(1) La dualidad en la programación lineal - Página 1

Transcripción

1 La Dualdad y la Iterpretacó Ecoóca del Método Sple La dualdad costtuye u tópco de gra portaca para la prograacó leal puesto que brda las bases teórcas para copreder coo caba la solucó ópta de u problea cualquera cuado caba las costates del odelo ateátco, lo que se cooce coo aálss de sesbldad o aálss post-ópto. Todo problea de prograacó leal tee otro problea de prograacó leal relacoado de aera especal. Al problea que se forula orgalete se lo cooce coo pral, etras que a su cotraparte estrechaete relacoada se lo cooce coo dual. Las relacoes so tales que cada uo es el dual del otro y ecotrar la solucó ópta de uo plca ecotrar edataete la solucó ópta del otro. Para troducr los coceptos ás eleetales de la dualdad se retoará el problea de la relacó predador-presa cuya forulacó orgal fue a z 6, Este problea pral os fora sobre veles de produccó óptos para azar el valor de la fucó obetvo, sueto a las ltacoes e los recursos especfcadas e las restrccoes, e este caso los tepos de traslado y de captura. Por ua varedad de razoes sería deseable estar el valor de cada uo de estos recursos, por eeplo para decdr el tpo de cabos que se podría hacer s el predador decdera dspoer de recursos adcoales para eorar su cosuo calórco. El valor o costo de cada recurso ltate está relacoado co los retoros que sea capaz de producr, e este eeplo para producr calorías. Etoces, el valor de cada recurso depede de la agtud de calorías que puede producr. Epresado ecoócaete, el valor argal del producto de u recurso, es decr el valor adcoal producdo por la últa udad de recurso usado, es el preco que la fra estaría dspuesta a pagar por catdades adcoales del recurso escaso. E otras palabras, es lo que aterorete se ha detfcado coo el preco sobra. El problea de ecotrar estos precos resulta ser u PL que se deoa problea dual, dado u problea pral que es u PL. Para forular el problea dual se epezará defedo los precos sobra o varables duales: sea y el valor del producto que se puede producr co ua udad de tepo de traslado (e calorías.uto - ) e y el valor del producto que se puede producr co ua udad de tepo de captura (e calorías.uto - ). El obetvo del problea dual es ecotrar los precos sobras que ce el costo total de adqurr los tepos de traslado y captura, es decr los recursos dspobles. S se sbolza a este costo total co v y se cosdera que el costo de adqurr cada uo de los recursos es gual al producto de la catdad dspoble por su correspodete preco, se puede escrbr coo fucó obetvo: () Mzar v 0y 80y () S el predador qusera veder la capacdad de sus recursos debería pedr precos para cada uo de ellos que al eos le retore lo so que las dos actvdades que los usa, o sea aletarse co presas e los stos y. Por cada ua de las presas co las que se aleta e el sto obtee ua cotrbucó de 6 calorías, ecesta utos para trasladarse y utos para capturarla. E cosecueca, la produccó de ua cotrbucó ía de 6 calorías.presa - cuado se pleeta esta actvdad puede ser escrta coo ua restrccó: y y 6 () La dualdad e la prograacó leal - Pága

2 El aálss desoal de esta ecuacó dca que abos coefcetes del lado zquerdo está epresados e utos.presa -, etras que abos precos sobra está epresados e calorías.uto -, por lo que a derecha e zquerda se tee udades coheretes (.e. calorías.presa - ). Co u razoaeto seeate, la actvdad de traslado y captura de presas e el sto puede ser descrpta co la restrccó: y y 8 (4) Falete, y puesto que los precos se defe solaete para veles postvos de cosuo calórco, se tee las típcas restrccoes de o egatvdad: y y 0 (5), El problea de PL costtudos co las ecuacoes () a (5) es el que ecotrará los precos duales de los recursos ltates del problea pral defdo e (). Para aalzar las relacoes especales etre abos tpos de probleas, se los preseta copletaete e la sguete tabla: Problea pral: asgacó de recursos Problea dual: valoracó de recursos = z (a) 0y + 80y = v () + 0 y + y y + y 8, 0 y, y 0 E esta coparacó se puede observar que el problea pral busca azar la fucó obetvo sueto a restrccoes del tpo eor o gual, etras que el problea dual busca zar la fucó obetvo sueta a restrccoes de setdo cotraro. Adeás, los coefcetes de la fucó obetvo del problea dual (.e. 0 y 80) so los paráetros del problea pral y los paráetros del problea dual so los coefcetes de la fucó obetvo del problea pral (.e. 6 y 8). Tabé se observa que el problea dual tee ua varable asocada (.e. y, y ) para cada ua de las restrccoes del problea pral (tepo de traslado, tepo de captura) y ua restrccó asocada (cotrbucó de las actvdades) para cada varable del problea pral (.e., ). Las relacoes so absolutaete sétrcas, es decr que está defdas de tal aera que s se aplca las reglas de la dualdad a u problea dual lo que se obtee es su problea pral (lo que perte afrar que el problea dual de u problea dual es su problea pral) y es la razó por la cual o es uy portate cual de los dos probleas se detfca coo pral. S se adopta coo forulacó estádar para el problea pral / a z [ a ] b 0 c,,,,,, se tee para el problea dual la sguete forulacó estádar (6) La dualdad e la prograacó leal - Pága

3 / v [ y a y c ] y 0 b y,,,,,, S usaos la otacó atrcal, lo so se podría forular ás copactaete: Problea pral: ecotrar a z tal que A b, 0, c T = z (A: ) Problea dual: ecotrar v tal que A T y c, y 0, b T y = v (A: ) e la que z y v so escalares que represeta el valor de las fucoes obetvos pral y dual, respectvaete, A es la atrz de los coefcetes de las restrccoes, e y so vectores colua que sbolza a las varables pral y dual, respectvaete, c es el vector colua de los coefcetes de la fucó obetvo pral, b es el vector colua de los paráetros prales, es el úero de restrccoes prales (flas) y es el úero de varables prales (coluas). S el problea pral está forulado co ua fucó obetvo que se busca zar y e sus restrccoes aparece ecuacoes o ecuacoes del tpo ayor o gual (.e. o está forulado de aera estádar), las reglas de forulacó del problea dual requere certas cosderacoes especales. La forulacó dual de u problea pral o estadarzado puede ser hecha de dos aeras dsttas. La prera es operar algebracaete sobre el problea pral para covertrlo e u problea estádar. Para ello se debe recordar que zar ua fucó obetvo e z es equvalete a azar su opuesto (.e. zar z azar -z), que ua restrccó ayor o gual puede ser vertda ultplcádola por - y que ua ecuacó puede ser reeplazada co dos ecuacoes de setdo cotraro co détco paráetro (debédose ultplcar la del tpo ayor o gual por -). Por eeplo, para ua varate del problea del predador-presa (leveete reforulada co respecto a la usada para troducr el étodo bfásco) que ahora se tee coo problea pral: z 6 8, Para poerlo e forato estádar, prero es ecesaro ultplcar la fucó obetvo por - para obteer u problea de azacó: a z Luego es ecesaro operar sobre las últas dos restrccoes para covertrlas e ecuacoes del tpo eor o gual. Para covertr la seguda spleete se la ultplca por -: Metras que la tercera debe ser reeplazada por dos ecuacoes, e ua prera etapa (7) (8) La dualdad e la prograacó leal - Pága

4 Para luego ultplcar la seguda de las uevas ecuacoes por - y así obteer Etoces el problea pral orgalete o estadarzado puede ser escrto coo uo estádar equvalete: a z 6 8, Y ua vez puesto e forato estádar, se puede aplcar las relacoes defdas para obteer su problea dual: v 0y y y 6y 8y 40y y, y y y 90y, y, y 0 90y y y Puesto que los coefcetes de las últas dos varables duales sólo dfere e sgo e toda la forulacó, se ha detfcado co el so subídce (). S se cosdera que la dfereca etre dos varables o egatvas resulta e otra varable que puede teer cualquer sgo, o sea y y y (e la que y es ua varable rrestrcta) se puede escrbr el problea dual: v 0y y y 6y 8y 40y y, y y y 0 90y Co lo que queda ás claro que la forulacó dual tee tatas varables coo restrccoes tee el pral. De cualquer aera, s se quere resolver el problea dual usado el étodo sple sólo se puede usar el problea dado por la ecuacó (0). Ates de presetar la seguda alteratva para desarrollar la forulacó dual de u problea pral o estádar, covee destacar que s e la dfereca etre dos varables o egatvas se aula la prera de ellas, etoces la varable resultate será ua varable o postva. Por eeplo, s e y y y se tee que y 0, etoces y 0, lo que perte que y 0 sea usada para reeplazar a ua varable o postva. S se geeralza todas estas observacoes, hay ua fora ás sple de desarrollar probleas duales que o requere ada e partcular acerca del problea pral. Spleete se debe cocebr a cualquera de abos probleas coo copuesto por u couto de varables co sus restrccoes de sgo y por u couto de restrccoes tales que las varables del pral tee ua correspodeca buívoca co las ecuacoes e ecuacoes del dual y tal que las ecuacoes e ecuacoes del pral tee correspodeca buívoca co las varables del dual. Para obteer la forulacó dual se preseta todas las reglas e la sguete tabla, a la que se debe etrar por la colua que (9) (0) () La dualdad e la prograacó leal - Pága 4

5 correspoda al setdo de la optzacó del problea que se haya seleccoado coo pral (.e. s el problea pral es de zacó se debe etrar por la seguda colua): Problea pral Mazar obetvo pral Coefcetes de la fucó obetvo pral Paráetros del problea pral Matrz de coefcetes de las restrccoes Relacó pral -ésa ecuacó: -ésa ecuacó: -ésa ecuacó: = Varable pral 0 0 rrestrcta Problea dual Mzar obetvo dual Paráetros del problea dual Coefcetes de la fucó obetvo dual Matrz traspuesta de los coefcetes Varable dual y 0 y 0 y rrestrcta Relacó dual -ésa ecuacó: -ésa ecuacó: -ésa ecuacó: = Para eeplfcar la aplcacó de estas reglas se puede retoar el problea de la ecuacó (8), que o está forulado de aera estádar y se lo preseta e ua úca tabla uto co su problea dual. E esta tabla el problea pral se escrbe (y lee) horzotalete, para lo cual se detfca e cada colua el obre de ua varable pral y se aota su restrccó de sgo (e este eeplo 0 y 0), aotado e el cuerpo de la tabla los coefcetes de cada restrccó pral ( y e la prera fla, 6 y 8 e la seguda y y e la tercera). E la colua Relacó se aota los síbolos que detfca a las ecuacoes y ecuacoes prales ( e la prera fla, e la seguda e = e la tercera). E la colua Costate se aota los paráetros prales (0 e la prera fla, 40 e la seguda y 90 e la tercera). Para copletar el pral, e la fla Costate (al fal de la tabla) se aota los coefcetes de la fucó obetvo pral ( y ) y al lado se dca el setdo de la optzacó (M z). Luego el problea dual se escrbe (y lee) vertcalete para lo cual se detfca e cada fla el obre de la varable dual asocada a esa restrccó pral y se aota la restrccó de sgo cosultado la tabla ateror. Para ello, se tee e cueta el setdo de la optzacó del pral (e este caso zar) para etrar e la tabla ateror por la seguda colua (dode dce relacoes duales) y leer e la prer colua las restrccoes de sgo (e este eeplo, a la ecuacó de la prera fla le correspode ua varable dual o postva,.e. y 0; a la ecuacó de la seguda fla le correspode ua varable dual o egatva,.e. y 0; etras que a la ecuacó de la tercera fla le correspode ua varable dual rrestrcta,.e. y rrestrcta). Para copletar, e la fla Relacó se debe aotar el síbolo de las ecuacoes e ecuacoes del problea dual para lo cual se vuelve a cosultar la tabla ateror etrado por la seguda colua (dode dce varables duales) para leer e la prer colua el síbolo correspodete (e este eeplo y dado que 0 y 0 correspode aotar dos ecuacoes del tpo ). Falete, debao de la colua Costate ya copletada se aota el setdo de la optzacó del problea dual (e este eeplo Ma v). La dualdad e la prograacó leal - Pága 5

6 Pral Varable 0 0 Relacó Costate y 0 0 y Dual y rrestrcta = 90 Relacó Ma v Costate M z S se recuerda que el problea pral correspode eactaete al descrpto e la ecuacó (8), quzás resulte coveete coparar las forulacoes algebracas plíctas e la últa tabla co sus equvaletes estadarzados de las ecuacoes (9) y () para ver que la tabla preseta todo de aera ás copacta y, e uchos casos, ás aturalete. Pral o estádar (Ecuacó (8)) Dual o estádar (Ecuacó ()) z 6 8, a v 0y y y y 6y 8y 0, y 40y y y 0 90y De todas foras, para resolver u problea coo el de la ecuacó () co el étodo sple es ecesaro reeplazar y e y por varables o egatvas coo ya se vo aterorete (obteedo u problea drectaete coparable co el dado por la ecuacó (0)), que queda: a v 0y 40y y 6y y 8y y, y 90y y y y y, y, y 0 90y (a) No todos los pares de probleas tee solucó factble, de odo que las cuatro cobacoes so posbles:. Tato el pral coo el dual so probleas factbles. Etoces Ma z = M v. El pral es factble y el dual o es factble. Etoces Ma z. El pral o es factble y el dual es factble. Etoces M v - 4. Tato el pral coo el dual so probleas o factbles. Se ha deostrado varos teoreas de la dualdad para descrbr el rago de valores posbles para las solucoes obetvos de los probleas prales y duales para el teresate caso e que abos so probleas factbles. Aquí spleete se dará s pruebas. La dualdad e la prograacó leal - Pága 6

7 Teorea de la dualdad débl: sea cualquer solucó factble del problea pral dado e la ecuacó (6) e y cualquer solucó factble de su problea dual dado e la ecuacó (7), etoces c z v b y Corolaro: cualquer solucó factble del problea dual provee ua cota superor para los valores de la fucó obetvo del pral que se puede obteer co solucoes factbles. Sétrcaete, cualquer solucó factble del pral provee ua cota feror para los valores de la fucó obetvo del dual que se puede obteer co solucoes factbles. Teorea de la dualdad estrcta: s el problea pral dado por la ecuacó (6) tee solucó factble y su problea dual dado por la ecuacó (7) tee solucó factble, etoces este solucoes factbles óptas para el pral y el dual y y, tales que c z v b y Teorea de la holgura copleetara: para solucoes factbles óptas del problea pral de la ecuacó (6) y su dual de la ecuacó (7), toda vez que ua relacó de cualquera de ellos tee holgura, su varable dual asocada es ula; s ua varable de cualquer sstea es postva, la relacó asocada e su dual está estrctaete satsfecha. () (4) La dualdad e la prograacó leal - Pága 7