Método de semivarianza y varianza para la selección de un portafolio óptimo. Semivariance and variance method for selecting an optimal portfolio

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1 Método de sevaraza y varaza para la seleccó de u portaolo ópto Sevarace ad varace ethod or selectg a optal portolo Lzbeth María de Jesús Urbe, Mguel Ágel Martíez Daá, Gustavo aírez Valverde ESUMEN E los años 70 surge el étodo de la sevaraza coo solucó alteratva al étodo de la varaza para la adstracó del resgo e portaolos de versó descrta por Markowtz. Los estadores propuestos para el étodo de la sevaraza para la seleccó de portaolos y proporcoes óptas se reduce a cosderar dos actvos. E la presete vestgacó se eplea u estador para la cosevaraza de u portaolo copuesto por cuatro actvos, plateado coo hpótess que el odelo básco de eda-sevaraza aplcado e la eleccó de u portaolo de versó seleccoa deretes proporcoes. La coclusó dervada del aálss es que el étodo de la sevaraza dstrbuye el resgo etre los actvos que copoe el portaolo de versó al cabar la tasa lbre de resgo. Palabras clave: resgo, redeto poderado de ercado y tasa lbre de resgo SUMMAY I the 970s the sevarace ethod arose as a alteratve to the varace ethod or rsk aageet vestet portolos descrbed by Markowtz. The estators proposed or the sevarace ethod or selectg portolos ad optal proportos are lted to cosderg two assets. I ths paper, a cosevarace or a portolo ade up o 4 assets s proposed, presetg as a hypothess that the basc odel o ea-sevarace appled to the selecto o a vestet portolo selects deret proportos. The cocluso derved ro the aalyss s that the se-varace ethod spreads out the rsk aog the assets that ake up the vestet portolo upo chagg the rsk-ree rate. Keywords: rsk, arket-value weghted perorace, ad rsk-ree rate o retur Colego de Postgraduados, Capus Motecllo. Ecooía. Carretera Méxco-Texcoco, K C.P Motecllo. Texcoco, Estado de Méxco. Fax: 0(595) lurbe@colpos.x, agel0@colpos.x, grarez@colpos.x. VOL. 2, NÚM., ENEO-JUNIO,

2 Lzbeth María de Jesús Urbe, et al. EV. MEX. DE EC. AGÍC. Y DE LOS EC. NAT. INTODUCCIÓN E la deteracó de los actvos que copoe u portaolo ópto bajo certdubre, la solucó tradcoal propuesta por Markowtz se basa e zar la varaza del portaolo para u redeto (Natell y Prce, 979). El étodo cosdera la coducta racoal del versor, cosstete e buscar aquella coposcó de la cartera que haga áxa la retabldad para u deterado vel de resgo, o be, ío el resgo para ua retabldad dada. Segú Collatt (2002), el odelo de Markowtz parte de las sguetes hpótess: ) La retabldad de cualquer título o cartera es ua varable aleatora cuya dstrbucó de probabldad para el período de reereca es coocda por el versor. Se acepta coo edda de retabldad de la versó la eda o esperaza ateátca de dcha varable aleatora. 2) Se acepta coo edda del resgo la dspersó edda por la varaza o la desvacó estádar alrededor de la eda de la varable aleatora que descrbe la retabldad, ya sea de u valor dvdual o de ua cartera. 3) El versor elegrá aquellas carteras co ua ayor retabldad y eor resgo. La retabldad esperada puede edrse a través de ua edda estadístca: eda o esperaza ateátca. La retabldad eda de ua cartera o portaolo es gual a u proedo poderado de los redetos esperados para los valores que coprede la cartera: E ( p ) = we() + w2e(2) + w3e(3) we( ) Dode: es el redeto del portaolo de versó, w es p la proporcó que se verte e el actvo toado valores 0 w y es el redeto del actvo ; =, VOL. 2, NÚM., ENEO-JUNIO, 2009.

3 EV. MEX. DE EC. AGÍC. Y DE LOS EC. NAT. Método de sevaraza y varaza para la seleccó de u portaolo ópto La varaza del portaolo coo edda del resgo se esta a través de: Cuado =j, 2 p δ = w = j= wδ j j δ j es la varaza de cada uo de los actvos del portaolo, y cuado j, δ j se trata de la covaraza del actvo co el actvo j (Avlés, Gozález y Martíez, 2006). Toar ua edda coo la varaza para la edcó de la certdubre plca que las varacoes postvas y las egatvas se toa e cosderacó para calcular dcha certdubre. S ebargo, para el toador de decsoes ua varacó postva o lasta su greso, por lo cual o cotrbuye para ua ora perjudcal del greso certo. E la presete vestgacó se aplca sólo las varacoes egatvas coo edda de certdubre (Natell y Prce, 979); tal es el caso de la sevaraza que para u puto h derete de la eda 2 se dee coo: sv ( ) = h p h 2 ( h)()d p Dode el puto h es la tasa objetvo lbre de resgo (Natell y Prce, 979). E la decó de la sevaraza sólo se toa las desvacoes por debajo del puto h. E la presete vestgacó se reporta las solucoes obtedas del étodo de la sevaraza y varaza para la adstracó del resgo de portaolos de versó oretados haca el sector agrícola toado coo base dos portaolos copuestos por cuatro productos agrícolas: ) arroz, aíz, algodó y soya; 2) pña, rjol, trgo y chle verde. E el prero se propoe ua sere hstórca de precos de 2 y 30 observacoes partedo de 975 y, e el segudo, 30, tabé desde Tasa que cuado h es gual a la eda y la dstrbucó es sétrca, la sevaraza coo edda de resgo equvale a la varaza (Natell y Prce, 979). VOL. 2, NÚM., ENEO-JUNIO,

4 Lzbeth María de Jesús Urbe, et al. EV. MEX. DE EC. AGÍC. Y DE LOS EC. NAT. Para hacer epírco este étodo es ecesaro propoer u estador para la cosevaraza de u portaolo resgoso copuesto por ás de dos actvos y así obteer ua solucó derete al étodo tradcoal de Markowtz. Por tato, el objetvo de la vestgacó es obteer la solucó correspodete al étodo de la sevaraza y de la varaza para la adstracó del resgo e u portaolo de versó aplcado al sector agrícola e tres escearos. La hpótess es que el odelo básco de eda-sevaraza aplcado e la eleccó de u portaolo de versó seleccoa deretes proporcoes co dsttos redetos poderados para el portaolo de ercado basado e los deretes escearos cosderados. MATEIALES Y MÉTODOS Se eplearo tres seres hstórcas de precos cadas e 975 para 43 productos agrícolas de los cuales se seleccoaro dos portaolos: ) arroz, aíz, algodó y soya; 2) pña, rjol, trgo y chle verde. La razó para estudar estos productos es que posee coecetes de correlacó postvos y egatvos etre los actvos de cada portaolo. Los precos so actualzados co base e la seguda qucea de juo Se toó la tasa de CETTES a 28 d e téros reales coo redeto lbre de resgo (). Los cálculos estadístcos y ateátcos se realzaro co SAS SYSTEM 9. y MICOSOFT EXCEL Los supuestos 3 de la teoría de la eda-sevaraza so que los versostas (Natell y Prce, 979): ) Maxza su utldad 2) Tee ucó de utldad hoogéea e cuato a las gaacas del actvo dspoble 3) Puede toar o pedr prestado ua tasa exógea que detere ua edda lbre de resgo 06 3 Estos cuatro supuestos se adcoa a los descrtos e la hpótess del odelo de Markowtz. VOL. 2, NÚM., ENEO-JUNIO, 2009.

5 EV. MEX. DE EC. AGÍC. Y DE LOS EC. NAT. Método de sevaraza y varaza para la seleccó de u portaolo ópto 4) So adversos al resgo para todas las gaacas por debajo de h y eutrales al resgo para todas las gaacas por eca de. De acuerdo co Natell y Prce (979), e el odelo básco de portaolo eda-sevaraza el valor del portaolo de ercado se calcula coo sgue: = = = w + w + w w 2 2 dode w ; = redeto poderado del portaolo de ercado, w = la partcpacó vertda e cada ua de las actvdades y 0 w. El redeto esperado de u portaolo resgoso es: E( ) = we() + w2e(2) we() 3 3 La sevaraza de u portaolo resgoso dedo por Natell y Prce (979) es el sguete: Dode sv ( ) = = w csv (, ) sv es la sevaraza de u portaolo resgoso y cosevaraza del portaolo. De la sa aera se dee la cosevaraza: csv es la CSV + = ( )( )(, )d d dode es la tasa de retoro lbre de resgo, ( ) la ucó de desdad de probabldad de los retoros del actvo y retoros del portaolo de ercado. los VOL. 2, NÚM., ENEO-JUNIO,

6 Lzbeth María de Jesús Urbe, et al. EV. MEX. DE EC. AGÍC. Y DE LOS EC. NAT. El problea a optzar se expresaría coo sgue: M = wsv ( s.a. w = = = w = ) ESULTADOS Y DISCUSIÓN Eulado u estador de oetos y s coproeter las propedades teórcas se propoe coo estador de la cosevaraza a: csv = ( ) ( )( )I = Dode I es ua dcadora que toa valores de cuado y valores de cero cuado. La cosevaraza de la catdad de resgo del actvo e el portaolo de ercado (). Para u portaolo de actvdades la sevaraza del portaolo se esta por: sv ( ) = = w csv No ue posble producr ua solucó aalítca, por lo que se preseta ua solucó uérca cosderado 287 valores posbles para los w y así calcular el redeto del portaolo de ercado. Coo resultado de los cálculos estadístcos y ateátcos, la sevaraza ía del portaolo P es y la varaza ía para el so portaolo es El redeto poderado del portaolo 08 VOL. 2, NÚM., ENEO-JUNIO, 2009.

7 EV. MEX. DE EC. AGÍC. Y DE LOS EC. NAT. Método de sevaraza y varaza para la seleccó de u portaolo ópto ópto co el étodo de la sevaraza e la alteratva P es 5.%, es decr, por cada 00 pesos que el versor da al portaolo ópto obtee ua gaaca de 5. pesos (Cuadro ). Los valores íos de la sevaraza y de la varaza za el resgo de vertr e las alteratvas del portaolo de ercado, s be se debe cosderar que los étodos o so estrctaete coparables. Cuadro. Valores y redeto e % del portaolo bajo el étodo de la varaza y sevaraza Portaolo Sevaraza edeto Varaza edeto P P P Fuete: Elaboracó propa co datos de SAGAPA. P= Arroz, aíz, algodó y soya co 2 observacoes; P2= Arroz, aíz, algodó y soya co 30; P3= Pña, rjol, trgo y chle verde co 30. Al crecer la uestra e la alteratva P2, la sevaraza ía del portaolo se hace cero co u redeto poderado de.4% y para la varaza es co u redeto de -5.90%. Para el portaolo copuesto por pña, rjol, trgo y chle verde (P3) la sevaraza ía es co u redeto de 5.09% y la varaza es 0.08 co u redeto de 9.44%. Las proporcoes óptas que za el resgo bajo el étodo de la sevaraza para P so: 0.0, 0.60, 0.40, y 0.0 para arroz, aíz, algodó y soya. Al crecer la uestra e P2, las proporcoes caba a.00, 0.0, 0.0 y 0.0, e el so orde y para el so portaolo. Esto uestra que al cabar la tasa proedo de redeto del portaolo de ercado, el étodo de la sevaraza asga el total de la versó al actvo que geera ayores redetos ta sólo coo alteratva de versó y o coo respuesta ate ese escearo (Cuadro 2). VOL. 2, NÚM., ENEO-JUNIO,

8 Lzbeth María de Jesús Urbe, et al. EV. MEX. DE EC. AGÍC. Y DE LOS EC. NAT. Cuadro 2. Proporcoes óptas (W) Método w w2 w3 w4 SV (P) SV (P2) SV (P3) VA(P) VA(P2) VA(P3) Fuete: elaboracó propa co datos de SAGAPA. SV(P)= Arroz, aíz, algodó y soya co 2 observacoes; SV(P2)= Arroz, aíz, algodó y soya co 30; SV(P3)= Pña, rjol, trgo y chle verde co 30; VA(P)= Arroz, aíz, algodó y soya co 2 observacoes; VA(P2)= Arroz, aíz, algodó y soya co 30; VA(P3)= Pña, rjol, trgo y chle verde co 30. Al cabar las alteratvas del portaolo de versó a pña, rjol, trgo y chle verde (P3), el étodo de la sevaraza caba sus asgacoes a 0.30, 0.40, 0.0 y Las proporcoes óptas que za el resgo co el étodo de la varaza para P so 0.0, 0.50, 0.20 y 0.20 para arroz, aíz, algodó y soya. Al crecer la uestra e la alteratva P2, las asgacoes caba a 0.30, 0.70, 0.0 y 0.0 para las sas alteratvas. Para el portaolo copuesto por pña, rjol, trgo y chle verde (P3), las asgacoes plateadas por el étodo de la varaza so 0.0, 0.20, 0.30 y Las proporcoes óptas asgadas bajo abos étodos trae plícta la cocepcó de resgo de versó de cada uo, es decr, el étodo de la sevaraza za el resgo de vertr e el portaolo ópto cosderado la alteratva de vertr e la tasa lbre de resgo, pero el étodo de la varaza se reduce a zar el resgo cosderado coo úco escearo las alteratvas que provee los posbles portaolos de versó. 0 El aálss de sesbldad para el étodo de la sevaraza se platea e dos veles: e el prero, se aueta la tasa lbre de resgo e 0%, y e el segudo, esta tasa se reduce e el so porcetaje. Al auetar la tasa lbre de resgo e 0%, las proporcoes óptas para P caba a 0.0, 0.20, 0.40 y 0.40 para arroz, aíz, algodó y soya; e P2 so.00, 0.0, 0.0 y 0.0; e P3 so 0.0, 0.30, 0.30 y 0.30 para pña, rjol, trgo y chle verde (Cuadro 3). VOL. 2, NÚM., ENEO-JUNIO, 2009.

9 EV. MEX. DE EC. AGÍC. Y DE LOS EC. NAT. Método de sevaraza y varaza para la seleccó de u portaolo ópto Cuadro 3. Proporcoes óptas para el aálss de sesbldad CETTES +0% Sevaraza w w2 w3 w4 P P P Fuete: elaboracó propa co datos de SAGAPA. P= Arroz, aíz, algodó y soya co 2 observacoes; P2= Arroz, aíz, algodó y soya co 30; P3= Pña, rjol, trgo y chle verde co 30. Al reducr e 0% la tasa lbre de resgo, las proporcoes óptas para P caba a 0.0, 0.0, 0.50 y 0.40 para arroz, aíz, algodó y soya; para P2 so.00, 0.0, 0.0 y 0.0 para el so portaolo; para P3 so 0.0, 0.60, 0.20 y 0.20 para pña, rjol, trgo y chle verde (Cuadro 4). Cuadro 4. Proporcoes óptas para el aálss de sesbldad CETTES -0% Sevaraza w w2 w3 w4 P P P Fuete: elaboracó propa co datos de SAGAPA. P= Arroz, aíz, algodó y soya co 2 observacoes; P2= Arroz, aíz, algodó y soya co 30; P3= Pña, rjol, trgo y chle verde co 30. Estos resultados uestra la sesbldad que el étodo de sevaraza posee al auetar o dsur la tasa lbre de resgo, ostrado la proporcó que debe dsur la tasa lbre de resgo para ser desechada coo alteratva ópta de versó. especto a los redetos dervados del aálss de sesbldad, al auetar e 0% la tasa lbre de resgo para la alteratva P el redeto es 6.55%, para P2.4% y para P3 6.65% (Cuadro 5). VOL. 2, NÚM., ENEO-JUNIO, 2009.

10 Lzbeth María de Jesús Urbe, et al. EV. MEX. DE EC. AGÍC. Y DE LOS EC. NAT. Al reducr 0% la tasa lbre de resgo, el redeto para P es 3.56%, para P2 es.4% y para P3 es 3.63%. Cuadro 5. edeto para el aálss de sesbldad étodo de la sevaraza edeto CETTES +0% CETTES -0% P P P Fuete: elaboracó propa co datos de SAGAPA. P= Arroz, aíz, algodó y soya co 2 observacoes; P2= Arroz, aíz, algodó y soya co 30; P3= Pña, rjol, trgo y chle verde co 30. CONCLUSIONES El étodo de la sevaraza dstrbuye el resgo etre los actvos que copoe el portaolo de versó cuado la tasa lbre de resgo caba, sedo ésta ua solucó derete a aquélla obteda bajo el étodo de la varaza. Esto se observa co el étodo de la sevaraza al seleccoar deretes actvos y proporcoes ate varacoes e la tasa lbre de resgo, cosderado esta últa coo ua alteratva de versó cuado el redeto de ercado es eor al redeto lbre de resgo, a dereca del étodo de eda-varaza que sugere ateer el portaolo au cuado el redeto esperado es eror al redeto lbre de resgo. 2 VOL. 2, NÚM., ENEO-JUNIO, 2009.

11 EV. MEX. DE EC. AGÍC. Y DE LOS EC. NAT. Método de sevaraza y varaza para la seleccó de u portaolo ópto EFEENCIAS BIBLIOGÁFICAS Avlés C. M., Gozález E. A., y Martíez D. M. A., 2006, Aálss de resgo, portaolos óptos y dverscacó e la agrcultura. Agroceca 40 (3): Collatt M. B., Teoría de carteras. Ivestgacó y desarrollo- Bolsa de coerco de osaro. Octubre Martíez, Garza A Itroduccó al SAS. Statstcal Aálss Syste. Sstea para Aálss Estadístco. Seguda Edcó. Colego de Postgraduados. Cetro de Estadístca y Cálculo. Motecllo, Estado de Méxco. 66 p. Natell T. J. ad Prce B., 979. A aalytcal coparso o varace ad sevarace captal arket theores. J. Fa. Quat. Aal. XLV (2): Secretaría de Agrcultura, Gaadería, Pesca y Aletacó. SIACON Dcebre VOL. 2, NÚM., ENEO-JUNIO,