IES Mediterráneo de Málaga Junio 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti

Transcripción

1 ES Mediterráeo de Málaga Juio Jua Carlos loso Giaoatti UNVERSDD DE CTLUÑ PRUES DE CCESO L UNVERSDD CONVOCTOR DE JUNO Resoda a CNCO de las siguietes seis cuestioes. E las resuestas, elique siere qué quiere hacer or qué. Cada cuestió ale utos. Puede utiliar calculadora, ero o se autoriará el uso de calculadoras u otros aaratos que tega iforació alaceada o que ueda trasitir o recibir iforació. Serie.- Diga ara qué alor del aráetro los laos π :, π : π : tiee coo itersecció ua recta. [ utos].- Dadas la recta b la arábola, a) Calcule la abscisa del uto e el cual la recta tagete a la arábola es aralela a la recta dada. b) Calcule el alor del aráetro b ara que la recta sea tagete a la arábola. [ uto or aartado].- Dados el lao π : la recta, r : a) Calcule el uto de itersecció etre el lao la recta. b) Calcule la ecuació cotiua de la recta s que está coteida e el lao π, es eredicular a la recta r corta la recta r. [ uto or aartado]..- Dadas las atrices a) Coruebe que se cule la igualdad ( ) ( ) b) Es cierta esta igualdad ara cualquier ar de atrices cuadradas del iso orde? Resoda raoadaete utiliado las roiedades geerales de las oeracioes etre atrices, si utiliar atrices cocretas. [ uto or aartado].- U triágulo equilátero de értices, C tiee los lados de c. Se sitúa u uto P sobre ua de las alturas del triágulo, a ua distacia de la base corresodiete. a) Calcule la altura del triágulo de értices, C. b) dique la distacia del uto P a cada uo de los értices (e fució de ). c) Deterie el alor de ara el cual la sua de los cuadrados de las distacias del uto P a cada uo de los tres értices sea íia. [, utos or el aartado a;, utos or el aartado b; uto or el aartado c] P C

2 ES Mediterráeo de Málaga Juio Jua Carlos loso Giaoatti 6.- Dados los utos P (,, ), Q (,, ), R (,, ) S (,, ): a) Calcule la ecuació cartesiaa (es decir, de la fora C D ) del lao que cotiee los utos P, Q R. b) Coruebe si los cuatro utos so colaarios (es decir, si los cuatro está coteidos e u iso lao). [ uto or aartado]

3 ES Mediterráeo de Málaga Juio Jua Carlos loso Giaoatti Serie - Dados los laos π : π :, a) Coruebe que so erediculares. b) Ecuetre la ecuació cartesiaa (es decir, de la fora C D ) del lao eredicular a π π, que asa or el uto P (,, ). [ uto or cada aartado].- La gráfica de la fució f es la siguiete: a) Ecuetre el uto de corte, (a, ), de la fució co la arte ositia del eje OX. b) Calcule el área del recito liitado or la gráfica de f() el eje OX e el rier cuadrate. [, utos or el aartado a;, utos or el aartado b].- Sea ua atri cuadrada de orde de odo que O, siedo O la atri ula (la forada coletaete or ceros). a) Coruebe que ( ). b) Coruebe que las atrices C so ua iersa de la otra. [ uto or cada aartado].- U rectágulo está iscrito e el triágulo que tiee los lados e las rectas de ecuacioes,,, tiee u lado sobre la recta. Ecuetre sus értices ara que su suerficie sea áia.

4 ES Mediterráeo de Málaga Juio Jua Carlos loso Giaoatti.- Coteste las siguietes regutas: a) Elique raoadaete si ua atri de orde ua atri de orde uede teer el iso deteriate. b) Cosidere las siguietes atrices: Calcule, si es osible, el alor del aráetro ara el cual det det. [ uto or cada aartado] 6. Sea π : : r. Estudie su osició relatia segú el alor del aráetro. [ utos]

5 ES Mediterráeo de Málaga Solució Juio Jua Carlos loso Giaoatti Serie.- Diga ara qué alor del aráetro los laos π :, π : π : tiee coo itersecció ua recta. [ utos] Tiee coo itersecció ua recta cuado el sistea que fora sea coatible ideteriado que sigifica teer ifiitas solucioes o utos que la deteria ado er Sistea Coatible icogitas de Núero rag rag Si coatible Sistea rag rag Si Si i det / / < Cuado los tres laos tiee coo itersecció ua recta.- Dadas la recta b la arábola, a) Calcule la abscisa del uto e el cual la recta tagete a la arábola es aralela a la recta dada. b) Calcule el alor del aráetro b ara que la recta sea tagete a la arábola. [ uto or aartado] ) ' ) b b b a

6 ES Mediterráeo de Málaga Solució Juio Jua Carlos loso Giaoatti.- Dados el lao : π la recta, : r a) Calcule el uto de itersecció etre el lao la recta. b) Calcule la ecuació cotiua de la recta s que está coteida e el lao π, es eredicular a la recta r corta la recta r. [ uto or aartado]., 6, sec it 6,,,, ) P P ció er de Puto r a r b) El ector director de la recta s es eredicular al ector director del lao π al de la recta r, lo calculareos coo el roducto ectorial de abos adeás asara or el uto de corte P hallado 6,,,,,,,, s k j i j i k k j i k j i s r s r π π

7 ES Mediterráeo de Málaga Solució Juio Jua Carlos loso Giaoatti.- Dadas las atrices a) Coruebe que se cule la igualdad ( ) ( ) b) Es cierta esta igualdad ara cualquier ar de atrices cuadradas del iso orde? Resoda raoadaete utiliado las roiedades geerales de las oeracioes etre atrices, si utiliar atrices cocretas. [ uto or aartado] a) 6 6 So iguales or lo tato está corobado ) b Se culirá la igualdad cuado, e caso cotrario se uede dar a que las atrices o cule, la aoría, la roiedad coutatia o sea o siere se cule la igualdad

8 ES Mediterráeo de Málaga Solució Juio Jua Carlos loso Giaoatti.- U triágulo equilátero de értices, C tiee los lados de c. Se sitúa u uto P sobre ua de las alturas del triágulo, a ua distacia de la base corresodiete. a) Calcule la altura del triágulo de értices, C. b) dique la distacia del uto P a cada uo de los értices (e fució de ). c) Deterie el alor de ara el cual la sua de los cuadrados de las distacias del uto P a cada uo de los tres értices sea íia. [, utos or el aartado a;, utos or el aartado b; uto or el aartado c] P C a) h h 6 6 h h ± c No es solució del roblea b) P P ± P P 6 6 P 6 No es solució del PC P 6 roblea c) S S' ( ) ( 6) ( 6) ds d 6 c S' d S S'' d 6 Míio

9 ES Mediterráeo de Málaga Solució Juio Jua Carlos loso Giaoatti 6.- Dados los utos P (,, ), Q (,, ), R (,, ) S (,, ): a) Calcule la ecuació cartesiaa (es decir, de la fora C D ) del lao que cotiee los utos P, Q R. b) Coruebe si los cuatro utos so colaarios (es decir, si los cuatro está coteidos e u iso lao). [ uto or aartado] a) El lao π queda deteriado or los ectores PQ, PR PG, siedo G el uto geérico del lao. Estos tres ectores tiee que ser colaarios (erteecer al iso lao), or ello, el ector PG es cobiació lieal de los otros dos, or eso el deteriate de la atri forada or ellos es ulo la ecuació edida del lao. (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) PQ PQ PQ π 6 6 π 6 ( ) b) Para saber si el uto S erteece al lao hallado, que cotiee a P, Q R, si sustituedo sus coordeadas e él cule su ecuació El uto S o cule la ecuació or lo tato o es colaario co P, Q R

10 ES Mediterráeo de Málaga Solució Juio Jua Carlos loso Giaoatti Serie - Dados los laos π : π :, a) Coruebe que so erediculares. b) Ecuetre la ecuació cartesiaa (es decir, de la fora C D ) del lao eredicular a π π, que asa or el uto P (,, ). [ uto or cada aartado] a) So erediculares si lo so sus ectores directores esto sucederá si sus roductos escalares so ulos π (,, ) π (,, ) (,, ) ( ) π π (,, ) Los laos π π so erediculares b) El ector director del lao α es eredicular a los ectores directores de π π, ara hallarlo calculareos su roducto ectorial. Ua e obteido el ector director de α, este es eredicular al ector PG, siedo G el uto geerador del lao debido a esa codició el roducto escalar de abos ectores es ulo la ecuació edida del lao π π (,, ) (,, ) α π π i j k i j k k i 6 j i j k α (,, ) (,, ) α PG α PG PG (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) ( ) ( ) α.- La gráfica de la fució f es la siguiete: a) Ecuetre el uto de corte, (a, ), de la fució co la arte ositia del eje OX. b) Calcule el área del recito liitado or la gráfica de f() el eje OX e el rier cuadrate. [, utos or el aartado a;, utos or el aartado b] a) f Cotiuació del Ejercicio de la Serie a ± No es la solució 6

11 ES Mediterráeo de Málaga Solució Juio Jua Carlos loso Giaoatti [ ] ) u t dt t dt t t d b.- Sea ua atri cuadrada de orde de odo que O, siedo O la atri ula (la forada coletaete or ceros). a) Coruebe que ( ). b) Coruebe que las atrices C so ua iersa de la otra. [ uto or cada aartado] Coo a ) b) Si so iersas el roducto de ellas os dará la atri idetidad C.- U rectágulo está iscrito e el triágulo que tiee los lados e las rectas de ecuacioes,,, tiee u lado sobre la recta. Ecuetre sus értices ara que su suerficie sea áia. Cotiuació del Problea de la Serie L h

12 ES Mediterráeo de Málaga Solució Juio Jua Carlos loso Giaoatti 6, 6,,, '' ' ' Vértices L h Máio S S d ds S S L L Lh S L L h h.- Coteste las siguietes regutas: a) Elique raoadaete si ua atri de orde ua atri de orde uede teer el iso deteriate. b) Cosidere las siguietes atrices: Calcule, si es osible, el alor del aráetro ara el cual det det. [ uto or cada aartado] a) El deteriate es u alor real, es ues osible que ua atri de orde tega el iso deteriate que ua atri de orde dos. Por ejelo si los dos deteriates da alor ulo así ifiitos ejelos ± 6 6 b

13 ES Mediterráeo de Málaga Solució Juio Jua Carlos loso Giaoatti 6. Sea π : aráetro. [ utos] r :. Estudie su osició relatia segú el alor del Ua recta u lao uede ser aralelas, que el lao cotega a la recta o que tega u uto de itersecció. Estudiareos el sistea forado or los tres laos, dos de ellos los que deteria la recta E el rier caso el sistea que obtegaos será icoatible. E el segudo caso el sistea será coatible ideteriado Y e el últio caso el sistea será coatible de teriado 6 Si R { } rag Núero de icogitas Sistea Coatible Deter i ado La recta el lao tiee u uto de corte coú Si 6 rag Sistea Coatible det er i ado La recta esta coteida e el rag( / ) lao < Nú. icogitas