y CM r CM 9 6 M y () () ( ) 6 6 ˆ ˆj 6 Ejelo. Cetro de asa de u trágulo. Susttuyedo: b a a xcm x ab a ax x ( ) a a ( a x) dx x( a x) dx a a a a a x x a a Realzado cálculos slares ecotraos: b y CM alete: r CM a b ˆ ˆj a dx Ejelo. Cetro de asa de u arco secrcular. x CM xd M Para ealuar asa total d área total Luego: área de la láa M M ydx ydx ab ab M x CM xd x ydx M M ab Por el sstea de coordeadas escogdo, x CM, orque or cada eleeto de asa a la derecha (), exste otro eleeto gual a la zquerda (-). S ebargo ara y es derete. CM y CM yd M M Dode λ y d l Rdθ R Coo π y Rseθ, e este caso d λdl, teeos: a xydx ab y CM M π ( Rseθ ) λrdθ λr π seθdθ M Para oder tegrar teeos que exresar la arable y e ucó de x. Por seejaza de trágulos: y b a x a b a y ( a x) λr M [ cosθ ] π ( ) R π,64r R M M πr

4 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá El cetro de asa o se ecuetra detro del cuero. Las guras sguetes uestra coo localzar exeretalete el cetro de asa rero colgádolo de la arte sueror y luego de otro uto cualquera. Desués que P y P se seara, las elocdades resectas so y deretes de, y. Ejelo 4. Exlosó de ua graada Ahora os regutaos. Qué asa durate el choque? Ua graada lazada al are que exlota e aros ragetos. La úca uerza extera sobre la graada es la uerza de la graedad, etoces la graada sgue ua trayectora arabólca. S la graada o estallara cotuaría oédose a lo largo de la trayectora arabóca dcada e la gura. Coo las uerzas de la exlosó so teras, o aecta al oeto del cetro de asa. Etoces. Desués de La exlosó el cetro de asa de los ragetos sgue la sa trayectora que tedría la graada s! o hubera habdo exlosó. El teo de cotacto total Δ t es uy equeño, quzás solo de aroxadaete, segudos. La uerza de cotacto calete es cero, aueta hasta u alor uy grade y. alete dsuye hasta cero, cuado deja de estar e cotacto. La gura sguete uestra ua aracó tíca de la uerza e el teo de cotacto. IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO Suogaos el caso de dos artículas esércas P y P de asas y co trayectoras cotedas e la sa recta, se aroxa ua a otra co elocdades, y resectaete. Cuado P y P etra e cotacto, P ejerce sobre P la uerza y P ejerce sobre P la uerza. De acuerdo co la tercera ley de Newto. Sea t t Δt el teo que dura el choque, alcado la seguda ley de Newto a las artículas P y P. a y O a d d y d d Itegrado las dos relacoes durate el choque, 4

5 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá t t t t d d y La artícula P ha surdo e el teralo Δ, u cabo de la catdad de t t oeto t t t alete y t t t t Trabajado co el rer ebro y esta catdad es tabé gual al ulso J recbdo e ese state or la artícula J Luego: El cabo de la catdad de oeto es gual al ulso. t t corresode al área bajo la cura ostrada e la gura ateror, a ésta catdad la llaareos IMPULSO J t t () J t Sus desoes so: [] [T] [M][L][T] - E el sstea teracoal sus udades so: Newto.segudo (N.s) Trabajado co el segudo ebro y Ejelo 5. Ua elota de graos está e reoso sobre el so, cuado recbe u utaé que la laza co ua elocdad de /s. a) Qué ulso se do a la elota? b) S el teo que el e está e cotacto co la elota es - segudos. Cuál es la agtud aroxada de la uerza ulsa? Solucó. a) El ulso es gual al cabo de la catdad de oeto: J E este caso, kg,, ˆ /s Llaareos a la catdad, (,)( & ) J ˆ kg s CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL o Moetu leal de la artícula (lo desgareos e la ráctca sleete coo catdad de oeto), cuyas desoes so: [M] [[L]] [M] [L] [T] - E el sstea teracoal sus udades so: b) Se uede obteer u estado de la uerza que actúa sobre la elota, ddedo e ulso J or el teo Δ t t t e que actúa la uerza : J Δt kg..s - Coo kg J ˆ s y Δ t,s 5

6 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá ˆ ˆ N, Ejelo 6. Se deja caer ua elota de asa de ua altura h sobre el el del suelo y rebota hasta ua altura h a) Cuál es la elocdad edataete ates de chocar co el suelo? b) Cuál es la elocdad edataete desués de chocar co el suelo? c) Cuál es el ulso J que se le da a la elota e el acto co el suelo? Solucó. y h a) Coo, x, gh ˆj b) Coo desués de chocar y h, la elocdad desués de chocar es: gh ˆj c) El ulso de la elota es: J g ( h h )j ˆ CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO La catdad de oeto de ua artícula de asa y elocdad es: La catdad de oeto de artículas es la sua de las catdades de oeto dduales, total Usado la exresó de cetro de asa De aquí M total CM M CM La catdad de oeto total de u sstea es gual a la catdad de oeto de la asa total cocetrada e el cetro de asa del sstea. Derado ueaete la exresó ateror: d total M d CM M a CM ext Esta catdad es uy ortate, ya que s o hay uerza extera, d ext total total CONSTANTE Esto es la coseracó de la catdad de oeto. S o hay uerzas exteras sobre u sstea. La catdad de oeto total del sstea es costate. Ejelo 7. Tres artículas de asas kg, kg y kg resectaete co ectores oscó [ ˆ 5t 5t ˆj ( t ) ˆ]c r k, ( ) ˆ ( ) ˆ r 5 ( 4 6 ) ˆ t t j t t k y ( ) ˆ ( ) ˆ r ˆ t t j t k [ ]c [ ]c Dode t es el teo e segudos. Ecotrar: a) La elocdad del cetro de asa e t s y t s. b) La catdad de oeto leal total del sstea e t s y t s. c) Aalzar s el sstea de tres artículas es sstea aslado Solucó. 6

7 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá a) La oscó del cetro de asa esta dada or la exresó: r r r CM Reelazado alores, obteeos: [( ) ˆ ( ) ˆ r t t j ( t t) kˆ CM ]c La elocdad del cetro de asa es d r r [ ˆ ˆ tj ( t ) kˆ ] CM CM Para t l s [ ˆ ˆj ˆ] M k Para t s [ ˆ 4 ˆj 8 ˆ] M k c s c s c s b) La catdad de oeto del sstea es: M CM [ ˆ tj ( t ) kˆ ] 6 ˆ Para t l s 6 ˆ [ ˆj ˆ] k Para t s [ 4 ˆj 8 ˆ] 6 ˆ k kg c s kg c s kg c s c) Coo,, o es costate, luego el sstea o es aslado. Ejelo 8. U escador de asa 7 kg está e u bote estacoaro de asa kg, cuado su ayudate que o sabe adar y está e el agua cogdo del extreo ouesto, se suelta. El escador corre,5 hasta alcazar este extreo. A que dstaca del ayudate ahogádose se ecotrará el escador cuado alcace el extreo del bote? Solucó. Cosdereos aslado el sstea bote, escador, ayudate, or lo tato su catdad de oeto es costate. M c CONSTANTE Coo e co el sstea está e reoso: c d r c Coo c c r CONSTANTE, la oscó del cetro de asa eraece costate E éste roblea que es e ua sola desó: x c CONSTANTE Toeos coo uto de reereca la oscó del ayudate e el extreo del bote, al soltarse segurá e la sa oscó. Aalceos la oscó cal. El cetro de asa del sstea escador-bote está e: x c b xb b (,5) Aalceos la oscó al. El cetro de asa esta e: 7

8 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá x c b ( x x) b b x Coo la oscó del cetro de asa del sstea es arate, se tee: b xb 5 b (, ) ( x x) b b ( ) x (,5) b Reelazado alores: x 7(,5) ( 7),65 b La oscó del escador estará a,65 etros del ayudate. Ejelo 9. U uchacho de asa y ua uchacha de asa, abos co ates, se ecuetra e reoso uo e rete del otro, El uchacho euja a la uchacha, adádola haca el este co ua elocdad. Descrba el oeto del uchacho. x EI uchacho sale co ua elocdad de ódulo drgda haca el oeste, Ejelo. Dos ersoas de asa cada ua, se ecuetra aradas e los extreos ouestos de u bote de logtud d y asa que se ecuetra e reoso sobre u líqudo s rccó, tal coo se uestra e la gura. Las ersoas caa ua haca la otra co radez costate y se ecuetra a d/4 del extreo zquerdo del bote. a) S la ersoa de la zquerda se uee co elocdad resecto al bote, cuál es la elocdad que tee la otra ersoa, resecto al bote? b) Cuál es la elocdad del bote, resecto a terra, durate el oeto de abas ersoas? c) Cuáto aazo el bote hasta el oeto del ecuetro? Solucó. Solucó. Sedo u sstea cerrado la catdad de oeto se cosera, ates desués, S y so las elocdades del uchacho y la uchacha desués del eujó, resectaete: Cosderado el oeto e el eje x, y la dreccó al este coo setdo osto De aquí ˆ ˆ ˆ a) El teo eleado ara ecotrarse es el so ara las dos ersoas d d 4 4 Haca la zquerda b) Por coseracó de la catdad de oeto ates desués ates desués ( ) ˆ ( ) ˆ ˆ b b b b ˆ 5 c) El teo de caata de las ersoas es t d 4, luego el bote se habrá odo 8

9 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá d d x b t 5 4 Coo CM SISTEMA DE REERENCIA CENTRO DE MASA Cuado la uerza extera resultate que actúa sobre u sstea es cero, la catdad de oeto total es costate. Muchas eces es coeete escoger u sstea de coordeada., co el orge stuado e el cetro de asa. Este sstea se deoa SISTEMA DE REERENCIA CENTRO DE MASA Co resecto a este sstea la elocdad del cetro de asa or suuesto es cero y la catdad de oeto total es cero. El aálss de la ayor arte de los choques es ás secllo e el sstea de reereca cetro de asa. La trasoracó de u sstea de reereca cualquera a u sstea cetro de asa o es dícl. Cosdereos u sstea do dos artículas y co elocdades y resectaete cuyo cetro de asa se uee co elocdad se uestra e la gura. CM, coo u y u Coo corobacó, calculeos la catdad de oeto total co resecto al cetro de asa, el cual debe ser gual a cero. u u La catdad de oeto es: ( ) CM Para trasorar esta exresó al sstea Cetro de asa, las elocdades de las artículas co resecto al cetro de asa so coo se uestra e la gura sguete. E la seccó sguete ereos ejelos de alcacó usado el sstea de reereca cetro de asa. CHOQUES Se llaa choque o colsó etre dos cueros a u eóeo e el que los cueros Partcates so lbres ates y desués de la teraccó, sobre los que o actúa uerzas resultates. La teraccó dura u teo uy corto, durate el cual los cueros ejerce etre s uerzas de certa tesdad. Las elocdades relatas al cetro de asa so: Por lo geeral e los choques sóo artca dos cueros, auque esto o es estrctaete ecesaro. u CM y u CM 9

10 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá Sea dos cueros de asas y co elocdades y ates del choque y elocdades y desués del choque resectaete. Para la asa : t t J D J D E todo choque etre dos cueros se cosera la catdad de oeto, esto es: Resoledo ara y. Ahora os troducreos e el roceso colejo que acoaña al choque, el state Δ t t t, e el que aarece la uerza de teraccó, este erodo aos a ddrlo e dos artes, los erodos de deoracó y resttucó. La gura uestra el gráco de la uerza de teraccó e ucó del teo etre las asas y. J D, J D La dereca de estas elocdades es: JD J D Ahora alcareos la ecuacó Iulso-catdad de oeto or el erodo de resttucó (R). t t. Para la asa : t t J R Para la asa : t t J R J R E teo t es el state de áxa deoracó e el que eeza la resttucó y las dos asas osee la sa elocdad Resoledo ara y. J R, J R La dereca de estas elocdades es: Vaos a alcar la ecuacó ulso - catdad de oeto ara el erodo de deoracó (D), t t : JR Para la asa : t t J D J R De lo sto ecotraos la relacó etre el ulso de resttucó y el ulso de deoracó.

11 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá J ( ) ( ) R D J ε A esta relacó se le cooce coo coecete de resttucó ( ε ). Esta relacó ue rouesta or Newto y tee aldez solaete aroxada. EI alor de esta relacó deede de uchos actores tales coo la geoetría, las roedades de los aterales, la elocdad, or ello debeos cotetaros co ua deteracó exeretal. Ejelo. Ua elota de bésbol de,5 kg de asa se está oedo co ua elocdad de 4 /s cuado es goleada or u bate que erte su dreccó adquredo ua elocdad de 6 /s, qué uerza roedo ejercó el bate sobre la elota s estuo e cotacto co ella 5 s?. Solucó. Datos:,5 kg 4 /s - 6 /s (el sgo es egato ya que caba el setdo) t 5 s,5 s Δ J - J - t ( - )/t,5 kg.(- 6 /s - 4 /s)/,5 s,5 kg.(- /s)/,5 s - N CASOS DE CHOQUE Perectaete elástco ε, ( ) ( ) Ielástco ε < El coecete de resttucó y tee u alor etre y. Perectaete lástco ε, ( ) Exloso ε > Ejelo. a) Choque erectaete elástco. E este caso o hay érdda e la eergía ecáca asocada al acto, la eergía cétca eraece costate. K K K K ( ) ( ) Por coseracó de la catdad de oeto teeos:, Asuedo que el oeto es e ua sola dreccó ( ) ( ) Ddedo etre s las exresoes halladas or eergía y or catdad de oeto obteeos. ( ) ( ) ( ) ( ) El cual es or suuesto el coecete de resttucó de u choque erectaete elástco ε. b) Choque erectaete lástco. E u choque erectaete Plástco, desués del choque las asas queda jutas, es decr tee la sa elocdad, tal que, or lo tato: y ε Ejelo. Medcó del coecete de resttucó ε.

12 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá S se quere edr el coecete de resttucó de os aterales, se realza edate ua bola hecha co uo de los aterales y ua suerce laa hecha co el otro ateral, la que se coloca sobre el suelo. Se suelta ertcalete la bola sobre la suerce desde ua altura h. Cooceos la elocdad de la bola al oeto del choque gh La bola rebota ertcalete hasta ua altura h, tal que la elocdad de la bola desués del choque es: gh Coo la suerce o tee elocdad cal elocdad al y. setdo cotraro. Luego del choque abos cueros cotúa jutos co ua elocdad al coú a abos. La elocdad al será: Coo y so guales orque abos cueros sgue jutos: ( ) ( ) ( ) b) Velocdades de gual dreccó y setdo cotraro. Ecotraos que: ε ( ) ( ) Reelazado alores: ε gh gh h h Ejelo 4. Choque lástco o elástco a) Velocdades de gual dreccó y setdo. E este caso los cueros oseía elocdades de gual dreccó ero de setdo cotraro ates del choque, coo e el caso ateror luego del acto cotúa jutos, co ua elocdad al que estará dada or la dereca de las catdades de oeto. La elocdad al será: - Igualete: - ( ) ( ) ( ) Suogaos u cuero de asa y elocdad que se drge a haca el cuero de asa y elocdad, sedo abas elocdades de gual dreccó y setdo. Sobre cada cuero actuó e el oeto del choque, el ulso que le roocó el otro cuero, etoces hay dos accoes de gual tesdad y setdo cotraro, e cosecueca abas catdades de oeto será guales y de La elocdad al atedrá la sa dreccó ero tedrá el setdo de la elocdad del cuero que ates del choque teía ayor catdad de oeto. Ejelo 5. Choque elástco a) Velocdades de gual setdo

13 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá Ejelo 6. Choque lástco. Las dos artículas queda e cotacto desués del choque. Estudar desde dos utos de sta: a) Obserado desde terra, sstea laboratoro y b) Obserado desde el cetro de asa. Durate el choque cada cuero recbe ua catdad de oeto que es gual a la elocdad erdda or el otro. Al recuerar su ora cal, cada uo erde o gaa resectaete, la catdad de oeto gaada o erdda e el oeto del choque, la elocdad al de cada uo será: Solucó. a) Sstea laboratoro. La gura uestra las dos artículas ates y desués del choque. ( ) S las asas so guales b) Velocdades de dstto setdo Por coseracó de la catdad de oeto ( ) y ( ) ( ) ( ) ˆ E este caso los cueros lteralete rebota, y la elocdad al de cada uo será: ( ) S las asas so guales El rco de coseracó del ulso es el so que el de coseracó de la catdad de oeto. Cabe aclarar que e la ráctca odeos alcar el rco de coseracó de la catdad de oeto durate los choques, sere que el teo que el teo de duracó del acto sea uy equeño. La eergía ecáca ates del choque es: K K K La eergía ecáca desués del choque es: K ( ) La relacó de la eergía es: K K ( ) ( ) ( )

14 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá Por ejelo la caída de u eteorto a la terra, la que suoeos ól ( ) y <<, obteeos K K K y, éste es u choque erectaete lástco. S K uera derete de cero, la totaldad de la eergía se trasoraría e calor. La gura uestra las dos artículas ates y desués del choque. b) Sstea cetro de asa. La gura uestra las dos artículas ates y desués del choque. Por coseracó de la catdad de oeto: () E éste caso: u y u Co, E sus cooetes: cosθ cos θ seθ se Coo es u choque elástco la eergía ecáca se cosera: θ () Obteeos: u y u E las ecuacoes () y () coocdas las asas y, teeos coo cógtas,,, θ y θ. Cotaos co tres ecuacoes. Para resoler ecestaos coocer al eos dos de las catdades aterores. Desués del choque y etra e cotacto costtuyedo ua sola artícula de asa ( ) que está e reoso e el sstea cetro de asa, u u. Aquí tabé K, ε. Ejelo 7. Choque elástco. Cosdereos dos artículas, ua co asa y elocdad, la seguda co asa y elocdad Solucó. a) Sstea laboratoro. E el caso artcular e que, odeos llegar a la relacó; Eleádola al cuadrado: Por la coseracó de la eergía: Luego, obteeos: 4

15 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá Las elocdades y so ortogoales, esto os dce que las trayectoras de las artículas desués del choque so eredculares etre sí, tal que: θ θ π b) Sstea cetro de asa. La gura uestra las dos artículas ates y desués del choque. u u u u y u u u u Para u choque elástco ε, coo se esera. Ejelo 8. Relexó de artícula sobre u lao. Cosdereos dos artículas, ua co asa, que cde sobre ua asa de suerce laa coo se uestra e la gura. La asa tee elocdades y ates y desués del choque, la suerce calete está ól y tee ua elocdad desués del choque. Por coseracó de la catdad de oeto: u u u u De aquí: u u, u u Coo es u choque elástco la eergía ecáca se cosera: u u u u Solucó. Por coseracó de la catdad de oeto: Para la eergía teeos que toar e cueta s el choque es elástco o o. a) Choque elástco. E éste caso la eergía ecáca se cosera K K Reelazado u y u e ucó de u yu resectaete. De aquí obteeos: ( ) ( ) u u De aquí se deduce: Exresó que odeos escrbr coo; De la coseracó de la catdad de oeto 5

16 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá Reelazado ésta exresó e la de la eergía, obteeos: Coo el otro co elocdad de tal odo que choca. Desués del choque el auto sale co elocdad cuya dreccó ora u águlo β, tal coo se dca e la gura. a) Hallar la elocdad del auto luego del acto. b) Deterar la oscó del cetro de asa y las ecuacoes araétrcas del so. se ˆ cos ˆ θ j, θ ˆ seθ cosθ ˆj Reelazado obteeos: ˆj, c) Deterar s el choque es elástco o o. kg, /s, /s, /s, α 5º, β 7º, d se ˆ cos ˆj se ˆ θ θ θ cosθ ˆj ˆj De aquí: seθ seθ y cosθ cosθ E el caso e que (la suerce o se uee) θ θ y b) Choque elástco. E éste caso K > K > Para ecotrar la relacó de K y K odeos usar el coecete de resttucó ε. K ε, sedo ε K Ejelo 9. E u arque de dersoes dos agos juega co los auttos chocoes. E certo oeto las dreccoes de abos ehículos ora u águlo α. U auto se drge co elocdad y Solucó. a) or coseracó de la catdad de oeto ates desués Aquí ˆ, () cos5º ˆ () se5º ˆj,6ˆ,8 ˆ, j ( ) cos7º ˆ ( ) se7º ˆj,6ˆ, ˆ j 6

17 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá Reelazado: ˆ,6ˆ,8 ˆj,6ˆ, ˆj ˆ,4 ˆj,4 4,6,4 /s taγ 5 γ 79º,4 Coo kg x CM ( x x ), y CM ( y y ) Ates del choque: x t, y x,6, 6t, y,8, 8t Luego x CM,8, 8t, y CM,4, 4t Desués del choque: x,6( t ), y,( t ) x ( t ), y,4( t ) Luego x CM,8 ( t ),,4( t ) y CM b) Para deterar la oscó del cetro de asa es ecesaro coocer la oscó cal de la asa. Coo y elea el so teo desde el co hasta el choque: d t s s La oscó cal de es: t,6 (),6 (),8 x x, y y t,8 Sedo la oscó cal de x, y El cetro de asa está dado or: x x x CM, y y y CM c) Para saber s es elástco o o, teeos que aalzar s la eergía se cosera o o. La eergía cétca ates del choque es: K ( )( ) ( )( ) 9 J La eergía cétca desués del choque es: K, 4 ( )( ) ( )( ) J Hay ua dsucó de la eergía cétca: 7

18 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá ΔK J Luego el choque es elástco. Ejelo. El édulo balístco. Este es el caso de u choque erectaete lástco, se utlza ara edr la elocdad de u royectl. U royectl de asa y elocdad se crusta e el bloque de adera de asa M. Alcado la coseracó de la catdad de oeto. ( M ) V La eergía cétca desués del choque es: K ( M ) V otecal U ( M )gh, ésta se coerte e eergía V gy,97 /s (9,8 )(,45 La radez al de la bala es MV M V, 45 (,97) 5, 9,6 /s. Ejelo. U satélte artcal e uelo exlota e tres artes guales. Ua arte cotúa a lo largo de su líea orgal de uelo y las otras dos a e dreccoes cada ua clada 6º a la trayectora orgal. La eergía lberada e la exlosó es dos eces ás que la eergía que teía el satéte e el oeto de la exlosó. Deterar la eergía cétca de cada rageto Iedataete desués de la exlosó. Solucó. La gura uestra el satélte ates y desués de la exlosó. ) Luego ( M ) V ( M )gh V gh La elocdad del royectl es: ( M ) ( M ) V gh Ejelo. Ua bala de 5, g se dsara cotra u bloque de adera de, kg suseddo de u hlo de,, atraesádolo. El cetro de asa del bloque se elea,45 c. Calcule la radez de la bala al salr del bloque s su radez cal es de 45 /s. Solucó. La radez del bloque de adera desués de que la bala ha atraesado (ero ates de que el bloque coece a elearse; esto asue ua gra uerza alcada or u teo corto, ua stuacó característca de las balas) es Por coseracó de la catdad de oeto. ates desués La catdad de oeto debe coserarse e las tres desoes x, y, z, deedeteete, de allí que,, y V debe ser colaares. Así obteeos: M M M M cos 6º M M y se6º se6º De estas dos ecuacoes ecotraos que: cos 6º 8

19 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá () () La eergía cal es: La eergía al es: E E M M M M Esta eergía es gual a la sua de las eergías de los tres ragetos. M M M 9 () M b) μgd W W,5 μ,4 gd,5 9,8,5 c) kx W ( )( ) 4,5,5 (, 5),8 /s Ejelo 4. Ua elota de asa g se deja caer desde ua altura h. La elota rebota ertcalete hasta ¾ h desués de golear el suelo. a) Calcular la catdad de oeto de la elota ates y desués de golear el suelo, b) s la duracó del gole ue de, s, calcular la uerza eda ejercda or el so sobre la elota. Solucó. E la gura se uestra el esquea de la stuacó. De las ecuacoes (), () y () obteeos:,, La eergía cétca de cada uo de los ragetos edataete desués de la exlosó es: M 6 K, K M, K M Ejelo. U bloque de,5 kg, se deslza sobre ua suerce rugosa, cuado cotacta co el resorte tee ua elocdad de, /s. el bloque se detee oetáeaete cuado el resorte se ha cordo 5, c. El trabajo realzado or la rccó, desde el state e que el bloque hace cotacto co el resorte hasta el state e que hace el alto es,5 J. a) Cuál es la costate del resorte (k)? b) Cuál es el coecete de rccó? c) Desués de la coresó del resorte, el bloque se aleja de él, cual es la elocdad del bloque, desués de seararse del resorte? Solucó. a) Eergía ates Eergía desués (,5)(,) k (,5), 5 k 4N/ a) Catdad de oeto cal: ˆ j Catdad de oeto al: ˆ j Los alores de las elocdades cal y al se uede calcular usado el rco de coseracó de la eergía. Ical: gh gh al: gh gh g h gh 4 Por lo tato, las catdades de oeto cal y al so: gh ˆ j, gh ˆ j Reelazado los alores, se tee:,6 kg/s,,54 kg/s 9

20 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá b) Usado la aroxacó del ulso: J Δt Δ (,6 ˆ),54 ˆj j, 8 ˆj N Δ Δt Δt Ejelo 5. Ua bala de la asa y co elocdad asa a traés de u édulo de asa M. La bala eerge co ua elocdad de /. El édulo está suseddo or ua barra rígda de logtud l y asa sgcate. Cuál es el alor ío de tal que la asa del édulo gre u círculo coleto? Solucó. E esta colsó, se cosera la catdad de oeto ero la eergía o. Este es u ejelo de ua colsó elástca que o es erectaete elástca. Para la colsó: ates desués MV De aquí: M V () Desués de la colsó se cosera la eergía ara el édulo (la coseracó de la eergía ara la bala desués de la colsó o es útl desde que su eergía o caba). Este trataeto os da la elocdad del édulo el oeto desués de la colsó: MV MV Mg ( l) () Codcó ara que ueda dar la uelta T Mg Ma c Codcó ía ara hacer oeto crcular T Luego V Mg M V gl () l Reelazado () e (): MV Mgl Mg( l) 5 MV Mgl V 5g l Reelazado el alor de V e (): M 5gl MOVIMIENTO CON MASA VARIABLE - PROPULSIÓN POR REACCIÓN Por la coseracó de la catdad de oeto s u cuero e reoso uede exulsar ua arte de su asa e certa dreccó, el resto de la asa se oerá e setdo ouesto, co gual catdad de oeto. S este roceso uede ateerse durate u teo, el resto de la asa, coo es el caso de u cohete, aarecerá ara u obserador extero e reoso. Coo s se estuese acelerado. Esto se exresa edate la ora ás geeral de la seguda ley de Newto. Coo: d, Sedo la asa arable

21 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá d d d Exresó que os erte deterar el oeto de u cuero cuya asa caba durate su oeto. Cuado alcaos al caso de u cohete aarece los robleas, edeteete es la asa del cohete que a cabado. Cuál es la elocdad de escae del cobustble? No es gual a, la elocdad del cohete. S o exste uerza extera, debe ser cero? Etoces o se oerá el cohete. Aalceos el roblea desde el uto de sta de la coseracó de la catdad de oeto. Sea el cohete ostrado e la gura sguete, e el state t, tee ua asa y ua elocdad, co ua catdad de oeto leal. E la gura sguete se uestra el cohete e el state t, a exulsado ua asa d que sale co ua elocdad u u relata al cohete. Ahora la asa del cohete es ( d) y su elocdad es d. La catdad de oeto leal total es: ( d) d d u Por coseracó de la catdad de oeto leal teeos: ates desués ˆ ( d) d d u d d dd d d u ˆ Coo el téso dd es de segudo orde, odeos desrecar éste téro; luego d d u d Ddedo or se obtee: d u Coo d es la elocdad del cohete, aceleracó a. De éste odo: d a u d es la Por la seguda ley de Newto se uede detcar la d catdad u coo ua uerza, tal que la uerza de euje es: u d d Coo u es egata y or se érdda de as tabé es egata, es osta, coo eserábaos. Esta es ua uerza extera que roduce aceleracó al cohete, al que ahora cosderareos coo u sstea aslado sobre el que hay ua uerza extera. Velocdad del cohete. De la exresó d d u, obteeos: d d u d () t u u[ ] l u l Coo u es egata y <, Luego la elocdad es osta. l es egata.

22 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá Velocdad líte del cohete. Ua ez que se haya terado el cobustble la asa se reduce a, y llegaos a la elocdad líte. u l Ua ez alcazada ésta elocdad, ésta eraecerá costate. Ejelo 6. U cohete y su cobustble tee ua asa cal. El cobustble se quea a ua d razó costate C.Los gases so exulsados co ua elocdad costate u resecto al cohete. a) Desrecado la ressteca del are, hallar la elocdad del cohete e el state t, desués de desegar de la terra. b) Cuál es la altura que alcaza e el oeto que se acaba el cobustble? Solucó. a) Las uerzas que actúa sobre el cohete so la uerza de euje y la uerza de la graedad. Alcado la seguda ley de Newto. d a u g a ˆ Dode u uk, g gk, d d a kˆ y d C Ct Reelazado uc ( Ct) g ( Ct) o d g uc ( Ct) ˆ d t () gt ul ( Ct) b) Ates de ecotrar la altura que alcaza e el oeto que se acaba el cobustble, ecotrareos la altura ara el teo t. dz Coo () t, teeos: dz gt ul Itegrado z dz t gt ( Ct) t ul ( Ct) ( Ct) u z gt ( Ct) l C El teo t e que se acaba el cobustble es cuado. Coo Ct, obteeos: t C Reelazado t e la exresó ateror ecotraos la altura que alcaza e el oeto e que el cobustble se acaba. CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR Y MOMENTO DE UNA UERZA O TORQUE Cosdereos ua artícula P de asa, su oscó co resecto al orge O e u state dado está deterada or el ector r. La artícula tee ua elocdad y su catdad de oeto leal es. Itegrado d t g t uc ( Ct) La elocdad e el state t es:

23 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá d L d r d r d r Coo LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR O MOMENTUM ANGULAR L Se dee coo el roducto ectoral de r y, L r La dreccó de L es eredcular al lao dedo or r y, su setdo lo da la regla de la ao derecha, su ódulo es: L r seθ r seθ Coo seθ es la elocdad tagecal ( t ) y t ωr, sedo ω la elocdad agular. Podeos escrbr: L r ω MOMENTO DE INERCIA ( I ). Llaado Moeto de Ierca al roducto r, Teeos: L I ω, ectoralete L I ω Las desoes de la catdad de oeto agular so: [ L ] [ M ][ L] [ T ] Sus udades e el sstea teracoal: d r y d r Luego d L d r Por otra arte s es la uerza que roduce el oeto de la artícula, or la Seguda Ley de Newto teeos: d a Luego d L r d A esta catdad que roduce u cabo e la catdad de oeto agular se le cooce coo MOMENT DE UNA UERZA o TORQUE τ d L τ r Tee coo ódulo τ r seθ Su setdo está dado or la regla de la ao derecha. Ejelo 7. Ua artícula de asa se uee e el Kg s o J s lao xy co ua elocdad a lo largo de ua líea recta. Cuál es la agtud y dreccó de su catdad de oeto agular co resecto al orge O? Derado la catdad de oeto agular L co resecto al teo:

24 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá Ejelo 9. U cldro sóldo Puede grar alrededor de u eje s rccó coo se e e la gura. Ua cuerda erollada alrededor del rado exteror R ejerce ua uerza haca la derecha. Ua seguda cuerda erollada alrededor de la otra seccó cuyo rado es R ejerce ua uerza haca abajo. Cuál es el torque que actúa sobre el cldro alrededor del eje z que asa or O? Solucó. La osc6 de la artícula es r. La elocdad de la artícula es. Su catdad de oeto leal es Su catdad de oeto agular es L r Solucó. Sobre el cldro actúa: L r rseθ La agtud es: d rseθ Luego L ( d )kˆ ( kˆ ) L rse θ d, dode r ˆ e r R ˆ R ˆj y El torque eto sobre el cldro es: τ τ τ ˆj e Podeos er que la catdad de oeto agular co resecto a O es cero. Ejelo 8. E deterado state, la Poscó de ua artícula co resecto a u orge O de coordeadas está dada or el ector r ˆ 4 ˆj (e etros). E ella actúa ua uerza 6 ˆ ˆj (e Newto). Ecotrar el torque orgado or la uerza que actúa sobre la artícula. Co reereca al orge O. Solucó. El torque es: τ r ( ˆ 4 ˆj ) ( 6ˆ ˆj ) ()( ) kˆ ()( 4 6)( kˆ ) kˆ N 96kˆ 64kˆ τ r r R kˆ ( R R )kˆ R kˆ S N, R y 5, R : τ [( 5N )( ) ( N )( ) ] kˆ 5kˆ N CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR E el caso de ua artícula coe e la seccó ateror, s el torque alcado co relacó a u uto dado de reereca es cero, teeos que: d L, or cosguete: L CONSTANTE La catdad de oeto agular co resecto al uto de reereca es costate. 4

25 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá Ejelo. Ua artícula de, asa M e el extreo de u hlo gra co elocdad cuado el rado es r, s dsuos el rado de r a r, qué sucede co la elocdad? Solucó. Ejelo. Cálculo de la desacó de u cuero stuado e la líea ecuatoral y que cae desde ua altura h. Solucó. La gura dca la ora coo se uede realzar esta exereca, ara dsur el rado basta jalar el hlo. Alcado la coseracó de la catdad de oeto agular: L ates L desués r M r M Tabé odeos hallar el trabajo realzado ara acortar el rado. r r K ates M, r K desués M M r r M r El trabajo realzado es gual al cabo de eergía cétca. W ΔK r M r r M r M E la gura, sea ua artícula de asa a ua altura h sobre la suerce de la Terra e u uto que, ara slcar, cosderaos que se ecuetra sobre el ecuador. Para los casos de terés ísco, la altura h será or lo coú uy equeña e coaracó co el rado, R de la Terra. S se suoe que la artícula arte del reoso e relacó a u uto de la suerce de la Terra ertcalete or debajo de él etoces, calete, el cooete radal de la elocdad r de la artícula desaarece y su cooete tagecal θ será ω (R h), e dode ω es la elocdad agular de la Terra. Al soltarse, debdo a la atraccó gratacoal de la Terra, la artícula coeza a caer ertcalete hacía abajo y, or ede, su dstaca radal r del cetro de la Terra coeza a dsur. De L rθ se deduce que el cooete tagecal de su elocdad θ debe auetar este roceso y de odo tal que haga que el roducto r θ sea costate. E téros ás cuattatos, esto quere decr que durate su desceso haca el suelo, la dstaca radal r y la elocdad tagecal θ se debe relacoar or edo de r ω( R h) θ () Puesto que, calete, la elocdad de la artícula es ω(r h), de tal odo que su catdad de oeto agular L e relacó al cetro de la Terra es ω(r h) Atcádoos al hecho de que la desacó haca el este será uy equeña, odeos escrbr ara la dstaca radal r del cuero al cetro de la Terra e cualquer state t, r gt R h () Y al susttur esto e () obteeos: 5

26 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá θ ω( R h) R h gt ω( R gt o h) /( R h) () Para calcular la agtud de la desacó haca el este, sea y e el state t, la elocdad del cuero que cae e la dreccó haca el este, tal y coo lo e u obserador jo co resecto a la suerce de la Terra. Etoces rω y o ω( R o h) ( R h gt ) ω gt /( R h) gt ω ( R h) ( R h) ω gt ω R h gt ω Dode la seguda gualdad se obtee de la utlzacó de () y () y la tercera, a cotuacó, edate el hecho de que gt <<(R h) y el eleo del teorea boal. Al tegrar esta órula ara y se obtee, ara la desacó total haca el este y e el state t, y gt ω. alete, uesto que el teo que ecesta la artícula ara caer la dstaca h es de ( hg ), la delexó total haca el este d, se uede exresar coo sgue h d ω h (4) g Por ejelo, s se deja caer ua artícula desde ua altura de etros, su desacó haca el este, segú esta órula, se descubre que es (al susttur los alores h etros y ω 7, x -5 rad/s) de, c. Esta desacó es uy equeña y sólo se uede obserar e codcoes cotroladas cudadosaete. CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTICULAS. Vaos a cosderar u sstea de dos artículas, coo se uestra e la gura. d L Para la artícula : τ, dode τ r r ext Es la uerza total sobre la artícula. Es la uerza ejercda or la artícula y Es la sua de las uerzas exteras sobre la ext artícula. d L r r ext τ τ τ ext Slarete ara artícula. d L r r ext τ τ τ ext Es ortate recordar la base ísca ara la delexó roostcada e (4). Coore la artícula descede haca la suerce de la Terra su elocdad tagecal θ debe auetar ara que el roducto r θ sea costate. Por cosguete, de esto se desrede que su elocdad tagecal debe sobreasar a la del uto de la suerce que se ecotraba cal e edataete or debajo, y, e esta ora, se desía haca el este. Suado τ τ d L d L Para los Torques teros teeos: τ r r τ d L total Coo 6

27 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá τ r r r r τ Al estar sujetos los dos hobres a la cuerda su oeto es crcular y s cosderaos que el so está e el lao xy, De la gura: r r r r r r Teeos: Reelazado τ r τ Coo r y so aralelos: r, y τ τ d L De aquí: τ total τ ext y ext τ ext d L total Veos s τ ext L total CONSTANTE, deedete del teo. Ejelo. Dos hobres se ecuetra e ua sta de ataje, abos sostee ua cuerda de logtud l. Qué asa co la catdad de oeto leal de cada uo de ellos, s abos jala la cuerda y L cal L al Coo l kˆ lkˆ, l kˆ l kˆ 4 L cal L al La catdad de oeto leal al de cada hobre es el doble de la catdad de oeto leal cal. CONSTANTE, Ideedete, del teo Ejelo. Ua artícula de asa se deslaza sobre u lao horzotal co elocdad. Dos artículas de asas y udas or ua arlla de asa desrecable se uee co elocdad, coo se dca e la gura. acorta la dstaca etre ellos a l /? Asur que se uee e círculo y que la agtud de sus catdades de oeto so guales. Solucó. Las úcas uerzas exteras al sstea so la uerza de la graedad y la reaccó oral del so, estas uerzas se cacela. Las úcas uerzas que, teree e el sstea so las teras, or lo tato la catdad de oeto agular del sstea se cosera. Suoedo u choque totalete lástco etre y kg, ˆ, ˆ, s s l 7

28 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá Calcular: a) La oscó del cetro de asa resecto a la asa e el oeto del choque. b) La ley del oeto del cetro de asa. c.) La elocdad agular de rotacó alrededor del cetro de asa desués del choque. Solucó. a) E el oeto del choque, toado coo reereca la oscó de, el cetro de asa está e: Poscó e el state artda (t ). b) Coo arte del reoso, la catdad de oeto total del sstea es cero. P M total c d Coo c r c r c costate. El cetro de asa eraece e la sa oscó. c) Cosdereos la catdad de oeto agular co resecto al cetro de asa ates y desués del choque. Ates del choque. Poscó e el state de ecuetro. L r c r c r c d ˆ r c r c ( d t) ˆ ˆj ˆj, ˆ, ˆ d d d x CM ( d ) d ( ) ( ) ( l) y CM l r c ( d t) ˆ ˆj, ˆ r c, r c, r c Nota: E los ectores oscó ( ) solo oeos la oscó e el eje y, orque la oscó e x se a a aular co el roducto ectoral. Reelazado: L ˆ j ˆ ˆ j ˆ ˆ j ˆ L ( ) ( ) ( ) kˆ kˆ kˆ kˆ Desués del choque: 8

29 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá Coo desués del choque el sstea gra alrededor del cetro de asa co elocdad agular ω, odeos exresar la catdad de oeto agular e ucó del oeto de erca. L I ω, I I I I l l l I Solucó. a) La catdad de oeto co que se acerca el uchacho es: luego L ω L r r seθ kˆ Por coseracó de la catdad de oeto agular L L k ˆ ω ˆ rad ω 5k s Coo r seθ l L kˆ b) Cuado el uchacho se coge del oste, las uerzas de reaccó cetríeta e ulsa debe asar or el oste or lo tato o ejerce gú torque sobre el uchacho y la catdad oeto agular se cosera. l L l kˆ costate La eergía cétca desués de cogerse del oste es 4 K K. 5 K es la eergía cétca ates de cogerse, Ejelo 4. U uchacho a corredo or la acera co ua elocdad costate co sus brazos estrados eredcularete a su recorrdo. La dstaca etre los extreos de los dedos de sus aos es l. Cuado al correr asa juto a u oste, se coge al so co la ao zquerda, leata los es del suelo, y gra or are alrededor del oste. K Luego: 4 4 K K () a) S su asa es, M. Cuál es el alor de su catdad de oeto agular resecto al oste cuado corre or la acera? b) S la uerza de reaccó del oste o sóo lo hace grar, so que adeás roorcoa ua uerza ulsa que hace rear lgeraete su oeto haca adelate, de odo que su eergía cétca se reduce a los cuatro qutos de su alor orgal. Cuál es su oeto de erca resecto al oste? Tabé ω L I ω K I, coo L I kˆ Reelazado éste alor de ω e K : ( l ) L K () I I Igualado () y () ω 9

30 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá 5 ( ) Luego su oeto de erca es I l I 5 l 4 PREGUNTAS Y PROBLEMAS. Ua asa se stúa e (x, y, z ) y otra asa e (x, y, z ). a) Hallar a dstaca r etre y. b) Hallar la dstaca r etre y el cetro de asa. c) Hallar la dstaca r etre y et cetro de asa. Resuesta. a) r ( x x ) ( y y ) ( z ) z b) r r, c) ( ) r r ( ). Dos artículas de asas kg y kg se uee or el esaco, sus ectores oscó So: r ˆ tj ˆ tkˆ, r se t ˆ kˆ a) Hallar el cetro de asa. b) Cuál es su aceleracó? c) Hallar su aceleracó sta or u obserador que se uee co elocdad costate ˆ j kˆ. Resuesta. a) r CM 4 [( se t ) ˆ tj ˆ ( t t ) kˆ ] cos c) gual que b) se b) a CM ( t t t ) tk ˆ 6. Ecotrar el cetro de asa de ua láa delgada ostrada e la gura Resuesta. y,98 eca del cetro del orco 4. Ua uerza tˆ t ˆ j t kˆ actúa sobre u cuero e el teralo de t 6s. Hallar el ulso sobre el cuero. Resuesta. 8 7j 4l8 ˆ 7 ˆj 4kˆ ˆ 5. Suoga que la uerza que actúa sobre ua elota de tes (,6 kg) e ucó del teo está dada or la gráca de la gura. Usado étodos grácos este: a) El ulso total dado a la bola. b) La elocdad de ésta desués de haber sdo goleada, suoedo que estaba e reoso e el oeto de ser goleada. Resuesta. a) 4,5 Ns b) 75 /s 6. U lujo de artículas détcas de asa y elocdad uore, cde sobre u lao jo de área A, la dreccó ora u águlo θ co la oral. Desués del choque las artículas tee ua elocdad, la dreccó es sétrca a la de. Tabé. a) Calcular el Iulso que se ejerce sobre cada artícula e el oeto del choque. b) Calcular el alor de la uerza coucada a la suerce or udad de teo. Sedo el uero de artículas or udad de olue de chorro cdete. Resuesta. a) J ( cosθ )ˆ, b) A cos θ 7. U adador de 7 kg se laza al agua desde el odo de ua sca co ua elocdad de /s e la dreccó de la gura. Calcular la uerza ejercda sobre el odo durate los,8s que el adador ejerce el esuerzo sobre el so ara ulsarse e el salto.

31 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá Resuesta. ( 7ˆ 88 ˆj )N 8. U recete de,5 kg co caacdad ara 5 kg de agua se llea de u caño e 5 s. E el state e que el recete está edo lleo, la balaza lee, kg. S o se salca el agua, Cuál es la elocdad del agua que cae e dcho state. Ecotrar la elocdad del obús. d) Deducr del cálculo ateror el alcace R del obús. Resuesta.,45 /s 9. Ua bala de usl de asa y de elocdad costate, eetra e u bloque de adera jo; la bala se detee desués de recorrer ua dstaca d co u oeto uoreete retardado. e) Calcular la desaceleracó a de la bala, deducr la uerza de desaceleracó. b) Calcular el teo de desaceleracó. c) Cuál es el ulso coucado a la bala or el bloque? Coarar co la catdad de oeto de la bala ates del choque. Realzar la alcacó uérca ara 6 /s, d c, 4 g 5 Resuesta. a) a 6, d s 7 a 4 N, b) t s a c) J t 4 N, J. U cañó jo sobre u agó que se uede deslazar s rccó sobre ua ía rectlíea horzotal co ua asa total M. El cañó ora u águlo α co la horzotal. a) S el agó está e reoso el cañó dsara u obús de asa, deterar la relacó etre las elocdades y V del obús y del cañó. b) S la elocdad del obús relata al cañó es (ora u águlo θ co V ), deterar la relacó etre y V. c) El agó se deslaza co ua elocdad rectlíea costate u sobre la ía ates del dsaro. El obús tee ua elocdad relata al cañó e oeto a la elocdad V desués del dsaro: Calcular la aracó de la elocdad (u - ) del agó M V Resuesta. a), cosα M V b), cos β c) u cos β, M ( u M cos β ) ˆ seβˆj M d) R seβ u cos β g M. Desde la lataora de u tre que se uee co ua elocdad de /s se arroja u aquete de 5 kg, Este es cogdo e el are or ua ersoa que está juto a la ía. Desde el tre se obsera que esta ersoa retrocede co ua elocdad de 7,5 /s. Cuál es la asa de la ersoa? Resuesta. 75 kg.. U uchacho está e edo de u lago cogelado s rccó de tal aera que o uede oerse. Para oder salr él laza su sobrero de asa,5 kg haca el orte co ua elocdad de /s a 5 co la horzotal. S la asa del uchacho es 6 kg y el rado del lago es 4 etros. Qué asa7 Resuesta. El uchacho resbala haca el sur y llega a la orlla h 5 desués.. U aquete de kg se descarga de ua cta trasortadora co ua elocdad de /s y cae e ua agoeta de 5 kg. S la agoeta está calete e reoso y uede rodar lbreete, Cuál es su elocdad al?

32 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá Resuesta. a) x CM - /, b) 5 î kg./s,, c) / î /s CM 5 î kg./s Resuesta.,7 î /s 4. U hobre de 75 kg se laza al agua desde la roa de su bote de 5 kg. La cooete horzotal de su oeto es /s resecto al bote. Hallar las elocdades del hobre y del bote resecto a u obserador e el uelle. a) S el bote está calete e reoso b) S el bote se oía calete haca adelate co ua elocdad de /s. No cosderar érddas de eergía debdo al agua Resuesta. a),4 /s,,6 /s b),4 /s,,4 /s 5. U cañó dsara u obús de,4 kg haca arrba. Acaza su áxa altura,,6 y se arte e dos,,8 kg y,6kg. Las dos artes llega a terra sultáeaete. La eza de,6 kg toca terra a 48 de la exlosó (edda a lo largo del eje x). a) Cuáto teo toaría al obús oler a terra s o se hubera artdo? b) Cuál es la elocdad de cada ua de las ezas justaete desués de la exlosó? c) Ecotrar la catdad de oeto de cada eza justaete ates de tocar terra. Resuesta. a) 8 segudos b) (,6) 6ˆ /s (6), (,8) ˆ /s c) ( ) 96ˆ 5,44 ˆ kg./s,,6 j ( ) 96ˆ 6,7 ˆ,8 j kg./s (El oeto es e el lao xy; g 9,8 /s ) 6. U bloque de asa kg está e reoso e el orge segudo co asa 5 kg se uee a lo largo del eje x co elocdad de agtud 5 /s. Los bloques choca queda udos. y se uee e el eje x. La suerce tee rccó desrecable. a) Cuado el bloque de 5 kg está e x - dode está cetro de asa? b) Ecotrar la catdad de oeto de la asa de 5 kg, de la asa de kg y del cetro de asa ates del choque. c) Cuál es la elocdad del sstea cobado? 7. Dos bolas P y P de asas y está suseddas del celorraso or dos hlos extesbles de la sa logtud l ; P y P está e cotacto s resó co los hlos ertcales. Se saca P de la oscó de equlbro a u águlo θ ateedo el hlo teso, luego se suelta sobre P. Calcular: a) La elocdad de P justo ates del choque. b) Las elocdades y de P y P edataete desués del choque erectaete elástco. Dscutr este resultado ara alores relatos de las asas y. c) Las alturas de las oscoes ltes de P y P desués del choque. Alcacó uérca; l l. θ 6º, / Resuesta. a) gl cosθ,, / s, b),,5 / s Para > y tee el so setdo. Para > tee setdo cotraro de., 4, / s e todo caso tee el so setdo que c) h,56, h,9 g g 8. E u Juego de bllar, la bola A está oédose co a elocdad /s cuado choca co las bolas B y C que está jutas e reoso. Tras el choque, se obsera la tres bolas oédose e las dreccoes que uestra a gura, co θ º. Suoedo Suerces lsas y choques erectaete elástcos, hallar los ódulos de la A B C elocdades,, y.

33 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá Resuesta. /s A,5 /s, B,9 /s,,5 9. Se dsara ua bala de 9 g co ua elocdad de 5 / cotra u bloque A de 5 kg de El coecete de rozaeto etre el bloque A y la lataora es,5. S la asa de la lataora es 4 kg y uede rodar lbreete, hallar: a) La elocdad al de la lataora y e bloque. b) La oscó al del bloque sobre la lataora. C Resuesta. a),94, b),7,,7. U objeto de 5 kg que se uee co ua elocdad de, /s choca drectaete co u objeto de kg que está e reoso. Se obsera que el objeto eor rebota co ua elocdad de,6 /s a) Cuál es la érdda de eergía cétca or el acto? b) Cuál es el coecete de resttucó? Resuesta: a) ΔK -,675 J, b) ε, Ua bola choca cotra u lao lso orado u águlo φ co la oral del so y rebota co u águlo φ. Ecotrar La exresó corresodete al coecete de resttucó Resuesta. a),6 /s b) El bloque se detee a, de B.. La gura uestra dos asas sobre ua suerce co rozaeto desrecable. El coecete de resttucó etre Las dos asas es,7; deterar: a) Sus elocdades desués del choque. b) La érdda de eergía durate el choque. Resuesta. ε taφ taφ Resuesta: a) A -,56 î /s, /s b) ΔK 4 J B 6,94 î. Se deja caer ua elota al suelo desde ua altura y. S el coecete de resttucó es ε, escrbr exresoes ara el teo total que tardará la elota e dejar de dar bote y la dstaca total que recorrerá e este teo. y ( ε ) ( ε ) Resuesta. t, s y g ε ( ) ( ε ). Ua bola cae desde ua altura h,9 sobre ua suerce lsa. S la altura del rer rebote es h,8 y la dstaca d,4, calcular: a) El coecete de resttucó. b) La altura y logtud del segudo rebote. 5. Ira artícula de asa tee u choque rotal erectaete elástco co ua artícula de asa calete e reoso. Cuál es la érdda relata de eergía cétca corresodete a la artícula. ΔK Resuesta. 4 K 6. Ua asa se uee a lo largo del eje x co ua elocdad a lo largo de ua esa s rccó. Choca co otra asa, la cual está calete e reoso. La asa sale a lo largo del eje y. S se erde la tad de la eergía cétca orgal e el choque. Cual es el ódulo de la elocdad y co que águlo sale desués de la colsó?

34 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá Resuesta. θ cos cos, ( ) ( ) 7. Se deja e lbertad el bloque A cuado θ Α 9 y deslza s rozaeto, hasta chocar co la bola B. S el coecete de resttucó es,9, calcular a) La elocdad de B edataete desués del choque. b) La áxa traccó que soorta el hlo que sostee a B c) La altura áxa a la que se elea B. Solucó. a) Por coseracó de eergía ecotrareos A. B A A,9 B A, 9,4 (,4), 9 B A,9 () Suado () y (): B,6 B,9,4 La elocdad de B edataete desués del choque es,5 /s B b) El dagraa del cuero lbre de B, edataete desués del choque r B a c T g B B B,9 B T g B,9,5 9, 8,6 N,9 c) Por coseracó de eergía ecotraos la altura áxa a la que se elea B. Agr A A gr 9,8 A ( )(,6),4 /s Por coseracó de la catdad de oeto ecotrareos B A,4 /s B A A BB A A B B (,5)(,4),5 A B A,6 B,4 () El coecete de resttucó es,9 ( ) B A ε,9 ( ) A. B B B h g B gh,5 ( 9,8), 8. U bloque de asa M está e reoso sobre ua asa s rccó. Lo odeos golear co u bloque que se quede adherdo o co u bloque uy duro co el que se roducrá u choque erectaete elástco. Abos bloques tee asa y uede ser lazados ca elocdad V E cuál de los casos el bloque M se oerá ás rádaete? (cosderar el oeto e ua sola desó). Resuesta. a) V, M b) V M E el segudo caso es el doble que e el rero. 4

35 Sstea de artículas Hugo Meda Guzá 9. U cldro A cae sobre otro B aoyado sobre u resorte de costate k N/ desde ua altura de. S el choque es erectaete lástco, calcular: a) El deslazaeto áxo de B. b) La érdda de eergía e el choque. otecal del resorte cordo es de 6 J y el cojuto osee la elocdad cal S se roe la cuerda cuado θ º, hallar la elocdad resultate de cada artícula Resuesta. a),47 c, b) 8,8 J. Los arachoques se dseña de tal aera que u autoól de 6 g que golea ua ared rígda a la elocdad de k/h o sura daño. Suoedo que ese choque es erectaete lástco. Calcular: a) La eergía absorbda or el arachoques durate el acto. b) La elocdad a la que el autoól uede golear a otro de guales característcas, que está e reoso s dañarse. Resuesta. a) 889 J b) 4 k/h. Se dsara ua bala de 5g e dreccó horzotal. La bala atraesa el bloque A y queda alojada detro de bloque B. Por dcha causa los bloques A y B coeza a oerse co elocdades cales de,4 y.8 /s. resectaete. Hallar: a) La elocdad cal de la bala. b) La elocdad de la bala e el trayecto etre el bloque A y el B. Resuesta. a) 47î s b) 6 /s. Ua exlosó roe u objeto e dos ezas ua de las cuales tee,5 eces la asa de la otra. S se lbera 45 J e la exlosó. Cuáta eergía cétca adquere cada edazo? Resuesta. 8 J, 7 J. Cuado se roe la cuerda que ue las artículas A y B, el resorte cordo las oblga a seararse (el resorte o está udo a las artículas). La eergía Resuesta. A 9ˆ 5, ˆj /s y B 4ˆ,5 ˆj /s 4. U deósto suelta area a ua bada trasortadora razó de 75 kg/s. S la bada se uee co ua radez costate, /s. Qué uerza se ecesta ara ateerla e oeto? No toar e cueta la rccó Resuesta. 65 N 5. U treo lleo de area se deslza s rccó or ua edete de º. La area se escaa or u agujero e el treo a u rto de kg/s. S el treo arte del reoso co ua asa cal de 4 kg. Cuáto tardó e recorrer a lo largo de la edete? Resuesta. 7 segudos 6. U cohete que cosue cobustble a u rto costate k se ecuetra soetdo a la accó de ua uerza extera costate de alor adeás de la uerza de reaccó de los gases. La asa cal del cohete ás cobustble es. La coguracó de la tobera de escae es de tal aera que la elocdad relata de los gases es gual al egato de la elocdad del cohete. a) Escrbr la ecuacó del oeto. b) Obteer () t. d Resuesta. a) ( kt) k, 5